非线性市场模型下衍生品的无套利定价

因此，在与套期保值者的投资组合进行权衡时，应考虑C+T的金额，但应从其财富中排除s。一般来说，我们对财富过程有以下定义。定义2.6。自我融资交易策略（xt、pt、Дt、Ct）的财富过程是确定的，对于每个∈ [t，t]，byVu（xt，pt，Дt，Ct）：=Vpu（xt，pt，Дt，Ct）-nXk=1αkuXku（2.9）或更明确地说，Vu（xt，pt，Дt，Ct）=dXi=1ξiuSiu+dXj=0ψj，luBj，lu+ψj，buBj，bu-nXk=1αkuXku。（2.10）让我们注意到，调整过程xk和相应过程αk的选择具有很大的灵活性。然而，我们始终假设这些过程是特定的，因此上述解释资本实际所有权的论点以及财富过程V（x，p，ν，a，x）也是正确的。定义2.2和2.6的直接结果是，任何自我融资交易策略（xt、pt、Дt、Ct）的财富过程V都承认了动态，即∈ [t，t]，Vu（xt，pt，Дt，Ct）=xt+pt+dXi=1Zutξivd（Siv+Div）+dXj=0Zutψj，lvdBj，lv+ψj，bvdBj，bv-nXk=1ZutXkv（βkv）-1dβkv+Atu。（2.11）有人可能会争辩说，可以将方程式（2.10）和（2.11）作为自我融资交易策略的定义，然后推导出等式（2.3）适用于投资组合的价值Vp（x，p，ν，C），然后由（2.9）给出。我们认为，这种替代方法不是最佳的，因为定义2.2中的条件是通过对交易机制和实际现金流的前瞻性分析获得的，而方程式（2.10）–（2.11）的财务调整则不太吸引人。显然，自融资交易策略的财富过程由两个方程（2.10）和（2.11）描述。

观察到，使用（2.10），可以从（2.11）中删除其中一个过程ψj，lorψj，bf，从而用单方程来描述财富过程。通过这种方式可以得到一个（通常是非线性的）BSDE，它可以用来公式化给定合同的各种估价问题。2.6风险资产交易请注意，我们不假设过程Si，i=1，2，d为正，除非明确说明该过程模拟股票价格。因此，多头现金头寸（分别为空头头寸）指的是ξitSit≤ 0（分别为ξitSit≥ 0），其中ξ是指在t.12 t.R.Bielecki，I.Cialenco和M.Rutkowski2.6.1现金市场交易时间t.12 t.R.Bielecki，I.Cialenco和M.Rutkowski2.6.1现金市场交易为了简化列报，我们假设≥ 0表示所有t∈ [0，T]。首先，假设第i项风险资产中ξit>0股的购买是使用现金进行的。然后，我们为allt设置ψi，bt=0∈ [0，T]因此过程Bi，bbe变得无关紧要。现在让我们考虑ξit<0的情况。如果我们假设风险资产卖空的收益可以被套期保值者使用（这在实践中通常是不正确的），我们还将ψi，lt=0设置为所有t∈ [0，T]，因此过程bi，lbe也变得不相关。因此，在这些风格化的现金交易惯例下，没有必要为第i项风险资产引入资金账户Bi、土地Bi、B。由于股息分划给资产贷款人，因此股息不会出现在代表风险资产空头头寸损益的期限内。

在没有市场摩擦和交易调整的最简单情况下，对于单一风险资产，根据目前的卖空惯例，（2.3）becomesVpt（x，p，ν，C）=x+p+Ztξu（dSu+dDu）+Ztψ0，ludB0，lu+ψ0，budB0，bu+ 在前面的小节讨论了风险资产的更实用卖空惯例。2.6.2风险资产卖空现在让我们考虑一下从经纪人那里借入风险资产的经典卖空方式。在这种情况下，套期保值者不会从出售riskyasset的借入股份中获得收益，这些股份由经纪人作为现金抵押品持有。对冲者也可能被要求向经纪人提供额外的现金抵押品，在某些情况下，他可能会从经纪人的保证金账户中获得利息。为了表示第i项风险资产的这些交易安排，我们设置ψi，lt=0，αit=αi+dt=0和xit=-（1+δit）（ξit）-Sit，Xi+d=δit（ξit）-如果βit指定套期保值者在经纪人的保证金账户上的利息（如果有），δit≥ 0表示额外的现金抵押品，dβi+d表示套期保值者为额外抵押品融资而支付的利率。例如，我们假设只有一项风险资产S，如第2.6.1节所述，该资产要么卖空，要么使用现金进行回购。然后，我们得到投资组合值Vpt（x，p，ν，C）=（ξt）+St+ψ0，ltB0，lt+ψ0，btB0，bt（2.12），而方程（2.3）变成了Vpt（x，p，ν，C）=x+p+Ztξu（dSu+dDu）+Ztψ0，ludB0，lu+ψ0，budB0，bu+ At+Zt（βu）-1（1+δu）（ξu）-Sudβu-Zt（βu）-1δu（ξu）-Sudβu.（2.13）特别是，如果没有额外抵押品报酬的特定利率，则我们将X设置为0，因此应省略（2.13）中的最后一项。

值得注意的是，（2.12）可以被视为（2.2）Vpu（xt，pt，Дt，Ct）的以下扩展版本的特例：=dXi=1hi（ξiu）Siu+dXj=0ψj，luBj，lu+ψj，buBj，bu感兴趣的读者可以在网上查阅pageshttp://www.investopedia.com/terms/s/shortsale.asp andhttps://www.sec.gov/investor/pubs/regsho.htm有关卖空机制的更多详细信息。d=1且h（x）=x+的非线性模型13中的衍生品定价∈ R、 2.6.3回购市场交易让我们首先考虑现金驱动的回购交易，即套期保值者拥有的第i个风险集合的股份被用作抵押品以筹集现金的情况。为了表示该事务，wesetψi，bt=-（Bi、bt）-1（1- hi，b）（ξit）+Sit，（2.14），其中Bi，b说明了借入现金并质押天空资产作为抵押品的套期保值人向贷款人支付的利息，而恒定hi，b表示第i项质押资产的折减。风险资产在回购市场上的综合卖空是通过证券驱动的回购交易获得的，也就是说，当风险资产的股票被现金借款人作为抵押品过账，并且立即被借出现金的套期保值者出售时。形式上，这种情况对应于等式ψi，lt=（Bi，lt）-1（1- 嗨，l）（ξit）-Sit，（2.15），其中Bi，L指定借款人向套期保值者提供的现金金额的利息金额p（1- 嗨，l）（ξit）-Sitand hi，lis相应的发型。如果仅交易一项风险资产，且交易仅在回购市场进行，则我们获得Vpt（x，p，Д，C）=x+p+Ztξu（dSu+dDu）+Ztψ0，ludB0，lu+ψ0，budB0，bu+Zt公司（B1，lu）-1（1- h1，l）（ξu）-SudB1，lu- （B1，bu）-1（1- h1，b）（ξu）+SudB1，bu+ 在（2.16）在实践中，合理的假设是，给定风险资产的长期和短期回购利率相同，即Bi=Bi，l=Bi，b。

在这种情况下，我们可以设置ψit=（1- hi）（位）-1ξitSit，使方程（2.14）和（2.15）简化为一个方程（1- hi）ξitSit+ψitBit=0。（2.17）根据Bi的这一解释，相等（2.17）意味着第i项风险资产的交易是使用（对称）回购市场进行的，风险资产的ξ其份额作为抵押品，这意味着抵押率等于1。在（2.17）下，方程式（2.16）减少到Vpt（x，p，Д，C）=x+p+Ztξu（dSu+dDu）+Ztψ0，ludB0，lu+ψ0，budB0，bu-Zt（Bu）-1（1- h） ξuSudBu+At。（2.18）2.7抵押品我们考虑套期保值者和交易对手签订合同，并以C表示的价值接受或抵押抵押品的情况，C表示为半鞅。一般来说，过程C代表保证金账户的价值。We letCt=Xt+Xt（2.19）我们参考tohttps://www.newyorkfed.org/medialibrary/media/research/staff_reports/sr529.pdf有关回购交易机制的详细说明。14 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowski，其中Xt：=C+T=Ct{Ct≥0}，且Xt：=-C-t=Ct{Ct<0}。按照惯例，C+t的金额是套期保值者在t时从交易对手处收到的抵押品的现金价值，而C-Tre表示其抵押的抵押品的现金价值，并因此转移给其交易对手。为便于表述并与现行市场惯例保持一致，假设只能交付或接收现金抵押品（有关其他抵押品惯例，请参见，例如，Bielecki和Rutkowski[8]）。根据2014年ISDA保证金调查，75%的未清算OTC抵押品协议以现金结算，约15%以政府证券结算。我们还就经济合同到期日保证金账户的价值作出以下自然假设。假设2.7。

G适应抵押品金额过程满足CT=0。通常这意味着并行过程C将在时间T从CT跳变-到0。假设相等CT=0只是一种方便的方式，可以确保在合同到期时将任何已过账的抵押品金额全额返还给出质人，前提是在到期日T之前或到期日T时未发生违约事件。一旦对默认事件进行建模，我们将需要指定收尾付款（见第2.8.1节）。首先，让我们从套期保值者的角度对保证金账户的关键特征发表一些评论。金融实践可能要求将抵押品金额保存在单独的保证金账户中，这样，当抵押品接受者时，他就不能将抵押品金额用于交易。实践中经常遇到的另一种抵押品惯例是再抵押（约90%的OTC合同现金抵押品都是再抵押的），这是指套期保值者可以使用其交易对手抵押的抵押品作为其与其他交易对手签订的合同的抵押品。显然，如果套期保值者是抵押品提供者，那么关于隔离或再抵押的特殊约定对其投资组合的价值过程的动态至关重要。我们请读者参阅Bielecki和Rutkowski【8】和Cr'epey等人【19】，以详细分析关于抵押协议的各种公约。在这里，我们将在我们的上下文中研究抵押（有时也称为保证金）的一些基本方面。一般而言，由于抵押而产生的现金调整包括Ct：=αtC+t- αtC-t型-Zt（βu）-1C+udβu+Zt（βu）-1C级-udβu，（2.20），其中报酬过程β和β确定套期保值人就抵押品金额C+和C支付或收取的利率-, 分别地

（2.20）中介绍的辅助过程α和α用于涵盖有关保证金账户再抵押和分离的替代约定。注意，我们总是为所有t设置αt=1∈ [0，T]考虑套期保值者的组合时，因为关于再抵押或分离的特定约定显然与抵押品出质人无关。2.7.1再抵押作为现有文献中的惯例，我们假设现金抵押物的再抵押意味着套期保值者可以在不受任何限制的情况下将其用于交易目的。要为套期保值者掩盖其再抵押抵押品的样式化版本，必须为所有t设置αt=αt=1∈ [0，T]，因此对于套期保值者，我们得到αtXt+αtXt=Ct。因此，保证金账户对应的现金调整等于t=t+t=Xk=1Xk+ZtβkudbXku. （2.21）衍生工具定价在非线性模型中152.7.2隔离式共同隔离下，套期保值者收到的抵押品由第三方保管，因此套期保值者不能将其用于其交易活动。在这种情况下，我们为allt设置αt=0和αt=1∈ [0，T]，因此αtXt+αtXt=-C-t、 因此，相应的现金调整期限 等于t=t+t=X-ZtbXudβu+ZtβudbXu。（2.22）2.7.3初始保证金和变动保证金在市场实践中，抵押品总金额通常由两个组成部分表示，即初始保证金（也称为独立金额）和变动保证金。在自我融资交易策略的背景下，这可以通过为给定的合同a引入两个（或更多）抵押品流程来轻松解决。

值得一提的是，合同条款中规定的每一个抵押过程通常都受到关于隔离和/或报酬的不同约定的约束。2.8交易对手信用风险金融合同中的交易对手信用风险源于合同中至少一方可能在合同到期之前或到期时违约，这可能导致该方无法履行其所有合同义务，导致合同中任何一方承担的财务损失。我们将根据违约时间对合同双方的违约能力进行建模。我们分别用τhandτc表示对冲对手的违约时间。我们要求τhandτcare定义非负随机变量(Ohm, G、 G，P）。如果τh>T持有a.s.（分别为τc>T，a.s.），则套期保值人（分别为缔约方）被视为研究中的合同无违约。因此，如果P（τ≤ T）>0，其中τ：=τh∧ τ是第一次违约的征兆。从现在起，我们假设流程A模拟了所有承诺（或名义）的合同现金流，从交易台的角度来看，没有考虑交易方违约的可能性。换言之，如果双方在合同到期之前或到期时均未违约，代表将收到可变现的现金流。我们有时会提及交易对手无风险现金流，我们将现金流合同称为交易对手无风险合同。在交易对手风险的背景下，关键概念是交易对手风险合同，这将在前面的小节中进行研究。2.8.1平仓支付回顾，τ表示第一次违约的时刻。

关于{τ<∞}, 我们将随机变量Υ定义为Υ=Qτ+Aτ- Cτ，（2.23），其中Q是合同A的信贷支持附件（CSA）收尾估价过程，Aτ=Aτ- Aτ-是A在τ处的跳跃，对应于A（可能为空）承诺的项目符号d在τ处的跳跃，Cτ是时间τ处的并行过程C的值。在财务解释中，Υ+是交易对手在时间τ欠h edger的金额，而Υ-是套期保值者在时间τ向交易对手支付的金额。它计算了f合同的法定价值Qτ，加上16 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowskibullet股息在时间τ收到/支付的τ，减去抵押品金额Cτ，因为它已经由套期保值者（如果Cτ>0）或交易对手（如果Cτ<0）持有。关于Υ规格的详细讨论，请参阅Cr'epey等人【19】第3.1.3节。交易对手信用风险的一个关键财务方面是收尾付款，如果至少一方在合同到期之前或到期时违约，则会发生收尾付款。它表示双方在第一方违约时交换的现金流。通常从套期保值者的角度给出的收尾支付的以下定义，来自Cr'epey等人【19】。[0，1]中的随机变量Rc和Rhtaking值分别代表交易对手和套期保值者的回收率。定义2.8。CSA收尾付款定义为：=Cτ+1{τC<τh}（RcΥ+- Υ-) + 1{τh<τc}（Υ+- RhΥ-) + 1{τh=τc}（RcΥ）+- RhΥ-). （2.24）交易对手风险累积现金流流程A由A给出t=1{t<τ}At+1{t≥τ} （Aτ-+ K） ，t∈ [0，T]。（2.25）让我们对收尾付款的形式发表一些意见。首先，术语Cτ是因为抵押品金额的法定所有权仅在首次违约时生效。

（2.24）中Cτ之后出现的三个术语对应于CSA惯例，即从套期保值者的角度来看，第一次违约时的现金流应等于Qτ+Aτ。例如，让我们考虑事件{τc<τh}。如果Υ+>0，则我们得到k=Cτ+Rc（Qτ+Aτ- Cτ）≤ Qτ+Aτ，其中当Rc=1时等式成立。如果Υ-> 0，那么我们得到k=Cτ- (-Qτ- Aτ+Cτ）=Qτ+Aτ。最后，如果Υ=0，则K=Cτ=Qτ+Aτ。可以对（2.24）中剩余的两个事件进行类似的分析。备注2.9。当然，在P（τ>T）=1的假设下，不存在交易对手信用风险。让我们考虑P（τ>T）<1的情况。我们用Pet表示时间t时合同的交易对手风险自由除息价格。如果我们设置Rc=Rh=1，则我们得到aτ=Aτ+Qτ。因此，尽管假设完全恢复，但交易对手信用风险仍然存在，除非法定值Qτ与交易对手无风险除息价格Peτ完全匹配。显然，当Rc=Rh=1，Qτ=Peτ时，国家信用风险消失，因为在这种情况下，所谓的违约风险（见Cr'epey等人[19]第3.2.3节）为零。2.8.2交易对手信用风险分解为了在我们的总体框架内有效处理收尾付款，我们现在定义了交易对手信用风险（CCR）现金流，有时称为CCR风险。注意，事件{τ=τh}={τh≤ τc}和{τ=τc}={τc≤ τh}可能重叠。非线性模型中的衍生品定价17定义2.10。所谓CCR过程，我们指的是过程CL、CG和RP，其中creditloss CL等于CLT=-1{t≥τ} {τ=τc}（1- Rc）Υ+，信用收益CG等于cgt=1{t≥τ} {τ=τh}（1- Rh）Υ-,替换过程由crt=1{t给出≥τ} （Aτ- At+Qτ）。CCR现金流由ACCR=CL+CG+CR给出。值得注意的是，CCR现金流取决于流程A、C和Q。