完全维纳驱动下最优投资组合的一个显式公式

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英文标题：
《An explicit formula for optimal portfolios in complete Wiener driven
  markets: a functional It\\^o calculus approach》
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作者：
Kristoffer Lindensj\\\"o
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider a standard optimal investment problem in a complete financial market driven by a Wiener process and derive an explicit formula for the optimal portfolio process in terms of the vertical derivative from functional It^o calculus. An advantage with this approach compared to the Malliavin calculus approach is that it relies only on an integrability condition.
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中文摘要：
我们考虑了一个由维纳过程驱动的完整金融市场中的标准最优投资问题，并从函数It ^ o演算中导出了一个用垂直导数表示的最优投资组合过程的显式公式。与Malliavin微积分方法相比，这种方法的一个优点是它只依赖于可积条件。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> An_explicit_formula_for_optimal_portfolios_in_complete_Wiener_driven_markets:_a_.pdf (157.29 KB)

2022-5-26 19:33:30 上传

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关键词：投资组合 Mathematical Quantitative mathematica QUANTITATIV

最优投资组合的显式公式不完全维纳驱动市场：函数演算法（Functionat^o Calculation Approach Kristo ff er Lindensj¨oDepartment of MathematicsStockholm University）SE-106 91斯德哥尔摩，瑞典。lindensjo@math.su.se+4670 444 10 072021年11月16日摘要我们考虑由维纳过程驱动的完整金融市场中的标准最优投资问题，并根据函数It^o演算的垂直导数推导出最优投资组合过程的显式公式。与Malliavin微积分方法相比，这种方法的一个优点是它只依赖于可积条件。AMS MSC2010:91G10；93E20；97M30；91G80关键词：函数It^o演算、鞅表示、最优投资、最优投资组合、投资组合理论、效用最大化、垂直导数1简介最优投资和消费问题是数学金融中最重要的问题之一。这类问题是首次在马尔可夫框架下使用标准随机控制方法研究的，参见[17，18]。本文研究的鞅方法是在ine中发展起来的。g、 [11，22]。我们考虑在由维纳过程驱动的标准完备金融市场中，使终端财富的一般效用函数的期望值最大化的最优投资问题，有关该问题的详细描述，请参见第3节和第4节。众所周知，如果X*是最优财富过程，H是状态价格密度，然后是贴现财富过程，由X给出*（t） H（t）是鞅，因此可以简单地刻画最优投资组合π*使用标准鞅表示定理。

本文利用这一结果和泛函It^o演算中的一个构造性鞅表示定理，导出了最优投资组合π的一个明确公式*关于垂直导数，见定理4.3。有大量文献使用Malliavincalculus，尤其是Clark-Ocone公式来研究最优投资问题。利用这一方法，可以导出用马利雅文导数表示的最优投资组合的显式公式。这方面的第一篇论文是[19]。其他使用Malliavin微积分方法解决最优投资和消费问题的论文包括[2、7、9、14、15、21、23]。与Malliavin演算方法相比，本文提出的函数It^o演算方法的一个优点是，它只依赖于可积性条件，而Malliavin演算方法依赖于Malliavin意义上的可微性条件，这要求对金融市场有进一步的限制。第4.1节阐述了这一点。此外，本文的目的是指出函数It^o演算理论可以应用的一个应用领域。本文件的结构如下。第2节包含函数It^o演算相关部分的非技术性说明。第3节描述了金融市场。第4节介绍了最优投资问题和最优投资组合的显式公式。在第4.1节中，我们描述了与Malliavin演算方法相比，预发文件的方法在何种意义上不需要对金融市场施加限制。

在第4.2节中，我们通过研究两个著名的例子来说明最优组合的显式公式。备注1.1【6】研究了函数It^o演算鞅表示的显式近似计算方法。使用Malliavin演算方法对最优投资组合进行的数值研究见【8，24】。备注1.2【20】中的函数It^o公式用于研究最优投资问题，其中资产价格由特定的随机延迟微分方程建模。此外，问题的特殊结构意味着，可以使用函数It^of公式推导出仅依赖于有限个（四）状态变量的最优值函数的HJB方程，并证明了相应的验证定理。因此，该方法与本论文的方法有根本不同。2函数It^o演算中的鞅表示[10]中提出了函数It^o演算。例如，在[1、3、4、5、6]中，它发展成为一种相干理论。本节包含函数It^o演算相关部分的非技术性说明。综合考虑，请参考[1，5]。考虑c\'adl\'ag路径的空间Ohm = D（[0，T]，Rn），其中T<∞. 路径ω在固定t处的值由ω（t）表示，在t处停止的路径由ωt表示，即ωt（s）=ω（t∧ s） ，0≤ s≤ T设F:[0，T]×Ohm → R是非预期路径的函数，即F（t，ωt）=F（t，ω）。F的水平导数由df（t，ω）=limh0F（t+h，ωt）定义- F（t，ωt）h。垂直导数定义为ωF（t，ω）=(如果（t，ω），i=1。。。，n） ，其中如果（t，ω）=limh→0F（t，ωt+eih1[t，t]）- F（t，ωt）h。二阶垂直导数是通过垂直微分元素得到的，即：。

ωF（t，ω）=(j(如果（t，ω）），i，j=1。。。，n） 。备注2.1如果F（t，ω）=F（t，ω（t）），其中F（t，x）是一个有效可微分函数[0，t]×Rn→ R、 然后，水平导数和垂直导数约化为标准偏导数，即D F（t，ω）=f（t，ω（t））坦德iF（t，ω）=f（t，ω（t））xi从现在起，我们考虑一个随机基(Ohm, F、 P，F），其中F={Ft}0≤t型≤这是由n维维纳过程W生成的P-增强过滤。函数It^o演算的第一个主要结果是函数It^o公式，请参见。g、 【1，定理6.2.3】或【5，定理4.1】。它本质上可以描述为非预期泛函的标准It^o公式，其中偏导数被水平和垂直导数代替。functionat^o公式适用于满足某些条件的非预期泛函，这些条件主要涉及写为F的连续性和有界性∈ C1,2b，详见【1，Ch.5,6】。泛函It^o公式表明，如果Y是由Y（t）=F（t，Wt）P-a.s.给出的鞅，则对于某些F∈ C1,2b，则对于任何t，Y（t）=Y（0）+ZtωF（s，Ws）′dW（s）P-a.s。在这种特殊情况下，鞅Y相对于W的垂直导数定义为WY（t）=ωF（t，Wt）。现在让我们扩展垂直导数的定义怀俄明州。Le t L（W）是具有E[RTφ（s）′φ（s）ds]的渐进可测过程φ的空间<∞. 设M（W）是从零开始的平方可积鞅的s步。设C1,2b（W）是过程Y的空间，其中c可以表示为Y（t）=F（t，Wt）P-a.s，其中F∈ C1,2b。设D（W）=C1,2b（W）∩ M（W）。

结果是{WY | Y∈ D（W）}在L（W）中是稠密的，而D（W）在M（W）中是非对称的，参见[1，引理7.3.1]。此外，Y的垂直导数∈ 上文定义的D（W）是L（W）满足E[Y（T）Z（T）]=E“ZT中的唯一元素WY（t）\'WZ（t）dt#对于每个Z∈ D（W），见【1，命题7.3.2】。利用这些观测结果，可以表明垂直导数W： D（W）→ L（W）具有唯一的连续扩展名W： M（W）→ L（W）满意WZ·φ（s）′dW（s）= φ。Y规格∈ M（W）弱垂直导数WY是L（W）满足E[Y（T）Z（T）]=E“ZT中的唯一元素WY（t）\'WZ（t）dt#对于每个Z∈ D（W），见[1，定理7.3.3]。鞅表示如下，参见示例[1，定理7.3.4]。定理2.2设Y是平方可积鞅。那么，对于任何t，Y（t）=Y（0）+ZtWY（s）′dW（s）P-a.s。3金融市场本节介绍了一个标准的维纳驱动的连续时间金融市场，该市场无套利且完整。对于市场的更详细描述，我们参考[13]，对于无套利且完全的证明，请参考[13，第1章：定理4.2，定理6.6]。金融市场对应于随机基础(Ohm, F、 P，F）第2节定义。市场具有货币市场过程B定义B（t）=eRtr（s）ds，0≤ t型≤ T、 式中，r是渐进可测量的瞬时无风险利率过程满意度RT | r（T）| dt<∞ P-a.s.市场也被赋予了n只股票，每股价格过程Si，i=1。。。，n是连续的、严格正的且满足的ydsi（t）=Si（t）αi（t）dt+Si（t）nXd=1σiddW（d）（t），Si（0）>0，0≤ t型≤ T、 假设n维过程α是渐进可测的，且atrt |α（T）| dt<∞ P-a.s。

此外，n×n维矩阵值过程σ是渐进可测的，σ（t）对于所有t和所有ω都是非奇异的，pni=1Pnd=1RTσid（t）dt<∞ P-a.s.风险过程θ的市场价格定义为θ（t）=σ（t）-1（α（t）- r（t）1），0≤ t型≤ T、 似然过程Z由Z（T）=e定义-Rtθ（s）′dW（s）-Rt |θ（s）| ds，0≤ t型≤ T、 状态价格密度过程H由H（T）=B（T）定义-1Z（t），0≤ t型≤ T、 （1）假设3.1RT |θ（T）| dt<∞ 局部鞅Z是一个鞅。E[H（T）]<∞.定义3.2投资组合过程（π，π）由n维渐进可测过程π和一维渐进可测过程π组成，其中π（t）+π（t）′1 | r（t）| dt<∞,RT |π′t（α（t））-r（t）1）| dt<∞andRT |π（t）′σ（t）| dt<∞ P-a.s.相应的财富过程X给出了yx（t）=X+Zt（π（s）+π（s）′1）r（s）ds+Ztπ（t）′（α（s）- r（s）1）ds+Ztπ（s）′σ（s）dW（s），0≤ t型≤ T（2），其中xis是初始财富。如果X（t）=π（t）+π（t）′1，0，则投资组合过程称为自我融资≤ t型≤ T从现在起，与π相对应的自我融资投资组合由Xπ表示。请注意，向量π（t）对应于t时投资于每个股票的资本量，而B（t）对应于投资于货币市场的资本量。4任何固定初始财富x的最佳投资组合流程≥ 0，如果相应的财富过程是自我融资和满足Xπ（t），则称投资组合过程π是可接受的≥ 0, 0≤t型≤ T P-a.s.对于固定初始财富x>0，我们考虑最佳投资问题Pπ∈A（x）E[U（xπ（T））]，其中A（x）是满足条件E[min[U（xπ（T），0）]]>-∞ U是一个满足标准条件的效用函数，参见[13，Ch.3]。让我表示导数U′的（广义）逆，对于details-seeCh。3.4（同上）。我们需要以下假设和标准结果。

参见第3章定理7.6，以及定理3.5，推论6.5，Remark6.4和第102页（同上）。假设4.1 E（H（T）I（yH（T）））< ∞, y∈ （0，∞).定理4.2考虑初始财富x∈ （石灰）→∞E[H（T）I（yH（T））]，∞).最优财富过程X*然后是byX*（t） =EFtH（T）H（T）I（Y（x）H（T））, 0≤ t型≤ T、 （3）其中，Y（x）>0由[H（T）I（Y（x）H（T））]=x确定。我们现在准备给出本文的主要结果。定理4.3考虑初始财富x∈ （石灰）→∞E[H（T）I（yH（T））]，∞).最优投资组合过程π*由π给出*（t） =σ（t）\'-1.纬纱[H（T）I（Y（x）H（T））]+θ（T）EFt[H（T）I（Y（x）H（T））]H（T），（4）0≤ t型≤ T，其中W是关于W的垂直导数算子。备注4.4使用（3）和（4）可以看出最佳por tfolio过程也可以表示为π*（t） =σ（t）\'-1.H（t）-1.W[H（t）X*（t） ]+θ（t）X*（t）, 0≤ t型≤ T、 （5）证明。定义M byM（t）=H（t）X*（t） =EFt[H（t）I（Y（x）H（t））]]。（6） 使用假设4.1和Y（x）>0，我们得到[M（t）]=EhEFt[H（t）I（Y（x）H（t））]I≤ EEFt公司（H（T）I（Y（x）H（T）））= E（H（T）I（Y（x）H（T）））< ∞.因此，M是平方可积鞅。现在使用（1）、（2）、标准It^o公式、自身条件和θ的定义来获得dm（t）=H（t）dX*（t） +X个*（t） dH（t）+dX*（t） dH（t）=H（t）[X*（t） r（t）dt+π*（t） ′（α（t）- r（t）1）dt+π*（t） ′σ（t）dW（t）]+X*（t）[-r（t）H（t）dt- θ（t）′H（t）dW（t）]+π*（t） ′σ（t）(-θ（t）H（t））dt=H（t）π*（t） ′σ（t）dW（t）- 十、*（t） θ（t）′H（t）dW（t）。这意味着π*满足度，对于任何t，M（t）=M（0）+ZtH（s）（π*′（s） σ（s）- 十、*（s） θ（s）′dW（s）。由于M是一个平方可积函数，我们可以使用orem 2.2来获得任意t的表示M（t）=M（0）+ZtWM（s）′dW（s）P-a.s。因此π*可表示为WM（t）′=H（t）（π*′（t） σ（t）- 十、*（t） θ（t′）。因此π*（t） ′σ（t）=WM（t）′H（t）+X*（s） θ（t）′,这意味着π*（t） =σ（t）\'-1.WM（t）H（t）+X*（t） θ（t）.

（7） 替换X*（t） 用（3）的右侧替换（7），用（6）的右侧替换M（t）。结果如下。4.1与Malliavin微积分方法的比较根据Clark-Ocone定理，它认为如果F是一个n可积的可测随机变量，则在F的意义上是Malliavin可微的∈D1,1thenF=E[F]+ZTEFt[（DtF）′]dW（t），其中D是Malliavin导数算子。关于空间D1,1的定义和证明，请参考【13，附录E】和【12】。以Clark-Ocone定理为出发点【19】得出最优投资组合过程π的显式公式*基于Malliavin衍生品，与我们在本论文中研究的金融市场本质相同。自然，这一结果依赖于贴现的最优终端财富是完全马利雅文可微的这一要求。为了确保这一条件得到满足，需要对金融市场和效用函数进行进一步限制。例如，关于θ和r的Malliavin可微性的条件以及逆I的进一步条件是必要的，详情请参见【19，定理4.2】。相比之下，唯一的非标准条件是π的表达式*定理4.3所依赖的是假设4.1中的平方可积性，因为通常只假设可积性，参见[13，Ch.3.7]。4.2示例让我们通过研究两个著名的示例来说明定理4.3。4.2.1对数效用t U（x）=ln（x）表示x∈ （0，∞). 因此，I（y）=y的y∈ （0，∞). 使用类似于下面（8）中的计算，很容易看出假设4.1得到满足，并且Limi→∞E[H（T）I（yH（T））]=0。因此，对于任何初始财富x>0，我们可以重复使用定理4.2和定理4.3。我们直接得到EFt[H（T）I（Y（x）H（T））]=EFtH（T）Y（x）H（T）=Y（x）。

（8） 这意味着纬纱[H（T）I（Y（x）H（T））]=WY（x）= 0，（9）由于在这种情况下，垂直导数减少为标准导数，请参见备注2.1。利用（4）、（8）和（9）我们得到π*（t） =σ（t）\'-10+θ（t）Y（x）H（t）=（σ（t）σ（t）′）-1（α（t）- r（t）1）Y（x）H（t）。现在使用定理4.2和（8）来看看x=Y（x），这意味着最优投资组合可以表示为π*（t） =（σ（t）σ（t）′）-1（α（t）- r（t）1）xH（t）。为了完整性起见，我们使用定理4.2和上述公式来获得最优财富过程x*（t） =xH（t）。4.2.2具有确定性系数的电力设施设r、α和σ为时间的确定性函数，U（x）=xγγ∈ （0，∞)γ<1时，γ6=0。因此，I（y）=yγ-1对于y∈ （0，∞). 这意味着e[（H（T）I（yH（T））]）]=yγ-1EhH（T）H（T）γ-1i=yγ-1E[H（T）I（H（T））]。假设4.1意味着limy→∞E[H（T）I（yH（T））]=0。假设4.1的有效条件是θ和r有界。回想一下HX*给定byH（t）X*（t） =EFt[H（t）I（Y（x）H（t））]，是一个平方可积鞅。现在使用I（y）=yγ-1、（1）和（3）执行以下计算，其中（…）表示基于r，θ和γ，H（t）X的时间确定性函数*（t） =Y（x）γ-1EFthH（T）γγ-1i（10）=Y（x）γ-1英尺-RTγγ-1θ（s）′dW（s）+RT（…）dsi=Y（x）γ-1 RT（…）dsEFtheRT公司-γγ-1θ（s）′dW（s）i=Y（x）γ-1 RT（…）dseRt-γγ-1θ（s）′dW（s）EFtheRTt-γγ-1θ（s）′dW（s）i=Y（x）γ-1 RT（…）dseRt-γγ-1θ（s）′dW（s）eRTt |γθ（s）γ-1 | ds=Y（x）γ-1 RT（…）dseRt-γγ-1θ（s）′dW（s）eRT |γθ（s）γ-1 | ds-Rt |γθ（s）γ-1 | ds=Y（x）γ-1 RT（…）dseRt-γγ-1θ（s）′dW（s）e-Rt |γθ（s）γ-1 | ds。因此，HX*实际上是一个平方可积指数鞅。利用它^o\'s公式，我们得到了h（t）X*（t） =H（0）X*（0）+ZtH（s）X*（s）-γγ- 1θ（s）′dW（s）。根据定理2.2，这意味着HX的垂直竞争*关于W，可重新表示为W[H（t）X*（t） ]\'=H（t）X*（t）-γγ- 1θ（t）′。