衍生产品定价中的闭式近似：Kristensen-Mele

KM提供了这些调整项的一阶和二阶分析导数的结果。或者，KM建议可以通过数值来评估这些衍生工具，例如通过有限的差异。注意，前面提到的有限差异化方法在非差异化支付的情况下表现不佳，在此不适用。如果支付函数是不可区分的，则必须选择基线模型，使dn（z，t）=0 n、 因此，函数δn（z，t）在与希腊计算相关的任何区域都必须是可微分的。由于许多衍生工具都给出了支付函数的不可微性，我将把注意力限制在这种情况下。由于从（17）中获得的近似表达式变得相当长，即使对于少量的修正项，分析差异也可能很麻烦。因此，数字差异似乎是一种更有效的选择。为了获得In（20）的数值一阶和二阶导数，我以centralSee Lehoczky【2012】第4-6页为例，对 通过有限的差异实现敲入期权。2资产价格的封闭式近似值和希腊12对每个纠正条款的差异，同时使用基线模型的分析衍生工具。因此，（20）中校正项的导数估计为δn（z，t）zi公司≈δn（zi+h，t）- δn（zi- h、 t）2h（21）δn（z，t）zi公司≈δn（zi+h，t）+2δn（zi，t）- δn（zi- h、 t）h（22），对于n=1，可以类似地计算dn（z，t）的数值导数。对于导数的近似，使用分数差会产生O（h）级误差。该误差是KM方法的总体近似误差的补充。然而，我在第二节中给出的数值结果表明，这种方法仍然达到了足够的精度。

根据Hermann[2 006，p.257&Ch.8.1.3]中的建议，步长h被选为微分变量和用于执行计算的计算机的机器精度的函数，因此h=（zi+1）10log（eps）-1（23），其中eps表示机器进动。在我用来运行与本文相关的所有MatlabScript的系统上，eps的值为2.2204·10-16、请注意，虽然通常应选择尽可能小的步长，以尽量减少截断误差，但选择太小的步长会导致舍入误差。因此，（23）试图平衡这两种影响。注意，（23）中的特定函数形式不一定会导致最佳步长。文献中可能有更好的h解决方案。此外，可以尝试Martins等人（2003年）提出的复杂步骤方法。其中，我们要估计导数的实函数被转换成复平面。由于这产生了一种不需要差异运算来估计导数的情况，因此避免了前面提到的截断误差和舍入误差之间的权衡。然而，正如我将在第3.2.2节中所示，（2.3）中的规定结果与KM的原始出版物中所报告的结果完全相同，因此我决定保留这一定义。Hermann【20 06，Programm 5.2，p.257】提供了Matlab代码，用于根据（23）中的前向差和步长估计函数的JacobiMatrix。我修改了这个代码来估计之前定义的四个希腊人。2.4与其他方法的联系在金融文献中，有两种封闭形式的近似方法与KM的方法有着特别密切的关系，这些方法在如Gill等人[1981]第11-12页中没有提及。见Martins等人【2003年，等式】。

6]2资产价格的封闭式近似值和希腊13简介。在下文中，我将通过总结KM对这两种方法的处理，简要概述这些方法。2.4.1风险中性密度和鞍点近似KM的闭式近似方法与风险中性转移密度和累积分布函数的鞍点近似密切相关，也可用于近似衍生工具的价格，如KM所述，这是其扩展的一种特殊情况。概率分布的鞍点近似概念可追溯到Daniels【1954年】的工作，并已被应用于期权定价中，如R ogers和Zane【1999年】以及Ait Sa halia和Yu【2006年】。而Goutis和Casella【1999年】很好地介绍了如何应用该方法。正如Ait Sahalia和Yu【2006】所指出的，鞍点近似可应用于模型，对于这些模型，过渡密度的特征函数可以以闭合形式找到，但过渡密度本身未知。因此，该方法可视为傅里叶反演的替代方法，但具有避免数值积分的优点。从费曼-卡茨定理的定义来看与KM的联系，费曼-卡茨定理认为导数的价格等于其报酬的折扣例外，即f（z，t）=Ehe(-RTtR（z（s），s））dsb（z（T））i其中，b（z（T））与之前一样，表示资产支付。在KM之后，假设瞬时短期利率在该部分内为相同的零，这样期望中的指数项就会消失。

再次考虑利益模型f（z，t）和合适的基线模型f（z，t），两种资产价格都可以通过Feynmann-Kac公式asf（z，t）=ZRdb（z（t））p（z（t），t | z，t）dz（24）f（z，t）=ZRdb（z（t））p（z（t），t | z，t）dz（25）来表示，其中期望值表示为两种模型的黎曼积分和p和pdenote-therisk中性转移密度。如果选择基准模型以匹配到期时实际模型的支付，即b（z（T））=b（z（T）），则模型之间的优先级为F（z，T）-f（z，t）=ZRdb（z（t））p（z（T），T | z，T）dz（26），其中p=p-pdenotes转变差异，即两种转变密度之间的差异。将（26）与（15）进行比较并回顾短期利率假设为零，表明ZRDB（z（T））p（z（T），T | z，T）dz=ZTtE[δ（z（s），s）| z，T]ds（27）见罗杰斯和赞恩（1999），第4页94。见K ristensen和Mele【2011年】，第3页96。参见lso Kristensen和Mele【2011年】，第397.2页资产价格和希腊14的封闭式近似，因此应用KM近似相当于通过对其过渡差异的n估计来计算衍生价格。事实上，Kristensen和Mele【2011年，附录B】证明了上述方程式成立。尽管如此，（27）中的等式在规定如何计算左侧和右侧的积分之前并不实用。对于左侧，可以使用鞍点近似值来首先估计转移差异，然后通过计算黎曼积分来计算定价误差。正如开头所述，KM\'sapproach通过围绕基线模型进行系列扩展，直接近似定价误差。然而，KM指出（27）中的质量取决于瞬时无风短期利率为零的假设。

在第6节中，我将说明应用于未来的KM近似值确实会产生定价偏差的表示，如（27）右侧所示。因此，在这种情况下，对过渡差异使用鞍点近似和KM系列价格偏差展开确实是等效的。然而，这对于期权定价模型来说并非如此。2.4.2类似的扩展：Yang的方法Yang【2006】提出了随机波动率模型背景下期权价格的封闭式近似，这似乎与KM提出的方法非常相似。他们将他们的近似值与杨[2006]的近似值进行了很好的比较，我将在本节中对其进行总结。杨的近似也建立在一些封闭形式的已知基线模型f（z，t）和一些未知模型f（z，t）之间的定价偏差的概念上。在以KM为单位处理该方法后，假设瞬时短期利率R（z，t）等于零，并假设真实模型和基线模型在到期时具有相同的收益。两种模型之间的差异，由f（z，t）=f（z，t）- f（0）（z，t），满足PDELf（z，t）+δ（z，t）=0（28），δ（z，t）=（L- 五十） f（z，t）（29）两个运算符L和Lare的定义与KM的近似相同。然而，KM注意到他们和杨近似之间存在两个重要的差异。首先，在（2.8）中，与基线模型相关的运营者，而不是真实模型中的运营者，被应用于两种资产价格的差异。第二，操作员（L- 五十） ，即使它与KM a近似中使用的相同，也应用于真实模型，而不是基线模型。因此，在m的闭式中不能直接表示为s KM的δ。

通过将Feynmann-Kac公式应用于（28），该方法是Yang博士论文的一部分，但遗憾的是，无法访问。因此，虽然我仍然引用了Yang博士论文的原始参考资料，但应该注意的是，本小节简要总结了KM中所述方法的处理。2资产价格和希腊15a的闭合形式近似值，得到了与（16）中类似的解f（z，t）=f（0）（z，t）+ZTtEh∧δ（z，t）| z，ti（30），其中e表示预期是在基线模型的概率度量下进行的。注意，在K M方法的情况下，这一期望是在真实模型的概率下进行的。同样类似于KM，Yang建议进行一系列扩展，以近似积分表达式f（z，t）=f（0）（z，t）+MXm=1f（m）（z，t）（31），其中每个f（m）（z，t）都是PDE Lf（m）+（L）的解- 五十） f（米-1） =0，边界条件f（m）（z，T）=0。这样，可以从已知的f（0）（z，t）到f（m）（z，t）递归计算f（m）（z，t）。Yang建议将Feynmann-Kac公式应用于每个PDEsf（m）=ZTtE（L）- 五十） f（米-1） | z，t（32）注意，f或m=1，除了期望算子外，表达式是KM近似值（16）中的相同值，而期望值内的表达式可以用闭合形式表示。可以解决整个递归问题，例如使用标准符号软件。KM将其方法的性能与Yang对Heston[1993]以及更一般的CEV模型的扩展性能进行了比较。

他们发现，虽然这两个模型都表现得相当好，但杨的扩展在近似CEV模型的非精确公式方面略为精确，但在赫斯顿模型中则稍显不准确。3近似赫斯顿模型163近似赫斯顿模型第2.2节中对KM扩展的抽象描述已经表明，如果需要大量修正项来实现精确近似，则近似的实施可能会很麻烦。因此，对于实际应用，近似值应快速收敛到衍生利率合同的真实价格，因此只需计算少量的修正条款。为了评估近似I followkm的收敛性，并将其扩展应用于著名的Heston[1993]模型。由于该模型（半）闭式解可用，因此可以直接分析近似值的准确性。因此，在本节中，我首次尝试复制以KM为单位的结果，但也进一步深入分析了不同参数值对近似收敛行为的影响。赫斯顿模型由以下系统定义：SDEsdS（t）=rSdt+pv（t）SdW（t）（33）dv（t）=κ（θ- v（t））dt+ωpv（t）dW（t）（34）dW（t）dW（t）=ρdt，其中κ表示均值回归参数的速度，θ和ω分别表示长期方差和方差的瞬时波动率。瞬时短期速率随时间和所有状态保持不变，因此R（S，t）=R S、 t在第2.2节的符号中。这意味着，即对于方程（16），RTTR（S，u）du=r（T- t） 。3.1赫斯顿模型的KM扩展在本节中，我将使用第2.2节中概述的原则推导赫斯顿模型的KM近似值。

作为第一步，需要推导向量u（S（t），v（t））和矩阵σ（S（t），v（t）），如（1）所述。简单地说，u（S（t），v（t））=[rSκ（θ- v（t））]′。σ（S（t），v（t））是通过将dW（t），dW（t）分解为独立的维纳过程，由^dW（t），^dW（t）表示，例如“dW（t）dW（t）#=”1 0ρp1- ρ#ד^dW（t）^dW（t）#（35），其中^dW（t）^dW（t）=0。根据该σ（S（t），v（t）），如（1）中所示，由“pv（t）S 00Ωpv（t）#×”1 0ρp1给出- ρ#=“pv（t）S 0ρωpv（t）p1- ρωpv（t）#（36）3近似赫斯顿模型17因此，赫斯顿[1993]模型的协方差矩阵σ（·）=σ（·）σ（·）′是“pv（t）S（t）0ρωpv（t）p1- ρωpv（t）#×”pv（t）S（t）ρωpv（t）p1- ρωpv（t）#=”v（t）S（t）ρωv（t）S（t）ρωv（t）S（t）ωv（t）#（37）表示C（S（t），t）在S（t）上书写的欧式看涨期权的价格，并将运算符L应用于该价格，得到L C（S（t），t）=Ct+rSCS++κ（θ- 五）C五+vS公司CS+ωvCv+ ρωvSCSv（38），使得赫斯顿模型中欧式调用的PDE可以从该表达式构造为rc（S，t）=Ct+rSCS++κ（θ- 五）C五+vS公司CS+ωvCv+ ρωvSCSv（39）s.t.b（s，t）=最大值[秒- K、 0]。如前所述，Black-Scholes模型是建立随机波动率模型的一个方便选择。假设基础遵循与（33）中相同的过程，但通过应用第2.2节中描述的基线模型定义原则，将GPV（t）替换为常数η，即dS（t）=rSdt+ηSdW（t）（40），得出的偏移向量和Black-Scholes模型的协方差矩阵为u=[rS 0]，σ（·）=“ηS0 0#（41）由CBS（S，t）表示Black Scholes模型下欧洲看涨期权的价格。可以使用运营商LrCBS（S，t）的定义再次编写模型PDE=哥伦比亚广播公司t+rS哥伦比亚广播公司S+ηS哥伦比亚广播公司S（42）S.t。

b（S，T）=最大值- K、 0]3近似于HESTON模型18该偏微分方程的解是众所周知的Black-Scholes公式CBS（S，t）=N（d）S- N（d）Ke-r（T-t） （43）d=对数（S/K）+（r+σ/2）（t- t） η√T- td=d- σ√T- t其中N（·）表示标准正态分布。使用（39）和（42）中的偏微分方程以及（12）中的偏微分方程对价格差异的定义C（S，t）=C（S，t）- CBS（S，t）定义为sLC（S，t）+δ（S，t）=rC（S，t）（44）作为两种型号规格，Heston和Black-Scholes具有相同的基本条件dn（S）=0 n英寸（17）。如前所述，如果近似模型具有不可微分的边界，则有必要匹配边界条件。应用（14）得出初始定价误差δ（S，t）=（rS- 卢比）哥伦比亚广播公司S+（κ（θ- v（t））- 0)哥伦比亚广播公司五+v（t）S- ηS哥伦比亚广播公司S+ωv（t）-0哥伦比亚广播公司v+ρωSv（t）-哥伦比亚广播公司Sv=（v（t）- η） S哥伦比亚广播公司S（45），其中（45）中的最后一个等式是因为哥伦比亚广播公司/v=哥伦比亚广播公司/v=哥伦比亚广播公司/Sv=0。下表1显示了修正项序列是如何按照近似值n的顺序发展的，从（45）到任意正整数n。表1中的每一行都是根据（18）中的规则发展的。KM注意到，通过初始定价错误，Black-Scholes价格只增加了一个凸性调整，而对于N=1和N=2（另见表1），包含了关于方差过程的更多信息。使用（17）中表1中的方程式得出赫斯顿呼叫选项n（S，t；η）=CBS（S，t，η）+（t）的n阶KM近似值- t） δ+（t- t） δ++（t- t） δ++（T- t） N+1（N+1）！δN（46）自CN（S，t；σ）→ C（S，t）为N→ ∞ 每增加一个校正项δn都会提高近似值的精度。

然而，这种趋同应该仅在观点正确的条件下发生，因为否则该方法将失去接近赫斯顿模型19的有形性。KM近似的一个特点是，近似价格Cn取决于Black-Scholes模型的常数波动率参数，而Heston模型则不依赖。在应用KM近似值时，通常会出现对源自CHOSEN基线模型的一个或多个干扰参数的依赖。因此，有必要对Black-Scholes波动率做出选择。3近似赫斯顿模型213.1.1最佳干扰参数的偏离对于赫斯顿模型的当前情况，KM建议选择η=pv（t）或η=√θ. 正如我将在下一节中所述，η的具体选择对近似结果没有重大影响。然而，与其他选择相比，设置η=pv（t）的精确度似乎更高。KM自己也在基于Heston模型的所有实验中使用了该规范，但没有进一步解释这种特殊选择的原因。然而，由于v（t）表示市场当前的现货波动率，这种选择也有直观的意义。回想一下，（15）清楚地表明，K M近似主要提供了一个修正项，例如，当市场动态由Heston模型确定时，将通过Black-Scholes模型计算期权价格。然而，这两种模型都需要定义“现货波动率”参数。唯一的区别是，在BlackScholes情况下，该值被假定为随时间变化的常数，而在Heston情况下，该值被解释为随机方差过程的初始值。