非线性市场模型下衍生品的无套利定价

如果初始禀赋x=0，那么我们可以将x和x也设为null。本节开头提出的问题可以重述如下：在这种情况下，对于BSDE（6.8）、（6.9）和（6.10）的解决方案，equalitybY=bY+bYholds，因此三个复制成本满足以下equalitypr（x，A, X）=pr（X，A，X）+pr（X，ACCR，0），这正式对应于完整合约的分解（6.7）和套期保值者初始捐赠的分割X=X+X？由于这种平等不太可能得到满足（即使是当en x=x=x=0时，正如大多数现有关于信贷风险建模非线性方法的论文中隐含的假设），人们可以更普遍地问，数量比和数量比+比是否彼此接近，以便复制成本满足某些近似的平等。当然，对于相应的复制策略，也可以提出一个不合理的问题。首先需要解决违约时间市场模型的规律性和完整性问题。为此，我们可以利用存在性和唯一性结果，以及针对BSDE所获得的严格比较定理，这些BSDE具有随机时间产生的碰撞。这种形式的BSDE在现有的BSDE理论文献中相对少见，但彭和徐[46]以及昆内斯和苏莱姆[49]的论文中对其进行了研究。在44名T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowskicourse中，为了能够使用这些论文中建立的结果，需要明确指定非违约风险资产的价格动态，Sd公司-2（通常，他们被认为是由多维布朗运动驱动的），以及违约时间的方式（因此也是可违约资产的价格-1和Sd）定义。

后一个问题在Peng和Xu【46】或Quenez和Sulem【49】中通过所谓的基于强度的应用程序roach解决，之前在信贷风险文献中对其进行了广泛研究。此外，假设现金和资金账户以及薪酬流程具有绝对连续的样本路径，这样BSDE可以用以下通用格式表示DYT=-g（t，Zt，Yt）dt+d-2Xi=1ZitdWit+dXi=d-1ZitdMit+d'At，其中Mand-Mare是与价格过程Sd相关的纯间断G-鞅-1和Sd，而“A”是一个固定的过程。注意，可以通过简单的计算从（6.8）、（6.9）和（6.10）中获得生成器g。从财务角度来看，为了确保现有市场模型的完整性，需要假设一些可违约证券（通常是双方发行的可违约债券或信用违约掉期）属于主要交易资产。最后，还需要明确规定收尾估价流程Q（见R emark 2.9）和抵押品流程C。在处理局部估价问题时，最自然的理论选择（尽管在实践中不一定容易实现）是设置（见命题6.5）Qt：=pet（x，C）=pgt（x，Ct），Ct：=pet（x，a, X）=pgt（X，（A)t、 Xt）尽管后一种内生抵押品惯例处理起来有点麻烦，即使是在处理由多维连续鞅驱动的BSDE时（见Nie和Rutkowski[42]）。还需注意的是，需要将Cτ替换为Cτ-当指定closeoutpayo ffk时（同时还需要过程A) 在第2.8.1节中。

关于BSDE在这种情况下与跳跃相关的技术问题，以及与经典浸入假设和解决方法相关的问题，感兴趣的读者可以参考Cr'epey和Song最近的论文【21，22】。在信贷风险线性模型的框架内，几项工作研究了市场完整性问题和各种应用方法（尤其见Bielecki等人[5、6、7]）。相比之下，只有少数论文专门研究信用风险的非线性模型。最近，Cr'epey【17，18】、Dumitrescu et al【24】和Bichuch et al【4】使用BSDE和Jumps解决了面临交易对手信贷风险的衍生产品合同的估值和套期保值问题。在Bichuch et al.（4）和Dumitrescu et al.（24）中，作者关注的是完整合同的估值，而Cr'epey（17，18）则研究了信用估值调整的近似可加性问题。7非线性估值与市场实践虽然本文的目的是就非线性无套利定价理论的最基本问题提出问题并给出初步答案，但读者应注意当前市场实践及其与非线性定价理论结果的关系。我们还简要介绍了一些最近的相关论文，其中对所谓的估值调整问题在线性和非线性设置中进行了研究。根据现行惯例，交易对手风险合同的全部价格是通过组合（至少隐含地）基本合同（a，0）的所谓净价，以及非线性模型中的各种衍生产品定价45估值调整来获得的。

交易台使用经典线性方法计算净价格和相应的套期保值，假设所有交易活动的资金都可以使用唯一无风险利率的代理，且交易对手的信用风险被忽略，这显然是不现实的，但显然是非常方便的。因此，很明显，从理论角度来看，清洁价格可以计算为线性BSDE的解，就像经典无障碍定价理论一样。相反，各种估值调整由指定的CVA部门确定，其方式是考虑合同和交易条件的所有其他特征，例如：差异融资成本、保证金账户的存在、交易对手信贷风险、监管要求等。。这意味着，根据大多数银行的实际做法，新交易的全部价格隐含地表示为以下全部价格（a, X）：=线性价格（A，0）+可能的非线性价格（ACCR，X）=净价格+总估价调整（XVA），（7.1），其中净价格通过线性BSDE的解给出，总估价调整（表示为XVA）通过解线性或非线性BSDE确定。当然，如果（7.1）中出现的所有三个术语（即：全价、净价和总估价调整）都是由特定线性BSDE的解给出的，那么可以认为分解（7.1）可以正式调整。然而，如果估价调整（因此也包括全价）是由非线性BSDE的解给出的，这是我们的主要兴趣所在，那么（7.1）中右侧出现的两个术语不能单独计算，随后再加总以获得完整价格。

一般而言，这一观察结果是有效的，尽管净价格总是通过线性BSDE解决方案或等效的风险中性估值公式的适当版本来计算，因此它在多个（无抵押和无违约）交易中享有可分割性。因此，我们认为，引入清洁价格的概念，虽然在实践中很方便，因为它参考了危机前的经验，并有助于校准非衍生证券的常用模型，当在非线性环境中工作时，可能会使搜索合同的全部价格和相应的对冲策略的理论问题进一步复杂化。让我们通过关注特定的非线性设置来说明不可加性问题。我们强调，定价的不可加性意味着，净价格和总估值调整不能通过分割合同现金流来单独计算，甚至可能使用不同的模型来处理两个（或更多）组成部分中的每一个。Br igoet al.（9）最近表明，Pallaviciniet al.（44，45）引入并研究的基于无风险利率代理的调整现金流量的风险中性估值方法，可以使用基于复制的方法正式支持，在这种方法中，可以完全任意地选择风险利率代理。事实上，可以使用任何G-适应和d-适当可积过程α来充当无风险利率的代理，因为该过程的财务解释（如果有）与分解的推导无关（7.2）。

在[9]的命题3.2中，在初始禀赋为空的假设下，证明了这一点（因此，对于所有t，x=xt（x）=0∈ [0，T]），即46 T.R.Bielecki，I.Cialenco和M.Rutkowski可实现抵押合同的除息h edger价格C=（A, C） 等于，在事件{t<τ}上，对于每个t∈ [0，T]，pet（0，Ct）=pe，αT（A）+BαtEQα{τ≤T}{τc<τh}（1- Rc）Υ+- 1{τh<τc}（1- Rh）Υ-燃气轮机+ BαtEQαZτ∧Tt（αu-\'fu）fu（Bαu）-1du+dXi=1Zτ∧Tt（αu）-(R)hiu）Fiu（Bαu）-1件燃气轮机（7.2）+BαtEQαZτ∧Tt（(R)cu- αu）Cu（Bαu）-1件燃气轮机,其中，我们表示Ft=ψ0，ltB0，lt+ψ0，btB0，bt，Fit=ξitSit，和'Ft：=flt{Ft≥0}+fbt{Ft<0}，\'命中：=高，lt{适合≥0}+hi，bt{Fit<0}，\'ct：=clt{ct<0}+cbt{ct≥0}，其中cl（resp.cb）是套期保值者质押（resp.received）的现金抵押品的报酬率。此外，pe，αt（A）是除息净价格，概率测度Qα是这样的，过程Si（Bα）-1，i=1，2，d、 是Qα-鞅。有关非线性模型中“鞅测度”概念的更多信息，请参见[9]中的第3.2.1节。

等式（7.2）导致（A）除息价格的以下形式相加分解, X）其净价格和若干补充估价调整（其解释见[9]第3.2.2节），这些调整可合并为一个总估价调整，表示为XVAt，因此我们有pet（0，Ct）=πe，αt（a）+CVAt- DVAt+FVA'ft+dXi=1FVA'hit+LVAt=πe，αt（A）+XVAt。（7.3）我们强调（7.3）对于任何选择无风险利率的代理α都是正确的，这进一步支持了以下观点，即清洁价格是一个与实际交易分离的抽象概念，总估值调整是使其回归现实所需的必要机制。更重要的是，（7.3）中右侧出现的条款相互交织，因此，如果事先不了解完整合同的对冲策略，就无法计算各种估值调整。因此，我们得出结论，等式形状（7.3）明显表明的附加成分的可加性和分离性实际上是虚幻的，但基本的交易模型具有完全的线性特征，因此有可能使用线性BSDE理论来证明分离。显然，这并不意味着分离在某些具有某些非线性特征的模型中不能成立，但这应该是一种例外情况，而不是规则。作为明确应用非线性定价理论的一个具体例子，我们可以引用比丘奇（Bichuch）等人[4]的最新论文，他们将经典的Black-Scholes模型扩展到不同的融资利率和交易对手信用风险（另一个不对称借贷利率下的定价示例，见Brigo和Pallavicini[11]），对Pathindent欧洲债权的估值进行了彻底的审查。

在[4]中，作者首先验证了其交易模型的无套利性，在初始禀赋x为负的情况下，对应于无效合同。随后，他们将BSDE应用于具有双边违约风险的欧洲抵押债权的单边估值。收尾付款在参考第三方估值时进行了规定，该估值基于单一无风险利率（双方均不可用），因此由标准Black-Scholes模型给出。重要的是要强调，套期保值者（或交易对手）的总估值调整在[11]中并不是作为单独数量计算的，而是定义为非线性模型中完全单边价格和衍生品定价之间的差异47 Black-Scholes价格（见[4]中的定义4.8]），因此应该发挥清洁价格的作用。使用我们的符号，【4】r eadsXVAt中采用的总估值调整的定义：=pet（x，Ct）- πe，αt（A）。因此，很明显，Bichuch等人[4]并不提倡实践方法，即净价格和估值调整应该首先由交易和CVA部门独立计算，然后再合并为完整价格。[4]中还观察到，总估值调整是相等的，因此，当定价BSDE是线性的时，单边价格会下降到一个完整的价格；否则，两个交易对手（本应使用相同的交易模型）计算的单边全额价格可能会有所不同。显然，我们无意表明，单独处理合同组成部分，然后使用总数字作为“全价”的合理依据的做法是错误的，因此应停止。

我们已经明确指出，这种务实的方法，可以在线性市场的框架内进行调整（例如，见Burgard and Kjaer【12，13】、Fujii and Takahashi【30】或Kenyon and Green【37，36】），不太可能在数学上合理地对非线性结构中的衍生品进行无套利定价，引入清洁价格的概念不再有利。最后，让我们提及交易对手之间未完成交易的净额结算这一重要问题，这意味着，原则上，每一笔新交易都不应单独估值，而应作为现有合同组合中的新组成部分。不用说，这个问题无论在理论上还是在实践上都是一个巨大的挑战，因此它将留给未来的工作。最后但并非最不重要的一点是，应该承认，基于无套利复制（或超级对冲）的衍生品估值不应被视为最现实的定价方法，而应被视为更复杂位置的数学理想化，因此，还应检查其他定价范式。感兴趣的读者可参考Kenyon和Green【35】，了解有关遵守监管的衍生品定价的讨论，以及Albanese和Cr’epey【2】，了解XVA的新型平衡表方法，特别强调KVA（资本价值调整）计算。48 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowski承认I.Cialenco和M.Rutkowski的研究得到了DVC research BridgingSupport Grant B SDEs方法对有资金成本模型的支持。当I.Cialenco和M.R utkowski参观由国家科学基金会资助的加州大学洛杉矶分校纯数学和应用数学研究所（IPAM）时，部分研究已经完成。

我们还要感谢匿名裁判和St’ephane Cr’epey，感谢他们富有洞察力和有益的意见和建议，这些意见和建议极大地帮助我们改进了最终手稿。参考文献【1】C.Albanese、S.Caenazzo和S.Cr'epey。双边投资组合的信贷、融资、保证金和资本估值调整。概率、不确定性和量化风险，2（7）：1–262017。[2] C.Albanese和S.Cr'epey。资产负债表中的XVA分析。工作文件，2017年。[3] 伯格曼。不同利率下的期权定价。《金融研究评论》，8:475–500，1995年。[4] M.Bichuch、A.Capponi和S.Sturm。无套利XVA。《数学金融》，28:582–6202018。[5] T.R.Bielecki、M.Jeanblanc和M.Rutkowski。可违约索赔的对冲。《巴黎普林斯顿2003年数学金融讲座》，《数学课堂讲稿》，第1847卷，第1-132页。R、 Carmona等人（编辑），《施普林格》，柏林，海德堡，纽约，2004年。[6] T.R.Bielecki、M.Jeanblanc和M.Rutkowski。资产价格不连续的简化形式信贷风险模型中未定权益的复制。随机模型，22:661–68720006。[7] T.R.Bielecki、M.Jeanblanc和M.Rutkowski。信用风险建模。大阪大学旧金山分校讲座笔记系列。大阪大学出版社，大阪，2008年。[8] T.R.Bielecki和M.Rutkowski。具有融资成本和抵押的合同估值和对冲。《暹罗金融数学杂志》，6:594–6552015。[9] D.Brigo、C.Buescu、M.Fran cischello、A.Pallavicini和M.Rutkowski。不同融资成本、违约和抵押下的风险中性估值。工作文件（arXiv:1802.10228v1），2018年。[10] D.Brigo、C.Buescu和D M.Rutkowski。融资、回购和包括信贷在内的估值修改了期权定价。运筹学快报，45:665–670，2017年。[11] D.Brigo和A.Pallavicini。