衍生产品定价中的闭式近似：Kristensen-Mele

由于V（t）表示（34）中的方差，选择η=pv（t）意味着将使用相同的现货波动率估计来计算Black-Scholes和Heston期权价格。由于这种现货波动率通常是根据观察到的期权价格来估计的，因此其相应的基础似乎是合理的。KM建议一台mig ht也使用通过优化问题确定的最佳妨害参数：ηOptN（S，v，t）=ar g minηCN（S，t；η）- CBS（S、t、η）（47）请注意，这相当于最小化定价误差的平方。正如KM所指出的，ηOptN（S，v，t）收敛于Black-Scholes模型asN的隐含波动率→ ∞. 考虑图1所示的实验，其中蓝线显示了（34）中定义的方差过程的一个可能样本路径。同一图中的红线显示了Black-Scholes隐含波动率，其中期权价格是在Heston模型下使用蓝线中的特定值v（t）在每个时间步计算得出的。因此，红线显示，如果在布莱克-斯科尔斯模型的假设下工作，人们将在每个时间点估计的隐含波动率，而真实的市场动态则由赫斯顿模型控制。图1清楚地表明，赫斯顿模型的sp ot波动率与Black-Scholes模型的隐含波动率高度相关，其中隐含Black-Scholes波动率总是略微低估真实波动率。然而，这一公认的启发性示例表明，选择η=pv（t）几乎等同于使用（47）中的优化标准，这解释了为什么如果使用有限且数量较少的修正项，此特定选择优于建议的替代性近似精度。并将其推广到CEV模型。3近似赫斯顿模型22图1：模拟vs。

B-S隐含挥发度0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5Heston挥发度隐含B-S挥发度注释：方差序列是由（48）&（49）的欧拉离散生成的单一样本路径，具有500个时间增量。期权价格通过数值积分的傅立叶反演计算，通过Matlabs bsimpl（）函数的隐含Black-Scholes波动率计算。参数：κ=2.00，θ=0.04，ω=0.10，ρ=-0.5和r=0.10.3.2近似精度为了研究近似的精度，我将遵循KM，并将近似误差相对于解析解表示为%Diff=CApproximation- CanalyticAnalysis·10 0I将对本论文中考虑的所有模型使用近似误差的定义，而不仅仅是赫斯顿模型。如果没有解析解，我使用蒙特卡罗模拟得出的价格，就像上面表达式中的解析价格一样。首先，我在初始示例中使用了与KM相同的参数，这与Heston【1993】中的参数大致相同。使得κ=2.00，θ=0.04，ω=0.10，ρ=-0.5，r=0.10。即期波动率为v（t）=0.04，履约价格设定为100，到期时间为一年。在图2a中，Black-Scholes挥发度被设置为η=pv（t），因此得到的图以KM为单位复制了图3。对于图2b，干扰参数设置为η=√θ. 在这两种情况下，近似值都是收敛的，仅在五个修正项后即可实现有效进动。如图2a所示，在选择妨害参数之前已经指出，该参数似乎优于备选参数。注意，设置η=pv（t）意味着3近似于赫斯顿模型23初始校正项δ=0。因此，在图2a中，N=0线有效地显示了Black Scholes和Heston价格之间的百分比差异。

图2b中的情况并非如此，其中η=√θ6=pv（t）。由于在这种情况下，近似值失去了精度，这种损失似乎与级数展开中δ项的出现有关。图2:Heston【1993】模型股票价格的KM近似值80 85 90 95 100 105 110 115 120-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4（a）使用σ=pv（t）股票价格80 85 90 95 100 110 115 120-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4（b）使用σ=√θ注：分析价格是通过傅里叶变换计算的。N=纠正术语的数量。履约价格=100，到期时间=1年，κ=2.00，θ=0.04，ω=0.10，ρ=-0.5，r=0.10，v（t）=0.04。所有与Hest on【1993】参数一致的B-S参数设置为相等。3近似赫斯顿模型24请注意，在这两种情况下，都有一系列股票价格，其中涉及四个修正项的近似值表现略好于使用五个修正项的近似值。然而，最大绝对误差为最低f或N=4。因此，在本节中，我将使用η=pv（t）和N=4。图3a至3c显示了不同到期日相同近似值的误差。这些示例显示了一个有趣的模式。如果增加了到达精度的时间，则除N=0近似值外，所有近似值的精度都会降低。在长达四年的成熟期内，由于N=0的近似值产生了最精确的结果，因此收敛似乎变成了发散。回想一下，近似值的讨厌参数设置为N=0近似值仅包含Black-Scholes价格。在分析期权数据中的波动率微笑时，有充分证据表明，微笑在短期到期时比在长期到期时更明显，即波动率微笑随着波动率的增加而变化。

由于Black-Scholes模型预测完全“微笑”，与短期到期相比，长期到期的真实期权价格将更接近Black-Scholes价格。这表明，KM的方法只是在图3c中的Black-Scholes价格中添加非零修正项，随着到期时间的增加，该方法变得越来越不精确。所以，KM级数展开的收敛性可能会随着时间的推移而不一致。在KM中也发现了这一问题，以近似长期债券的价格。然而，在股票或外汇期权的情况下，这样的长期期限是罕见的。3近似HESTON模型25图3:HESTON【1993】模型股票价格的KM近似80 85 90 95 100 105 110 115 120-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4（a）到期时间1.5年股票价格80 85 90 95 100 105 110 115 120-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4（b）到期时间2.0年股票价格80 85 90 95 100 105 110 120-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4（c）到期时间4.0年分析价格是通过傅立叶变换计算出来的。N=纠正术语的数量。罢工价格=100，κ=2.00，θ=0.04，ω=0。10, ρ = -0.5，r=0.10，v（t）=0.04。所有与Heston【1993】参数一致的B-S参数都设置为相等。3近似赫斯顿模型26下图4显示了当成熟时间和货币到期时，近似的准确性如何变化，而现在也考虑了一年以下的到期日。正如预期的那样，对于低信息量，近似的性能会增加。ITM的近似值（货币中，货币性>1）优于OTM的近似值（货币中，货币性<1）所称的模式在所有到期日都保持不变。

有趣的是，对于非常长的到期日，该方法高估了买入价格，而对于最短的到期日，则低估了价格。应该注意的是，虽然对于一年以下的到期日，far ITM调用的近似误差实际上变为零，但对于所有长期到期日，它仍然略高于零。总的来说，图4显示了大多数成熟度的高精度近似值。图4：到期日和货币性对KM扩张的影响0.80.9货币性K/S1.11.20.5成熟度1.5-2-1注：分析价格是通过傅立叶变换计算的。KM的近似使用了fivecorrective项。κ = 2.00 , θ = 0.04, ω = 0.10, ρ = -0.5，r=0.10，v（t）=0.04。所有与Heston【1993】参数一致的B-S参数设置为相等。接下来，我分析了股票价格与方差过程之间的相关性的影响。在所有之前的图中，相关系数ρ设置为-0.5. 图5显示了当同时改变ρa s和股价时，SKM对赫斯顿模型的近似值，而校正项的数量固定为5（即N=4）。面板（a）显示了一年到期的结果，面板（b）显示了0.5年到期的结果。两个图都表明，随着相关性的增加，近似值会在快速f或OTM调用时丢失精度。随着相关精度的提高，图5b中OTM3近似赫斯顿模型27次调用的近似精度显著降低。然而，ITM调用的近似值的精度似乎几乎不受相关性的影响。图5a清楚地表明，在较长的成熟期内，近似值的总体精度较低。在不同的货币范围内，相关性总是影响准确性。然而，图5b中的类似模式适用。

对于低水平的相关性，ITM和OTM调用之间的差异不准确度远远低于高相关性。总的来说，图4和图5显示，KM的近似值受到相关性、货币性和到期时间的强烈影响。由于图5还显示了到期时间和相关性之间的关系，图6明确显示了如果这两个量不同，对KM扩展F或ATM调用（在货币上，货币度=1）的近似误差的影响。对于6个月的到期日，相关性水平对准确性没有显著影响。然而，对于更长的时间，成熟度相关性在0.0和-0.5会导致高估买入价格，而-0.5和-1.0导致低估。在任何一种情况下，最大的近似误差都是在考虑的相关谱的最末端和考虑的最长到期时间（两年）达到的。3近似赫斯顿模型28图5：相关性对KM近似货币性K/S0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50.51.5ρ=-1ρ=-0.75ρ=-0.5ρ=-0.25ρ=0.0（a）一年到期时间K/S0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50.51.5ρ=-1ρ=-0.75ρ=-0.5ρ=-0.25ρ=0.0（b）到期时间0.5向往：分析价格是通过傅里叶变换计算出来的。KM的近似使用了fivecorrective项。到期时间=1年（A组）或=0.5年（B组），κ=2.00，θ=0.04，ω=0.10，r=0.10，v（t）=0.04。所有与Heston【1993】参数一致的B-S参数都设置为相等。3近似赫斯顿模型29图6：成熟度和相关性对KM扩张的影响1.5成熟度0.5-1-0.8-0.6-0.4ρ-0.2-1-2-3注：分析价格通过傅立叶反演获得。

KM的近似值使用了五个校正项。κ=2.00，θ=0.04，ω=0.10，r=0.10，v（t）=0.04。所有与Heston【1993】参数一致的Black-Scholes参数均设置为相等。本节中出现的所有图形都有一个共同点，即KM近似精度在OTM选项范围内具有最大绝对误差。期权在OTM区域越深，误差增加越快，而在ITM区域，误差随着期权价格的变动而减小。因此，期权的价格似乎对近似值的准确性有很大影响。对于短期到期和/或低水平的相关性，在整个货币范围内，近似值似乎相当准确。然而，如果成熟度和/或相关性增加，OTM选项的精度恶化最严重。KM还分析了另一组参数对赫斯顿模型的近似值。具体而言，KM使用了以下值：Strike=1000，T- t=1/12，κ=0.1465，θ=0.5172，ω=0.5786，ρ=-0.02 43，r=0.00，v（t）=θ，γ=0.5。Bollerslev和Zhou[2002]在FXoptions的背景下对这些参数进行了估计。KM近似的结果见表2，这与Younesian【2013】所观察到的相同。该参数选择违反了Feller条件，因为4κθ/v=0.5860<2。然而，Cizek e t al【2011年】指出，当在外汇环境下将赫斯顿模型与市场数据进行校准时，通常会发生这种情况。这仅仅意味着变量过程会反复触及零边界，但会立即离开它，即在边界y处花费的时间为零。（见Cizek e t al.（2011），第144页）。因此，违反Feller条件不应影响KM近似的结果。3近似于赫斯顿30型，结果已以KM为单位显示。

面板A显示了即期货币性如何影响近似值的准确性，而面板B显示了ATM调用的即期方差v（t）的不同值的影响。Aga在两个面板中的近似精度都非常高。在这种情况下，极高的准确性也可能与极低的相关性和较短的成熟时间有关。前面的示例表明，两者都有可能改进近似值。3近似HESTON模型31表2：近似HESTON【1993】模型面板A：股价傅里叶变换KM约为%差异950 57.8425 57.8449 0.00418960 62.3711 62.3738 0.004257467.1005 67.1033 0.0042447980 72.0291 72.0321 0.004155377.1553 77.1584 0.00400211000 82.4766 82.4797 0.00379787.9903 87.9934 0.00355131020 93.6933 93.6964 0.00327599.5822 99 5852 0.0029773105.6560.00266631050 111.9021 111.9048 0.0023492面板B：v（t=0）傅里叶变换KM约为0.1 36.4488 36.4854 0.100450.2 51.4125 51.4255 0.0253190.362.8997 62.9068 0.0112760.472.5792 72.5838 0.00634720.581.1007 81.104 0.00406280.6 88.7981 88.8006 0.0028210.795.8702 95.8721 0.0020720.8102.8102 4465 102。4481 0.00158570.9 108.6171 108 .6184 0.0012524114.4477 114 .4488 0.0010141.1 119.9878 119 .9888 0.00083766在Heston【1993】模型动态下的欧洲看涨期权价格比较。使用Matlab的integral（）函数，通过数值积分得到傅里叶变换价格。KM近似使用Black-Scholes模型作为基线模型。面板A：提供期权现货价格的准确性。执行价格=1000。B组：在货币期权（S（t）=st rike=1000）下，用于区分即期差异。在两个窗格中：到期时间=1/12，κ=0.14 65，θ=0.5172，ω=0。5786, ρ = -0.0243，r=0.00，v（t）=θ，γ=0.5。BlackScholes模型的波动率为σ=pv（t）。

与Heston【1993】参数一致的所有B-S参数均设置为相等。3.2.1近似看跌期权价格取决于所选参数值。对于OTM调用，近似值的性能相对较差，对于ITM调用，近似值的性能相对较好。在下文中，我将分析这种影响是否也出现在欧洲Put3近似于赫斯顿32型选项的情况下。KM没有提供一个近似看跌期权的示例。然而，put的级数展开式很容易推导出来。回想一下（46）中级数展开式中修正项d（·）和δn（·）的定义。d（·）被定义为真实模型和基线模型的最终支付之间的差异。如果使用Black-Scholes看跌期权作为基线模型来近似Heston f r amewo r k中的欧式看跌期权，则t项d（·）仍然等于零。回想一下，有必要选择最终支付相同的ba seline模型，因为普通香草选项的支付函数是不可区分的。另一个修正术语δnac反映了真实市场和基准市场驱动力的差异。从技术上讲，这种修正是建立在SDE两个模型系统和基线模型衍生物的系数差异的基础上的（见表1）。如果从看涨期权转换为看跌期权，表1中给出的初始定价错误和所有高阶修正条款可能保持不变。为了了解这一点，回顾如下：在任何一种情况下，系数都是相同的，并且校正项中出现的基线模型的导数也是相同的。在Black-Scholes模型中，只有股价方向的一阶导数在看涨期权和看跌期权之间存在差异，而二阶导数在这两种情况下是相同的。

在初始定价误差δ中，仅会出现Black-Scholes公式的二阶导数，而在近似中使用的基线模型的所有其他导数均取自该二阶导数。因此，对于看涨期权和看跌期权，整个修正项系列δ是相同的。因此，在KM近似下，只需将看跌期权的Black-Scholes价格作为序列扩展中的第一个元素，其余部分保持不变，就可以从看涨期权转换为看跌期权。可通过应用输出调用奇偶校验关系C（S，t）+Ke来检查此结果-r（T-t） =P ut（S，t）+通过KM系列扩展预测的看涨期权价格，即通过看涨期权平价从看涨期权价格获得的看跌期权价格应与通过使用Black-Scholes看跌期权价格作为其第一要素的系列扩展获得的看跌期权价格相同。应用bothapproaches，我可以证实这确实是真的。图7a显示了看跌期权KM近似值的收敛性。关于参数值，我再次使用最后一节第一部分的值，即κ=2.00，θ=0.04，ω=0.10，ρ=-0.5，r=0.10，v（t）=0.04，罢工100次，到期时间为一年。总的来说，每种KM近似值的绝对最大误差都低于具有相同数量修正项的买入价格近似值。每个额外的修正项似乎都会提高近似值的准确性。然而，与之前一样，有一系列期权价格，其中包括四个条款的扩张略优于包括五个条款的扩张。在看跌期权的情况下，OTM和ITM选项近似值的准确性差异不太明显。而影响，如赫尔（Hull）[2015]，p。