衍生产品定价中的闭式近似：Kristensen-Mele

收敛模式似乎与S&Smodel相同。该近似值在0.25年的短期内收敛，如图13a所示。然而，13b a和13c小组表明，对于半年和一年到期的时间，趋同似乎变成了分歧。请注意，即使对于短期到期情况，对于OTM调用，N=5的近似误差仍然很大。与零相关情况相比，随着股价的上涨，近似误差消失得更快、更均匀。此外，在这种情况下，每一个新的校正项的近似值确实更加精确，而在相同成熟度的零相关性情况下，第六个校正项略微降低了精度。当到期时间增加时，SZ模型的近似值显示出与S&S模型相同的行为。在半年的期限内，趋同模式开始消失，在一年的期限内变为分歧。总的来说，与CEV或Heston模型相比，这类模型的KM近似方法的兼容性似乎较低。对于赫斯顿模型（Hestonmodel），对于最长两年的到期日，仍然存在一种趋同模式。Kimmel【2008】发现，如果用于定价的序列展开在某些复杂到期日具有奇点，则某些到期日会出现这种分歧行为。在这种情况下，序列展开将开始偏离绝对量级5随机波动率相同的到期日，OU过程56与奇点发生的复杂到期日相同。更具体地说，Kimmel【2008年】认为，复平面中存在一个圆，其半径由从零到最接近零的奇点的距离确定，这种级数展开式在圆内收敛，在圆外发散。

这表明，超过0.5年的SZ mo del到期日已经超出了这一范围。请注意，图12和图13都表明，当到期时间为0.5年或更长时，最精确的KM扩展仅包括第一个修正项，即N=0。对于一年期的长期债券，这些扩张似乎非常精确。然而，这可以简单地用nuisanceparameter的特定选择和波动率微笑的一般行为来解释。通过选择η=σ（t），ONE有效地将第一个校正项设置为零，这样N=0展开式仅使用Black-Scholes价格作为近似值。正如我在讨论赫斯顿模型的近似值时已经指出的那样，对于长期到期的债券，波动性指数往往会下降，因此布莱克-斯科尔斯价格将更接近真实价格。参见K immel【2008年】，第1.5页随机波动率与OU过程57图12：Stein和Stein【1991年】模型的近似值。股票价格80 85 90 95 100 105 110 115 120-20-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5（a）到期时间T-t=0.25股价80 85 90 95 100 105 110 115 120-20-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5（b）到期时间t- t=0.50股价80 85 90 95 100 105 110 115 120-20-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5（c）到期时间t- t=1.00注：对于所有面板：履约价格=100，θ=0.2，κ=4.0，ω=0.1，r=0.0953，即期波动率σ=0.2。Black-Scholes波动率σ=σ=0.2。

通过带有OU过程的随机波动率ρ=0.5的SZ模型傅里叶反演解分析价格58图13：Sch¨obel和Zhu[1999]模型的近似值。股票价格80 85 90 95 100 105 110 115 120-80-60-40-20N=0 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5（a）到期时间T-t=0.25股价80 85 90 95 100 105 110 115 120-80-60-40-20N=0 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5（b）到期时间t- t=0.50股价80 85 90 95 100 105 110 115 120-80-60-40-20N=0 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5（c）到期时间t- t=1.00注：对于所有面板：履约价格=100，θ=0.2，κ=4.0，ω=0.1，r=0.0953，即期波动率σ=0.2，ρ=-0.5. Black-Scholes波动率σ=σ=0.2。通过傅立叶反演分析价格。似乎只有在成熟时间低于六个月的情况下，近似才能产生具有足够精度的结果。图14总结了这一点，它清楚地表明，近似值的准确性随着成熟时间的增加而迅速恶化。因此，我将首先关注三个月和一个月的短期到期，以研究不同水平的相关性对近似性能的影响。图12a和13a表明，当相关性处于-0.5.5有OU过程的随机波动性59图14：对增加到期时间的敏感性1.5成熟度0.50.9货币性K/S1.1-500-400-300-200-1001.2注：对于增加到期时间的SZ模型，KM近似值的不稳定性和六个修正项。履约价格=100，θ=0.2，κ=4.0，ω=0.1，r=0.0953，即期波动率σ=0.2，ρ=- 0.5. Black-Scholes波动率σ=σ=0.2。通过傅立叶反演分析价格。图15显示了一个月和三个月到期日的近似行为，其中使用了六个修正条款（即N=5）来表示不同级别的相关性和货币性。

图中显示了与t heHeston模型相似的行为（对比见图5）。对于图15a中一个月的到达时间的情况，只有-0.5吨油-1对近似值的准确性有影响，因此这种影响也仅限于OTM选项。ITM选项以极高的精度近似所有级别的相关性。如图15b所示，如果考虑到三个月的更长到期时间，相关性的影响将显著增加。对于零相关性情况，近似值在整个货币范围内保持完全稳定。相关性水平的提高明显降低了近似值的准确性，因此，影响现在不仅限于O TM选项，而且也出现在ITM选项中。尽管后者不太明显。由于在这些情况下近似值的不稳定性，SZ模型不考虑更长的时间。5具有OU过程的随机波动率60图15：具有六个修正t项的SZ模型K/S0.9 0.95 1 1.05 1.1 1 1.15 1.2-6-4-2ρ=-1ρ=-0.75ρ=-0.5ρ=-0.25ρ=0.0（a）到期时间等于一个月的时间K/S0.9 0.95 1 1.05 1.1 1 1 1.15 1.2-6-4-2ρ=-1ρ=-0.75ρ=-0.5ρ=-0.25ρ=0.0（b）三个月到期时间等式注：傅立叶分析价格使改变走向=10 0，κ=4.0，θ=0.2，ω=0.1，r=0.0953，现货波动率σ（t）=θ。布莱克-斯科尔斯波动率等于即期波动率。所有近似值均为N=5.5阶随机波动率，OU过程615.2.1近似SZ模型中的希腊人，以获得KM在SZ模型动态下看涨期权对冲比率的近似值。我再次使用方程（20）。

与赫斯顿模型一样，我也将再次使用中心有限差分来获得相关项的导数。分析参考值可通过傅里叶变换获得，其原理与赫斯顿模型相同，我在附录A.1.1中概述了该模型。表10和表11显示了KM的近似值 以及SZ模型动力学下的看涨期权的Γ。与之前一样，希腊人的报告以百分比为单位，因此近似误差以百分比为单位。所选参数与之前相同，到期时间为0.25。正如预期的那样，近似值的精度比赫斯顿模型的精度低。表12显示了选项V的近似值。近似误差报告为绝对偏差。请注意，这里Black-Scholes V也等于零。表12中的面板A显示了不同货币的近似值。近似误差保持在1%以下，并且显示出与其他近似值相似的量级。但是，请注意，现货波动率设置为0.2。同一表格的面板B表明，近似值对即期波动率参数的选择高度敏感。对于0.1和0.2的现货波动率，近似值得出了准确的结果。随着现货波动性的增加，V的近似值变得不稳定，从而产生了极高的对冲比率负值。尽管需要时间来处理，但这揭示了SZ模型中近似过程不稳定的另一个来源。关于SZ模型中希腊人的详细描述，请参见Sch¨obel和Zhu[1999]，第。

29.5有OU的随机波动率-过程62表10：近似值 对于SZ modelPanel A：股价傅里叶变换，%KM约，%差值。，pp.80 1.5781 1.9609-0.3827885 7.6057 8.6632-1.057522.6168 22.4057 0.211795 44.2531 42.1098 2.143364.6821 62.9238 1.7583105 79.5248 79.2665 0.258388.791 89.2885-0.4975115 94.0791 94.6592-0.5800896.9379 97.473-0.53503面板B：σ（t=0）傅里叶变换，约公里，，%差异。，pp.0.1 69.0697 69.594-0.524250.2 64.6821 62.92 38 1.75830.362.3638 61.09 68 1.2670.4 61.121 60.7674 0.353630.560.4721 60.63 94-0.167250.660.1788 60.59 42-0.415390.760.1131 60.60 83-0.495210.8 60.2009 60.66 37-0.462740.960.3968 60.74 24-0.3455660.6711 60.82 72-0.156041.1 61.004 60.9022 0.10177注：到期时间0.25，θ=0.2，κ=4。0，ω=0.1，r=0.0953，ρ=-0.5. 布莱克-斯科尔斯波动率σ=σ=0.2。A组：履约价格=100，现货波动率σ=0.2。面板B：股票价格=执行价格=100.5随机波动率，带OU-过程63表11：SZ模型的近似值面板A：股票价格傅里叶变换，%KM约，%差异。，pp.80 0.57373 0.7438-0.1700785 2.0189 2.0166 0.0027043.9028 3.4479 0.4549295 4.4477 4.2612 0.186513.581 3.8587-0.27766105 2.3676 2.6194-0.251751.3973 1.4584-0.061154115 0.77065 0.7635 0.00714610.40811 0.3993 0.0088082面板B：σ（t=0）傅里叶变换，约，，%KM，，%差异。，pp.0.1 0.046477-0.077595 0.1240 70.2 0.03581 0.038587-0.00277660.30.028296 0.028236 6.0567e-050.4 0.023168 0.023232-6.4091e-050.50.019529 0.019976-0.00 0446870.60.016836 0.017531-0.00 0694020.70.014772 0.015584-0.00 0811760.8 0.013142 0.013988-0.00 000846340.90.011823 0.012652-0.00082880.010735 0.011519-0.00 0784711.1 0.0098209 0.010544-0.00 072277注释：到期时间0.25，θ=0.2， κ = 4 .0，ω=0.1，r=0.0953，ρ=-0.5. 布莱克-斯科尔斯波动率σ=σ=0.2。

A组：履约价格=100，现货波动率σ=0.2。面板B：股票价格=执行价格=100.5随机波动率和OU-过程64表12：近似SZ的VPanel A：股票价格分析V KM近似差值。，防抱死制动系统。80 0.86888 0.49785 0.371033.5542 3.5823-0.0281328.2878 9.6389-1.351195 11.7159 12.9976-1.281711.6291 11.2967 0.33233105 9.2815 8.3014 0.980026.4823 6.2093 0.27295115 4.163 4.3411-0.17812.5337 2.4634 0.070352面板B：σ（t=0）傅里叶变换，%KM约，，%差异。，防抱死制动系统。7.7.7.7 7.7 7.7 7.7.7.7.7 7.7.7 7.7 7.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7.7 7 7 7 7 7 7 7 7.7 7 7 7 7 7 7.7 7 7 7 7 7.7 7 7 7.7 7 7 7 7.7 7 7 7.9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9-2389 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 36.4368 428003749.00 92票据：到期时间0.25, θ = 0.2, κ = 4 .0，ω=0.1，r=0.0953，ρ=-0.5. 布莱克-斯科尔斯波动率σ=σ=0.2。A组：履约价格=100，现货波动率σ=0.2。B组：股票价格=履约价格=100.6随机波动的商品期货656随机波动的商品期货迄今为止考虑的所有模型都有一个共同点，即假定标的本身遵循几何布朗运动。只有随机波动率被认为是均值回复。虽然这是期权或期货等金融衍生品（如股票）建模中的一个相当标准的假设，但商品价格通常是通过均值回归过程建模的。许多大宗商品都有充分的证据证明，下垫面的这种均值回归。

Lutz【2009年，第2章】对商品价格均值回归特性的经验证据和理论合理性进行了很好的讨论。在下文中，我考虑了Lutz【2009】提出的一个模型，其中，基础价格和随机方差均为均值回归。dX（t）=η (α - X（t））-v（t）+pv（t）dW（t）（57）dv（t）=κ（θ- v（t））+ωpv（t）dW（t）（58）dW（t）dW（t）=ρdtS（t）=eX（t）随机方差由类赫斯顿平方根过程建模，在之前的实验中，该过程与KM近似最为兼容。商品价格本身遵循Ornstein-Uhlenbeck过程，其中上述表示是通过设置X（t）=ln（S（t））然后应用Ito引理得出的。这种过程的组合特别有趣，因为KM的近似对于平方根方差过程有很好的结果，但对于OrnsteinUhlenbeck vola-tility不稳定。上述模型结合了这两个过程。虽然在前面几节中，我一直在考虑普通的看涨期权，但在本节中，我将考虑未来合同。在没有市场摩擦的情况下，如果利率是确定性的，期货价格和期货价格是相等的。如前一节所述，我将假设利率不变，因此未来和远期价格将在下文中视为相同。6.1商品期货的基准模型。我将在本节中重点介绍期货，布莱克-斯科尔斯模型不能作为基准模型。然而，文献中有几种可能的商品期货价格模型可供选择。近似上述期货价格的合适基准是Schwart z[1997]中的模型1，我将在下文中引用Schwartz模型。该模型假设commoditySee-Cox et al.（1981，Proposition 3），p。

325.6随机波动率为66的商品期货价格遵循Ornstein-Uhlenbeck过程，波动率为常数yDx（t）=κ（α- x（t））dt+σdW（t）（59）α=u-σ2κS（t）=ex（t）注意，这里假设x（t）=ln（S（t））遵循Ornstein-Uhlenbeck过程，而不是S（t）本身。因此，真实模型和基线模型之间的潜在差异的过程略有不同。众所周知，遵循anOrnstein-Uhlenbeck过程的变量具有高斯分布。因此，通过使用统计的标准结果，可以很容易地验证x（t）具有以下分布x~ Ne-κTx+1.- e-κTα|{z}=E（x），σ2κ1.- e-2κT|{z}V ar（x）（60）由于到期日为T的期货合约的价格等于该到期日标的物的预期价格，因此价格由f（S，T）=E（S（T））=expe-κTx+1.- e-κTα +σ2κ1.- e-2κT（61）6.2 KM扩展可根据第2.2节概述的原则再次计算KM的系列扩展。推导（57）和（58）u（X，t）中Commodity模型的漂移向量和协方差矩阵是很困难的=η ( α - X（t））-v（t）κ（θ）- v（t））′, （62）σ（X，t）=“v（t）ρωv（t）ρωv（t）ωv（t）ωv（t）#（63），而模型的PDE为Ft型+η ( α - X（t））-v（t）FX+κ（θ- v（t））Fv+（64）+v（t）FX+ωv（t）Fv+ ρωv（t）F十、v=0或，根据（5）中给出的运算符L，simplyL F（X，t）=0（65）。参见Schwartz【1997】，第926页。参见Schwartz[1 997]第927页的模型，或Cox等人[1981]第339页的一般模型。6边界条件为F（X，T）=X（T）的随机波动率商品期货67。

注意，（65）中的偏微分方程缺少通常出现在其他导数偏微分方程中的f（X，t）项。在财务文献中，每个衍生工具的价格都应该由基本PDE（另见（4））L F（X，t）+c（X，t）=rF（X，t）（66）确定，其中c（X，t）表示基础资产的现金流。在前面的所有章节中，我都假设c（X，t）≡ 0，因为这也是由KM完成的。然而，在期货的情况下这样做可能会产生误导。Cox等人（1981年，Proposition 7）指出，期货合约的价格等于收到连续付款的资产的价值，即c（X，t）=rX（t），另外F（X，t）=X（t）。因此（66）减少到（65）。Friedman【1975，定理6.1】表明，（65）的直接解将由F（X，t）=Et【X（t）】给出。通过应用傅里叶变换m技术，Lutz【2009】为这一期望提供了一个解析（半）闭式解。然而，KM的封闭式近似方法是基于PDE的Feynman-Kac表示，描述了真实模型和基线模型之间的差异。通过表示F（X，t）=F（X，t）-F（X，t）True模型和Schwartz模型下的期货价格之间的差异，相关的PDE可以写成F（X，t）+δ（X，t）=0（67）s.t.d（X）=0，其中δ（X，t）与（17）中的相同，因此表示真实市场和基线市场之间驱动力的差异。边界条件d（X）等于零，因为真实模型和基线模型具有相同的最终结果。为了找到类似于（16）的（67）解决方案，回顾第2.2节中KM\'sapproach的轮廓，这里提到了Karatzas和Shreve【1991年，定理7.6】的表示。进一步注意，（67）与（1）和（2）中的一般定价偏差PDE的区别仅在于术语R（X，t）F（X，t）。