非线性市场模型下衍生品的无套利定价

下一步建议显示，我们可以将交易对手风险合同解释为基本合同A，该合同由抵押品调整过程X=（X，X）=（C+）补充，-C-) 以及现金流量账户。鉴于这一结果，交易对手风险合同（A, X）允许以下形式分解（A）, X）=（A，X）+（ACCR，0）和（A, X）=（A，0）+（ACCR，X）。提案2.11。平等At=所有t的At+actrholds∈ [0，T]。证据我们首先注意到k=Cτ+1{τC<τh}（RcΥ）+- Υ-) + 1{τh<τc}（Υ+- RhΥ-) + 1{τh=τc}（RcΥ）+- RhΥ-)= Cτ- 1{τc≤τh}（1- Rc）Υ++1{τh≤τc}（1- Rh）Υ-+ Υ=Qτ+Aτ- 1{τc≤τh}（1- Rc）Υ++1{τh≤τc}（1- Rh）Υ-,我们在上一个等式中使用了（2.23）。因此，从（2.25）我们得到t=1{t<τ}At+1{t≥τ} （Aτ-+ K） =1{t<τ}At+1{t≥τ} （Aτ- Aτ+K）=At∧τ+1{t≥τ} （K）- Aτ）=At+（At∧τ- At）+1{t≥τ} （K）- Aτ）=At+1{t≥τ}Aτ- At+Qτ- 1{τc≤τh}（1- Rc）Υ++1{τh≤τc}（1- Rh）Υ-,从定义2.10来看，这是理想的平等。命题2.11表明，交易对手风险合同的现金流可以正式分解为交易对手无风险部分（A，X）=（A，X）和CCR部分（A，X）=（ACCR，0）。合同现金流的这种加性分解可用于交易对手风险y合同的定价。例如，可以尝试计算合同价格（A, X）使用以下暂定分解价格（A, X）=价格（A，X）+价格（ACCR，0）=交易对手无风险价格+CCR价格。正如我们在第6节中所述，由于通过求解非线性BSDE获得的X股息价格的可预测性通常无法维持，因此该程序不太可能在非线性框架下对合同方风险y合同进行整体无套利估值。18 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M。

Rutkowski2.9本地和全球估值问题在我们的框架中由流程X表示的市场调整实际上可能取决于现金流流程A和交易策略Д。同样，交易策略通常取决于交易调整。因此，在我们的交易领域中，Д和X之间的反馈效应可能存在，当然，这一特征应该适当地考虑无效和对冲。此外，重要的是要区分上述依赖性仅取决于对冲组合当前构成和/或财富过程当前水平的情况，以及这种依赖性延伸到对冲策略历史的情况。如果合同（a，X）、现金和资金账户以及风险资产的价格不取决于套期保值者交易策略ν和财富过程V（Д）的严格历史记录（即，历史记录不包括利息过程的当前价值），那么我们认为估值问题是局部的；否则，它被称为全球估值问题。鉴于（2.11），局部和全局估值问题之间的区别可以形式化如下。定义2.12。对于某些G-逐步测量映射vk，wk，如果Xkt=vk（t，Vt（Д），Дt）和dβkt=wk（t，Vt（Д），Дt）dt，则认为估值问题是局部的：Ohm ×[0，T]×R3（d+1）→ R对于每k=1，2，n、 如果某些G-n on预期函数的Xkt=(R)vk（t，V·（Д），Д·）和dβkt=(R)wk（t，V·（Д），Д·）dt，则估值问题是全球性的：Ohm×[0，T]×D（[0，T]，R3（D+1））→ R对于每k=1，2。

，n其中，D（[0，T]，R3（D+1））是[0，T]上的R3（D+1）值、G-适应、c\'adl\'agprocesses的空间。正如人们可能猜测的那样，这两个估值问题的解决方案在时间0时总是一致的，但总的来说，它们在时间t的任何时候都可能有非常不同的性质∈ （0，T）。特别是，它们通常对应于不同类别的BSDE：局部问题对应于经典BSDE，而全局问题可以通过广义BSDE来处理，这是Cheridito和Nam在最近的工作中介绍的（另见Zheng和Zong[51]）。必须强调的是，局部问题和全局问题之间的区别与路径无关或有权益的概念或主要风险集基础模型的马尔可夫性无关。这只是由于套期保值者的交易决策与市场条件（包括手头合同的特定调整）之间的上述（本地或全球）反馈效应。示例2.13。作为全球估值问题的一个程式化示例，让我们考虑一个为期两个月的合同（为了具体起见，假设它是期限分别为一个月和两个月的股票看跌期权和看涨期权的简单组合）。套期保值者的借款利率设定为每年5%，如果套期保值者在第一个月内借入任何现金，则一个月后将上升至6%，如果套期保值者在第一个月内没有借入现金，则利率将保持在5%。类似地，贷款利率最初为每年3%，如果套期保值者在第一个月内借入任何现金，则会下降到2%。很明显，估值问题是全球性的，因为它在[t，t]上的解决方案将取决于严格的交易历史。

相反，如果交易模式可能有不同但固定的借贷利率，那么任何合同的估值问题都将是局部的，当然，从上面介绍的意义上来说，除非其他一些交易调整将取决于严格的交易历史。例如，如果唯一的调整是由套期保值者的估值确定的可变保证金账户，并且报酬率不变，那么h edger的估值问题是局部的。请注意，即使s股票价格受马尔可夫动力学（Markovian dynamics）现实世界概率度量的控制，且合同研究是标准看涨期权或看跌期权（或任何其他路径独立的或有权益），上述估值问题也具有内在的全局性。非线性模型中的衍生品定价19第6节介绍了本地和全球估值问题的更一般实例，其中我们研究了非线性市场的BSDE方法。让我们提到，现有文献中研究的大多数估价问题都是局部的，因此可以使用经典BSDE的现有结果来解决这些问题。相比之下，全球估值问题更难分析，因为它们需要使用新类别的BSDE（见[16，51]和其中的参考文献）。3非线性市场的无套利特性分析交易策略的自我融资特性时，应辅之以对所采用市场模型的某种无套利特性的研究。由于具有不同融资利率的市场模型的非线性，即使没有考虑额外的投资组合约束或交易调整，如何正确定义无套利性质已经是一个重要问题。尽管如此，我们仍将认为，可以使用与交易相关的套利机会的一些合理的一般定义来有效地处理这一问题。

让我们强调一下，我们在这里只研究套利机会经典概念的线性扩展，因此是无套利的最简单定义，有时缩写为NA（参见Fontana定义2.2第（iv）部分[29]），而不是更复杂的概念，例如：NFLVR（无风险的免费午餐），NUPBR（无无无界利润和有界风险，也称为第一类无套利，即NA1）或NIP（无增长利润）。引入更具历史意义的无套利条件是为了建立资产定价基本理论（FTAP）的合适版本，该理论表明了一种特殊形式的无套利与原始资产贴现价格存在某种“鞅测度”之间的等价性。由于一般非线性市场模型的复杂性，当在一般非线性框架内工作时，支持线性设置中FTAP的鞅技术不太可能也有用（但是，请参见Pulido[48]，他为一个非常特殊的、因此易于处理的、有卖空禁令的非线性市场建立了FTAP）。在本文中，我们仅在非线性框架中提出了无套利的替代定义，并给出了一般非线性市场模型无套利性质的充分条件。3.1无套利定价原则让我们首先非常简洁地描述金融衍生品的经典估值范式。因此，无套利定价的一般方法至少隐含地取决于以下论点：步骤（L.1）。

首先检查具有预先确定的交易规则和主要交易资产的市场模型是否是无套利的，其中套利机会的定义是真实世界中风险可预测交易机会概念的数学形式化。事实上，根据手头的框架，我们研究了“无套利”的几种替代定义（有关概述，请参见Fontana[29]）。步骤（L.2）。对于价格尚未确定的金融衍生工具，可以提出aprice（不一定是唯一的），并检查扩展模型（即假设金融衍生工具为额外交易资产的模型）是否保留步骤（L.1）中精确定义的无套利属性。上述估值程序可称为无套利定价范式。在任何线性市场模型中（见定义2.3后的注释），可以证明应用程序给出的唯一价格（或在不完全市场情况下使用super20 T.r.Bielecki，I.Cialenco和M.Rutkowski对冲策略获得的无套利价格范围）与无套利价格Paradigm（L.1）–（L.2）一致，虽然要在连续时间框架内建立这一属性，还需要引入交易策略的可接受性概念。特别是，线性BSDE的strictcomparison特性可以用来表明复制（或超边缘）确实会产生与无套利定价范式一致的衍生产品价格。或者，可以使用资产定价基本定理的合理版本来证明通过可接受的交易策略确定的贴现价格是σ-鞅（因此，实际上是超鞅），在等效的局部鞅测度下。

后者是众所周知的随机积分的基本特征，因此它涵盖了所有线性市场模型。显然，我们对线性无套利定价理论的非常简短的总结是非常特别的，我们承认，它应该由对交易资产价格的适当假设和无套利的具体定义来补充。关于线性市场模型无套利性的经典结果调查，我们参考了Delbaen和Schachermayer的Monograph【23】（参见Karatzas和Kardaras【31】、Kardaras【34】、Takaoka和Schweizer【50】的论文了解更多最新发展）。现在让我们来评论一下现有的衍生品非线性估值方法，正如El Karoui和Quenez【27】和El Karoui et al【26】首先提出的，后来几个研究者将其应用于特定的金融模型或合同类别（例如，见Bichuch et al【4】、Brigo and Pallavicini【11】、Cr'epey【17、18】、Dumitrescu et al【24】、Mercurio【39】或Pallavicini et al【44、45】）。非线性框架中解决估值问题的最常见方法似乎至少隐含地取决于以下步骤，在这些步骤中，通常假设套期保值者的原始禀赋是不重要的，因此可以将其设置为零。事实上，步骤（N.1）在上述一些作品中明确阐述了ly，而在现有文献中的大多数论文中，作者只关心找到复制或超边缘策略的问题，如步骤（N.2）所述。此外，据我们所知，到目前为止，步骤（N.3）中强调的重要信息一直被完全忽视，因为显然，根据合适的BSDE解决方案，复制成本是合同的公平价格，这是理所当然的。步骤（N.1）。

与财富动态相关的BSDE的严格比较论证表明，不能用零初始财富和终端财富构建一个可接受的交易策略，该策略几乎肯定是非负的，并且具有正可能性（因此经典的n-o-套利性质成立）。步骤（N.2）。欧洲未定权益的价格是使用复制成本或超边际的最低成本确定的。财富过程的严格比较性质的一个合适版本可以用来表明，对于一些非线性市场模型，对于任何可复制的欧洲主张，这两种定价接近相同的值。步骤（N.3）。仍需检查复制成本给出的暂定价格或选择低于超边缘最小成本给出的上限的暂定价格是否符合扩展市场的某种形式的无套利性质。我们将讨论扩展非线性市场模型是否保持无套利性质的问题（当然，根据无套利的每个特定定义，解决无套利的难度要比线性框架下的难度大得多。直觉上，这是因为衍生品交易可能会从本质上改变原始非线性市场的固有关系，而FTAP的某些版本可用于在线性框架下对同一问题给出积极的答案。

我们在非线性框架中提出了部分解决方案，将第4.2条引入常规市场模型的概念（见定义4.9和4.14），并建立了常规模型中公平定价的一些结果（见命题4.11和4.15）。非线性模型中的衍生品定价213.2贴现财富和可接受策略为了解决无套利问题，我们需要引入贴现财富过程，并适当定义交易策略的可接受性概念。对于任何x∈ R、 我们用b（x）表示严格正过程，对于所有t∈ [0，T]，Bt（x）：=1{x≥0}B0，lt+1{x<0}B0，bt.（3.1）注意，如果B0，l=B0，b，那么b（x）=b=b。此外，如果x=0，那么xB0，bt=xB0，lt=0，对于所有t∈ [0，T]因此，在（3.1）的右侧选择B0，lor B0，bin实际上是无关紧要的。很自然地，假设初始禀赋x≥ 0（分别为x<0）具有时间t的未来值xB0，lt（分别为xB0，bt∈ [0，T]当投资于现金账户B0，l（分别为B0，b）时。因此，我们在以下假设下工作。假设3.1。我们假设：（i）对于任何初始捐赠x∈ 套期保值者的R，空合同N=（0，0）属于C，（ii）对于任何x∈ R、 交易策略（x，0，bД，N），其中bД的所有成分都消失，除了ψ0，l，如果x≥ 0，或ψ0，b，如果x<0，则属于Φ0，x（C），对于所有t∈ [0，T]。乍一看，假设3.1可能看起来微不足道，甚至是多余的，但它应该被提出，并且它将有助于推导公平价格的基本属性。条件（i）是一个非常明显的正式要求。

然而，请注意，条件（ii）不能直接从自我融资条件中推断出来，因为它取决于额外的假设，即当初始捐赠投资于现金账户时，不存在交易调整（如：税收、交易成本、保证金账户等）。需要说明的是，在任何日期，无效合同的公平价格为零∈ [0，T]。此外，条件（ii）中引入的交易策略将作为评估套期保值者产生的损益的自然基准。假设3.1对我们研究[t，t]上交易策略的情况的自然延伸也是隐含假设，而无需明确说明。在下一个必要步骤中，我们遵循标准方法，引入贴现财富的可容许性概念。为此，对于任何固定的∈ [0，T），我们考虑一个Edger，他在时间T开始以初始捐赠X进行交易，并使用自筹交易策略（xt，pt，ДT，Ct），其中价格∈ 时间t时合同CTI交易的GT是任意的。我们还考虑了严格的正向贴现过程Bt（xt），这是为ALU定义的∈ [t，t]byBtu（xt）：=1{xt≥0}B0，lu（B0，lt）-1+1{xt<0}B0，bu（B0，bt）-1，（3.2），尤其是Btt（xt）=1。然后将财富过程折现为时间满意度，对于所有u∈ [t，t]，eVu（xt，pt，Дt，Ct）：=（Btu（xt））-1Vu（xt，pt，Дt，Ct）（3.3），我们有以下关于[t，t]交易策略可接受性的自然概念。定义3.2。对于任何固定的t∈ [0，T），我们说一种交易策略（xt，pt，ДT，Ct）∈ 如果贴现的财富值（xt，pt，Дt，Ct）从下方以常数为界，则Φt，xt（C）是允许的。