非线性市场模型下衍生品的无套利定价

回想一下，第节中定义的套利机会与交易模型的属性相关，但它们并不取决于交易成本的价格水平。定义4.1。A交易策略（xt、pt、Дt、Ct）∈ ψt，xt（C）是套期保值者在[t，t]上的定价套利机会，与在ptat时间t交易的合同CTIFP（或者，简而言之，二级套利机会）相关eVT（xt、pt、Дt、Ct）≥ xt公司= 1（4.1）和PeVT（xt、pt、Дt、Ct）>xt> 0。（4.2）很明显（xt、pt、Дt、Ct）∈ ψt，xt（C）不是套期保值者在[t，t]上的定价套利机会eVT（xt，pt，Дt，Ct）=xt= 1（4.3）orPeVT（xt，pt，Дt，Ct）<xt> 0.（4.4）我们将把条件（4.4）作为套期保值者的损失条件。定义4.2。我们认为，pft=pft（xt，Ct）是CTI在时间t的f空中套期保值者价格，如果没有套期保值者的二级套利机会（xt，pft，Дt，Ct）∈ ψt，xt（C）。公平套期保值者的价格，即每种交易策略（xt、pft、Дt、Ct）的损失情况∈ ψt，xt（C）称为aloss发电成本。28 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowski从定义4.1和4.2中可以清楚地看出，如果PFT是一个公平的价格，那么任何交易策略（xt、pt、ДT、Ct）∈ ψt，xt（C）必须满足条件（4.3）或条件（4.4）。显然，一个公平套期保值者的价格取决于给定的禀赋xt和合约CTA，因此旋转pft（xt，Ct）是合适的，但在不存在冲突风险的情况下，通常会简化为pft。公平的价格会阻止套期保值者以正概率确定收益，并且不存在弥补损失的风险。相比之下，一般来说，它不能防止套期保值者亏损。因此，寻求公平价格的最高水平是很自然的。

这一想法促使对套期保值者公允价格的上界f进行以下定义SPFT（xt，Ct）=ess sup Hft（xt，Ct），其中Hft（xt，Ct）：=pft公司∈ Gt | pftis是Ct的公平对冲价格. （4.5）我们发现，研究损失产生成本的上限也很有用，它由PLT（xt，Ct）=ess sup Hlt（xt，Ct）给出，其中Hlt（xt，Ct）：=plt公司∈ Gt | pltis是Ct的损失产生成本. （4.6）定义4.3。交易策略（xt、pst、Дt、Ct）∈ ψt，xt（C）被称为合同Ctif（4.1）的超边缘策略，而严格的超边缘意味着（4.1）和（4.2）是令人满意的。如果pst=pst（xt，Ct），则存在超边缘策略（分别是严格的超边缘策略）（xt，pst，Дt，Ct）∈ ψt，xt（C），则称为Ct时间t的超边缘成本（分别为严格的超边缘成本）。超磨边成本的下限由pst（xt，Ct）=ess inf Hst（xt，Ct）给出，其中Hst（xt，Ct）：=太平洋标准时间∈ Gt | PST是Ct的超边际成本（4.7）且严格超边缘成本的下界等于pat（xt，Ct）=ess inf Hat（xt，Ct），其中Hat（xt，Ct）：=拍打∈ Gt |对于Ct来说，这是一个严格的超边缘成本. （4.8）从定义4.2和4.3可以看出，Hlt（xt，Ct） Hft（xt，Ct）和Hat（xt，Ct）Hst（xt，Ct）。此外，集合Hft（xt，Ct）是Hat（xt，Ct）的补码，而s et Hlt（xt，Ct）是Hst（xt，Ct）的补码，因此，显然，我们有h at Hft（xt，Ct）∩ Hat（xt，Ct）= andHlt（xt，Ct）∩ Hst（xt，Ct）=. 因此，很容易看到PL（x，C）≤ pf（x，C），ps（x，C）≤ pa（x，C），（4.9），其中，原则上，ps（x，C）=-∞ orpf（x，C）=∞.下一个假设看起来很自然，但它不一定被每个非线性市场模型所满足，因此应该逐个检查。假设4.4。

对于每个C∈ C和t∈ [0，T），所有xt，pt，qt∈ Gt和每个交易策略（xt、pt、Дt、Ct）∈ ψt，xt（C），如果qt≥ pton某些事件D∈ 如果P（D）>0，则存在交易策略（xt，qt，ψt，Ct）∈ ψt，xt（C），使得不等式VT（xt，qt，ψt，Ct）≥VT（xt、pt、Дt、Ct）持有D。有人可能会认为，如果h edger可以以更高的价格签订合同，那么他可以将现金差额投资于qt- 在银行账户中存入pt，直到合同到期，并根据pt对应的交易策略进行交易，从而产生更高的最终财富。然而，这不一定是可能的，因为在将来的某个时候，^1可能会要求在非线性模型29中从银行账户借入衍生工具定价，而我们假设在我们的模型中禁止同时借入和借入现金。一般来说，高价出售意味着套期保值者从不同的初始资本开始，这可能会显著改变交易策略。从形式上讲，两种自我融资策略的简单组合通常不再是自我融资策略。此外，如果我们考虑到投资级资产（可能还包括银行账户）的有限供应，那么任何策略都需要满足适当的投资组合约束，这可能意味着套期保值者收到的额外现金金额将必然用于购买实质性资产敞口高得多的资产。综上所述，由于存在投资组合约束和交易调整，终端财富相对于价格PTI的单调性决不是简单的。大多数致力于衍生品非线性估值的现有论文都没有明确说明假设4.4。

然而，请注意，如果财富过程恰好由一些简单动力学控制，没有投资组合约束或交易调整，则无需假设该属性成立，因为它可以从适用于常微分方程的比较定理中推导出来。对于满足假设4.4的模型的一个特定示例，请参见Dumitrescu等人[24]论文中的Lemma 6.2，他假设财富过程满足DVT=-g（t，Vt，Zt）dt+ZtdWt+ZtdMt，其中W是维纳过程，M是违约指示过程的补偿鞅。Let us强调，如果假设4.4的有效性没有得到保证，那么人们可能只会期望（4.9）中给出的不等式得到满足。相反，如果假设4.4得到满足，那么人们就会获得更多的信息条件（4.10）。在假设4.4下，很容易看出，如果PFT是Ct在时间t的公平套期保值价格（分别是损失产生成本），那么任何pt∈ 这样的话≤ pftis也是该合同时间t的公平套期保值价格（分别为发电成本）。类似地，如果在以pst价格签订CTI时存在超边际（严格超边际）策略，那么对于任何满足PTT的pt，也存在s超对冲（严格超边际）策略≥ 太平洋标准时间。在此之前，如果我们假设满足假设4.4，那么我们会得到以下结果，其中我们将重点放在t=0的情况下，但很容易检查类似属性是否适用于任何t∈ （0，T）以及。引理4.5。让假设4.4得到满足。

那么对于每份合同C∈ C使得pa（x，C）>-∞ andpf（x，C）<∞, 我们得到以下区间：（i）区间Il（x，C）：=(-∞,（ii）区间Ir（x，C）：=（pl（x，C），pa（x，C））=（ps（x，C），pf（x，C）），其中对于每一个p∈ Ir（x，C）存在交易策略y（x，p，Д，C）∈ ψt，x（C），使得P（eVT（x，P，Д，C）=x）=1，（iii）间隔Ia（x，C）：=（pa（x，C）+∞) 特别是区间Ir（x，C）可能为空。因此，pl（x，C）=ps（x，C）≤pf（x，C）=pa（x，C）。（4.10）证明。根据Assum ption4.4，如果p∈ Hl（x，C）（分别为p∈ Hf（x，C））和q<p，然后q∈ Hl（x，C）（分别为q∈ Hf（x，C））。此外，如果p∈ Hs（x，C）（分别为p∈ Hs（x，C）），q>p，然后q∈ Hs（x，C）（分别为q∈ Ha（x，C））。特别是使用，现在很容易看到断言的属性是有效的。30 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowski观察到，对于引理4.5中介绍的三个区间的终点，一般来说没有什么特别的说法。显然，我们有（a）Ir（x，C）= 等式PL（x，C）=pf（x，C）=ps（x，C）=pa（x，C）保持或（b）Ir（x，C）6= 因此ps（x，C）<pf（x，C）。人们还可以考虑以下假设4.4的更强版本，在这种情况下（b）不会发生，因为假定终端财富相对于价格pt的严格单调性。假设4.6。

对于每个C∈ C和t∈ [0，T），所有xt，pt，qt∈ Gt和每个交易策略（xt、pt、Дt、Ct）∈ ψt，xt（C），如果qt>pton某个事件D∈ 如果P（D）>0，则存在交易策略（xt，qt，ψt，Ct）∈ ψt，xt（C），使得不等式VT（xt，qt，ψt，Ct）≥VT（xt，pt，νt，Ct）和VT（xt，qt，ψt，Ct）6=VT（xt，pt，νt，Ct）在D上有效。很明显，在假设4.6下，等式ps（x，C）=pa（x，C）成立，因此，根据惯例，如果inf = ∞ 和sup = -∞.引理4.7。如果满足假设4.6，则对于任何合同C∈ 我们得到了pl（x，C）=pf（x，C）=ps（x，C）=pa（x，C）。（4.11）4.1复制[0，T]和获得的价值不可否认，评估衍生产品最常用的技术取决于复制的概念。在目前的fr amework中，它是由以下定义给出的，其中我们考虑在时间0时初始捐赠x的套期保值者，其中prs代表任意实数。定义4.8。A交易策略（x、pr、Д、C）∈ 当VT（x，pr，Д，C）=xBT（x）或等效的eVT（x，pr，Д，C）=x时，ψ0，x（C）被称为在[0，T]上复制合同C。然后，实数pr=pr（x，C）被称为在时间0和过程pg（x，C）给定的对冲成本pg（x，C）：=VT（x，pr（x，C），Д，C）- xBt（x）（4.12）被称为与复制策略相关的套期保值者获得的价值（x，pr，Д，C）。请注意，当V（x，pr（x，C），Д，C）=x+pr（x，C）时，等式pg（x，C）=pr（x，C）始终满足。对给定合同的套期保值者复制成本pr（x，C）的财务解释C∈ C相当简单。

它代表套期保值者初始捐赠x的增加或减少，而ich需要实施交易策略，确保套期保值者在时间T的财富在合同最终支付结算后，与现金账户中投资的原始初始捐赠x在时间T的价值完全匹配。正如预期的那样，对于空合同N=（0，0），自我融资策略（x，0，Д，N），其中投资组合Д取决于将所有资金保存在银行账户B（x）中，是一种适用于N的策略，以便获得的价值满足所有t的pgt（x，N）=0∈ [0，T]。第3.2节假设交易策略（x，0，ν，N）是自我融资的，但显然，这一假设需要针对研究中的每个特定市场模型进行验证。还要注意的是，复制成本pr（x，C）的唯一性并没有得到保证，事实上，没有理由期望它在满足定义3.4或定义3.10的每一个市场模型中都会始终存在（反例请参见命题4.12）。让我们谈谈复制成本。假设首先满足假设4.4。让我们假设引理4.5第（ii）部分中引入的区间Ir（x，C）是非空的。我们已经知道任何数字p∈ （pl（x，C），pa（x，C））必然是一种复制成本，也是非线性模型31C中衍生定价的公平价格，但目前尚不清楚最小复制成本是否已确定。原则上，复制成本也可能等于或严格大于pa（x，C）。现在让我们检查一下区间Ir（x，C）为空的情况。如果契约C可以复制，那么可能会发生pl（x，C）=pa（x，C）=pr（x，C）。

然而，在这种情况下，pr（x，C）是否是套期保值者的公平pr ice并不明显，因为可能存在初始成本相同的astrict超边缘策略。此外，PA（x，C）<pr（x，C）也可能意味着严格的超边缘实际上可能比复制成本更低。如果合同C无法复制，则不清楚PF（x，C）是否是一个公平的价格，尽管它与损失产生成本的上限和严格的超边际成本的下限一致。如果满足假设4.6，则可以更具体一点。如果复制成本集不是空的，则只有最低的复制成本才是公平的价格（事实上，如果将两个复制成本进行比较，使p<p，则PI也是严格的超边际成本，因此它不是公平的价格）。因此，如果给定合同的所有可能复制成本的集合是从以下两个方面来确定的：（a）复制成本的下限不是复制成本，任何复制成本都不是公平价格，或者（b）下限d是复制成本，它是合同的最大公平价格的候选对象。综上所述，在一个非线性市场模型中，假设对于空合同（甚至是交易台的无套利属性）具有无套利属性，复制成本可能无法成为公平的套期保值者价格。为了修正一般非线性设置的这一假设，我们在下一节中介绍了一类特殊的模型，其中应用程序为属于预定族C的任何合同C生成唯一的公平价格，并假设存在C的复制策略。4.2[0，T]上的市场规律再次，我们考虑在时间0时初始禀赋为x的套期保值者。

直觉上，对于给定的C类合同，规则性的概念是出于我们的愿望，即确保对于C类的任何合同，复制成本永远不会高于超边缘的最低成本，此外，复制成本是定义4.1意义上的公平价格。定义4.9。我们说，如果满足假设4.4，并且对于每个可复制合同C，市场模型M=（S，D，B，C，ψ0，x（C））在[0，T]上与C有关∈ 对于任何复制策略（x，pr（x），Д，x），以下属性成立：（i）如果p存在（x，p，Д，C）∈ ψ0，x（p，C）满足peVT（x、p、Д、C）≥ x个= 1，（4.13）然后p≥ pr（x）；（ii）如果p存在（x，p，Д，C）∈ ψ0，x（p，C）使得peVT（x、p、Д、C）≥ x个= 1（4.14）和PeVT（x，p，ν，C）>x> 0，（4.15），然后p>pr（x）。32 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowski通过将定义4.9应用于空合同N=（0，0），我们推断任何常规市场模型对于空合同的套期保值者都是无套利的。然而，目前尚不清楚常规模型中是否会出现交易台的套利机会。定义4.9中的条件（i）意味着超高边的成本不能低于复制成本，而条件（ii）假设任何严格的超高边的成本都严格高于复制成本。必须注意的是，条件（i）意味着C的复制成本pr（x）是唯一的。此外，如果条件（i）成立，那么条件（ii）等同于以下条件（iii），如果p存在（x，p，ν，C）∈ ψ0，x（p，C）满足peVT（x、p、Д、C）≥ x个= 1，（4.16）则以下含义有效：如果p=pr（x），则peVT（x，p，Д，C）=x= 1.（4.17）备注4.10。

在到期日为T且无交易调整的欧洲债权的特殊情况下，条件（i）和（ii）对应于具有不同终端条件的财富过程满足的BSDE解决方案的比较和严格比较属性。事实上，El Karou i and Quenez[27]引入的非线性定价系统的相同概念定义为2.7。使用与El Karoui和Quenez[27]类似的论点，我们将证明，可以使用BSDE方法为多种金融模型建立市场模型的规律性。4.2.1常规市场中的可复制合同在本节中，我们重点关注可复制的合同。命题4.11表明，在正规市场模型中，复制成本是合同C的唯一公平价格∈ C可以复制，且等式pr（x，C）=pa（x，C）=pl（x，C）适用于此类合同。这意味着，在常规模型的框架内，合同的复制确实是一种有效的估价方法，尽管在处理任意非线性市场模型时，这种说法不一定正确。提案4.11。设市场模型M=（S，D，B，C，ψ0，x（C））相对于C在[0，T]上是正则的。那么对于每个合同C∈ 可以在[0，T]上复制的C我们有：（i）复制成本pr（x，C）是唯一的，（ii）pr（x，C）i是最大公平价格和损失评级成本的上界，即pr（x，C）=pf（x，C）=pl（x，C），（iii）pr（x，C）是保值成本和严格超边际成本的下界，即pr（x，C）=ps（x，C）=pa（x，C）。证据如前所述，复制成本pr（x，C）的唯一性是定义4.9中条件（i）的直接结果。因此，Lemma4.5第（ii）部分中定义的区间Ir（x，C）为空，因此，特别是pr（x，C）≥ pf（x，C）。