非线性市场模型下衍生品的无套利定价

定义4.9中的条件（ii）意味着没有交易策略（x，pr（x，C），Д，C）∈ ψ0，x（C），使条件（4.14）和（4.15）得到满足。这意味着，如果C在时间0以复制成本pr（x，C）进行交易，则不会出现hed ger的套利机会（也就是说，不存在对C严格的超边际策略），因此我们得出pr（x，C）是最大公平价格，这意味着pr（x，C）=pf（x，C）。其余的等式是引理4.5的直接结果。非线性模型中的衍生工具定价334.2.2不可复制合同Let us对合同C的性质发表了一些评论，对于合同C，在M=（S，D，B，C，ψ0，x（C））中复制是不可行的。如果满足假设4.4，那么从引理4.5我们得到以下等式PL（x，C）=pf（x，C）=ps（x，C）=pa（x，C）。显然，知道共同价值是否是一个公平的价格是很有意思的。不幸的是，一般来说，定义的答案是不可用的，因为它可能确实是最大的公平价格，但它也可能代表了严格的超边际战略的成本。此外，目前还不清楚如何继续计算PF（x，C）的值（知道这个值可能就足够了，因为任何一个较低的值都是产生损失的成本）。在假设4.6或假设市场模型M是正则的情况下，我们得出的结论与假设4.4和d下的结论相同，因此它们在分析不可复制合同的估价时没有帮助。4.2.3非正规市场模型我们的下一个目标是通过提供一个不正规的模型的简单示例（尽管是官方的艺术示例），来说明模型的正规性问题。

现在，我们假设套期保值者在时间0时的收益为零，我们首先将自己置于伯格曼[3]模型的框架内，借贷利率不同（另请参见Korn[38]、Nie和Rutkowski[40]以及Mercurio[39]）。特别是，Black-Scholes动态和恒定利率驱动的股票价格满足rb>rl。很容易验证Bergman的mod elMB=（s，Bl，Bb，C，ψ0,0（C））满足定义3.4，例如，如果我们将T到期的所有欧洲看跌期权中的长期和短期头寸类别视为C。此外，套期保值者能够在不借入任何现金的情况下，复制到期日为T且行权K>0的欧洲看跌期权的空头头寸。因此，伯格曼模型中的欧洲h edger曲线由经典的Black-Scholes公式给出，其利率等于RL，因此我们将其表示为每t∈ [0，T]。在下一步中，我们确定罢工K>0和日期U∈ （0，T）。对于具体性，我们假设- U=1，rl=0。特别是，C类仅包括具有str-ike K的看跌期权中的空头和多头头寸。我们通过引入额外的风险集合和以下具有非递减样本路径SST=1[0，T]（T）+（K（T- U））（PU（K））-1{2PU（K）>K}[U，T]（T）。由于rl=0，我们得到P（2PU（K）>K）>0，这是因为2PU（K）>K对于SUsu非常接近于零。很明显，在事件{2PU（K）上，ST=1≤ K} 。另一方面，在事件{2PU（K）>K}上，我们有1<ST=1+K（PU（K））-1<3=eln 3。因此，我们假设rb>ln 3，以确保利率rb支配资产S的回报率。

显然，带有s trike K的p ut期权可以在M=（Bl、Bb、s、s、C、ψ0,0（C））（通过与MB相同的策略，即仅使用BlandSfor交易）和d中复制，因此其在M中的复制成本由Black-Scholes价格p（K）给出。我们准备证明以下描述M性质的命题。很容易检查假设4.4（以及假设4.6）是否符合模型M。命题4.12。市场模型M=（Bl，Bb，S，S，C，ψ0,0（C））具有以下性质：（i）M具有关于无效合同的无套利性质，34 T.R.Bielecki，i.Cialenco和M.Rutkowski（ii）M具有交易台的无套利性质，（iii）M是非规则的，扩展模型fm=（Bl，Bb，S，S，S，C，ψ0,0（C）），其中S=P（K）不具有关于无效合同的无套利性质。（iv）看跌期权的复制成本不是唯一的，最小复制成本由BSDEdYt=Xi=1ξitdSit的解Y给出，YT=（K- ST）+。（4.18）证明。断言（i）很容易检查。直觉上，增长过程可以被视为固定贷款账户Bl=1的替代（人工）贷款账户，因此，如果套期保值者有现金盈余，那么他会将其投资于资产S，而不是贷款账户Bl。因此，值得注意的是，模型（S，\'Bl=S，Bb，C，ψ0,0（C））满足定义3.4，因为它可以被视为伯格曼随机贷款利率设置的另一个实例。对于第（ii）部分，我们将重点放在模型（S，’Bl=S，Bb，C，ψ0,0（C）），我们观察到方程（3.7）将todeVcomt（x，-x、 Д、(R)、A、0、0）=（ξt+(R)ξt）deSt+（ψ0，bt+(R)ψ0，bt）dB0，b，lt，其中A代表看跌期权，eS=S（\'Bl）-1和B0，b，l=Bb（(R)Bl）-1.

由于过程提供了一个鞅测度，过程B0、b、lis为非递增过程，并且假设过程ψ0、带ψ0为非负过程，因此很明显，在所考虑的模型中，交易台没有套利机会，因此在m中也没有套利机会，以证明（iii），我们将证明，在时间0以Black Scholesprice P（K）出售看跌期权的套期保值者可以构造套利机会。要了解这一点，假设套期保值者对区间[0，U]上的看跌期权使用复制策略。如果事件{2PU（K）≤ K} 发生，然后继续复制看跌期权，直到到期日T。相反，如果发生{2PU（K）>K}事件，则他购买PU（K）/SU=PU（K）的资产股份，并将其持有至T。然后，在交付现金金额（K）后，套期保值者在T的财富- ST）+期权买方，满意度VT（0，P（K），Д，-P（K））=PU（K）SUST- （K）- ST）+{2PU（K）>K}+0·1{2PU（K）≤K}=PU（K）（1+K（PU（K））-（1）- （K）- ST）+{2PU（K）>K}>1.5公里- （K）- ST）+{2PU（K）>K}>0.5K1{2PU（K）>K}。由于P（2PU（K）>K）>0，而且很明显，财富总是非负的（因此策略是可以接受的），上述策略对套期保值者来说是一个套利机会。此外，可以使用等于复制成本的初始财富来获得索赔PT（K）的严格超边缘策略。实际上，使用溢价P（K），套期保值者可以复制ζ：=PT（K）或通过产生终端支付ζ=PT（K）1{2PU（K）来严格超边缘PT（K）≤K} +钚（K）（1+K（钚（K））-1） 1{2PU（K）>K}。很容易检查ζ≥ ζ和P（ζ>ζ）>0。

因此，我们得出结论，模型M是非正则的，扩展模型FM不满足定义3.4。对于最后一个断言，我们注意到看跌期权可以在模型（S，\'Bl=S，C，ψ0,0（C））中复制，该模型是Black-Scholes模型的扩展，在该模型中，利率衍生非线性模型中的定价35random。这一主张源于具有Lipschitz连续系数和有界终端条件的BSDE（4.18）解（Y，Д，Д）的存在性和唯一性。此外，复制策略的组成部分Д是非负的，因此相同的策略复制了M中的选项，并且是M.4.3复制和市场规律中成本最低的复制策略，在[t，t]中，套期保值者获得的价值pgt（x，C），t∈ [0，T）降低到通过线性设置中的复制获得的经典无套利价格，前提是以后0的唯一现金流是终端支付，等于- 在-. 不幸的是，在本研究考虑的一般非线性设置中，对套期保值者在t>0时获得的价值的财务解释不太透明，因为它取决于套期保值者的初始捐赠、过去的合同现金流以及套期保值者在[0，t]上实施的策略。以下定义类似于定义4.8，但重点是合同C对时间间隔【t，t】的限制。请注意，此处的贴现财富过程由方程式（3.3）给出。在本节中，假设可以在【t，t】上以一定的初始成本在时间t上复制CTT，定义如下。定义4.13。对于固定的t∈ [0，T]，设prtbe为Gt可测随机变量。

如果存在交易策略（xt、prt、Дt、Ct）∈ ψt，xt（C），使得EVT（xt，prt，Дt，Ct）=xt，（4.19），那么prt=prt（xt，Ct）在时间t被称为与套期保值人在时间t的发送方向相关的合同在时间t的复制成本。正如所料，定义4.9，以及命题4.11，可以扩展到任何日期t∈[0，T）.定义4.14.我们认为，如果满足假设4.4，并且每个合同C都具有以下属性，则市场模型M=（S，D，B，C，ψT，xt（C））对于C是有规律的∈ C可复制的：（i）如果pt∈ GT存在（xt、pt、Дt、Ct）∈ ψt，xt（C）满足PeVT（xt、pt、Дt、Ct）≥ xt公司= 1，（4.20）然后pt≥ prt（xt，Ct）；（ii）如果pt∈ GT存在（xt、pt、Дt、Ct）∈ ψt，xt（C），对于一些D∈ GtP公司DeVT（xt、pt、Дt、Ct）≥ 1文本= 1（4.21）和PDeVT（xt、pt、Дt、Ct）>1Dxt> 0，（4.22）然后P（1Dpt>1Dprt（xt，Ct））>0。与t=0类似，如果条件（i）成立，则条件（ii）等效于以下条件：（iii）如果pt∈ GT存在（xt、pt、Дt、Ct）∈ ψt，xt（C），对于某些事件D∈ GtP公司DeVT（xt、pt、Дt、Ct）≥ 1文本= 1，（4.23）则以下含义成立：如果1Dpt=1Dprt（xt，Ct），则DeVT（xt，pt，Дt，Ct）=1Dxt= （4.24）36 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.RutkowskiIn对命题4.11的以下扩展，我们假设套期保值者的捐赠时间为xtattime t，合同C有所有现金流（t，t）因此Ct=C。假设存在复制策略，我们现在搜索套期保值者在时间t时C的公平价格。第5.1节研究了一个密切相关但不完全相同的估价问题，其中我们研究了在时间0时产生的合同在时间t时的估价。命题4.15。让市场模型M=（s，D，B，C，ψt，xt（C））与C类有关。

那么对于每个合同C∈ C使得C=cT，并且可以在[t，t]上复制，我们有：（i）复制成本prt（xt，C）是唯一的，（ii）prt（xt，C）是最大公平价格和损失产生成本的上界，即prt（xt，C）=pft（xt，C）=plt（xt，C），（iii）prt（xt，C）是超边际成本和严格套期保值成本的下界，即prt（xt，C）=pst（xt，C）=pat（xt，C）。命题4.15的证明与命题4.11的证明非常相似，因此它被提交。根据命题4.15，在[t，t]上的任何常规市场模型中，复制成本是唯一的，它是套期保值者在t时的最大公平价格，在t时的禀赋为xtat。5在常规市场中通过复制定价在本节中，假设市场模型m是常规的。我们的目标是检验合同C的各种价格的性质，前提是它可以在[t，t]上对每t进行复制∈ [0，T）。回想一下，对于任何固定的T∈ [0，T）当合同以Gt可测量价格pt进行交易时，我们根据（xt，pt，ДT，Ct）阿赫德的交易策略从时间T开始，以Gt可测量的捐赠xt。为简单起见，我们关注合同C=（a，X）具有固定到期日T，对应于欧洲风格的不可违约合同。为了应对交易对手信用风险，it部门需要将A替换为流程A在第2.8.1节中介绍，固定到期日与合同在h和d的有效到期日（例如∧τ，其中τ是第一次违约的随机时间，或者更一般地说，是存在缺口风险的合同的有效结算日）。

此外，对于美国风格或游戏期权的合同，有效的结算日期也会受到双方提前终止合同的决定的影响。5.1套期保值者在0时的E x股息价格假设套期保值者在0时的初始捐赠等于x，很明显，定义4.13的任何应用都应辅以对套期保值者在时间t的禀赋x的财务解释，并应阐明数量x与套期保值者初始禀赋x之间的关系。可以考虑多种可选的xt规格，这与所研究的估值问题的不同财务解释相对应：1。第一个自然选择是设置xt=xt（x）：=xBt（x），这意味着套期保值者没有对时间0和时间t之间的合约进行动态套期保值（这一特定约定在Bielecki和R utkowski【8】以及Nie和Rutkowski【40，41】中采用）。然后，quantityprt（xt，Ct）是合同Ct时间t的未来公平价格，正如套期保值者在时间0时看到的那样，他决定将C的交易推迟到时间t。如果希望研究，例如，合同Ct上写明到期日为t的期权在时间0时的估值问题，这种规定可能很方便。非线性模型中的衍生品定价372。或者，可以假设套期保值人在时间0以其复制成本pr（x，C）签订了合同，并决定保持其头寸未对冲。在这种情况下，当使用特定的市场模型计算实际套期保值者在时间t的捐赠XT时，应适当考虑初始价格、现金流和调整。3.

接下来，可以假设套期保值人在价格pr（x，C）的时间0签订了合同，并在[0，t]通过复制策略进行套期保值，如定义4.8所示。然后，套期保值者在时间t>0时的禀赋等于xt=Vt（x，pr（x，C），Д，C），并且很自然地期望等式prt（xt，Ct）=0将适用于所有t∈ （0，T）。4。最后，我们可以简单地假设套期保值者在时间T的捐赠是外源性的。然后定义4.13实际上减少到定义4.8，具有基本相同的财务解释：我们定义了套期保值者在时间T的合同的初始价格。当然，根据这一约定，数量与时间T之间没有关系ies x和xtexists。在下一定义中，我们将定义4.13应用于上述xt的第一个规范，即设置xt=xt（x）：=xBt（x）。如定义4.13所示，贴现财富由（3.3）给出。定义5.1。对于固定的t∈ [0，T]，假设petis是一个Gt可测的随机变量。如果存在交易策略（xt（x）、pet、Дt、Ct）∈ ψt，xt（x）（C）使得EVT（xt（x），pet，Дt，Ct）=xt（x），（5.1）然后pet=pet（x，Ct）在时间t f或合同Ct被称为套期保值者的除息价格。请注意，pr（x，C）=pg（x，C）=pe（x，C），pgT（x，C）=peT（x，CT）=0。当交易作为基础资产的合同CTA上的衍生工具时，或者简单地说，当套期保值者想要计算CTA的未来公允价格而不在时间0实际进入合同时，定义5.1中给出的价格是合适的。此外，它还可用于确定合同Ct的出口代理。很自然地，我们会问，对于所有的t，pgt（x，C）和pet（x，Ct）的过程是否一致∈ [0，T]。

我们将争辩说，当估值问题是局部的时，等式pgt（x，C）=pet（x，Ct）对每个t都有效，但对于全局估值问题，它不一定是真的（见命题6.5）。原因是，在前一种情况下，两个过程满足相同的BSDE，而在后一种情况下，前者得到广义的BS DE，后者得到经典的BSDE。同样显而易见的是，在全球估值问题的情况下，这两个过程将起作用，因为pet（x，Ct）的价值显然独立于套期保值者在[0，t]上的交易策略，而pgt（x，C）可能取决于其交易的整个历史。由于现有文献中遇到的大多数估价问题都具有地方性，据我们所知，其他作者尚未对这一特定问题进行研究。5.2退出策略当我们提出以下问题时，时间t的估值问题也很重要：e xi t定价套期保值人在时间0签订的合同可以在时间t解除。理论上，在时间t解除以价格pr（x，C）=pg（x，C）在时间0开始的合同的最简单方法是将与合同剩余部分相关的所有义务转移给另一个交易者。因此，0<t<t时获得的价值pgt（x，C）将是现金量，该现金量是交易方愿意支付给另一位交易方的，该交易方将从时间t开始接受套期保值方的38 t.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowski头寸。这一论点导致对套期保值者退出价格的以下定义。定义5.2。