衍生产品定价中的闭式近似：Kristensen-Mele

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英文标题：
《Closed-form approximations in derivatives pricing: The Kristensen-Mele
  approach》
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作者：
Michael Kurz
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Kristensen and Mele (2011) developed a new approach to obtain closed-form approximations to continuous-time derivatives pricing models. The approach uses a power series expansion of the pricing bias between an intractable model and some known auxiliary model. Since the resulting approximation formula has closed-form it is straightforward to obtain approximations of greeks. In this thesis I will introduce Kristensen and Mele\'s methods and apply it to a variety of stochastic volatility models of European style options as well as a model for commodity futures. The focus of this thesis is the effect of different model choices and different model parameter values on the numerical stability of Kristensen and Mele\'s approximation.
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中文摘要：
Kristensen和Mele（2011）开发了一种新方法，以获得连续时间衍生品定价模型的闭合形式近似值。该方法使用难处理模型和一些已知辅助模型之间定价偏差的幂级数展开。由于得到的近似公式具有闭合形式，因此很容易获得希腊人的近似值。在这篇论文中，我将介绍Kristensen和Mele的方法，并将其应用于各种欧式期权的随机波动率模型以及商品期货模型。本文的重点是不同的模型选择和模型参数值对Kristensen和Mele近似的数值稳定性的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Closed-form_approximations_in_derivatives_pricing:_The_Kristensen-Mele_approach.pdf (947.96 KB)

2022-6-10 00:54:22 上传

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关键词：衍生产品 ten RIS IST ele

衍生产品定价中的封闭式近似：贝哈德·卡尔斯大学经济与社会科学学院经济学与金融硕士考试的克里斯滕森·梅勒近似学位论文提交人：迈克尔·库尔兹代特提交日期：2015年9月14日IABStractKristensen和梅勒（2011年）开发了一种新方法，以获得连续时间衍生品定价模型。该方法使用了难以处理的模型和一些已知的辅助模型之间定价偏差的powerseries扩展。由于得到的近似公式具有闭合形式，因此很容易获得希腊人的近似值。在本论文中，我将介绍Kristensenand Mele的方法，并将其应用于各种欧式期权随机波动率模型以及商品期货模型。本文的重点是不同的模型选择和不同的模型参数值对Kristensen和Mele近似的数值稳定性的影响。关键词：闭式近似、期权定价理论、随机波动性、连续时间模型、商品期货、G reeksii’就数学定律而言，它们是不确定的；就他们所确定的而言，他们并没有提到现实Albert EinsteinCONTENTS IIIContents 1简介12资产价格和希腊语的封闭式近似52.1预备课程：微型发电机。52.2资产价格近似值。62.3近似希腊语。102.4与其他引道的连接。122.4.1风险中性密度和鞍点近似值。132.4.2类似的扩展：杨的方法。

143近似于赫斯顿模型163.1 KM的赫斯顿模型扩建。163.1.1最佳干扰参数的偏离。213.2近似精度。223.2.1近似认沽价格。313.2.2赫斯顿模型中的希腊近似值。354近似于CEV车型，CEV车型394.1 KM的扩展。404.2数值精度。435具有OU的随机波动率-SZ模型的525.1近似过程。535.2近似精度。555.2.1近似SZ模型中的希腊人。616具有随机波动性的商品期货656.1商品期货的基准模型。656.2公里扩建。666.3数值精度。707结论73附录75A参考溶液76A。1赫斯顿模型的傅里叶变换解。76A。1.1赫斯顿模型中的分析希腊人。77A。2 SZ模型的傅里叶变换解。78A。3在复杂的lo garithms上离题。78目录ivA。4 CEV模型的MC模拟。79A。5 MC商品期货模拟。8 1A。6 CEV方差过程量表测量的定义。84参考文献IV图表列表V图表列表1模拟与B-S隐含波动率。

. . . . . . . . . . 赫斯顿[19 93]模型的222 KM近似值。赫斯顿[19 93]模型233 KM的近似值。254到期日和资金状况对KM扩张的影响。265相关性对KM近似值的影响。286成熟度和相关性对KM扩张的影响。赫斯顿（1993）模型348不同CEV参数值中欧洲看跌期权的297 KM近似值。449 CEV：γ=1.33的相关性和货币性。4910 CEV：γ=0.6的相关性和货币性。5011差异和货币弹性水平。5112 Stein和Stein[19 91]模型的近似值。5713 Sch¨obel and Zhu[1999]模型的近似值。5814对增加到期时间的敏感性。5915 SZ模型，含六个修正项。6016 MC结果与KM近似值-成熟度0.5年。7117 MC结果与KM近似值-成熟度0.25年。7218 MC结果与KM近似值-成熟度1.0年。7219 Z原点周围的路径。7920商品价格模拟。83表列表列出了赫斯顿【1993】模型定价错误的表1迭代。202近似于Heston【1993】模型。313接近赫斯顿 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364近似于赫斯顿的。375近似于赫斯顿V。

. . . . . . . . . 386 CEV模型定价错误的迭代。427近似CEV模型-γ=0.6。468近似CEV模型-γ=1.33。479 SZ/S&S模型定价错误的迭代。5410近似值 对于SZ型号。6211 SZ模型的近似Γ。6312近似SZ的V。6413商品期货模型定价错误的迭代。691导言11导言在金融工程领域，连续时间框架已成为衍生证券建模的黄金标准。这些证券价格的连续时间模型是基于随机微分方程（SDE）的概念建立的，用于描述资产市场的动态或衍生工具所涉及的风险。然后，特定衍生证券的价格通常来自可从市场SDE构建的偏微分方程（PDE）的解。其中最著名的解决方案之一是Black and Scholes（1973）模型，它是RobertC开创性工作的结果。默顿（Merton）、菲舍尔·布莱克（Fischer Black）和迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）的股票期权，并产生了针对金融资产的欧洲看涨期权的价格。

虽然Back-Scholes偏微分方程的解可以以封闭形式导出，但这对于当今从业者和学术界使用的大多数更现实、因而更复杂的模型来说是不可能的。事实上，持续时间框架的成功至少在一定程度上要归功于这一问题，因为它为应对证券价格提供了便利的方法，而这些证券价格是无法以封闭形式提供的。一种广泛使用的方法是傅立叶变换方法，它允许所谓的EMI闭式解。其中，由于解仅以闭合形式存在于模型特征函数中，即基础函数和时间函数的复值函数，因此使用了单词semi。然后，通过对特征函数进行数值积分来计算衍生证券的价格，这可能是一项数学上不平凡的任务，并且可能会引入不易预测的数值不稳定性来源。在（半）闭的情况下获得近似解的两种经典方法是有限差分格式和蒙特卡罗模拟。虽然这两种方法都广泛适用，但它们可能在计算上很繁重，因为有限的差异需要线性方程组的重复解，而蒙特卡罗需要在时间增量的细网格上模拟大量基于离散SDE的底层样本路径。尽管这些方法可以被描述为处理无法获得闭式解的偏微分方程的标准，但也有一个学术文献分支试图开发方法来推导偏微分方程的闭式近似值。这些闭式近似通常基于条件期望的泰勒级数展开。

克里斯滕森（Kristensen）和梅勒（Mele）（2011）（以下简称KM）提出的方法适用于这一文献分支。然而，KM并不专注于直接近似资产价格，而是着眼于制定预期偏差的近似值，如果使用过于简单的基线模型（或“辅助”inKM术语）对某些衍生工具进行估值，则会产生预期偏差，例如，当使用Black-Scholes模型，而假设真实的市场动态符合Heston模型时。参见本文附录A.3中关于复数对数的示例。1引言2然后，衍生产品价格计算为基准模型产生的价格与预期偏差之和。如果偏差近似于基线模型周围的幂级数展开，那么KM方法与文献中可用的闭合形式近似之间的主要区别是什么。在anutshell中，KM的近似包括两个步骤：（i）首先导出偏微分方程解的Feynman-Kac表示。费曼·卡克列森塔（Feynman-Kacrepresenta）由两个条件预期组成，一个描述支付差异，另一个描述真实模型和基线模型之间的市场动态差异。（ii）第二步是通过围绕基线模型的系列扩展来近似这些期望。关于选择合适模型的一个重要限制是支付函数的差异。如果一个人选择的基线模型的收益与感兴趣的模型的收益相同，那么KM的方法只能适应不可区分的收益。对于金融工程理论来说，近似定价偏差而非直接资产价格的一般想法并不完全是新的。

赫尔和怀特（Hull and White）[1988]已经提出了一种方法，通过一系列扩展赫斯顿模型和布莱克-斯科尔斯模型之间的偏差，来近似赫斯顿模型中衍生产品的价格。然而，虽然Hull/White和KM使用类似的偏微分方程来确定定价偏差，但它们的系列展开却大相径庭。具体而言，Hull/White在模型的方差波动率参数中使用了一系列偏差，其中该系列的元素由状态变量和时间的函数组成，这些状态变量和时间通过微分方程系统定义。外壳/白色为其系列中最多三种元素提供封闭式解决方案。尽管其在近似衍生产品价格方面具有优势，但专注于计算定价偏差的方法本身也很有趣。使用与KM相同的示例，假设真正的市场动态将由Hestonmodel给出，但交易员使用Black-Scholes delta来确定需要购买的股票数量，以对冲期权中的空头头寸。KM声称，通过其方法获得的定价偏差可解释为使用错误模型（如所述情况）产生的预期总对冲成本。Elices和Gimenez【2013】证实了这种对偏差的解释，他们表明，对冲策略成本的预期等于通过真实模型获得的价格与用于估值和港口管理的一些简单模型之间的差异。Younesian（2013）测试了CEV的经验期权估值绩效，并指出，1988年，对于非z-ero相关性情况，此类模型没有可用的解决方案。（参见Hull and White[19 88]，pp。

30 - 31.) 史蒂夫赫斯顿（SteveHeston）于1991年发表了其丰富的研究成果，展示了如何通过傅立叶变换方法以（半）封闭的形式求解此类模型，该模型被命名为赫斯顿模型。见赫尔和怀特[1988]，方程式（10）和（16）至（18）。请注意，只有在假设Black-Scholes常量波动率参数与Heston的即期波动率参数相同的情况下，偏差的赫尔/怀特和KM\'SPDE才是一致的。1简介3赫斯顿模型均近似于KM的方法，据此，他使用了2002年至2011年期间标准普尔500指数看涨期权的价格数据。由于近似具有闭合形式，Younesian（2013）能够直接从横截面期权数据估计模型的参数。然而，Younesian[201 3]报告称，获得的参数估计值非常不精确。尤其是CEV模型中的相关参数ρ似乎难以估计，如果模型是通过KM方法近似的。由于他不知道，这也可能严重影响其他模型参数的估计。Garcia【2013】研究了KM近似在应用于跳跃过程时的表现。具体而言，他比较了两种不同的方法来计算以Black-Scholes模型为基线的CEV-Merton模型的KM定价偏差。Garcia【2013年】报告称，只能计算序列展开式中的前两个元素，因此获得的近似值相对不精确，很难确定序列展开式是否收敛。KM级数展开的实现需要计算高阶基线模型的导数。如果例如。

人们希望对赫斯顿模型实现KM的近似，同时使用Black-Scholes模型作为基线，并在级数展开中使用五项，这需要在股价方向上取Black-Scholes模型的导数，并在股价和时间方向上取数个交叉导数。虽然KM本身确实报告了如何实施近似，但Garcia【2013】报告了通过有限差分近似实施所有基线模型衍生工具。虽然这似乎是一种方便且灵活的解决方案，但它大大增加了计算时间，并创建了一个不具有完全闭合形式的近似值。因此，我认为这种方法破坏了KM方法的主要优势。Younesian【2013】使用Maple实现了整个近似，但如果计算了使用两个以上项的展开式，则在将获得的表达式保存到Matlab文件中存在困难。通过在Matlab中使用Maplecalls实现KM方法，避免了将表达式保存为一些文件的需要，但大大降低了计算时间。在本论文中，我将手动计算级数展开的大部分部分。我只使用Maple计算Black-Scholes模型的时间-股价交叉导数，这可以成功地保存到Matlab文件中。通过使用这种方法，我所有的KM近似都以闭合形式给出。此外，我能够使用多达五到六个术语计算扩展，而不会损失任何计算速度。在模型方面，我将重点关注随机波动率模型，这为在改变不同的模型参数时测试KM a近似的性能和收敛行为提供了一个很好的机会。