衍生产品定价中的闭式近似：Kristensen-Mele

Gatheral【2006】和Heston【1993】都推导出了概率PandP的两个不同特征函数，而Crisostomo【2014】只对两种概率使用了一个特征函数。Crisostomo【2014】还将Gatherals方法用于推导特征函数到log（S（t）），而不是像Gat heral【2006】中所述的log（S（t）/K。然而，Crisostomo【201 4，附录B】证明了这两种方法的等效性。为了通过Matlabs integral（）计算（72）直接积分中的实积分，请参见Gatherel[2006]，第20页。参见例如Zhu[2010]，第55页。使用参考解77函数，该函数采用全局自适应求积对积分进行数值计算。通过傅里叶变换可以直接获得（半）封闭形式的解，欧洲将其置于Heston框架中p ut（S，t）=e-r（T-t） KP公司- SP（73）带P=-πZ∞真实的e-iφlog（K）Д（φ- i） iφИ(-（一）dφP=-πZ∞真实的e-iφlog（K）Д（φ）iφdφ，其中特征函数φ与（72）中的相同。我通过改编Crisostomo（2014）的Matlab代码实现了HestonPuts。A、 1.1 Heston模型中的分析方程Heston模型中这些所谓的希腊人的计算很简单，因为特征函数的积分和微分可以互换。注意，我再次使用了Crisostomo（2014）开发的特征函数公式。回顾看涨期权价格的一般结构C（S，t）=SP-e-r（T-t） KP和定义1。）至4。）在第2.3节中，赫斯顿模型的分析希腊人定义为S=P（74）ΓS=PS（75）V=SPv- e-r（T-t） K级Pv（76）带Pj公司h=πZ∞ψj（φ）hdφψ=实e-iφlog（K）Д（φ- i） iφИ(-（一）ψ=实e-iφlog（K）Д（φ）iφ其中h等于S或v，j=1，2。有关更多详细信息，请参阅Matlab帮助文件。朱[2010，Ch。

4.3至4.5]对傅里叶变换方法应用中的集成算法进行了很好的概述。参见例如朱[2000]，第35页。参见例如Zhu[2000]，第36页。A参考溶液78A。2 SZ模型的傅立叶变换解S&S模型和SZ模型的分析价格都是通过Fourier变换获得的，而S&S价格可以通过简单地在特征函数中设置ρ=0来计算。该解的结构与（72）中赫斯顿模型的傅立叶解相同。然而，Sch¨obel和Zhu[1999]使用两个不同的特征函数来推导概率Pand P。为了实现Fourier解，我采用了我在图宾根大学金融PC实验室课程的数值方法中使用的Matlab代码。Matlab程序简单地实现了Sch¨obel和Zhu[1999]中给出的两个特征函数，并使用全局自适应求积对所涉及的积分进行数值计算。由于SZ模型的特征函数还包括复数对数，因此可能的br anch切割问题与赫斯顿模型中的问题相同。虽然我可以方便地使用特征函数的重新公式来确保参考解的稳定性，但据我所知，这种重新公式对于SZ模型并不容易获得。因此，我使用一个简单的校正算法来调整复数对数，只要它的参数穿过负实数轴。附录A.3提供了所用算法的描述以及相应的Matlab代码。A、 3关于复杂对数的离题本附录是2015年“金融中的数值方法”课程的两个作业的改编摘录，我与F.Slezak和A一起写信给gether。

伯格。分支切割的问题出现在第3节中赫斯顿模型的傅立叶变换解以及第5节中的SZ模型的背景下，因为在这两种情况下，期权价格的计算都包括对复数对数的评估。可以看出，复数z的对数具有以下形式w=log（z）=log（| z |）+i（Arg（z）+2kπ）（77），k=±0，±1，±2。。。其中Arg（z）表示z的主参数，即。-π ≤ Arg（z）<π。大多数商业软件包（如Matlab）将复杂对数算法的计算限制为其主值，即方程式（77）中的k设置为零。由于k的任何值都有助于恢复ew=z，因此在孤立计算中，k=0的选择不会成为问题。然而，Sch¨obel和Zhu【1999】是第一批观察到这导致通过Matlab的integral（）函数进行特征数值积分的不连续性，至少对于极端参数值而言。最初的PC-lab c代码通过Matlab的trapz（）函数使用了简单的类人猿算法。然而，在产生数字上相同的结果时，我发现integral（）的速度要快得多。见朱【2010】第100页。A参考解决了其和其他随机波动率模型的79个函数，从而得出了错误的积分。为了正确计算复数对数算法，实现等式（77）的主要问题是，只有当复数的路径已知时，才能找到合适的e k值。每次z穿过图19中实轴的负部分时，都需要调整k的值。图19:z原点周围的路径（z）Im（z）zИIIIIII IV，而Gat heral【2006】提供了赫斯顿特征函数的公式，因此复对数的参数不会在19中越过红线，我不知道SZ模型有任何这样的重新公式。

为了获得SZ模型的数字可调参考解，我使用了一种校正算法hm，每当对数hm的复变元穿过图19中的红线时，该算法会调整（77）中的数字k。A、 4 CEV模型MC的MC模拟需要对（48）和（49）中的过程进行离散化，这可能导致样本路径中出现负偏差。这些值是有问题的，因为在生成股票价格样本路径的过程中，需要计算方差的平方根以及其他根。这一问题在金融文献中得到了广泛的研究，主要是在赫斯顿模型的续文中。如（49）所示，将绝对值引入方差过程类似于所谓的反射假设，该假设设定了规则：如果v<0，则-v=v。然而，为了实现这一点，有必要将这一规则应用于v的所有根。另一种避免负面影响的可能性参见Sch¨obel and Zhu[1999]，第28页和Lord and Kahl[2010]，第672页。见朱[2010]，p。

所用的Matlab代码取自与本附录部分内容相同的作业，并稍作修改。参考解决方案80方差将使用所谓的吸收假设，该假设设定了规则：如果v<0，则v=0。如果有大量的轨迹和样本路径，这两个过程都不会对结果产生显著影响，因为如果离散化误差导致模拟方差为负，则真实方差可能很小。KM没有指出他们使用哪种离散化方案来获得MC结果，也没有提到轨迹的数量或模拟中使用的样本路径的数量。为了离散（48）和（49）中的过程，我使用Milstein模式，该模式意味着将伊藤-泰勒展开的下一个元素添加到Euler模式（ti+1）=S（ti）1+ri+p | V（ti）| piZ（ti）+V（ti）|Z（ti）- 1.我（78）V（ti+1）=V（ti）+κ（θ- | V（ti）|）i+ω| V（ti）|γpiZ（ti）（79）+ωγ| V（ti）| 2γ-1.Z（ti）- 1.iwith Z（ti）=Ran，Ran~ N（0，1）Z（ti）=ρRan+p1- ρRan，Ran~ N（0，1），其中IDE注意到时间步长i的长度。注意，如果出现负模拟方差，我使用了反射假设来处理它们。应用Milstein离散代替Euler离散不会提高MC结果的精度，因为两种格式都是弱阶格式。然而，使用Milstein方案不会显著增加计算负担，但会减少样本路径中的负方差频率。因此，Gatheral（2006）主张始终对Heston模型使用Milstein离散化。由于CEVand模型和Heston模型之间的相似性，在这种情况下，应用Milstein方案的积极影响也应适用。这进一步减轻了在反思和吸收假设之间进行选择的影响。

此外，在下面的所有模拟中，我使用了500个大小相同的时间步和20000个采样路径。参见例如Gathereal[200 6]，第21页。见Lee和Sokolinskiy【2014年】，第8页。根据Glasserman【2003】的说法，Milstein方案的名称可能会产生误导，因为Milstein有几种方法。然而，在整个论文中，我使用这个术语来命名如下所示的离散化方案。i、 e.，术语diff（h）Dif f（h）\'Zh（ti）- 1.添加h=S或V的I。其中，Diff（h）表示各自SDE的扩散项，Diff（h）及其导数相对于h表示的变量的扩散项。（参见Glasserman【2003年】，第343页）参见Glasserman【2003年】，第347页。见Gatheral[2006]，第22页。伪随机数通过Matla bs多重递归生成器（mrg32k3a）获得。A参考溶液81A。5 MC商品未来模拟之前已经提到，Lutz【2009】为（57）和（58）中的模型提供了解析解。然而，该解决方案需要评估第一类和第二类KummerFunction。为了在解析解中实现Kummer函数，Lutz【2009】使用了B.Barrows通过Matlabs中央文件交换提供的Matlab代码，但需要调整该代码以处理整数参数。或者，可以使用R ung e-Kutta算法实现解析解。然而，为了简单起见，我将使用MC模拟而不是解析解来获得由KM系列展开近似的期货价格参考值。Lutz【2009年】还将a-na裂解溶液与MC结果进行了比较，发现其与获得的价格非常接近。为了生成MC解决方案，我使用了与第a.4节类似的方法。由于基础价格的对数是模拟的，而不是基础本身，所以我对（57）使用了简单的Euler离散化。

然而，根据第A.4节中的相同情况，我对（58）中的方差过程使用Milstein离散化，以减少样本路径中负模拟方差的频率。X（ti+1）=X（ti）+η ( α - X（ti））-|V（ti）|i+p | V（ti）| piZ（ti）（80）V（ti+1）=V（ti）|+κ（θ-|V（ti）|）i+ωp | V（ti）|iZ（ti）（81）+ωZ（ti）- 1.iwith Z（ti）=Ran，Ran~ N（0，1）Z（ti）=ρRan+p1- ρRan，Ran~ N（0，1），其中IDE注意到时间步长i的长度。正如上述等式所示，如果出现负模拟方差，我会再次使用反射假设来处理样本路径中的负模拟方差。对于他的MC模拟，Lutz【2009】使用了大量2500个时间步长和150万条样本路径。不幸的是，我现有的计算资源不足以使用这些数字。因此，我将自己限制为1000个时间步和200000个样本路径，我认为这应该足以获得参考值的满意结果。下图20a和20b显示了解析解中出现的超几何函数的类型取决于参数值。对于基础过程和方差过程之间完全相关的特殊情况，出现了第一类和第二类贝塞尔函数，而不是Kummer函数（见Lutz【2009】，第64页）。请注意，自Matlab的R2014b版本以来，第二类Kummer函数可通过kummerU（a、b、z）作为内置函数使用（请参阅Matlab o Online文档）。该函数只能通过符号数学工具箱使用。有关这两种实现方法的比较，请参见Lutz【2009】，第77-7 9页。其中375000人是独立的。大量150万条路径是使用对偶抽样的结果。A参考解82某些未来合同到期时标的物模拟价格的直方图和密度。

模拟基于上述商品模型的离散化和以下一组参数值：S=80，(R)S=85（即α=log（85）），η=1.0，T- t=0.5，ω=0.2，v（t）=0.04，κ=1.0，θ=0.05，ρ=-0.5. Lutz【2009】提出了这些参数，因为它们应该产生一个现实的设置。A参考溶液83图20：商品价格模拟S（T）40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140（A）在TS（T）20 40 60 80 100 120 1400.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.045（b）在TNotes：面板（A）：使用1000个箱子时的商品价格密度。面板（b）：通过Matlab的kdensity（）函数从面板（a）中的数据估计出的核密度。对于两个面板：S=80，(R)S=85（即α=ln（85）），η=1.0，T- t=0.5，ω=0.2，v（t）=0.04，κ=1.0，θ=0.05，ρ=-0.5A参考溶液84A。6 CEV方差过程量表测量的定义一般来说，量表测量Ohm（·）dx=u（x）dt+σ（x）dW，其中dW表示维纳过程，定义为Ohm（x） =ZnmΘ（x）dx（82），其中Θ（x）=exp-Z2u（x）～σ（x）dx（83）式中，Θ（x）称为刻度密度。注意，如果x是SDEs系统的一部分，则∧σ（x）仅表示过程x的方差，而不是整个协方差矩阵的方差。因此，对于（49）中的CEV方差过程，我们得到u（v）=κ（θ- v） 和￠σ（v）=ωv2γ。

这样，刻度密度可以计算为Θ（v）=exp-Z2u（v）～σ（v）dv= 经验值-Z2κ（θ- v） ωv2γdv= 经验值-2κωθZv2γdv-Zv2γ-1dv（84）其中两个整数可解为zv2γdv=-x1-2γ2γ-如果γ6=1/2对数（v），如果γ=1/2（85）Zv2γ-1dv=-x2个-2γ2γ-2如果γ6=1log（v），如果γ=1（86），将（85）和（86）的第一个溶液插入（84）并重新排列，则得出CEV方差过程的标度密度，如（51）Θ（v）=exp2κθω(2γ - 1） v2γ-1.-κω(γ - 1） v2γ-2.注意，该表达式与inJones【2003】给出的CEV过程的标度密度相同，α=κθ，β=-κ.见Jones[2003]，第215页。参考文献IV参考Yacine Ait Sahalia和Jialin Yu。连续时间马尔可夫过程的Saddlepo int逼近。《计量经济学杂志》（134）：507–5512006。Fischer Black和Myron Scholes。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》（81）：637–65，1973年9月9日。T、 Bollerslev和H.ZhoU.使用综合波动率的条件矩估计随机波动率差异。《计量经济学杂志》（109）：33–652002。K、 C.Chan、G.A.Karolyi、F.A.Longstaff和A.B.Sanders。短期利率替代模型的实证比较。《金融杂志》（47）：1209–12271992。帕维尔·齐泽克、沃尔夫冈·K·海德尔和拉法·沃伦。金融和保险统计工具。柏林斯普林格，2011年。J、 C.Cox、J.E.Ingersoll和S.A.Ross。远期价格与期货价格之间的关系。金融经济学杂志，（9）：321–3461981。里卡多·克里斯托莫。赫斯顿随机容积模型分析：使用matlab实现和校准。西班牙证券市场委员会（CNMV）（第58号工作文件），2014年。H、 丹尼尔斯。统计学中的鞍点近似。《数理统计年鉴》（25（4））：631–6501954年。阿尔贝托·艾利斯和爱德华德·吉梅内斯。

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