非线性市场模型下衍生品的无套利定价

Wedenote byψt，xt（pt，Ct）对应于（xt，pt，Дt，Ct）和Wedenote byψt，xt（C）的容许策略类：=∪C∈C∪pt公司∈Gtψt，xt（pt，Ct）相对于时间t时初始禀赋为x的套期保值者的C类合同，在[t，t]上所有可接受的交易策略的类别。特别是，ψ0，x（C）是时间t时初始禀赋为x=0.22 t.R.Bielecki的套期保值者可接受的所有交易策略的类别，I.Cialenco和M.Rutkowski3.3关于无效合同的无套利对于基础市场模型的最低无套利要求是，它应该是关于无效合同的无套利。请注意，与假设3.1和复制的概念一致（关于非无效合同复制的一般表述，请参见定义4.8），定义3.4中隐含地假设，零时间交易的无效合同价格等于零。不用说，这是任何交易模式中一个无可争议的特征。定义3.3。考虑一个基础市场模型M=（S，D，B，C，ψ0，x（C））。对于初始捐赠x的套期保值者，关于无效合约（或主要套利机会）的套利机会是一种策略（x，0，Д，N）∈ ψ0，x（0，N）使得p（eVT（x，0，ν，N）≥ x） =1，P（eVT（x，0，Д，N）>x）>0。（3.4）定义3.4。如果市场模型M中不存在主要套利机会，那么我们说，对于初始套利x的套期保值者的无效合约，M具有无套利属性。对于任意线性市场模型，定义3.4 red导致了无套利机会的经典定义。众所周知，本定义中引入的无套利属性是在线性框架下为金融衍生品开发无套利定价的有力工具。

然而，这并不意味着定义3.4足以支持我们发展非线性无套利定价理论，该理论将具有数学或金融角度所需的特性。一方面，套期保值者公允价值的自然定义（见定义4.1）与空合同的无套利概念一致，因此定义3.4似乎在理论上是正确的。然而，另一方面，定义3.4对于一般非线性市场中的有效评估和边缘化方法来说是不够的，原因如下。首先，合同的复制成本可能无法满足公平价格的定义，因为以套期保值者的复制成本出售合同的可能性可能会为套期保值者带来一个套利机会。第4.2.3节给出了一个明确的市场模型示例，该模型在定义3.4的意义上是无套利的，但对这种效率有所帮助。其次，也许更重要的是，没有一种成熟的方法可以在线性市场上找到符合定义3.4的公平价格。我们认为，对于完整合同而言，定义无套利模型的缺点是它没有明确提及研究中的C类合同。事实上，它依赖于交易策略的ψ0，x（0，N）类的规定，但它没有提及较大的ψ0，x（C）类。

为了修正定义3.4中的缺陷，Bielecki和Rutkowski[8]建议考虑交易台无套利财产的概念，涉及预定的C类合同。3.4交易平台的无套利继Bielecki和Rutkowski【8】之后，我们现在将研究amarket模型更强大的无套利属性，该模型与预先确定的C类金融合同密切相关。我们的目标是提出一个更严格的无套利条件，这不仅说明了市场的非线性，而且还明确提到了正在考虑的一系列合同。不幸的是，定义3.10意义上的无套利模型类别似乎过于复杂，因此仍不清楚上一节中评论的估值违规行为将被完全消除（例如，请参见第4.2.3节）。非线性模型中的衍生品定价23为了符号的简单性，我们在这里考虑t=0的情况，但所有定义都可以很容易地扩展到任何日期t的情况。符号X=X（A）和Y=Y(-A） 用于强调没有理由期望贸易附加条款将满足等式X(-A） =-X（A），一般情况下。因此，我们用Y=（Y，…，Yn；α（Y），αn（Y）；β（Y），βn（Y））与累积现金流过程相关的交易调整-A、 为了避免混淆，我们将使用财富过程的完整符号，例如V（x，p，Д，C）=V（x，p，Д，A，x）等。备注3.5。如上所述，等式Yk=-Xk，适用于所有k=1，2，n、 就现状而言，这种平等性通过变动幅度得到满足，但初始保证金和监管资本（始终为非负）无法满足。定义3.6。

对于合同C=（a，X）和初始捐赠X，合并财富定义为VCOM（X，X，Д，(R)Д，a，X，Y）：=V（X，0，Д，a，X）+V（X，0，(R)，-A、 Y），（3.5），其中x，x是任意实数，x=x+x，ν∈ ψ0，x（0，A，x）和∈ψ0，x（0，-A、 Y）。具体而言，Vcom（x，x，И，(R)，A，x，Y）=x+x=x。综合财富这个名称的动机是相当透明的，因为它直接来自于（3.5）中右侧对过程的财务解释。我们认为，这可以被视为两位交易员的总财富，他们是同一个交易台的成员，应该按照以下方式进行交易：o第一位交易员在合同（a，X）中持有多头头寸，而e中的第二位交易员在同一合同中持有短头头寸，因此h是头寸的正式代表(-A、 Y）。由于我们假设多头和空头头寸具有完全相反的价格，因此相应的现金流为p和-p来到交易台（而不是单个交易员）时，会相互影响，因此交易台的初始捐赠x保持不变此外，假设在现金流p和-p已经被净值化，因此它们不再相关，初始捐赠x被分成任意数量的x和x，即x=x+x。

然后，向每个交易员分配各自的xor xashis初始捐赠金额，每个交易员对其各自头寸进行积极对冲。现在很明显，在timezero交易合同时的初始价格p水平对于两种对冲策略来说都是无关紧要的，两个交易者的总财富（即组合财富）由右侧在（3.5）中给出。或者，合并后的财富可以用来描述这样一种情况，即单个交易员与两个外部交易对手进行多头和空头头寸，并使用其初始捐赠x分为x和x进行独立对冲。当然，在这种情况下，更清楚的是，初始价格p不会影响其交易策略，因为在0时从一个交易对手收到的现金金额会立即转移到第二个交易对手。备注3.7。还可以观察到，以下等式适用于任何实数pV（x，0，Д，A，x）+V（x，0，(R)Д，-A、 Y）=V（ex，p，Д，A，X）+V（ex，-p、 ^1，-A、 Y），其中ex=x- p和ex=x+p是x的另一种分解，因此x=ex+ex。然而，方程式（3.5）更好地反映了实际的交易安排，并且它有一个明显的优势，即p个数（先验未知）不会出现在组合财富的表达式中。因此（3.5）强调了组合财富独立于p的关键特征。事实上，可以指出，交易台了解价格的实际水平24 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowskip这一事实对于特定市场模型中是否存在交易台的套利机会这一问题至关重要。定义3.8。

如果贴现组合财富流程（x，x，Д，(R)Д，A，x，Y）：=（B（x）），则交易台可接受定义3.6中引入的一对（x，Д；x，(R)Д）交易策略-1Vcom（x，x，Д，(R)Д，A，x，Y）（3.6）由一个常数从下方限定。交易台可接受的策略类别由ψ0，x，x（A，x，Y）决定。我们能够针对特定的合同系列，为交易平台正式确定无套利模型的概念。定义3.9。一对（x，Д；x，(R)Д）∈ ψ0，x，x（A，x，Y）是交易台就合同（A，x）进行的套利机会，前提是满足以下条件≥ x） =1，P（eVcomT（x，x，Д，(R)Д，A，x，Y）>x）>0。定义3.10。我们认为，市场模型M=（S，D，B，C，ψ0，x（C））对于交易台而言具有无套利属性，前提是交易台对于来自C的任何合同C没有套利机会。我们在第3.3节和第3.4节中的主要目的是提供一些简单且具有财务意义的标准，使我们能够检测并消除出现某些特定形式套利的市场模型。定义3.4和定义3.10提供了接受或拒绝任何暂定非线性市场模型的标准。很容易看出，如果应用定义3.4，根据定义3.10被拒绝的模型也将被拒绝。然而，我们并不声称这些试验足以有效区分可接受和不可接受的衍生工具估值非线性模型。

在此之前，在定义4.9中，我们将制定其他条件，这些条件应通过一个可接受的模型来满足，该模型被称为常规模型。3.5贴现财富过程的动态很自然地会问，对于给定的市场模型，是否可以检查交易台的无套利。在说明该属性的简单验证方法之前，我们需要引入附加符号。让我们写下bi，l（x）：=（B（x））-1Bi、l、eBi、b（x）：=（b（x））-1Bi，b，eβk（x，x）：=（b（x））-1βk（X），eβk（X，Y）：=（B（X））-1βk（Y），bXk：=（βk（X））-1Xk，bYk：=（βk（Y））-1Yk，B0，b，l：=（B0，l）-1B0，b，B0，l，b：=（B0，b）-1B0，l.非线性模型中的衍生品定价25引理3.11。贴现的综合财富满足度Devcomt（x，x，ν，(R)，A，x，Y）=dXi=1（ξit+(R)ξit）deSi，cldt（x）+dXi=1（ψi，lt+(R)ψi，lt）deBi，lt（x）+dXi=1（ψi，bt+(R)ψi，bt）deBi，bt（x）+1{x≥0}（ψ0，bt+’ψ0，bt）dB0，b，lt+1{x<0}（ψ0，lt+’ψ0，lt）dB0，l，bt-nXk=1bXktdeβkt（x，x）-nXk=1bYktdeβkt（x，Y）+nXk=1（1）- αkt（X））Xkt+（1- αkt（Y））Yktd（Bt（x））-1，（3.7）其中，我们设置ESI，cldt（x）：=（Bt（x））-1Sit+Zt（Bu（x））-1 DIU。（3.8）证明。对于任意分解x=x+x，我们写道（注意，引入不等式（3.3）的符号在此扩展，因为x 6=xi，通常）eV（x，p，ν，A，x）：=（B（x））-1eV（x，p，Д，A，x），eV（x，p，(R)Д，-A、 Y）：=（B（x））-1eV（x，p，(R)Д，-A、 Y）。从（2.10）和（2.11）中，使用It^o分部积分公式，我们得到Devt（x，p，Д，A，x）=dXi=1ξitdeSi，cldt（x）+dXi=1ψi，ltdeBi，lt（x）+ψi，btdeBi，bt（x）+ 1{x≥0}ψ0，btdB0，b，lt+1{x<0}ψ0，ltdB0，l，bt+（bt（x））-1日期-nXk=1bXktdeβkt（x，x）（3.9）+nXk=1（1- αkt（X））Xktd（Bt（X））-1，并且一个类似的等式适用于v（x，p，(R)，-A、 Y）。

因此（3.7）遵循（3.5）和（3.6）。我们从（3.9）中推断，假设3.1中的条件（ii）是满足的，前提是不存在额外的投资组合约束（回想一下假设3.1中的条件（i）始终是保持不变的）。另外，假设Bi，l=Bi，b=Bi或i=1，2，d、 我们定义了过程Si、cldandbSi、cldSi、cldt：=Sit+BIZT（Biu）-1dDiu、bSi、cldt：=（位）-1Si，cldt=bSit+Zt（Biu）-1dDiu，其中turnbSi：=（Bi）-1Si。很容易检查Desi，cldt（x）=eBit（x）dbSi，cldt+bSitdeBit（x），（3.10），其中EBI（x）：=（B（x））-1Bi。26 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowski推论3.12。假设Bi，l=Bi，b=Bi或i=1，2，d、 然后，贴现的组合财富满足度（x，x，ν，(R)，A，x，Y）=dXi=1（ξit+(R)ξit）息税前利润（x）dbSi，cldt+dXi=1（ξit+？ξit）bSit+（ψit+？ψit）借方（x）+1{x≥0}（ψ0，bt+’ψ0，bt）dB0，b，lt+1{x<0}（ψ0，lt+’ψ0，lt）dB0，l，bt-nXk=1bXktdeβkt（x，x）（3.11）-nXk=1bYktdeβkt（x，Y）+nXk=1（1）- αkt（X））Xkt+（1- αkt（Y））Yktd（Bt（x））-1.证明。必须将（3.7）与（3.10）结合起来。3.6交易台无套利的充分条件以下结果给出了交易台市场模型无套利的充分条件。命题3.13的证明非常简单，因此省略了它。提案3.13。假设e xi有一个概率测度Q，等于P on(Ohm, GT），并且对于任何分解x=x+x以及任何可接受的交易策略组合（x，Д，A，x）和（x，(R)Д），-A、 Y）对于属于C的任何合同（A，X），贴现的联合财富（combinedwealtheVcom）（X，X，Д，(R)Д，A，X，Y）是Q下的超级鞅。

那么市场模型M=（S，D，B，C，ψ0，x（C））对于交易台来说是无套利的。虽然命题3.13相当抽象，但只要采用了特定的市场模型，就可以很容易地验证其中制定的有效条件（例如，见Bielecki和Rutkowski【8】和Nie和Rutkowski【40、41、43】）。为了支持这一说法，我们将研究一个amarket模型的示例，该模型具有风险资产的特殊融资和再抵押现金抵押品。示例3.14。我们考虑特殊情况，其中B0，l=B0，b=b=b（x）和Bi，l=Bi，b=Bi，对于所有i=1，2，d、 如果我们暂时假设不存在额外的投资组合约束，那么从（3.11）中，我们得到（对于该公式的特殊情况，请参见Bielecki和Rutkowski[8]中的推论2.1）deVcomt（x，x，ν，(R)，a，x，Y）=dXi=1（ξit+(R)ξit）eBit（x）dbSi，cldt+dXi=1（ξitSit+ψitBit）（Bit）-1税息折旧（x）+dXi=1（(R)ξitSit+(R)ψitBit）（位）-1息税（x）-nXk=1bXktdeβkt（x，x）-nXk=1bYktdeβkt（x，Y）+nXk=1（1）- αkt（X））Xkt+（1- αkt（Y））Ykt数据库-1吨。我们假设现金抵押品是再抵押的，因此在Lemma2.5中n=n=2。然后，对于所有t，αt=αt=αt（Y）=αt（Y）=1，且Xt+Yt=Xt+Yt=0∈ [0，T]。此外，我们假设ξitSit+ψitBit=’ξitSit+’ψitBit=0 f或所有i和t∈ [0，T]，这意味着ITH风险资产通过回购账户Bi获得了全额资金（见第2.6.3节）。更一般地说，假设以下等式适用于所有t∈ [0，T]dXi=1Zt（ξiuSiu+ψiuBiu）（Biu）-1deBiu（x）=dXi=1Zt（(R)ξiuSiu+(R)ψiuBiu）（Biu）-1deBiu（x）=0。

（3.12）非线性模型中的衍生品定价27最后，让报酬过程满足βk（X）=βk（Y）（抵押品利率的对称性）。然后，交易台贴现综合财富的动力学公式减少了Devcomt（x，x，ν，’Д，A，x，Y）=dXi=1（ξit+’ξit）eBit（x）dbSi，cldt，因此该模型对于交易台来说是无套利的，前提是存在概率度量Q，其相当于(Ohm, GT），并且使得进程bsi，cld，i=1，2，d areQ局部鞅。当现金账户B0、土地B0、bdi失效，但借贷利率主导借贷利率时，该物业仍然是交易台无套利的有效条件。4套期保值者的公平定价和市场规律我们现在讨论非线性框架中的公平定价问题，假设套期保值者在时间t具有初始禀赋X。我们假设模型对于无效合同或交易台享有无套利属性，我们认为套期保值者打算在时间t签订合同。第一个目标是描述合约Ct套期保值者的公平价格范围。让pt∈ GT表示从套期保值者的角度来看，当时合同的一般价格。因此，如果PTI为正值，则套期保值者在一段时间内从交易对手处收到现金金额PTT，而PTI为负值则表示他同意支付现金金额-PTT在时间t发送给交易对手。在下一次定义中，我们确定日期t∈ [0，T），我们假设合同CTI是以ptat时间T的价格进行交易的。在这种情况下，很自然会问套期保值者是否可以通过签订合同并在[T，T]上使用可接受的交易策略进行套期保值来实现无风险收益。我们建议称之为ahedger的定价套利机会。