衍生产品定价中的闭式近似：Kristensen-Mele

然而，ITM地区的错误面板似乎并没有完全消失，因为赫斯顿模型就是这样。4近似CEV模型44图8：不同的CEV参数值股票价格80 85 90 95 100 105 110 115 120-15-10-5N=0N=1N=2N=3N=4（a）CEV，γ=0.6股票价格80 85 90 95 100 105 110 115 120-15-10-5N=0N=2N=3N=4（b）CEV，γ=1.33注：CEV模型的近似值。面板（a）：γ=0.6，面板（b）：γ=1.33。在两个面板中：θ=0.04，ω=0。10, ρ = -0.5，r=0.1，即期方差v=0.05，到期时间为一年，履约价格为100。Black-Scholes波动率为√v、 使用附录A.4中的规范，通过蒙特卡罗模拟获得参考值。KM分析其对CEV模型的近似精度，γ=0.6，并使用Bollerslev和Zhou【2002】f或f X选项估计的参数集。下表7在t empts复制了Kristensen和Mele的部分内容【201 1，表2】。成熟时间为一个月，κ=0.1465，θ=0.5172，ω=0.5786，ρ=-0.0243，r=0.00，v（t）=θ。看涨期权的行权设定为1000。我还将95%的密度区间包括在表中，这些区间未以KM为单位报告。这两种价格，MC以及KM价格，都与其中报告的价格不同。KM提到，他们设计了4近似CEV模型45的MC模拟，以使γ=0.6时获得的MC价格与分析赫斯顿价格的偏差不超过0.5%，即与使用相同参数集但γ=0.5的傅立叶反演获得的价格的偏差不超过0.5%。然而，当比较Kristensen和Mele【2011年，表1】以及Kristensen和Mele【2011年，表2】中报告的期权价格时，发现表2中的MC价格与表1中的Fourier价格相比偏离了0.5%以上。

此外，将MC价格与傅立叶结果进行拟合的过程可能存在疑问。即使参数值很接近，结果模型也会产生结构性后果。如前所述，虽然Heston模型（即γ=0.5）是一个有效模型，但γ=0.6的一般CEV情况产生一个非有效模型。此外，0.5%偏差的界限似乎是任意的。因此，我不会按照KM的建议限制MC价格。因此，基于MC模拟的价格可能会以另一种方式偏离赫斯顿价格，而不是以KM为单位。然而，KM的sMC价格在我自己的MC结果的置信区间内。通过KM系列扩展获得的结果与Ristensen和Mele【2011年，表2】报告的值不同。我用于获得表7中近似值的程序与表2相同。由于结果与以KM为单位的报告值完全匹配，因此偏差令人惊讶。虽然KM的原始结果经常高估MC价格1%左右，但我自己的结果却经常高估MC价格。然而，我的MC和KM近似价格仅相差约-0.55%。然而，如果我使用KM的原始结果，结论将保持不变。对于非a ffene CEV情况，KM的级数展开似乎得出的近似值不如a ffene Heston模型的精确值。表8使用了与表7相同的参数值，但现在将γ设置为1.33，以便分析高方差弹性的情况。与MC价格的差异保持在1%以下，但现在系列扩张不断产生高于MC价格的价格。近似误差现在也显示出意外的模式。当选项从OTM移动到ITM时，它们会增加。

这似乎与特定参数值和高弹性方差有关。见K ristensen和Mele【2011年】，第4页01.4近似CEV模型46表7：近似CEV模型-γ=0.6面板A：股价蒙特卡罗系数。下形态上KM约%差异950 58.178 56.5888 59.7672 57.8674-0.53393960 62.7283 61.0752 64.3814 62.3967-0.52869970 67.4865 65.7693 69.2036 67.1266-0.5333980 72.4486 70.6673 74.2298 72.0555-0.54255990 77.6149 75.7696 79.4602 77.1817-0.558141000 82.9715 81.0622 84.8809 82.5029-0.56483109 10 88.5223 86.5491 90.4955 88.0163-0.571641020 94.2615 92.2246 96.2983 93.7188-0.575751030100.1746 98.0743 102.2748 99.6069-0.566641040 106.2693 104.106 108.4326 105.677-0.557391050 112.5434 110.3175 114.7693 111.9249-0.54959面板B：v（t=0）蒙特卡罗形态下形态上KM约%差异0.1 36.7795 35.9868 37.5721 36.6167-0.442490.2 51.7656 50.6285 52.9026 51.5021-0.509030.3 63.2958 61.888 24 64.7093 62.9573-0.534860.4 73.0207 71.3661 74.6754 72.6188-0.550430.5 81.587879.7144 83.4613 81.1286-0.562830.6 89.3302 87.2538 91.4066 88.8177-0.573670.7 96.4461 94.1786 98.7137 95.8836-0.583290.8 103.0649 100.6155 105.5143 102.455-0.591760.9 109.2765 106.6527 111.9003 108.6217-0.599251 115.1459 112.3539 117.9379 114.449-0.605251 120.7237 117.7688 123.6786 119.9864-0.61074注：CEV模型动态下欧洲看涨期权价格的比较γ = 0.6.MC价格使用Milstein方案、500个时间步和20000 s样本路径获得。密度区间按95%的水平计算。KM近似使用Black-s-choles模型作为基线模型。面板A：区分期权现货价格的准确性。执行价格=1000。小组B：在货币期权（S（t）=罢工=1000）上，用于区分即期差异。

在两个窗格中：成熟时间=1/12，κ=0.14 65，θ=0.5172，ω=0.5786，ρ=-0.0243，r=0.00，v（t）=θ。Black-Scholes模型的波动率为σ=pv（t）。4近似CEV模型47表8：近似CEV模型-γ=1.33面板A：股价蒙特卡罗系数。下形态上KM约%差异950 57.7911 56.2022 59.3801 57.9685 0.30688960 62.2887 60.6359 63.9416 62.4995 0.33837970 66.974 65.257 68.6911 67.2303 0.38266980 71.8629 70.0816 73.6442 72.1595 0.412 8990 76.9577 75.1121 78.8032 77.2853 0.425741000 82.2442 80.3345 84.1539 82.6053 0.43906106 87.7206 85 7469 89.6943 88.1168 0.451681020 93.3737 91.3361 95.4113 93.8168 0.474551030 99.213697.1124 101.3148 99.7018 0.492151040 105.2331 103.0687 107.3975 105.7682 0.508481050 111.4358 109.2087 113.6629 112.0119 0.51693面板B:v（t=0）蒙特卡罗形态下形态上千米约0.1 36.6629 35.8701 37.4558 36.8541 0.521530.2 51.4396 50.3018 52.5775 51.6922 0.490960.3 62.818 61.4036 64.2324 63 1147 0.472320.4 72.4188 70.7634 74.0743 72.7493 0.456330.5 80.8778 79.0039 82.751781.235 0.441580.6 88.5227 86.4464 90.5991 88.9015 0.427960.7 95.5489 93.2821 97.8157 95.9457 0.415360.8 102.0848 99.6369 104.5326 10 2.4961 0.402930.9 108.2186 105.5973 110.8399 108.642 0.3912 81 114.0145 111.2261 116.8029 114.4488 0.380941.1 119.5232 116.573 122.4734 11 9 9.9658 0.37029注：比较γ=1.33的CEV模型动态下的欧洲看涨期权价格。MC价格使用Milstein方案、500个时间步和20000个样本路径获得。置信区间按95%计算。KM近似使用Black-Scholesmodel作为基线模型。面板A：区分期权现货价格的准确性。执行价格=1000。B组：在货币期权（S（t）=罢工=1000）处，用于区分即期差异。

在这两种情况下：到期时间=1/12，κ=0.1465，θ=0。5172, ω = 0.5786, ρ = -0.0243，r=0.00，and v（t）=θ。Black-Scholes模型的波动率为σ=pv（t）。专注于γ=1.33的情况，图9显示，对于不同的到期日，相关性似乎对近似的准确性没有显著影响。尽管存在水平相关性和时间相关性，但所有参数均与图8b相同。对于图9a中较短的六个月到期时间，KM的近似值对于每个相关级别都达到了完全相同的精度。对于图9b中近似于CEV模型48的较长到期时间（一年），表明近似精度的直线随着相关程度的增加而略有偏移，但差异非常小。因此，对于γ=1.33的CEV模型，相关性对KM近似精度的影响似乎并不显著。由于之前在近似赫斯顿模型时，相关性水平对准确性有影响，现在这种影响似乎是由方差的高弹性决定的。图10对γ=0的CEV参数进行了相同的分析。6，保持所有其他参数相等。结果支持这样一种观点，即相关性对近似值的影响是由高方差弹性决定的。对于γ=0.6，相关性确实有明显的影响，但是，随着期权在ITEM区域内移动得更深，这种影响就会消失。

正如预期的那样，相关性的影响也随着到期时间的增加而增加。4近似CEV模型49图9:CEV：γ=1.33的相关性和货币性K/S0.8 0.85 0.9 0.95 1 1 1.05 1.1 1 1.15 1.2-1-0.50.51.5ρ=-1ρ=-0.75ρ=-0.5ρ=-0.25ρ=0.0（a）T- t=0.5moneynes K/S0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2-1-0.50.51.5ρ=-1ρ=-0.75ρ=-0.5ρ=-0.25ρ=0.0（b）t- t=1.0注：使用校正项对CEV模型的KM近似值产生影响。专家组（a）：到期时间为三个月。小组（b）：到期时间为六个月。γ = 1.33, θ = 0.04, ω = 0.1 0, ρ = -0.5，r=0.1，即期方差v=0.05。BlackScholes波动率设置为√v、 参考值通过蒙特卡罗模拟获得，使用附录A.4.4中的规定，近似于CEV模型50。图10：CEV：γ=0.6Moneyness K/S0.8 0.85 0.9 0.95 1 1 1.05 1.1 1 1.15 1.2-1-0.50.5ρ=-1ρ=-0.75ρ=-0.5ρ=-0.25ρ=0.0（A）T- t=0.5moneynes K/S0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2-1-0.50.5ρ=-1ρ=-0.75ρ=-0.5ρ=-0.25ρ=0.0（b）t- t=1.0注：使用校正项对CEV模型的KM近似值产生影响。专家组（a）：到期时间为三个月。小组（b）：到期时间为六个月。γ = 0.6, θ = 0.04, ω = 0.10, ρ = -0.5，r=0.1，即期方差v=0.05。Black-Scholesvality设置为√v、 使用附录A.4中的规范，通过蒙特卡罗模拟获得参考值。最后，以更集中的方式分析γ本身的影响可能会很有趣。图11尝试这样做。参数与图8相同，但nowlettγ在0.6到1.6之间变化。正如在前面的图中一样，我使用N=4的阶数作为KM近似值。

该图表明，当γ>0.6时，弹性参数对近似精度没有显著影响。对于所有价值，系列扩展显示出OTM选项的预期精度较低。4尽管与CEV 51型近似，但与MC价格的绝对最大差异从未超过1.5%。图11：方差和货币弹性水平0.80.9货币性S/K1.11.20.60.81.2γ1.41.50.51.6注：方差参数和货币性的不同弹性对CEV模型KM近似值的影响，使用五个正确的术语。完工时间为一年，θ=0.04，ω=0.10，ρ=-0.5，r=0.1，即期方差v=0.05。Black-Scholes波动率设置为√v、 参考值通过蒙特卡罗模拟获得，使用附录A.4.5随机波动率和OU过程525随机波动率和OU过程。在本节中，我将重点转向期权价格的另一类随机波动率模型，其中随机波动率直接建模，并遵循Ornstein-Uhlenbeck过程。考虑以下系统：SDEsdS（t）=r dt+σ（t）dW（t）（53）dσ（t）=κ（θ- σ（t））dt+ωdW（t）（54）dW（t）dW（t）=ρdt，其中κ表示均值回归参数的速度，θ表示长期均值，ω表示波动率的瞬时波动率。该模型最初由斯坦（Stein）和斯坦（Stein）[1991]（此后为S&S）提出，用于股票价格和波动过程之间的零相关性，因此在原始公式中ρ≡ 由于波动率与股价过程之间的相关性在重新应用数据中观察到的波动率微笑中起着重要作用，因此零相关性似乎具有相当大的限制性。

然而，Sch¨obel和Zhu[1999]对该模型进行了扩展，以涵盖这两个过程之间的任意相关性。我之所以考虑这个模型，是因为它不属于a ffine模型的范畴，因此产生了一个比之前的非a ffne CEV示例更常见的非a ffne模型。Sch¨obel和Zhu[1999]通过傅里叶反演技术为该模型提供了一个（半）闭式解，因此可以通过解析解来检验K M近似的准确性和收敛性。请注意，SZ模型不是赫斯顿模型的特例，反之亦然。对于参数限制κ=κ赫斯顿/2、ω=ω赫斯顿/2、θ=0和θ赫斯顿=ω/κ赫斯顿，Sch¨obel and Zhu[1999]模型等效于赫斯顿模型。然而，这些限制决定了赫斯顿模型，因此这两个模型在很大的参数值范围内并不一致。这为保持KM近似的鲁棒性提供了另一个优势。CEV模型中的非特定和非特定的变量过程具有相同的一般结构，其中一个变量是另一个变量的特例。虽然KM没有考虑除CEV情况以外的任何非有效期权定价模型，但他们是在利率模型的背景下考虑的。具体而言，KM将其近似值应用于Forani和Mele[2006]提出的非净因子模型。在这种情况下，KM发现近似误差只会随着不到三年的纠正条款格式数量的减少而减少，并得出结论，对于较长的到期日，可能需要许多纠正条款才能实现准确的近似。

由于KM方法的准确性也随着赫斯顿成熟时间的增加而恶化，因此有必要在Stein和Stein【1991】以及Sch¨obel和Zhu【1999】的背景下评估不同成熟时间近似值的准确性。参见Sch¨obel和Zhu【1999】，第30页。参见K ristensen和Mele【2011年】，第4页07.5随机波动率与OU过程53模型。5.1 SZ模型的近似推导SZ/s&s-模型的KM近似值的步骤与Heston模型的步骤基本相同。同样，Black-Scholes公式作为基线模型。第一步是推导SZ模型的协方差矩阵。应用与第3.1节（36）中相同的原理，协方差矩阵由“σ（t）S（t）0ρωp1”给出- ρω#×”σ（t）S（t）ρωp1- ρω#=“σ（t）S（t）ρωσ（t）S（t）ρωσ（t）S（t）ρωσ（t）S（t）ω#（55）在上述matr ix方程的右侧应用（14）会产生初始定价误差δ=σ（t）- ηS（t）哥伦比亚广播公司S（t）（56）注意，通过用σ（t）代替v（t），δ与（50）中的δ相同。基于此初始定价错误，可以根据（18）中的规则迭代计算所有进一步的修正项。纠正术语的迭代如表9所示。注意，对于S&S模型的情况，即ρ=0时，所有术语包括交叉导数δn/Sσ（t）退出。使用（46）和表9中的修正项，可以表示SZ模型动态下普通香草调用的价格。对于该模型，我开发了SZ模型的展开式，直到N=5，因为这是KM用于其近似f theForani和Mele[2006]模型的级数展开式的最佳顺序。由于SZ和S&S模型是等效的，因此ρI的选择将以SZ规范为基础。

通过将ρ设置为零，可以简单地获得S&S模型的近似值。5具有OU过程的随机波动率555.2近似精度图12遵循与前几节中初始图相同的想法，显示了在近似S&S模型时，不同股票价格的近似误差行为，即模型的零相关性情况。参数值取自Sch¨obel和Zhu【1999年】。图12a（到期日为0.25年）显示了预期的收敛模式。对于N=4或N=5的校正项，KM的近似可产生非常精确的结果，N=4的百分比误差不超过0.6458%，N=5的百分比误差不超过1.1282%。当N=5时，N=4的最大绝对误差略小，这表明并非所有模型都需要更多的修正项才能导致更大的进动。如果解析解是未知的，则很难确定近似的最佳阶数的特性。随着成熟时间准确性和lso的增加，收敛行为迅速恶化。图12b和12c显示了0.5年和1年的到期时间的相同近似值。虽然在图12b中似乎不存在明显的收敛模式，但最后两个面板甚至似乎暗示朝着发散方向而不是收敛方向，至少就所考虑的纠正项数量而言。这表明，当使用Ornstein-Uhlenbeck而不是前面章节中的平方根过程时，随着成熟时间的增加，近似变得不稳定的速度要快得多。只有一年以上的到期日才会出现不稳定性。图13显示了用KM近似法近似更一般的SZ模型的结果。我假设相关系数ρ=-0.5，而所有其他参数与之前相同。