投资组合交易最优执行的精确解

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英文标题：
《Exact solutions for optimal execution of portfolios transactions and the
  Riccati equation》
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作者：
Juan M. Romero and Jorge Bautista
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We propose two methods to obtain exact solutions for the Almgren-Chriss model about optimal execution of portfolio transactions. In the first method we rewrite the Almgren-Chriss equation and find two exact solutions. In the second method, employing a general reparametrized time, we show that the Almgren-Chriss equation can be reduced to some known equations which can be exactly solved in different cases.For this last case we obtain a quantity conserved. In addition, we show that in both methods the Almgren-Chriss equation is equivalent to a Riccati equation.
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中文摘要：
我们提出了两种方法来获得Almgren-Chriss模型关于投资组合交易最优执行的精确解。在第一种方法中，我们重写Almgren-Chriss方程，并找到两个精确解。在第二种方法中，利用一般的重新参数化时间，我们证明了Almgren-Chriss方程可以简化为一些已知的方程，这些方程可以在不同情况下精确求解。对于最后一种情况，我们得到了一个守恒量。此外，我们还证明了在这两种方法中，Almgren-Chriss方程等价于Riccati方程。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Exact_solutions_for_optimal_execution_of_portfolios_transactions_and_the_Riccati.pdf (142.17 KB)

2022-5-11 18:25:46 上传

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关键词：投资组合 Mathematical Quantitative Transactions Optimization

Portfolios交易和RiccatiationJuan M.Romero最优执行的精确解*和豪尔赫·鲍蒂斯塔+美国大都会大学应用与系统部，M\'ex i co.D.F 05300，M\'Exicoabstractc我们提出了两种方法来获得关于投资组合交易最优执行的阿尔姆根希里斯模型的精确解。在第一种方法中，我们重写了Almgren-Chriss方程，找到了两个精确解。在第二种方法中，利用一般的重新参数化时间，我们证明了Almgren-Chriss方程可以简化为一些已知的方程，这些方程可以在不同情况下精确求解。对于最后一种情况，我们得到了一个守恒量。此外，我们还证明了在这两种方法中，Almgren-Chriss方程等价于Riccati方程。1导言在所有金融现象中，都有许多随机变量，这就是为什么很难构建数学模型来提供真实的市场预测的原因。通常情况下，当模型中考虑了所有财务变量时，模型就不可处理，然后就不可处理了*jromero@correo.cua.uam.mx+乔巴。89@hotmail.comuseful.同时，当没有考虑所有重要变量时，该模型可能不会产生现实的预测。然后，构建财务模型的挑战是考虑所有重要变量，但不考虑定价模型的可执行性。值得一提的是，在某些情况下，可以构建简单的模型来提供理论预测。例如，欧式期权价格的Black-Scholes方程[Black and Scholes（1973），Merton（1973）]。令人惊讶的是，这个方程可以精确求解。现在，融资中的一个重要问题是获得投资组合交易的最佳执行。

在这一点上，默顿提出了一个具有恒定波动性的模型，可以通过分析解决[Merton（1969），Merton（1971）]。默顿模型已经扩展到更现实的情况[Magill a and Constantinides（1976）]，[Dumas and Luciano（1991）]，[Liu and Loewenstein（2002）]。当投资者希望通过提供主要利益的投资策略购买（或出售）大量期权时，给出了最优执行问题的一个特殊情况。在这种情况下，快速购买可能会提高股价，而订单分割可能会增加斯托克价格的不确定性。对于最后一个问题，使用市场影响η、波动率σ和支持风险规避λ为常数，Almgren和Chriss表明，如果投资者在t时有XOrder，而在t时必须有零订单，则最佳交易成本由函数[Almgren Chriss（1999），Almgren Chriss（2001）]C=ZTtds的最佳值给出η（s）dxds！+λσ（s）x（s）. （1） 根据演算，众所周知，当函数x（s）中的值满足乌勒-拉格朗日方程[Elsgoc（200 7）]时，函数as C会达到最佳值。对于代价（1）由η（s）dxds+dη（s）dxds=λσ（s）x（s），（2）得到的欧拉-拉格朗日方程，必须用边界条件x（t）=x，x（t）=0来求解。（3） η和σ为常数的情况可以精确求解。然而，当η和σ不是常数时，很难找到方程（2）的解。现在，值得指出的是，一些系统有一个“自然时间”，例如用于研究测地曲线的有效参数[Eisenhart（2005）]。事实上，在一些金融模型中，“自然时间”是一个随机时间[Gema、Madan和Yor（2001）]。通常情况下，用“自然时间”来描述运动方程会更加友好。

在这方面，Almgren和Chriss表明，使用时间参数d^s=σ（s）ds（4）并施加条件η（^s）σ（^s）=常数（5），对于一些实际情况，方程（2）可以精确求解。Almgren-Chriss模型的一些扩展可以在[Obizhaeva and Wang（2013）]，[Schied and Sch¨oneborn（2009）]，[Gathereal a and Schied（2011）]，[Gathereal and Schied（2013）]中看到。很明显，在阿尔姆格兰克里斯模型中获得最优投资策略对于理解该模型具有何种解决方案非常重要。考虑到这一点，本文提出了两种方法来获得Almgren-Chriss方程的精确解。在第一种方法中，我们写出Almgren-Chriss方程，找到该方程的两个精确解。此外，利用Riccati方程，我们证明了Almgrenchris是可以求解的。从这个意义上讲，我们可以说阿尔姆格伦-克里斯方程等价于里卡蒂方程。在第二种方法中，我们将时间作为一般参数τ的函数，即取s=s（τ）。此外，使用特定的时间参数，我们可以找到Almgren-Chriss方程的精确解。此外，我们还证明了使用“特殊时间”阿尔姆格伦-克里斯方程可以简化为已知方程，在不同情况下可以精确求解。

此外，我们还证明了利用这个“特殊时间”可以简化与阿尔姆格伦-克里斯方程等价的里奇提方程。本文的结构如下：在第2节中，我们给出了阿尔姆格伦-克里斯方程的FirstMethod，并获得了两个精确解，此外，我们还证明了阿尔姆格伦-克里斯方程等价于里奇提方程；在第三节中，我们提供了第二种方法，并获得了Almgren-Chriss方程的精确解；在第4节中，我们给出了一个总结。2第一个例子为了得到阿尔姆格伦-克里斯方程（2）的一些精确解，我们建议（s）=u（s）qη（s），（6）在这种情况下，成本（1）变为c=ZTtds笨蛋+dη（s）ds2η（s）+λσ（s）η（s）-dη（s）ds4η（s）美国-u（s）dη（s）dsη（s）Tt。（7） 从这个表达式中，我们得到以下Euler-Lagrange方程du（s）ds=dη（s）ds2η（s）+λσ（s）η（s）-dη（s）ds4η（s）u（s），（8）应该用边界条件u（t）=xqη（t），u（t）=0来求解。（9） 现在，通过部件集成，成本（7）可以写成asC=-中兴通讯社(s)哑弹-dη（s）ds2η（s）+λσ（s）η（s）-dη（s）ds4η（s）美国+u（s）du（s）ds-u（s）dη（s）dsη（s）Tt。（10） 然后，如果u（s）满足运动方程（8）和边界条件（9），我们得到c=-u（s）du（s）ds-u（s）dη（s）dsη（s）s=t.（11）2.1精确解1让我们考虑一下η（s）=ηγ（cosh as），（12）σ（s）=σγcosh as，（13）其中a，η，γ和σ是常数。将这些函数代入方程（8），我们得到du（s）ds=a+λση！u（s），（14）由函数u（s）求解=√ηγx（cosh at）sinhra+λση（T）- t） sinhvuuta+λση（t- s） 。（15） 此外，利用方程（6），我们得到x（s）=x（cosh at）sinhra+λση（T- t） sinhra+λση（t- s） （cosh as）（16）和成本（11）由c=ηγxcosh（at）sinhra+λση（T）给出- t） vUta+λσηcoshvuuta+λση（t- t） +asinh ascosh as！sinhvuuta+λση（T- t） ！=ηγxcosh（at）vUta+λσηcothvuuta+λση（T- t） +a tanh as.

（17） 2.2精确解2现在，考虑到η（s）=ηeζs，（18）σ（s）=σeζs，ζ=常数，（19）方程（8）变成du（s）ds=ζ+λση！u（s），（20）哪个解u（s）=x√ηeζtInhrζ+λση（T- s） sinhrζ+λση（T- t） 。（21）此外，利用方程式（6），我们得到x（s）=xe-ζ（s）-t） sinhrζ+λση（t- s） sinhrζ+λση（T- t） 。（22）将最后一个表达式代入等式（11），我们得到以下costc=ηxeζtvuutζ+λ∑ηcothvuutζ+λ∑η（T- t） +ζ. （23）2.3一般情况和Ricatti方程一般来说，给定函数σ（s）和η（s），获得Almgren-Chriss方程的解是一项困难的任务。然而，这个问题可以简化为求解一个已知的方程。事实上，由于σ和η是正函数，我们可以提出η（s）=ηe2ζ（s），σ（s）=σeζ（s）。（24）利用等式（8）中的这些表达式，我们得到了du（s）ds=dζ（s）ds+dζ（s）ds+λσηe2（ζ（s）-ζ（s））美国。（25）该方程由u（s）=qη（t）eg（t）RTtdze求解-2g（z）eg（s）ZTsdze-2g（z），（26），其中函数g（s）必须解方程dg（s）ds+dg（s）ds=dζ（s）ds+dζ（s）ds+λσηe2（ζ（s）-ζ（s））. （27）注意，在这种情况下，等式（26）表示x（s）=xqη（t）eg（t）RTtdze-2g（z）eg（s）qη（s）ZTsdze-2g（z）。（28）此外，如果我们把dg（s）=dg（s）ds（29）方程（27）变成dg（s）ds+G（s）=ω（s），（30）这里ω（s）=dζ（s）ds+dζ（s）ds+λσηe2（ζ（s）-ζ（s））. （31）我们可以看到表达式（30）是一个Riccati方程[Arfken（2005）]。然后，如果Riccati方程（30）可以求解，则方程（25）可以求解。

目前还没有一种通用的方法来求解瑟里卡蒂方程，但是这个方程的一些解是已知的。3时间再参数化一些系统有一个自然时间，例如热力学中的弛豫时间，粒子物理中的平均寿命，以及相对论物理中的适当时间。通常情况下，利用自然时间，运动方程更为精确。在本节中，我们提出了一个通用的时间参数，并研究了可以精确解决的不同情况。首先，让我们考虑一般参数化=s（τ）。（32）使用此参数化，成本（1）变为C=ZτFτdτη（τ）ds（τ）dτdxdτ！+λσ（τ）ds（τ）dτx（τ）, （33）这意味着欧拉-拉格朗日方程dx（τ）dτ+dx（τ）dτdη（τ）dτη（τ）-ds（τ）dτds（τ）dτ=λσ（τ）η（τ）ds（τ）dτ！x（τ）。（34）最后一个方程的边界条件由x（τ）=x，x（τF）=0给出。（35）请注意，成本（33）可以写成asC=-ZτFτdτη（τ）x（τ）ds（τ）dτ”dx（τ）dτ+dη（τ）dτη（τ）-ds（τ）dτds（τ）dτdx（τ）dτ-λσ（τ）η（τ）ds（τ）dτ！x（τ）#+η（τ）x（τ）ds（τ）dτdx（τ）dττFτ。（36）然后，当x（τ）满足方程（34）和边界条件（35）时，我们得到costC=-η（τ）x（τ）ds（τ）dτdx（τ）dττ =τ. （37）我们可以看到，采用Almgren-Chriss参数（4），isdsdτ=σ（τ），（38）我们得到了costC=ZτFτdτη（τ）σ（τ）dxdτ！+λx（τ）, 欧拉-拉格朗日方程dx（τ）dτ+dx（τ）dτd ln（η（τ）σ（τ））dτ=λη（τ）σ（τ）x（τ）。（40）Almgren和Chriss表明，当η（τ）σ（τ）为常数时，该方程是可处理的[Almgren-Chriss（1999），Almgren-Chriss（2001）]。在下面的小节中，我们将介绍另外两个有用的时间参数。3.1第一个参数由于σ和η是正数，我们可以建议η（τ）=ηeζ（τ），σ（τ）=σeζ（τ）。（41）那么，方程（34）可以写成dx（τ）dτ+dx（τ）dτdζ（τ）dτ-ds（τ）dτds（τ）dτ=λσηe2ζ（τ）-ζ（τ）ds（τ）dτ！x（τ）。

（42）此外，使用参数d（τ）dτ=eζ（τ）-2ζ（τ），（43）我们得到dx（τ）dτ+dx（τ）dτdζ（τ）dτ+dζ（τ）dτ=λσηx（τ）。（44）我们可以看到当ζ（τ）dτ+dζ（τ）dτ=α时，α=常数（45），即ζ（τ）=ατ+β-ζ（τ），β=常数，（46）方程（44）变成dx（τ）dτ+αdx（τ）dτ=λσηx（τ）。（47）注意，使用函数（41），条件（46）可以写成η（τ）σ（τ）=Ae2ατ，（48），其中A是常数。此外，方程（47）的解由x（τ）=xe给出-α(τ-τ） sinhrα+4λση（τF- τ） sinhrα+4λση（τF- τ） ，（49）而成本isC=xηeατ+βα+vuutα+4λσηcothvuutα+4λση（τF- τ). （50）3.2秒参数现在，如果我们取参数dτ=η（τ），（51）成本（3）变成c=ZτFτdτdxdτ！+λσ（τ）η（τ）x（τ）. （52）该泛函表示Euler-Lagrange方程dx（τ）dτ=λσ（τ）η（τ）x（τ）。（53）此外，当x（τ）满足方程（53）和边界条件（35）时，成本（37）变为c=-x（τ）dx（τ）dττ =τ. （54）注意，原始方程（2）取决于函数σ（s）和η（s）。而方程（53）只取决于乘积λσ（τ）η（τ）。此外，我们可以看到等式（53）比原始等式（2）和等式（40）更简单。等式（53）有一些有趣的性质。例如，如果方程dρ（τ）dτ+λσ（τ）η（τ）ρ（τ）-满足ρ（τ）=0（55），则函数i=ρ（τ）dx（τ）dτ- x（τ）dρ（τ）dτ！-x（τ）ρ（τ）！, （56）是一个守恒量。特别地，当λσ（τ）η（τ）=λση=常数时，（57）我们得到守恒量i=qλσηdx（τ）dτ！-qλσηx（τ）, （58）可解释为质量为1/qλση的粒子在ceqλσηx（τ）的排斥作用下的能量，见[Goldstein（1980）]。对于（57）的情况，我们有x（τ）=xsinhqλση（τF）- τ） sinhqλση（τF）- τ） 和costC=xqλσηcoshqλση（τF- τ） sinhqλση（τF）- τ). （60）此外，对于其他函数λσ（τ）η（τ），可以获得方程（53）的解。

例如，当λσ（τ）η（τ）=α+βτ+b+γ（τ+b）！（61）其中q1+4γ±βα（62）是一个整数，方程（53）完全求解[Ermakov（2008）]。方程（53）完全求解的其他情况见[Ermakov（2008）]。3.3 Riccati方程。此外，为了求解方程（53），我们可以提出函数x（τ）=xef（τ）RτFτdze-2f（z）ef（τ）zτFτdze-2f（z），（63），其中函数f（τ）必须满足方程df（τ）dτ+df（τ）dτ！=λσ(τ)η(τ). （64）因此，如果我们找到最后一个方程的解，我们就可以解方程（53）。此外，使用方程式（71），我们得到costC=xe-2f（τ）RτFτdze-2f（z）-df（τ）dττ =τ!. （65）注意，如果我们取F（τ）=df（τ）dτ，（66）方程（64）可以写成df（τ）dτ+F（τ）=λσ（τ）η（τ），（67），这是一个里卡特i方程[Arfken（2005）]。然后，如果Riccati方程（67）可以求解，那么方程（53）也可以求解。例如，当λσ（τ）η（τ）=λση1 + λσητ（68）我们得到了f（τ）=λσητ，（69），这意味着f（τ）=λσητ+B，B=常数。（70）在这种情况下，我们有x（τ）=xRτFτdze-λσηzeλση（τ）-τ） ZτFτdze-λσηz，（71），成本由c=xe给出-λσητRτFτdze-λσηz- λσητ!. （72）4总结本文提出了两种求阿尔姆格伦-克里斯方程精确解的方法。在第一种方法中，重写了Almgren-Chriss方程，并找到了该方程的两个精确解。此外，利用Riccati方程，我们证明了Almgren-Chriss方程是可以求解的。在这个意义上，我们可以说阿尔姆格伦-克里斯方程等价于里卡蒂方程。在第二种方法中，阿尔姆格伦-克里斯方程在时间上被重新参数化。此外，使用一个特定的参数“时间”，我们找到了阿尔姆格伦-克里斯方程的精确解。此外，我们还表明，使用一种特殊的重新参数化，阿尔姆根希里斯方程可以简化为一个已知的方程，该方程可以在不同的情况下精确求解。

对于最后一种情况，我们得到了一个守恒量。确认本工作由Conacyt SEP项目CB-2011-180111（J.M.r）支持。参考文献[Arfken（2005）]G.B.Arfkend&H.J.Weber（2005）物理学的数学方法。伦敦，爱思唯尔学术出版社。【Almgren Chriss（1999）】R.Almgren&N.Chriss（1999）清算价值，风险12，61。[Almgren Chriss（2001）]R.Almgren&N.Chriss（2001）投资组合交易的最佳执行，风险杂志3,5。[Black and Scholes（1973）]F.Black&M.Scholes（1973）定价选择权和公司负债，公共经济杂志81637。[Dumas and Luciano（1991）]B.Dumas&E.Luciano（1991）交易成本下一个动态政策选择问题的精确解，金融期刊46（2），577。[Eisenhart（2005）]L.P.Eisenhart（2005）非黎曼几何。多佛出版社，纽约。[Elsgoc（2007）]L.D.Elsgoc（2007）变异演算s.纽约，多佛。[Ermakov（2008）]V.P.Ermakov（2008）二阶微分方程：完全可积条件、适用分析和离散数学2，123。[Gathereal and Schied（2011）]J.Gatherel&A.Schied（2011）Almgren and Chriss框架下几何布朗运动下的最优交易执行，国际理论与应用金融杂志14（03）353。[Gathereal and Schied（2013）]J.Gathereal&A.Schied（2013）市场影响的动态模型和订单执行算法。参见：Handboo k on systemic risk（J-P.Fouque，J.A.Langsam，eds.）第579页。[Gema，Madan and Yor（2001）]H.Gema，D.B.Madan&M.Yor（2001）Levy过程的时间变化，Mathematica L Finance 11（1），79。[Goldstein（1980）]H.G oldstein（1980）古典音乐。艾迪生·卫斯理，纽约。[Liu and Loewenstein（2002）]H.Liu&M。