非线性市场模型下衍生品的无套利定价

套期保值者在时间0与初始捐赠x签订的合同C的退出价格由等式pmt（x，C）给出：=-每t的pgt（x，C）∈ [0，T]。定义5.2反映了退出价格与在时间t以当前市场价值取消现有合同的概念相关的市场行为。特别注意，对于每t，等式pgt（x，C）+pmt（x，C）=0保持不变∈ [0，T]，意思是当合同按市值计价时，完全对冲头寸的净值在任何时候都是无效的。不幸的是，第5.2条的实际实施可能很困难，尤其是在处理全球估值问题时，因为这需要跟踪过去合同的现金流和对冲策略的收益（当然，前提是对冲策略是由对冲者实施的）。因此，我们主张退出值pmt（x，C）的代理：=-当面临全球估值问题时，pet（x，C）可能更适合大多数实际用途。由于当估值问题是局部的时，质量pgt（x，C）=pet（x，C）成立，因此在这种情况下，选择市场惯例的问题显然是至关重要的。5.3有效定价假设套期保值者无法将其在时间0签订的合同中的现有头寸转移给其他交易员。然后，他可能会试图通过在“同等”合同中采取相反的立场来履行与Cby相关的未来义务。在下一个定义中，我们假设套期保值者试图通过签订一份有效设置合同来解除其在时间t时在C=（A，X）的多头头寸(-At，Yt）。这里还假设他在时间t清算C的复制投资组合，以便他在时间t的捐赠等于bvt（x，C）：=Vt（x，pr（x，C），bИ，C），其中bИ是C在[0，t]上的复制策略。定义5.3。

对于固定的t∈ [0，T]，设pot为Gt可测随机变量。如果[t，t]上存在允许的交易策略（bVt（x，C），pot，Дt，0，Xt+Yt），使得EVT（bVt（x，C），pot，Дt，0，Xt+Yt）=x，（5.2），则pot=pot（x，Ct）被称为Ct=（At，Xt）的定价(-时间t.definition5.3考虑了以下事实，即-At（可能还有一些与相应调整Xt和Yt相关的现金流）相互设置，因此在计算hed ger在时间t解除合同C的价格时，只需考虑剩余现金流。在特殊情况下，所有t的等式Xt+Yt=0∈ [0，T]（也就是说，效果设置是完美的）我们得到了等式pot（x，Ct）=-pgt（x，C）从那时起，鉴于（4.12），我们有bvt（x，C）+pot（x，Ct）=pgt（x，C）+xBt（x）+pot（x，Ct）=xBt（x），其中xBt（x）是在[t，t]上复制无效合同（0，0）所需的现金金额。6非线性定价的BSDE方法对于价格的每个定义，可以尝试通过将其定义与套期保值者财富的动力学（2.11）相结合，或者更方便地与其贴现财富的动力学（3.9）相结合，推导出相应的后向随机微分方程（BSDE）。随后，非线性模型中的衍生品定价39每个特定的估值问题都可以通过解决合适的BSDE来解决。此外，可以使用BSDE方法来建立手头市场模型的规律性属性。为此，on e可以使用现有的（严格的）比较定理来求解BS DE，或者，如果需要，可以建立原始结果。

在这项工作中，我们并没有详细分析这些问题，因为我们的目标仅仅是在特定的设置中对BSDE的增值和除息价格进行调整，并强调本地和全球定价问题之间的差异。最后，我们概述了与BSDE方法处理缔约方信用风险相关的重要问题。6.1 BSDE对于获得的价值，我们将首先提供一个与定义4.8中介绍的套期保值者获得的价值pg（x，C）相关的通用BSDE。具体来说，我们关注x的情况≥ 0，使等式B（x）=Blisvalid。为了简化演示，我们还假设th at Bi，l=Bi，b=Bi或i=1，2，我们考虑满足融资约束的交易策略bξitSit+bψitBit=0，所有i=1，2，D每t∈ [0，T]。当然，e x<0的情况可以用类似的方式处理。回想一下（见（3.8））eSi，cldt（x）：=（Bt（x））-1Sit+Zt（Bu（x））-1 DIU。值得一提的是，pr（x，C）=pg（x，C）（见定义4.8）。引理6.1。假设交易策略（x、pr、bИ、C）∈ ψ0，x（C）复制一个契约C。然后进程by：=eVl（x，pr，bД，C）：=（B0，l）-1V（x，pr，bИ，C）和bzi：=eBi，lbξ满足BSDEdbYt=dXi=1bZitdbSi，cldt- （B0，bt）-1.bYtB0，lt+nXk=1αktXkt-dB0，b，lt+（B0，lt）-1日期-nXk=1bXktdeβk，lt+nXk=1（1- αkt）Xktd（B0，lt）-1（6.1），终端条件BYT=x证明。在目前的假设下，（3.9）和（3.10）implydeVlt（x，pr，bД，C）=dXi=1bξiteBi，ltdbSi，cldt+bψ0，btdB0，b，lt+（B0，lt）-1日期-nXk=1bXktdeβk，lt+nXk=1（1- αkt）Xktd（B0，lt）-1，（6.2）其中EBI，l：=（B0，l）-1Bi，B0，b，l：=（B0，l）-1B0，b，eβk，l：=（B0，l）-1βk.方程（2.10）和条件bψ0，l≥ 0，bψ0，b≤ 0和bψ0，lbψ0，b=0屈服bψ0，lt=（B0，lt）-1.Vt（x，pr，bД，C）+nXk=1αktXkt+（6.3）和bψ0，bt=-（B0，bt）-1.Vt（x，pr，bД，C）+nXk=1αktXkt-. （6.4）40 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M。

RutkowskiNote指出（6.2）中没有出现过程bψ0，ldoes，而过程bψ0，Bc也可以通过使用（6.4）从（6.2）中消除。如果我们设为：=eVl（x，pr，bД，C），那么（6.2）可以表示为BSDEdbYt=dXi=1bξiteBi，ltdbSi，cldt- （B0，bt）-1.bYtB0，lt-dXi=1bξitSit-dXi=1bψitBit+nXk=1αktXkt-dB0，b，lt+（B0，lt）-1日期-nXk=1bXktdeβk，lt+nXk=1（1- αkt）Xktd（B0，lt）-1（6.5），终端条件BYT=eVlT（x，pr，bД，C）=x。鉴于等式（3.10），BSDE（6.5）进一步简化为（6.1）。在下一个结果中，我们重点关注满足引入定义4.14的规则性条件的市场模型。从模型的规律性来看，套期保值者获得的价值pgt（x，C）对于每个固定的t是唯一的∈ [0，T]。然而，这不足以确定过程pg（x，C），因此在下一个结果中，我们将对BSDE（6.1）进行假设。首先，我们假设对于给定的x≥ 0和任何合同C∈ C在随机过程的适配空间中，（6.1）存在唯一解（bY，bZ）。其次，我们假设BSDE（6.1）具有以下严格比较性质的变体。定义6.2。对于任何合同C，严格比较属性适用于BSDE（6.1）∈ Cif（bY，bZ）和（bY，bZ）是具有GT可测终端条件ξT的解≥ ξT，则对于某些T，等式1DYt=1DYt∈ [0，T）和一些D∈ Gt意味着1DξT=1DξT。同样重要的是，需要检查BSDE（6.1）中的输入（即假设2.1中引入的随机过程）可能依赖于未知过程By和Bz的方式。根据定义2.12，如果我们假设Xkandβk满足Xkt=vk（t，bYt，bZt）和dβkt=wk（t，bYt，bZt）dt，则本节中检查的问题将是局部估价问题的一个示例，对于一些G-逐步可测量的m ap pings vk，wk：Ohm ×[0，T]×Rd+1→ R forevery k=1，2。

，n.对于某些G-非预期泛函，如果Xkt=(R)vk（t，bY·，bZ·）和dβkt=(R)wk（t，bY·，bZ·）dt，则相同的估值问题成为全局问题：Ohm ×[0，T]×D（[0，T]，Rd+1）→每k=1，2，…，R，n、 其中D（[0，T]，Rd+1）是[0，T]上Rd+1值、G-适应、c\'adl\'agprocesses的空间。从引理6.1中，我们推导出一个局部估值问题可以用一个经典的BSDE来表示。相比之下，输入依赖于过程的过去历史的情况更难解决，因为全球估值问题需要研究具有非预期泛函的广义DBSDE。由于命题6.3涵盖了这两种情况，我们请读者参考Cheridito和Nam【16】以及Zheng和Zong【51】，了解广义BSDE的存在性和唯一性结果。值得注意的是，据我们所知，目前还没有关于广义BSDE的严格比较性质的结果。当严格比较定理起着重要作用时，这应该与经典的BSDE理论形成对比。在下一个结果中，我们假设（6.2）和（6.4）给出的财富过程动力学满足假设4.4。命题6.3。假设BSDE（6.1）对任何合同C都有唯一的解决方案（bY，bZ）∈ C（6.1）解的严格比较性质成立。那么以下断言是有效的：（i）对于每t，市场模型在[t，t]上是正则的∈ [0，T]；非线性模型中的衍生品定价41（ii）套期保值者获得的价值满意度pg（x，C）=B0，l（通过- x） 其中（bY，bZ）是BSDE（6.1）的解，终端条件byt=x；（iii）统一复制策略bД以满足Cξi=（eBi，l）-1Bzi和现金成分bψ0，landψ0，bare分别由（6.3）和（6.4）给出，V（x，pr，bν，C）替换为B0，lbY。证据

从定义4.14来看，很明显，BSDE（6.1）的存在性、唯一性和严格的比较性质意味着市场模型在每t∈ [0，T]。为了确定（ii），我们回顾模型的规律性意味着套期保值者获得的价值pgt（x，C）是唯一的。此外，我们还发现pg（x，C）满足每t∈ [0，T]（见（4.12））pgt（x，C）=Vt（x，pg（x，C），bД，C）- xBt（x）=B0，ltbYt- xBt（x）=B0，lt（bYt- x） ，它建立了断言的等式pg（x，C）=B0，l（bY-x） 。特别是套期保值者的复制成本pr（x）满足pr（x）=- x对于任何固定初始捐赠x≥ 最后，第（三）部分是引理6.1的间接结果。当然，我们需要检查命题6.3中的假设满足了哪些模型。关于由一维或多维连续马丁大风驱动的BSDE的一般结果，读者可以参考Carbone等人【15】、El Karoui和Huang【25】、Nie和Rutkowski【42】及其参考文献。通常，对于BSDE，生成器的Lipschitz连续性的适当变体足以保证其解的所需性质。

Nie和Rutkowski[40，41，43]研究了BSDE满足比较性质的非线性市场模型的几个实例，尽管其中没有正式说明正则模型的概念。特别是，他们分析了具有内生抵押品的合同，这意味着调整过程XKEX明确取决于解决方案（甚至取决于套期保值者和交易对手的估值问题的解决方案）。最后，让我们提到，由于本节中所研究的模型是第3.5节和第3.6节中所研究模型的特例，因此，为了确保该模型对交易台而言是无套利的，必须假设存在p概率度量Q，这相当于p on(Ohm, GT）并使过程bsi，cld，i=1，2，（4.23）表示Q-局部马丁大风。如果希望证明BSDE（6.1）的存在性和唯一性结果，这种假设也很方便。6.2 E x股息价格的BSDE我们的下一个目标是推导定义5.1中引入的除权d价格pe（x，C）的BSDE。如第6.1节所述，我们在假设x≥ 0.回想一下，对于固定t，套期保值者的性股息价格由等式EVLT（xt（x），pet，Дt，Ct）=xt（x）隐式给出，其中xt（x）=xblt，贴现使用（3.2）给出的过程Bt·（xt（x））完成。因此，我们假设估价问题是局部的。这个假设对于引理6.4和命题6.5的有效性至关重要，因此不能放松。引理6.4。假设交易策略（xt（x）、pet、Дt、Ct）∈ ψt，xt（x）（C）复制合同Cton【t，t】。

然后过程“Yu：=eVu（xt（x），pet，Дt，At，xt）”和“Ziu：=eBi，lu（ξtu）i，u∈ [t，t]，满足以下BSDE，对于所有u∈ [t，t]d'Yu=dXi=1'ZiudbSi，cldu- （B0，bu）-1.(R)YuB0，lu+nXk=1αkuXku-dB0，b，lu+（B0，lu）-1道-nXk=1bXkudeβk，lu+nXk=1（1- αku）Xkud（B0，lu）-1（6.6）42 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowski，终端条件为“YT=x.Proof”。正如在引理6.1的证明中一样，我们得出结论，折扣的动力学是Wealthevu（xt（x），pet，νt，At，xt）对于u∈ [t，t]由（6.2）给出，因此（6.6）由andbZ满足，终端条件为t=x。虽然BSDE（6.1）和（6.6）具有相同的形状，但其解决方案的特征严重依赖于p过程的规格xk和βk，l。下一个结果表明，当估值问题是局部的时，获得的值和除息率是一致的，因此相应的BSDE是经典的。相反，当估值问题是全球性的时，该属性通常无法保持，因此（6.1）成为广义的BSDE。在这种情况下，方程（6.6）需要由关于过程xk和βk的附加条件来完成，l.命题6.5。根据命题6.3的假设，如果估价问题是局部的，则对于任何合同C∈ C套期保值者的收益值和套期保值者的除息价格满足所有t∈ [0，T]。证据一方面，在BSDE（6.1）解的唯一性假设下（以及BSDE（6.6）的thusalso），等式Byt=(R)y明显满足所有∈ [0，T]。另一方面，从定义5.1中，我们得到等式xt（x）+pet（x，Ct）=Blt'Yt，这反过来又是yieldspet（x，Ct）=Blt（'Yt- x） 。

由于bYt=eYt，我们得出结论，获得的值pgt（x，C）=Blt（bYt- x） 除息价格pet（x，Ct）与f或所有t一致∈ [0，T]。命题6.5中建立的局部估值问题的性质相当普遍：其有效性取决于收益价值和除息价格的共同BSDE解的存在性和唯一性。这应该与全球估值问题的情况形成对比，在全球估值问题中，等式pgt（x，C）=pet（x，Ct）始终满足f或t=0，但不太可能适用于任何t>0.6.3 BSDE的CCR价格。我们现在解决了第2.8.2节中提出的问题：我们能否将信用风险合同的交易对手无风险估值从CRR估值中分离出来？虽然这在已知价格可加性的线性设置中是正确的，但在非线性框架中，这个问题的答案不太可能是肯定的。一方面，根据命题2.11，缔约方风险合同（A, X）允许以下分解（A, X）=（A，X）+（ACCR，0），（6.7），其中第一部分不受交易对手信用风险的影响（尽管它可能包括保证金账户），因此被称为交易对手无风险合同，而第二部分仅与CCR有关（CCR现金流ACCR的具体定义见定义2.10）。然而，另一方面，在非线性框架中，完整合同的价格（a, X）不太可能等于整个合同的附加和组合中出现的组件的价格总和。为了更仔细地研究这个问题，让我们假设基础市场的模型发行量足够丰富，可以复制完整的合同（A, X），以及复制其两个组件（A，X）和（ACCR，0）。

当然，也可以关注分解（A, X）=（A，0）+（ACCR，X），其中假设交易调整（特别是保证金账户）影响CCR部分，而不是交易对手无风险合同（A，0）。非线性模型中的导数定价43分解的选择应出于实际考虑；有人可能会辩称，如今，抵押是大多数合同中的标准约定，不一定与给定合同中交易对手信用风险的实际敞口水平直接相关。如果我们用τhandτc分别表示套期保值者和交易对手的违约时间，则τ=τh∧ τcis第一次违约的时刻，因此（A, X）和（ACCR，0）是随机时间bτ=τ∧ T对于交易对手无风险合同（A，X），可以方便地正式假设其到期日等于T，因为完整合同的这一部分不存在违约风险。通过对Lemma6.1的一个小扩展，我们获得了完整合同的以下BSDE（a, X）dbYt=dXi=1bZitdbSi，cldt- （B0，bt）-1.bYtB0，lt+nXk=1αktXkt-dB0，b，lt+（B0，lt）-1dAt型-nXk=1bXktdeβk，lt+nXk=1（1- αkt）Xktd（B0，lt）-1（6.8），终端条件为bτ=x。设x=x+x是套期保值者禀赋的任意分割。然后，我们获得对应于交易对手无风险合同（A，X）的以下BSDE，dbYt=dXi=1bZ1，itdbSi，cldt- （B0，bt）-1.bYtB0，lt+nXk=1αktXkt-dB0，b，lt+（B0，lt）-1日期-nXk=1bXktdeβk，lt+nXk=1（1- αkt）Xktd（B0，lt）-1（6.9），BYT=x。与CRR组件（ACCR，0）相关的BSDE读取BYT=dXi=1bZ2，itdbSi，cldt- （B0，bt）-1.bYtB0，lt-dB0，b，lt+（B0，lt）-1DACRT（6.10），BYBτ=x。