时间非齐次仿射过程与仿射市场模型

直接从时间齐次跃迁函数的定义中得出，Ptin引理1.8，即Ptf（s，x）：=Ps，s+tfs+t（x），fs+t（x）=f（s+t，x）。备注：~X几乎是一个简单的过程。过渡函数{Pt}在x中是指数函数，但在（基本上是确定的）时间分量s中不是指数函数，因为Φs，s+tandψs，s+tdepend在状态（s，x）上，如果{Ps，t}不是时间齐次的。到目前为止，定义1.12中的函数Φ和ψ不一定是唯一定义的，可以是任意不规则的。如果我们假设转移函数是随机连续的，下面的引理得到（s，t，u）7的连续性→ Ps，tfu（x），我们稍后要将其转换为Φ和ψ。请注意，随机连续性有时是有效过程定义的一部分（参见Cuchiero和Teichmann[10]）。对于一个过程，考虑σ（s，u）：=inf{t>s:Φs，t（u）=0}，o（t，u）：=sup{t<t:Φt，t（u）=0}∨ 0，（1.12）其中我们使用了{} = ∞ 喝一杯{} = -∞. σ用于时间向前，而o用于时间向后。为了k∈ N letUk:={u∈ V+iV:supx∈鄂胡，习≤ k} ，Qk:={（t，t，u）：u∈ 英国，o（T，u）<T≤ T}={（T，T，u）：0≤ T≤ T、 u∈ 英国，Φv，T（u）6=0表示T≤ 五、≤ T}，U=∪库坎问：∪kQk。引理1.14：设{Ps，t}是随机连续的。然后（i）Φ在{（t，t，u），0上消失≤ T≤ T、 u∈ U} \\Q，soQ={（t，t，U）：0≤ T≤ T、 u∈ U、 Φt，t（U）6=0}。（ii）函数ψ将Q映射为U.（iii）对于x∈ 函数fx（t，t，u）：=Pt，Tfu（x）在{（t，t，u），0上是连续的≤ T≤ T、 u∈ 英国}∈ N.如果0∈ E、 这也适用于中国。（iv）Q是开放的，对于任何u，σ（t，u）>t，o（t，u）<t∈ 备注：请注意十、∈ E:fx（t，t，u）=0<=> Φt，t（u）=0<=> 十、∈ E: fx（t，t，u）=0。（1.13）证据。如果Φt，t（u）=0，我们得到s的结果≤ T≤ T，x∈ Efx（s，T，u）=Ps，Tfu（x）=Ps，tPt，Tfu（x）=0所以Φs，T（u）=0。那么Φs，T（u）=0表示所有s<o（T，u）。

根据随机连续性，Φo（T，u），T（u）=0和（i）如下。要得到（ii）注意∈ Ukand x∈ E |Φt，t（u）ehψt，t（u），xi |=| Pt，Tfu（x）|≤ZE | fu（ξ）| Pt，T（x，dξ）≤ZEKPt，T（x，dξ）=K.如果（T，T，u）∈ Q我们可以除以|Φt，t（u）|和| ehψt，t（u），xi |≤ K |Φt，t（u）|-1对于allx∈ E.ψt，t（u）∈ 让x∈ E和let（tn、tn、un）→ （t，t，u）是一个收敛序列，其中un，u∈ UK和0≤ tn≤ 田纳西州，0≤ T≤ T存在一个函数ρ：E→ [0,1]具有紧密支撑，使得pt，T（1- ρ） （十）.选择“乐趣”（ξ）- fu（ξ）|=|ehun，ξi- ehu，ξi|<, N≥ N、 ξ∈ supp（ρ）。通过随机连续性，可以证明所有n≥ NPtn，Tn（1- ρ） （x）<2,Ptn，Tnfu（x）- Pt，Tfu（x）< .那么无论如何≥ max{N，N}Ptn，Tnfun（x）- Pt，Tfu（x）≤Ptn，Tn（ρ（n）- (十)+Ptn，Tn（（1- ρ） （有趣- (十)+Ptn，Tnfu（x）- Pt，Tfu（x）<  + 2k +  = 2（k+1）.因此fx（t，t，u）在{（t，t，u）：0上是连续的≤ T≤ T、 u∈ 英国}每k∈ N和x∈ E.如果0∈ E、 Φt，t（u）=f（t，t，u）是连续的，我们得到（iii）。因为Φt，t（u）6=0，所以fxand（1.13）的连续性意味着（iv）。我们想利用引理1.14（ii）中的连续性得到toΦ和ψ的唯一选择。这是可能的，因为假设1。引理1.15：设{Ps，t}是随机连续的。然后通过要求ψt，t（u）在qk上对所有k是连续的，ψ在q上是唯一定义的∈ N和ψ0,0（0）=0。在这种情况下，对于所有k，Φ在qk上唯一定义且连续∈ N.此外，Q上有一个唯一的函数φt，t（u），它在qk上是连续的，满足φ0,0（0）=0和eφt，t（u）=Φt，t（u）。为了证明这一点，我们大量借用了凯勒·雷塞尔等人[37]的观点。证据定义集合Kn:={（t，t，u）：u∈ 库恩≤ n、 t∈ [o（T，u）+n，T]}，所以 Qnand limn→∞Kn=Q。我们认为每一个集合都可以收缩到零。设γ=（t（r），t（r），u（r））0≤R≤1b以Kn为单位的连续曲线。

然后是0≤ α ≤ 1曲线γα=（t（r）+（1-α） （T（r）-t（r）），t（r），u（r））0≤R≤1持续向α靠拢，并在每个α处停留。此外，γ=γ和γ=（T（r），T（r），u（r））0≤R≤1.所以Knis中的任意连续曲线同伦等价于凸集R中的连续曲线≥0×U，其中所有连续曲线都可收缩为零。这证明了Knis可收缩为零。设Hn:[0,1]×Kn→ Knbe这样的连续收缩和fix∈ E.自从Knis compact以来，我们有了limα→βkfx（Hn（α，·））- fx（Hn（β，·））k∞= 0.外汇o Hn是从fx | k到常数函数1的连续曲线，单位为Cb（Kn）。这里Cb（Kn）表示Kn上有界连续函数的Banach空间。根据Bucchianico[7]中的定理1.3，存在一个连续对数gxn∈ Cb（Kn），即所有（t，t，u）的fx（t，t，u）=egxn（t，t，u）∈ 千牛。接下来，我们将通过设置gxn（0，0，0）=0来唯一定义gxn。假设gxn（t，t，u）是另一个这样的连续对数，那么gxn（t，t，u）=gxn（t，t，u）+2πiα（t，t，u）和α（t，t，u）∈ 那么α（t，t，u）在Kn上是连续的，它可以收缩到0，因此也是连通的。因此α（t，t，u）不能依赖于（t，t，u）。插入（0，0，0）给出了α（t，t，u）=0和gxn的唯一性。对于任意m≤ 我们有gxm（t，t，u）=gxn（t，t，u）+2παx（t，t，u）表示所有（t，t，u）∈ Km，其中αx（t，t，u）是从Km到Z的连续函数，满足αx（0，0，0）=0。因此gxm（t，t，u）=gxn（t，t，u）代表所有（t，t，u）∈ 公里。这表明GxNex倾向于gxm，因此有一个唯一的函数gx:Q→ C使得gx（0，0，0）=0且gx（t，t，u）=fx（t，t，u）=Φt，t（u）ehψt，t（u），xi。（1.14）注意，像fx一样，gxis在每个Qk上都是连续的。确定一个有效基x的点x，除息的。然后在Qkehψt，t（u），x上-xi=egx（t，t，u）-gx（t，t，u），so hψt，t（u），x- xi=gx（t，t，u）- gx（t，t，u）+2πiαx（t，t，u），其中αx（t，t，u）∈ Z.αx（0，0，0）=0。

ψ，gx和gxon的连续性qkgaivesαx（t，t，u）的连续性。因此αx=0，hψt，t（u），x- xi通过独特的功能gx、x在Q上定义独特∈ E.根据假设1，ψ也是如此。关于Q集φt，t（u）=gx（t，t，u）- hψt，t（u），xi等于所有x∈ E，然后也是唯一定义的。那么Φt，t（u）=eφt，t（u）和Φ在Qk上也是唯一定义和连续的。从现在开始，当我们谈论连续函数Φ和ψ时，我们总是说它们是引理1.15中描述的形式。必须要求ψ的较弱性质才能确保它实际上是一个连续的版本。这些性质需要充分保证引理1.15的证明不依赖于（t，t，u）。例如，我们可以通过要求每个（t，t，u）和x都是这样来放松这一点∈ E有一个开邻域，其中| h=ψt，t（u），xi- h=ψt，t（u），xi |<π，如Cuchiero和Teichman[10]所建议。请注意，在时间同质的情况下（参见Cuchiero和Teichmann[10]，Keller-Ressel等人[37]），我们没有得到连续版本的存在，只有唯一性。在加强状态空间假设的情况下，我们得到函数ψ总是连续的。引理1.16：假设E有一个连通分量，其中包含一个a。如果{Ps，t}是随机连续的，则满足（1.8）的任何函数ψ在ψ0,0（0）=0的qkw上是连续的。证据让x，XD必须是连接组件中的有效基础。定义函数h（t，t，u，x）：=ehψt，t（u），x-xi，x∈ V.对于x∈ 这可以写成h（t，t，u，x）=fx（t，t，u）fx（t，t，u）。由引理1.14 iii）h在（t，t，u）中是连续的∈ qk每个x∈ 此外，它在x foreach（t，t，u）中是连续的，甚至在Qk×E上是联合连续的∈ E、 kxk≤ n} 。Hnas在引理1.15，α的证明中→ h（Hn（α，（t，t，u）），x）是Cb（Kn×En）中从h | Kn×Ento到常数函数1的连续曲线。

根据布基亚尼科[7]中的定理1.3，在Kn×En上有一个连续函数gn（t，t，u，x），使得h（t，t，u，x）=egn（t，t，u，x）。设置g（0，0，0，x）=0表示所有x∈ 彻底的定义。在引理1.15的证明中，我们可以扩展它，得到一个唯一的函数g（t，t，u，x），它在Qk×E上是连续的，满足g（0，0，0，x）=0∈ E和h（t，t，u，x）=例如（t，t，u，x）。那么hψt，t（u），x- xi=g（t，t，u，x）- 2πiα（t，t，u，x）与α（t，t，u，x）∈ Z.因为左手边在x中是连续的，α在x中也是连续的。因此，在每个连接的组件上，α在x中是常数。用¨α（t，t，u）表示包含x，除息的。Thenhψt，t（u），xi- xi=g（t，t，u，xi）- 2πi′α（t，t，u），0≤ 我≤ d、 当i=0时，证明了2πi′α（t，t，u）=g（t，t，u，x）在Qk上是连续的。然后是hψt，t（u），xi-xi在Qk上是连续的。由于{x，…，xd}是一个有效基，ψt，t（u）在Qk上是连续的。最后，hψ0,0（0），xi- xi=g（0，0，0，xi）- 2πi′α（0,0,0）=0表示1≤ 我≤ d表示ψ0,0（0）=0。这表明，对于几乎所有的状态空间，随机连续性意味着Φ和ψ的连续性。接下来，我们证明，本质上也是相反的。我们首先陈述以下众所周知的事实。引理1.17:B（Rd）=σ（Cexp）：=σ（{f-1（A）：A∈ B（C），f∈ Cexp}），其中Cexp=（nXk=1akfuk（x），ak∈ C、 英国∈ 北卡罗来纳州i路∈ N） 。证据的草图。为了简化符号，假设d=1。取某个区间[a，b]和该区间的修正指标函数，在[a，b]外为0，在（a，b）上为1，在{a，b}上为1/2。这个函数可以用C逐点逼近∞-功能。用傅里叶方法，这种近似C∞-函数g可以写成g（x）=2πRiR^g（z）ezxdz。

对积分进行切割并用Riemann-sumsgives逼近，可以用Cexp中的函数进行逐点逼近，从而验证结果。引理1.18:Let（t，t，u）7→ Pt，Tfu（x）在{（t，t，u）上是连续的：0≤ T≤ T、 u∈iV U} 每x∈ 那么{Pt，T}是随机连续的。证据（t，t）7→ Pt，Tfu（x）对所有x是连续的∈ E和u∈ 因此，这也适用于f∈ Cexp。让Cb（E）) 表示有界可测函数f:E→ C定义向量空间H:={f∈ Cb（E）) : （t，t）7→ Pt，Tf（x）对所有x是连续的∈ E} ，这是一个包含常数函数的单调类。Cexp H在乘法下是闭合的。函数单调类定理（Revuz and Yor[42]，定理0.2.2）和引理1.17的应用给出了H包含所有有界可测函数，从而给出了{Pt，T}的随机连续性。推论1.19：设{Ps，t}是状态空间E上的一个有效转移函数它包含0，并且有一个包含有效基的连接组件。那么下面这些就相当了{Ps，t}是随机连续的ψ在qkw上是连续的，ψ0,0（0）=0，Φ和（t，t，u）7→ Pt，Tfu（x）在{（t，t，u）上是连续的：0≤ T≤ T、 u∈ Uk}适用于所有x∈ E和k∈ N.证据。引理1.18给出了一个方向。引理1.16给出了Qkandψ0,0（0）=0上ψ的连续性。引理1.14 iii）假设为0∈ 把其余的都拿走。这表明随机连续性与Φ和ψ的连续性基本上是等价的。我们不考虑转移函数的随机连续性，而是考虑以下定义。定义1.20：如果ψ和φ在ψ0,0（0）=0的qkW上是连续的，则称为连续的过渡函数{Pt，T}。Φ和（t，t，u）7→ Pt，Tfu（x）在{（t，t，u）：0上是连续的≤ T≤ T、 u∈ 英国}∈ 伊恩和k∈ N

如果马尔可夫过程的转移函数是连续有效的，则马尔可夫过程是连续有效的。引理1.21：设{Pt，T}为连续有效的转移函数。（i） Φ、φ和ψ满足以下半流方程。对于s≤ T≤ TΦs，T（u）=Φs，T（ψT，T（u））ΦT，T（u），对于所有u∈ U、 ψs，T（U）=ψs，T（ψT，T（U）），如果Φs，T（U）6=0，φs，T（U）=φT，T（U）+φs，T（ψT，T（U）），如果Φs，T（U）6=0。（1.15）（ii）让我们∈ U∩五、然后=Φt，t（u）=0表示0≤ T≤ T和=ψT，T（u）=0，=φT，T（u）=0表示o（T，u）<T≤ T（iii）所有≥ 它认为Φt，t（u）=1，φt，t（u）=0和ψt，t（u）=u。关于（i），如果Φs，T（u）6=0，那么通过引理1.14 i）也ΦT，T（u）6=0，所以由引理1.14 ii）ψT，T（u）∈ U和Φs，T（U）ehψs，T（U），xi=Ps，Tfu（x）=Ps，tPt，Tfu（x）=ΦT，T（U）Ps，tfψT，T（U）（x）=ΦT，T（U）Φs，T（ψT，T（U））ehψs，T（ψT，T（U）），xi。（1.16）因此Φs，t（ψt，t（u））6=0和（s，t，ψt，t（u））∈ Q、 因此我们可以写出（1.16）aseφs，T（u）+hψs，T（u），xi=ehφT，T（u）+φs，T（ψT，T（u））+ψs，T（ψT，T（u）），xi。前面讨论的对数唯一性以及假设1给出了半流方程。如果Φs，t（u）=0，我们考虑两种情况。如果Φt，t（u）=0，则Φ的流速方程成立。否则由引理1.14 ii）ψt，t（u）∈ U和（1.16）保持不变。由于Φt，t（u）ehψs，t（ψt，t（u）），xi6=0，因此Φs，t（ψt，t（u））=0。这证明了在Φs，t（u）=0的情况下Φ的半流方程。对于（ii）请注意∈ 英国∩ V，o（T，u）<T≤ ψt，t（u），x-xi=Pt，Tfu（x）Pt，Tfu（x）∈ R≥因此h=ψt，t（u），x- xi=2πiαx（t，t，u）与αx（t，t，u）∈ Z.在定理1.15的证明中，h=ψt，t（u），x- xi=0。因此也=ψt，t（u）=0。这意味着=φt，t（u）=0和=Φt，t（u）=0。

请注意，Q外的Φ=0乘以1.14 i）。（iii）后接与ii）中相同的参数，因为Pt，tfu（x）=fu（x），因此ψt，t（u）-u、 x-xi=1。Φ和ψ的连续性也可以用来推断过渡函数{Ps，t}的联合可测性。引理1.22：对于连续有效的转移函数（s，t，x）7→ Ps，s+t（x，B）isB（R）≥0)  E-每个B都是可测量的∈ E.证据让C C和u∈ iV。通过Φ集的连续性Qu={（s，t）∈ R≥0:Φs，s+t（u）6=0}是开放的，B（R≥0）-可测量。（s，t）7→ ψs，t（u）是Qu上的连续函数，因此也是（s，t，x）7→ Ps，s+tfu（x）=Φs，s+t（u）ehψs，s+t（u），xiis continuouson Qu×E和D={（s，t，x）∈ R≥0×E:Ps，s+tfu（x）∈ C\\{0}∈ B（R）≥0)  E.因此{（s，t，x）∈R≥0×E: Ps，s+tfu（x）∈ C} =（0）/∈ C:D0∈ C:（R）≥0\\Qu×E）∪ （R）≥0×{}) ∪ D、 在B（R）中≥0)E. 因此函数（s，t，x）7→ Ps，s+tfu（x）是B（R）≥0)E-每一个fu都是可测量的。这扩展到函数f∈ Cexp。引理1.18的证明中的单调类参数给出了结果。这特别意味着（s，x）7→■Pt（（s，x），B）是B（R）≥0) E-可测量的预测固定B∈ B（R）≥0)  E, 式中，pti是引理1.8中引入的时空过程的转移函数。要看到这个，让B=[a，B]×B，B∈ EandC∈ B（[0,1]）。然后由引理1.22D={（s，x）：Ps，s+t（x，B）∈ C}∈ B（R）≥0)  E.由（1.6）~P-1t（·，[a，b]×b）（C）={（s，x）：Ps，s+t（x，b）I[a，b]（s+t）∈ C} =（[a]- t、 b- t] ×E) ∩ D 0/∈ C、 （[a]- t、 b- t] C×E) ∪ （[a]- t、 b- t] ×E) ∩ D） 0∈ C、 和P-1t（·，[a，b]×b）（C）∈ B（R）≥0)  E. 因此，具有时间非齐次连续有效转移函数的马尔科夫过程的时空过程，可以相对于较小的乘积σ-代数E=B（R≥0)  E和)A=B（R≥0)  A和过滤系数F，由Ft:=B（R）给出≥0)  Ft（见引理1.8后面的注释）。

与引理1.13一起，我们有以下推论。推论1.23：设（X，F，{P（s，X）}）是一个具有转移函数{Ps，t}的连续有效马尔可夫过程。那么（~X，~F，{P（s，X）}）是（~Ohm,A）状态空间（~E，~E）和转移函数{Pt}满足Ptf（u，u）（s，x）=eutΦs，s+t（u）eus+hψs，s+t（u），xi。此外，（X，~F，{P（s，X）}）是（~Ohm,~A）带转移函数{Ps，t}。保守有效过程如果所有t的Ps，t（x，E）=1，则过渡函数是保守的≥ s和x∈ E.公约f() = 0，f（x）=I{x 6=} 这相当于Ps，tf（x）=1表示allt≥ s和x∈ E.对于定义1.6意义上的有效流程，这对应于P（s，x）（Xt6=) = 1.所有s，t≥ 0和x∈ E.注意在这种情况下p（s，x）（Xt6=) = E（s，x）eh0，Xti= Ps，s+tf（x）=Φs，s+t（0）ehψs，s+t（0），xi。（1.17）我们有以下引理。引理1.24：一个连续有效的转移函数是保守的，当且仅当Φs，t（0）=1和ψs，t（0）=0对于所有t≥ s、 证据。如果转移函数是保守的，那么Ps，tf（x）=1表示所有x∈ E和T≥ s、 因此Φs，t（0）6=0，所以ehψs，t（0），x-xi=1。在引理1.21中，通过ψ的连续性和假设1，可以得出ψs，t（0）=0。显然，Φs，t（0）=1.1.3 C`adl`ag修正在本节中，我们证明了具有连续有效传递函数的马尔可夫过程具有C`adl`ag修正。对于一般的有效跃迁函数，当确定性过程Xt=x+I{t时，这是不正确的≤ 1} 表演。首先，我们考虑定义1.3意义上的马尔可夫过程X，其中我们有一个可执行概率测度P。然后，我们将其扩展到定义1.6意义上的马尔可夫过程（X，F，{P（s，X）}）。对于时间齐次过程，这一点已由Inuchiero和Teichman[10]证明。

我们跟踪他们的治疗。我们装备了E在Alexandrov拓扑中，E中每个具有紧补的开集被声明为. 因此在E中有一个序列（yk）汇聚到 如果kykk→ ∞ （这里我们使用kk=∞).此外，通过有理点定义极限（参见罗杰斯和威廉姆斯[43]中的II.61）。对于y:Q≥0→ E我们说limq↓↓如果limqk↓泰克斯汀对于每个序列qk∈ Q≥0与qk↓ 与序列（qk）的选择无关。以类似的方式limq↑↑定义了tyqis。让我们Ohm  Ohm 设置每个t的X到Q的左极限和右极限. 我们定义了E-有值c`adl`ag过程Xt（ω）：=林克↓↓tXq（ω）ω∈~Ohm, ω /∈~Ohm.（1.18）我们通过考虑鞅smt，ut=Φt，t（u）ehψt，t（u），Xti=E，证明了过程X是原始过程X的修正埃胡，XTi |英尺, 0≤ T≤ T、 u∈ U、 它们总是有一个c\'adl\'ag修改。引理1.25：有一个集合Ohm和P(Ohm) = 1.这样Ohm~MT，ut（ω）=limq↓↓tMT，uq（ω）=limq↓↓tΦq，t（u）ehψq，t（u），Xqi（ω）（1.19）对于0存在≤ t<t并定义了几乎所有（在勒贝格意义上）的C值C`adl`ag函数（t，u）∈ (0, ∞) x美国证明。根据Doob的正则性定理（定理II.65.1，Rogers and Williams[43]）（1.19）定义了c`adl`ag函数P-a.s。。然而，这不是真的空集取决于（T，u）。定义A B（（0，∞) ×U）-可测集Γ={（ω，T，U）∈ Ohm × (0, ∞) ×U：（1.19）不是c`adl`ag函数}。（1.20）通过以上考虑，结合Fubini定理，我们得到OhmZ（0，∞)×UIΓ（ω，T，u）dλdp=Z（0，∞)×UZOhmIΓ（ω，T，u）dpdλ=0，其中λ表示（0，∞) 这证明了结果。为了从鞅M的c`adl`ag性质中推断出X的c`adl`ag性质，我们使用纯解析引理1.26。为了表述这个引理，我们必须引入一些符号。