衍生产品定价中的闭式近似：Kristensen-Mele

因此，e effectivelyin（67）瞬时短期利率为R（X，t）=0。因此，设定R（X，t）=0，d（X）=0 in（15）yieldsF（X，t）=F（X，t）+ZTtEt，X[δ（X，s）]dt（68）。此处显示的情况类似于Karatzas和Shreve[1 991，p.397]中描述的情况。其中R（X，t）=δ（X，t）=0，而d（X）6=0。然后，通过Friedman【1975，定理6.1】可以再次找到（67）的解F（X，t）=Et【d（X）】。与该情况（68）类似的是（67）的解。基于此解的表示，KM的级数展开式为（见第2.2节）F（X，t）=F（X，t）+NXn=0δn（z，t）（t- t） n+1（n+1）！（69）见Cox et al.（1981），第338.6页随机波动性商品期货68因为R（X，t）被设置为零，以推导（68）根据δn（X，t）=Lδn得出的修正项-1（X，t）表示n>0（70），其中初始定价误差δ仍然由（14）给出。注意，（68）中的期望也可以通过蒙特卡罗积分进行评估。然而，在这种情况下，得到的解不会有闭合形式，因此与蒙特卡罗积分相比，在评估前面提到的直接解方面没有优势。使用（63）中的协方差矩阵得到（14）中的定义，可以直接得出初始定价误差δ=v（t）-σF十、-v（t）FX（71）虽然初始定价误差中的第一个因素与之前的实验中的凸度调整相同，但第二个因素解释了基线和真实模型中基础SDE的不同裂痕。

下表13显示了如何根据（70）中的规则开发一系列纠正术语。6具有随机波动率的商品期货706.3数值精度为了评估该模型的KM近似精度，我使用Lutz【2009】建议的参数值：s=80，(R)s=8 5（即α=log（85）），η=1.0，ω=0.2，v（t）=0.04，κ=1.0，θ=0.05，a和ρ=-0.5以及12、6和3个月的到期时间。根据与前几节相同的论证，基线模型的干扰参数设置为σ=pv（t）。图16显示了MC结果及其95%置信区间，以及这些参数值的N=0到N=4修正项的KM近似结果。Et的模拟值eX（T）为81.8091，95%置信区间为[81.7681；81.8500]。KM近似的结果高估了所考虑的近似阶数的MC。此外，KM近似值中的任何一个都不在估计置信区间内。然而，近似误差相当小，范围在0.2387%到0.4131%之间，具体取决于近似值的顺序。然而，在五个修正项之后，级数展开无法收敛到参考值。仅使用初始校正项的近似将得到最准确的结果（近似误差：0.2387%）。然后，通过在KM的六分法中再加入一个元素，将精度降低到最低水平（近似误差：0.4131%）。然而，随着包含更多的更正，似乎略有改进。总的来说，第一个五个要素的级数展开行为表明，要实现明显的收敛，需要大量的修正项。

虽然近似误差如此之低，以至于对于大多数实际应用来说，精度似乎是足够的，但这暗示了KM方法的一个问题：并不总是清楚哪个数量的修正项会产生最佳近似。图17显示了将时间到期日减少到一个月时的近似结果。整体模式与e之前的模式相同。仅使用初始修正项的近似值将产生最精确的近似值。只添加一个额外的修正项会产生最不精确的结果。添加更多校正项后，近似值再次略有改善，而N=2 toN=4的结果是相同的。对于一个月的到期日，KM的近似结果在每个考虑的近似顺序的95%置信区间内。请注意，尽管使用所有校正项并非最佳，但精度极高，对于n=4近似，n近似误差仅为0.0136%。然而，仅使用初始校正项会产生小于0.0057%的近似误差。图18描述了一年到期时间的KM近似结果。在这种情况下，序列扩展的行为符合预期。精度低于同一组参数，s Lutz【2009】报告的MC结果为81.8016，95%的置信区间为【81.7941；81.8090】。Lutz【2009】还报告了这些参数的分析价格为81.8008。这意味着我自己的MC结果高估了分析价格0.0101%。因此，我相信使用我的MC程序不会对得出的结论产生任何重大影响。6随机波动率商品期货71前面的两个例子。同样，一阶近似值产生的结果最多，二阶近似值产生的结果最不精确。

近似值均不在MC模拟的95%置信区间内。然而，在一年不成熟的情况下，所有近似误差仍然非常低。对于N=4阶近似，误差仅为0.9521%；对于N=0阶展开，误差为0.6856%。图16：MC结果与KM近似值-到期日0.5年预计未来价格81.75 81.8 81.85 81.9 81.95 82 82.05 82.1 82.15 MC价格下形态。上形态N=0 N=1 N=2 N=3 N=4注：与st ochastic方差商品未来模型的MC结果相比，KM的近似值。附录A.5中提供了MC方法的说明。参数值：S=80，(R)S=85（即α=对数（85）），η=1.0，T-t=0.5，ω=0.2，v（t）=0.0 4，κ=1.0，θ=0.05，ρ=-0.5.基线模型是Schwartz【1997】的模型I。6随机波动性商品期货72图17：MC结果与KM近似值-到期日0.25年估计未来价格80.365 80.37 80.375 80.38 80.385 80.39 80.395 80.4 80.405 80.41MC价格下形态。上形态N=0 N=1 N=2 N=3 N=4注：与st ochastic方差商品期货模型的MC结果相比，KM的近似值。附录A.5中提供了MC方法的说明。参数值：S=80，(R)S=85（即α=对数（85）），η=1.0，T- t=0.25，ω=0.2，v（t）=0.04，κ=1.0，θ=0.05，ρ=- 0.5. 基线模型是Schwartz【1997】的模型I。图18：MC结果vs.KM近似值-到期日1.0年预计未来价格82.7 82.8 82.9 83.1 83.2 83.3 83.4 83.5 83.6 83.7 MC价格下限形态上限形态N=0 N=1 N=2 N=3 N=4注：与st ochastic方差商品期货模型的MC结果相比，KM的近似值。附录A.5中提供了MC方法的说明。参数值：S=80，(R)S=85（即。

α=对数（85）），η=1.0，T-t=1.0，ω=0.2，v（t）=0.0 4，κ=1.0，θ=0.05，ρ=-0.5.基线模型是Schwartz【1997】的模型I。结论737结论本论文的主题是分析Kristensen和Mele【2011】开发的封闭式近似方法的行为。在衍生品定价模型方面，我重点关注随机波动率模型，因为它们提供了一种方便的设置，用于测试近似值的准确性和收敛性。我运用KM的方法获得了衍生产品价格的闭合形式近似值以及希腊的近似值。KM的近似在广泛的参数选择范围内为Heston和theCEV模型提供了非常精确的近似。级数展开收敛速度很快，因此五个校正项足以近似这些模型中的资产价格。由于近似值具有闭合形式，因此在希腊很容易获得，在希腊，赫斯顿近似值的表现与期权价格的近似值一样好。尤其是在CEV模型的情况下，KM的近似显示出它在计算效率方面的优势。虽然通过MonteCarlo模拟计算参考值需要大量的计算时间，但KM的闭合形式近似几乎可以立即产生结果。CEV和Heston这两个模型都是两组不同参数的近似f。对于赫斯顿模型，ITM的近似性能通常优于OTM选项。由此，精确度上的这种差异变得更加明显，从而考虑了级数展开中的较低修正项。此外，货币对近似精度的影响随着水平相关性和到期时间的增加而降低，而到期时间对putthan on看涨期权的影响更为显著。

CEV模型的近似值似乎对模型参数的变化不太敏感，尤其是对于高水平的方差弹性。一个例外似乎是对相关性的敏感性，这几乎是由高弹性方差造成的。SZ模型的近似值表现更差。具体而言，成熟时间对近似精度的影响远强于赫斯顿模型。虽然在赫斯顿模型中，近似值在长达两年的期限内保持稳定，但在SZ模型中，不稳定性已经在超过六个月的期限内发生。由于这两个模型之间的唯一区别是方差/波动性过程，这种不稳定性很可能与SZ模型中使用的theOrnstein-Uhlenbeck过程有关。赫斯顿模型是指数线性特征函数意义上的一个函数，而SZ模型以及CEVmodel在这个意义上是非线性的。对CEVmodel近似值的分析表明，对于非有效模型，KM近似值的精度较低，如同对于有效模型一样。然而，在CEV和Heston情况下，级数展开的收敛行为是相似的，这表明不稳定性可能与SZ模型的非唯一结构无关。这些结果表明，KM级数展开的收敛性结论可能随时间不一致。Kimmel（2008）对此做出了可能的解释，他将级数展开解的发散行为与偏微分方程联系起来，并将其与某些成熟度的奇点联系起来。Kimmel【2008】建议通过用非线性时间函数替换时间变量来扩展此类级数展开的收敛范围。

KM提到，Kimmel【2008】开发的方法可用于改进其近似值的收敛性，但未说明如何做到这一点。Kimmel【2008】仅将其时间变化方法应用于单变量差异，并指出在许多情况下，扩展到多变量差异可能并不简单。因此，Kimmel【2008】和KM方法的结合可能是未来研究的一个有希望的可能性。如果只考虑6个月以下的到期日，如果相关性为零，则SZ模型的近似值总体上更精确。然而，在零相关性的情况下，使用五个修正项的近似可以产生最精确的结果，而如果相关性非零，则使用六个修正项的近似更为优越。与Heston和CEV模型的情况类似，近似值在ITM中的表现优于OTM选项，因此aga在这种影响下会随着相关程度的增加而增加。SZ模型中希腊人的近似精度与期权价格的近似精度相似。然而，近似值对于点体积来说似乎是不稳定的。最后，我将KM近似应用于一个商品期货价格模型，该模型通过Ornstein-Uhlenbeck过程对标的商品的价格进行建模，并通过类似Heston的平方根过程对随机方差进行建模。该系列扩展的期限最多为五个更正条款，对于期限最长为一年的债券，通常既没有明显的趋同，也没有明显的分歧。似乎近似值正在接近一个略有偏差的期货价格，而不是真实价格。然而，近似误差仍低于1%。最值得注意的是，对于商品期货模型的近似值，仅使用第一个修正项的近似值的精度最高。

考虑到对于零相关性的SZ模型，使用六项的近似比使用五项的近似精度低，而对于CEV和赫斯顿模型，在某些情况下，使用四项的近似比使用五项的近似精度略高，这表明，如果不同时通过另一个程序获得参考值来求解研究中的模型，可能很难确定最佳近似阶数。尽管如此，由于其计算效率显著提高，KM的方法为期货模型提供了蒙特卡罗解或龙格库塔解的可行替代方案。闭合形式近似也可被视为模型解析解的替代，该解析解仅在KummerSee K immel【2008】第38页中可用。如前所述，在这种情况下，SZ模型与S&S模型相同。7结论75第一类和第二类功能。虽然这些函数在某些编程语言中可能很难实现，但KM的系列扩展在大多数语言中都很容易实现。总的来说，除了SZ模型外，KM的级数展开对本文考虑的所有模型都产生了令人满意的结果。由于基础假设非常抽象，似乎很难指出收敛行为或近似值对特定参数值的敏感性差异的具体原因。尽管系列扩展的实现很简单，但如果手动进行推导，推导过程也很繁琐且容易出错。然而，即使使用Maple等符号数学软件，计算也仅限于五项，因为校正项的长度增长速度太快，超过了计算机内存。

本文中的一个主要问题可能是chosenbaseline模型的结构。对于本文中的大多数示例，我使用Black-Scholes模型作为基线。如前一节所述，如果只使用五个校正项，这已经需要计算布莱克-斯科尔斯模型的导数，最多十个阶数，这实际上意味着将正态分布的导数和交叉导数取这个阶数。尽管使用符号数学软件，但级数展开通常只能针对视图项进行开发。类似于基线模型导数的有限差分近似，正如doneby Garcia[201 3]所述，该方法缓解了发展近似的数学困难，但显著降低了计算速度。此外，该方法失去了以封闭形式生成定价公式的功能，因此该方法将失去其两个主要优势。因此，根据KM的方法，我建议未来研究的三个领域。（i） Kimmel【2008】的时间变化方法与KM的序列扩展相结合，以提高成熟时间的稳健性。（ii）对计算修正项的迭代过程进行更深入的研究，以推导定价偏差的较短表达式，从而能够计算级数展开中的更多项。（iii）针对特定模型的基本假设制定可执行的测试程序。这可能与标准调查有关，以确定特定模型的最佳近似顺序。（iv）最后，进一步研究真实模型和基线模型之间的相互作用，以确定基线的最佳选择。参见Lutz【2009】第页。

64、A参考溶液76A参考溶液本附录描述了赫斯顿（1993）模型和朔伊贝尔和朱（1999）模型的傅立叶变换解，以及用于CEV模型和商品期货模型的蒙特卡罗解。A、 1赫斯顿模型的傅立叶变换解通过傅立叶变换获得赫斯顿模型的分析价格。我用来计算这些价格的Matlab代码由Crisostomo（2014）提供，他使用Gatherel（2006）提出的模型特征函数公式，而不是Heston的原始公式。赫斯顿最初的特征函数公式的一个特殊缺点是，在计算特征函数中出现的复数对数时，可能会出现分支切割。在目前的情况下，这些分支切割可能存在问题，asI将在各种不同的参数值下比较KM近似的性能。因此，如果忽略可能的分支切割问题，则无法确保所有参数选择的分析参考值的有效性，从而破坏从近似误差分析中得出的结论。然而，通过使用Gatheral【2006】的特征函数，特征函数中对数hm的参数从未穿过负实数轴，因此不会发生br anch切割。尽管如此，Gartherals的模型公式与Heston的原始公式是等效的。Crisostomo【2014】对Heston modelCAnalytic（S，t）=SP使用了以下定价框架- e-r（T-t） KP（72），其中p=+πZ∞真实的e-iφlog（K）Д（φ- i） iφИ(-（一）dφP=+πZ∞真实的e-iφlog（K）Д（φ）iφdφ，其中特征函数Д（·）在Crisostomo【2014】中给出。并不是说这种方法与Gathereal（2006）中的方法略有不同。