衍生产品定价中的闭式近似：Kristensen-Mele

在第三部分中，我将应用该方法来近似赫斯顿和CEV模型以及Sch¨obel/Zhu模型中的期权价格，并在Lutz（2009）提出的随机波动率模型中近似商品期货价格。从技术上讲，很容易通过简单地采用相同的价格过程，但用恒定波动率代替随机波动率，为每个随机波动率模型确定合适的基线1简介4模型。在期权定价示例中，这导致Black-Scholes模型作为基线，而我使用Schwartz[1997]的模型1作为商品期货示例的基线。本文的其余部分发展如下：第2节介绍了KM的资产价格近似以及KM的套期保值比率近似，并展示了与文献中类似近似方法的联系。第3节展示了在赫斯顿模型中，KM对期权价格的近似值以及差价比率的应用。接下来，在第4节中，讨论了近似于赫斯顿模型（Jones【2003】的CEV模型）的轻微推广的性能。第5节继续讨论，展示了KM\'sapproach在non-a ffne Sch¨obel and Zhu[1999]模型下对期权价格和对冲比率的应用。在第6节中，重点从期权价格转移到商品期货价格，其中价格过程本身被假定为均值回复。

第7节总结并总结了讨论。2资产价格的闭式近似和希腊52资产价格的闭式近似和希腊52资产价格的闭式近似在接下来的两小节中，我将紧跟Kristensen和Mele【2011年，第3.1和3.2节】陈述KM资产价格表示、其近似公式以及资产价格偏导数的近似。2.1预备知识：微元生成器KM的近似方法大量使用了微元运算符的概念。因此，我将通过brie Fly引入这些算子来开始对KM近似的描述。设z（t）为状态变量的（d×1）向量，并假设在风险中性概率测度z（t）满足以下向量SDE，dz（t）。。。dz（t）d=u...uddt公司+σ···σ1d。。。。。。。。。σd1···σdddW（t）。。。dW（t）ddz（t）=u（z（t））dt+σ（z（t））dW（t），t∈ [0, ∞) （1） 其中dW（t）i，i∈ [1，d]是任意相关标准布朗运动过程的增量，u（z（t））和σ（z（t））定义了一些时间同质漂移和扩散项。此外，设f（z（t））是z（t）的连续二次可微函数。然后，例如Hirsa和Neftci【2014】通过运营商A确定了f（z（t））的预期变化率，使得A f（z（t））=lim→0Ez，t[f（z）（t+))] - f（z（t））（2） Hirsa和Neftci【2014】指出，由于f（z（t））中的预期变化是一个比f（z（t））本身更平滑的函数，即使布朗运动过程本身是不可区分的，也可以定义（2）中的极限。A的这个类似导数的概念将速率变化直接与它的^o引理联系起来。

将It^o引理应用于f（z（t）），并将结果表达式中的W（t）项替换为其漂移，对于dW（t）为零，最后将余数除以dt，得到与（2）中的极限相同的结果。因此，预期变化率可以表示为f（z（t））=dXi=1ui（z）f（z（t））zi+dXi=1dXj=1σij（z）f（z（t））zi公司zj（3），其中σ（z（t））=σ（z（t））σ（z（t））\'∈ Rd×dis（1）的协方差矩阵。（3）中的表示也清楚地显示了与PDE的连接。使用定义，例如Hirsa和Neftci【2014年】，第356.2页资产价格的封闭式近似值和希腊语A，衍生工具f（z（t））的偏微分方程可以构建为f（z，t）t+A f（z，t）{z}≡ L f（z，t）+c（z，t）=R（z，t）f（z，t）（4），其中R（z，t）是瞬时短期利率，c（z，t）表示瞬时息票利率。在KM之后，假设c（z，t）为相同的零，并且将在以下情况下删除Hence。基于微型生成器的这一概念，KM定义了一个新的运算符L，如上述表达式所示。在随后的部分中，运算符L将重复应用于不同的函数。因此，我发现定义操作符或独立于任何特定功能asL也是有用的=t+A=t+dXi=1ui（z）zi+dXi=1dXj=1σij（z）zi公司zj（5），（5）中的符号强调，将算子L应用于任何函数实际上意味着在其所有状态变量的方向上以及在时间方向上构造函数的导数和交叉导数之和，并用漂移向量元素和SDEs基础系统的协方差矩阵对这些导数进行加权。请注意，KM将操作员命名为小型发电机。

然而，在文献中，小型发电机通常被定义为唯一发电机。2.2资产价格近似KM的近似方法基本上建立在“基线”模型周围的幂级数展开基础上，该模型具有精确的闭式解。因此，近似需要建立两个模型。首先，假设d维向量SDE如（1）所示，假设f（z，t）表示写在z（t）上的导数的价格。使用运营商的定义，说明这不是PDE的推导，而只是说明微型发电机和PDE概念之间的技术联系。虽然如前所述，f（z（t））可以解释为预期的变化率，但偏微分方程确定了衍生品价值的跨期变化（参见Fries【2007】，第46-47页）。很容易看出，这两个概念在主题上是相关的。然而，一般情况下，偏微分方程是通过套利参数推导出来的，因此它们的经济学意义变得很清楚。尽管这篇论文中，我不会通过套利参数对考虑模型的偏微分方程进行排序，以便将这项工作的重点放在开发闭式近似的方法上。为了便于记法，我将z（t）简单地写为z，f（z（t））写为f（z，t），以强调fis也是时间的函数。2资产价格的闭式近似7（5），f（z，t）满足偏微分方程f（z，t）- R（z，t）f（z，t）=0（6）s.t.f（z，t）=b（z），其中b（z）定义某个到期日t>t的支付函数，R（z，t）再次记录瞬时短期利率。

此外，假设（6）没有封闭形式的解决方案可用。作为基线模型，考虑另一个导数f（y，t）的价格，它写在状态变量y（t）的（m×1）向量上，其中m≤ d和y（t）遵循（向量）SDE，dy（t）=uy（y（t））dt+σy（y（t））dWy（t），t∈ [0, ∞) （7） 式中，uy、σ是时间均匀漂移和扩散项，dWy（t）表示m维标准布朗运动的增量。如果基线模型的维数较低，如我们希望近似的模型，则有必要进行校正，以拟合两个模型的维数。KM建议按以下方式执行此校正：设z（t）为（d×1）向量过程，如果m=d且z（t）=[y（t）]，则z（t）=y（t），且dz（t）=dy（t）]′如果m<d，其中 是a（d- m×1）零向量。此外，如果m<d定义z（t）的SDE，使得dz（t）=u（z（t））dt+σ（z（t））dWy（t），t∈ [0, ∞) （8） u0，i（z（t））=uy，i（y（t））如果1≤ 我≤ m0否则（9）σ0，ij（z（t））=σy，ij（y（t））如果1≤ i、 j≤ m0否则（10），因此，（1）和（8）中SDE的漂移和差异项将具有相同的维度，随后需要获得两个模型之间定价差异的表达式。请注意，f（·）满足部分微分方程If（z，t）=R（z，t）f（z，t）（11）s.t.f（z，t）=b（z），其中b（z）表示到期时导数f（·）的支付。Lis基本上与（5）中的运算符相同，但定义为m维系统（8）。如果存在（11）的闭式解，则可以将f（·）用作基线模型，以推导f（z，t）的近似闭式表达式。这种闭式近似可分两步导出。首先，将未知模型f（z，t）和辅助模型f（·）之间的价格差异表示为f（z，t）=f（z，t）-f（z，t）。

如果f（z，t）和f（z，t）是资产价格的良好闭式近似值，并且希腊8在（6）和（11）中给出了各自偏微分方程的解，那么定价差异f（z，t）将满足PDELf（z，t）+δ（z，t）=R（z，t）f（z，t）（12）s.t。f（z，T）=d（z），其中d（z）=b（z）- b（z）调整边界条件，以防两个模型的支付函数可能不匹配。第二个调整项δ（z，t）修正了两个模型潜在驱动力的差异，即（1）和（8）中给出的SDE之间的差异，其中KM定义为δ（z，t）=（L- 五十） f（z，t）（13）回顾算子L（和L）的定义，很容易导出δ（z，t）的表达式。（L）- 五十） f（z，t）=ft+A f-ft型- Af=dXi=1uifzi+dXi=1dXj=1σij（z）fzi公司zj公司-dXi=1u0，ifzi+dXi=1dXj=1σ0，ij（z）fzi公司zj=dXi=1（ui（z）- u0，i（z））fzi+dXi=1dXj=1σij（z）- σ0，ij（z）fzi公司zj=dXi=1uif（zt，t）zi+dXi=1dXj=1σij（z）f（z，t）zi公司zj（14）其中ui（z）=ui（z）- u0，i（z）和σij（z）=σij（z）- σ0，ij（z）。回顾（2）和（3），（14）中的第一行表明，KM的δ（z，t）代表真实动态和基线动态预期变化的差异。由于f（·）和d（·）是已知的，这两个调整项都可以直接通过d来获得，并且（12）中PDE的解可以作为两个调整项SD（z）和δ（z，t）的函数导出。KM通过应用Karatzas和Shreve【1991】中的定理7.6来实现这一点，该定理规定了（12）的解的Feynman-Kac表示f（z，t）=Ez，te类(-RTtR（z（s），s）ds）d（z（T））+ZTte(-RTtR（z（u），u）du）δ（z（s），s）ds（15） 回顾f（z，t）=f（zt，t）- f（zt，t）和重新排列产生了KM定理1：f（z，t）=f（z，t）+Ez(-RTtR（z（s），s）ds）d（z（T））i+ZTtEz(-RTtR（z（u），u）du）δ（z（s），s）ids（16）见K ristensen和Mele[2011]，p。

3 94.2资产价格和希腊9的封闭式近似（15）中的表达式得出了基线和真实模型之间定价偏差的精确公式。因此，如果f（z，t）代表s，例如Heston[1 993]模型，并假设这反映了真实的市场动态，而f（z，t）代表Black-Scholes模型，并用于管理衍生品合同的对账单，则（15）会产生随机波动的偏差。KM注意到，这种偏差可以解释为由于使用错误的模型而产生的预期套期保值成本。通过使用不同的方法，Elices和Gimenez【2 013】表明这种对偏差或定价差异的解释f（·）确实适用。请注意，（15）中的右侧仅取决于基线的已知溶液。由于KM方法的目的是推导资产价格近似值，因此考虑（16）中的公式更为有用。然而，（16）中的表达式依赖于两个条件矩的计算，这两个矩没有平凡的解。一般来说，有几种可能性需要评估（16）。正如KM所指出的，可以通过蒙特卡罗积分计算这两个条件矩。在这种情况下，所选的基线模型将具有与控制变量e类似的作用。因此，KM得出结论，使用蒙特卡罗直接估计f（z，t）可能没有明显的优势，f（z，t）作为控制变量。这直接导致KM方法的第二步，即通过一系列展开式来近似（16）中的条件矩。为此目的建议的扩展在KM定义1中给出：fN（z，t）=f（z，t）+NXn=0n！dn（z，t）（t- t） n+NXn=0（n+1）！δn（z，t）（t- t） n+1（17），其中δ（z，s）定义为（14），d（z，t）=b（z）- b（z）。

当n>0δn（z，s）=Lδn时-1（z，t）- R（z，t）δn-1（z，t）（18）dn（z，s）=L dn-1（z，t）- R（z，t）dn-1（z，t）（19）N表示近似的阶数，因此fN（z，t）表示f（z，t）的N阶近似。在一些监管条件下，我会马上讨论，fN（z，t）→ f（z，t）为N→ ∞. KM注意，为了计算调整项上的迭代次数，必须确保δ（z，t）和d（z，t）都是相对于z的2N倍可差，此外δ（z，t）是相对于t的N倍可差。因此，如果支付函数b（z）是不可差的，例如对于普通期权，abaseline模型的选择仅限于b（z）=b（z）的模型，例如dn（z，t）=0 n、 （17）中的公式提供了一种获得资产价格或预期套期保值成本的封闭式近似值的方法，即使在封闭式中不知道真实模型的情况下也是如此。因此，计算速度很快。与Elices和Gimenez【2013】等方法相比，这一特点提供了KM方法的最大优势，因为KM方法基于对冲策略的模拟，因此计算成本较高。参见Elices和Gimenez【2013年】，第1016.2页资产价格的封闭式近似和Greens 10 KM近似法的两个步骤都依赖于许多假设。这些在KM的命题A.1和A.2中给出，我将其总结如下：1。由于（16）基本上只是Feynman-Kac公式的应用，该表达式在与该公式相同的监管条件下成立。Karatzas和Shreve【1991年，定理5.7.6】或Kristensen和Mele【201 1，条件（A.3）-（A.5），第412页】给出了这些条件。

在这些条件中，只有对SDE漂移和扩散项施加的线性增长条件可能在某些金融模型中不成立。然而，该条件仅用于确保模型SDE解的存在。因此，如果可以通过其他方法确保ba-seline和thetrue模型的存在，则可以忽略线性增长条件。为了确保（17）中的展开式收敛于对算子的假设，需要施加L。具体而言，对于L ebesgue度量，L必须有一个跃迁密度t（y | x）。因此，所考虑的扩散模型必须具有转移密度，这通常适用于大多数扩散模型。此外，必须有一个度量π，使得π（x）pt（y | x）=π（y）pt（x | y）。这可以理解为时间可逆性的一般化，例如，对于平稳的单变量过程，时间可逆性始终是必要的。最后一组假设涉及修正项δ（z，t）和d（z，t）。假设对于一个包含函数范数| |·| | H的函数空间H，存在一些^τ>0和一些函数ψδ，ψd∈ H使得δ：Rn×R+R和d：Rn×R+R满足E[ψδ（x（τ））| x（0）=x]=δ（x，τ）和E[ψd（x（τ））x（0）=x]=d（x，τ），其中tδ（x，t）在|·| H中是统一解析的。换句话说，这意味着必须能够匹配两个调整项δ和d通过条件矩。此外，要求瞬时短期利率为时间均匀且supx | R（x，t）=R（x）|<∞.这些假设很难对特定模型进行验证。事实上，KM并没有在他们的实验中验证它们，而是从经验上证明它们的扩展收敛于他们所考虑的模型。2.3近似贪婪迄今为止，引入KM近似作为获取金融衍生品价格或对冲成本的方法。

除此之外，衍生品合约（即所谓的希腊合约）对冲比率的计算在风险管理等许多应用中也同样重要。希腊人被定义为各自的偏导数。最后一句话见KM中的脚注，第394页。参见K ristensen和Mele【2011年】，第4页11.2资产价格的封闭式近似值和希腊11相关参数的定价公式，因此可以解释为衍生品价格对这些参数变化的敏感性。我将在下面的数字示例中考虑以下希腊人：1。 =CS： 衍生产品价格对基础价格变化的敏感性2。Γ =CS： 衍生产品价格对3、五=Cv： 衍生产品价格对sp ot方差变化的敏感性从希腊人的定义来看，很明显，只要衍生产品价格的封闭式解决方案可用，他们的计算或多或少都是复杂的。对于没有封闭形式解决方案的情况，文献开发了许多通常基于蒙特卡罗模拟的数值方法。然而，这种方法通常会增加估计风险，如果支付函数是不可区分的，则直接的程序（如有限差异）表现不佳。Lehoczky【2012年】提供了希腊计算出版物的良好概述。KM认为（17）中给出的近似值也可用于通过区分相关参数的近似公式来估计导数的希腊值。因此，KM陈述以下表达式来计算上述希腊语kfN（z，t）zki公司=kf（z，t）zki+NXn=0（T- t） nn！kdn（z，t）zki+NXn=0（T- t） n+1（n+1）！kδn（z，t）zki（20），其中调整项的第一和第二偏导数由k=1和k=2给出。