非线性市场模型下衍生品的无套利定价

，以及相关的薪酬流程β，βndo不代表交易资产，尽管它们会影响投资组合价值的动态（见（2.4））。很明显，过程α和β可能取决于各自的调整过程。因此，当调整过程是Y而不是X时，应写出α（Y）和β（Y），以避免混淆。然而，为了简洁起见，当调整过程表示为X时，我们将保留简写的n旋转α和β。有关交易调整的进一步意见，请参阅第2.3节和第6节T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowski2.4。最后，但并非最不重要的一点是，我们需要确定交易对手信用风险导致的拟议现金流量的适当调整；参见定义2.8，其中引入了交易对手累计现金流的概念。从套期保值者或交易对手的角度来看，从本质上讲，给定合同的单边估价是在任何日期确定其公平价格范围的过程。尽管假设合同双方采用相同的估价范式，但由于现金流的不对称性、不同的交易成本以及可能的不同交易机会，他们通常会获得不同的双边合同各自的f-air单方价格范围。双方独立执行的单边估值差异是交易策略中财富动态非线性的结果，因此，即使在完全非线性市场的框架内，也会出现这种差异，其中交易对手可以实现合同的完美复制。

一个重要的问题是确定一般非线性f框架中的公平双边价格，这是留给未来的工作；有关特定非线性市场模型中双边定价的结果，请参见Nie和Rutkowski【40、41、43】。2.2自我融资交易策略投资组合的概念是指主要交易资产家族，即风险y资产、现金账户和风险资产的融资账户。形式上，通过时间间隔[t，t]上的投资组合，我们指的是一个任意R3d+2值的G适应过程（νtu）u∈[t，t]表示为Дt=ξ、 ，ξd；ψ0，l，ψ0，b，ψ1，l，ψ1，b，ψd，l，ψd，b, （2.1）如果组成部分代表风险资产头寸（Si，Di），i=1，2，d、 现金账户SB0，l，B0，b和资金账户Bi，l，Bi，b，i=1，2，d f或风险资产。它是通过ψj，lu假设的≥ 0，ψj，bu≤ 0和ψj，luψj，bu=0，对于所有j=0，1，d和u∈ [t，t]。如果借贷利率相等，那么我们写ψj=ψj，l+ψj，b。在整个过程中也假设ξ，ξdare G-可预测。我们认为，如果流程的至少一个组成部分被设定为满足某些明确规定的约束条件，则投资组合受到约束，这些约束条件直接影响到选择。例如，我们需要提出条件，确保每个风险资产的融资都是使用相应的融资账户进行的。当我们为所有u设置ψ0，bu=0时，得到了显式约束的另一个例子∈ [t，t]，意味着禁止从bis账户直接借入现金。关于具有各种投资组合约束的市场示例，我们参考了Carassus等人【14】、Fahim和Huang【28】、Karatzas和Kou【32，33】以及Pulido【48】及其参考文献。

受限投资组合的概念应与交易策略的可接受性概念进行对比，交易策略可能涉及对财富过程施加的一些附加条件，从而直接影响可接受过程的类别（见定义3.2）。请注意，投资组合约束不是选择的问题，因为它们是由于对交易者提出的真正的现实生活限制。这应该与交易策略的可接受性思想形成对比，交易策略是一种数学人工制品，需要排除不现实的套利机会（如加倍策略），当允许连续交易时，这种套利机会可能存在于随机模型中。在这方面，请注意，在现实假设下，只有有限的交易时间可供交易员使用，无需担心可采性。我们现在可以陈述一些支持我们进一步发展的标准技术假设。假设2.1。我们始终在以下长期假设下工作：非线性模型7（i）中的衍生品定价，每i=1，2，d、 第i项风险资产的价格是一个半鞅，累计股息流Di是一个有限变化过程，Di=0；（ii）现金和资金账户Bj，土地Bj，与Bj，l=Bj，b=1，j=0，1，…，有严格的正向和连续变化过程，d（iii）任何合同的累积现金流过程A是一个有限变化过程；（iv）调整过程Xk，k=1，2，n和辅助过程αk，k=1，2，nare半鞅；（v） 薪酬过程βk，k=1，2。

，n是一个连续的正变化过程，每k的βk=1。在下一个定义中，Gt可测量的随机变量XT表示t时套期保值者的禀赋∈ [0，T）Wher eas pt在本阶段是一个任意Gt可测量的随机变量，代表套期保值者看到的时间T时的价格Ct=（at，Xt）。回想一下，at表示时间T后发生的合同A的累计现金流，即Atu：=Au- Atfor所有u∈ [t，t]。因此，at可以被视为与原始合同a具有相同剩余现金流的合同，但at在时间t开始交易。同样，我们用XT表示与时间t的合同相关的调整过程。设C为预定的合同类别。正如预期的那样，自始至终都假设空合同N=（0，0）在任何时间t在任何市场模型中交易，即N∈ 每t的CTF∈ [0，T）（见假设3.1）。应注意的是，属于C类合同的价格Pt尚未确定，因此上述定义有一定的自由度。还应注意，我们使用的约定为：对于任何T≤ u、 定义2.2。

如果VPU（xt，pt，Дt，Ct）给出的投资组合值Vp（xt，pt，Дt，Ct），则四分位（xt，pt，Дt，Ct）是与合同C（A，X）相关的[t，t]上的自融资交易策略：=dXi=1ξiuSiu+dXj=0ψj，luBj，lu+ψj，buBj，bu（2.2）所有u∈ [t，t]Vpu（xt，pt，Дt，Ct）=xt+pt+Gu（xt，pt，Дt，Ct），（2.3），其中调整后的增益过程G（xt，pt，Дt，Ct）由Gu（xt，pt，Дt，Ct）给出：=dXi=1Zutξiv（dSiv+dDiv）+dXj=0Zutψj，lvdBj，lv+ψj，bvdBj，bv+nXk=1αkuXku-nXk=1ZutXkv（βkv）-1dβkv+Atu。（2.4）对于给定的一对（xt，pt），我们用Φt，xt（pt，Ct）表示与合同C相关的所有自我融资交易策略的集合。在研究固定t的合同CTL的估值时，我们通常会假设给定了套期保值者的禀赋xt，我们会搜索套期保值者的公平价格范围PTCT。因此，当在时间t处理具有固定初始捐赠的套期保值者时，我们将考虑以下一组自我融资交易策略Φt，xt（C）=∪C∈C∪pt公司∈GtΦt，xt（pt，Ct）。然而，请注意，市场模型的定义并不假定数量X是重新确定的。8 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.RutkowskiDe定义2.3。市场模型为五元组M=（S、D、B、C、Φ（C）），其中Φ（C）代表与C类合同相关的所有自融资交易策略，即Φ（C）=∪t型∈[0，T）∪xt公司∈GtΦt，xt（C）。原则上，上述市场模型表现出非线性特征，即投资组合价值过程Vp（xt、pt、Дt、Ct）在（xt、pt、Дt、Ct）中不是线性的，或者所有自我融资策略的类别不是向量空间（或者，特别是两者都不是）。因此，我们将此设置称为通用非线性市场模型。

相反，通过线性市场模型，我们将在本文中理解上述模型的版本，其中所有交易调整均为零（即，所有k=1，2，…，n的Xk=0），没有不同的融资利率（即Bj，b=Bj，lforall j=0，1，…，d），并且没有施加投资组合约束。特别是，在线性市场模型中，所有自我融资交易策略的类别是一个向量空间，价值过程vp（xt，pt，Дt，Ct）是（xt，pt，Дt，Ct）中的线性映射。然而，请注意，当对交易策略类别施加可容许性条件时，最后一个属性通常会丢失，因为通常情况下，如果交易策略的贴现财富有界于下方或非负（因此可容许交易策略类别不再是向量空间），则交易策略被视为可容许的。为了简化表示法，当在间隔[0，T]上工作时，我们将经常写入（x，p，Д，C），而不是（x，p，Д，C）。请注意，（2.2）–（2.4）对于任何交易策略（x、p、Д、C）产生以下等式∈ Φ0，x（C）Vp（x，p，Д，C）=dXi=1ξiSi+dXj=0ψj，lBj，l+ψj，bBj，b= x+p+nXk=1αkXk。（2.5）回顾一下，在无摩擦市场的经典案例中，通常会假设交易者的初始禀赋为空。此外，衍生品的价格对收益过程的动态性没有影响。相反，当投资组合的价值由非线性动力学驱动时，时间0的初始捐赠x、初始价格p和合同的调整现金流可能会影响收益过程的动力学，因此经典方法不再有效。2.3资金调整资金调整的概念是指固定利率与某一基准现金利率的利差。在目前的设置中，可以相对于Blor Bb进行定义。

如果借贷利率不相等，则（2.3）可写成如下Vpt（x，p，Д，C）=x+p+dXi=1Ztξiu（dSiu+dDiu）+nXk=1αktXkt+At+dXj=0Ztψj，ludB0，lu+ψj，budB0，bu-nXk=1Zt（Xku）+（B0，lu）-1dB0，lu- （Xku）-（B0，bu）-1dB0，bu+dXi=1Ztψi，lu（bBi，lu- 1） dB0，lu+B0，LUBBI，lu+ ψi，bu（bBi，bu- 1） dB0，bu+B0，BUBBI，bu-nXk=1Zt（Xku）+（bβk，lu）-1dbβk，lu- （Xku）-（bβk，bu）-1dbβk，bu非线性模型9中的衍生品定价，其中BBJ，l/b：=Bj，l/b（B0，l/b）-1和bβk，l/b：=βk（B0，l/b）-1、数量γt：=dXi=1Ztψi，lu（bBi，lu- 1） dB0，lu+B0，LUBBI，lu+ ψi，bu（bBi，bu- 1） dB0，bu+B0，BUBBI，bu-nXk=1Zt（Xku）+（bβk，lu）-1dbβk，lu- （Xku）-（bβk，bu）-1dbβk，bu被称为资金调整。如果借贷利率相等，则资金调整的表达式简化为γt=dXi=1Ztψiu（bBiu- 1） dBu+BudbBiu-nXk=1ZtXku（bβku）-1dbβku。当现金账户Bi用于为调整过程提供资金和报酬时，即当Bi=B或i=1，2，d和βk=b对于k=1，2，n、 然后，正如预期的那样，资金调整消失了。2.4交易调整的财务解释在本研究中，我们将重点关注Vp动态中出现的术语（x，Д，A，x），这些术语对应于交易调整过程x。定义2.4。随机过程 =Pnk=1k、 其中k=1，2，nkt：=αktXkt-ZtXku（βku）-1dβku（2.6）称为现金调整。一般而言，现金调整期限的财务解释kis如下：术语αktXkt表示第k次调整的一部分，当αktXkt>0时，套期保值者可以将其用于交易目的，或者当αktXkt<0时，必须将其作为抵押品抵押给对手或作为监管资本持有在单独账户中。

正式地说，q数量-Xkt（βkt）-1可以视为套期保值者在时间t应持有的薪酬流程βk的“股份”数量，以支付与调整流程相关的利息xk。因此，积分rTxku（βku）-1dβKure表示由于存在第k次交易调整，套期保值者支付或收到的累计利息。让我们举例说明（2.6）中给出的现金调整的几种替代解释。we此后写入bxk=（βk）-1Xk.o让我们首先假设αkt=1，对于所有t项Xkt-RtbXkudβku表示现金调整kis受调整过程的现值Xkt和整数Bxkudβku给出的调整资金成本的影响。例如，当XKRE提供资本押记或再抵押抵押品时，就会出现这种情况。分部积分公式给出kt=Xkt-ZtbXkudβku=Xk+ZtβkudbXku，（2.7），其中积分βkudbXku具有以下财务解释：bxku是资金账户βku中需要为调整10 T.R.Bielecki，I.Cialenco和M.Rutkowski过程的金额xku提供资金的单位数。因此，dbxku是该数字的微小变化，而βkudbxku是该变化的成本，必须通过交易策略价值的变化来吸收。观察到βkudbXkumay一词可能为负值，这意味着正在发生现金减免情况在所有t的αkt=1和βkt=1的特殊情况下，我们得到kt=xkt对于所有t.我们在这里进行现金调整Xkon，因为显式的tbxkudβku=0，所以没有报酬。

例如，如果银行不使用任何外部资金为此次调整提供资金，而是依赖其自身的现金储备，则可能会出现这种情况。假设现金储备处于闲置状态，既不产生利息，也不需要支付利息现在我们假设所有t的αkt=0kt=-RtbXkudβku表明调整xkd的现金价值对投资组合价值没有贡献。只有由integralRtbXkudβku提供的调整过程Xk的报酬才有助于投资组合的价值。例如，当调整流程表示交易对手过账并保存在独立账户中的抵押品时，就会发生这种情况。上述考虑导致了以下引理，当αkis等于1或0时，它为现金调整过程提供了一个方便的表示。在大多数实际情况下，也可以使用Lemma2.5和适当的调整过程重新定义来处理一般情况。引理2.5。设非负整数n，n，nbe，使n+n+n=n。如果αk=1 f功=1，2，n+n，βk=1 f或k=n，n+1，n+与αk=0 f或k=n+n，n+n+1，n+n+n，然后是现金调整过程 所有人的满意度∈ [0，T]，t=nXk=1Xk+nXk=1ZtβkudbXku+n+nXk=n+1Xkt-n+n+nXk=n+n+1ZtbXkudβku。（2.8）2.5财富过程（x、p、Д、C）是一种任意的自我融资交易策略。然后，以下自然问题出现了：在时间t，比如说Vt（x，p，ν，C），套期保值者的财富是多少？很明显，如果套期保值者的原始收入等于x，那么当他在0时以p的价格出售合同C时，他的初始财富等于x+p。

相比之下，套期保值者投资组合的初始值，即他在时间0时在其交易资产组合中投资的现金总量，由（2.5）得出，这意味着在时间0时的交易调整需要计入初始投资组合的价值。然而，根据交易调整的财务解释，它们与套期保值者的初始财富没有关系，因此与套期保值者的初始财富和初始投资组合的价值之间的关系ReadSv（x，p，Д，C）=Vp（x，p，Д，C）-nXk=1αkXk。类似的参数可以在t的任何时候使用∈ [0，T]，因为套期保值者在T时的财富应代表其交易资产组合的价值减去所有交易调整的价值（见（2.10））。因此，我们需要关注每个调整过程X，…，的实际所有权（与法律所有权相反），当然，前提是它们不会在时间t消失。虽然这条一般规则形式化很麻烦，但当应用于手头的特定合同时，它不会带来任何困难。例如，在再抵押现金抵押品的情况下（参见第2.7.1节），套期保值者在时间t的收益率应通过从非线性模型11value中组合的定价中减去抵押品金额Ct来计算。这与套期保值者或交易对手在时间t时所交付现金金额d的实际所有权相一致。例如，如果C+t>0，则金额C+t时间t的法定所有人可以是持有人或交易对手（取决于抵押品协议的法律约定），但套期保值者作为抵押品接受者，被允许将抵押品金额用于其交易目的。如果在T之前没有违约，抵押品接受者将抵押品金额退还给抵押品提供者。