衍生产品定价中的闭式近似：Kristensen-Mele

242.3近似HESTON模型33 OTM期权的近似值高于ITM期权的近似值，在所有近似值中都存在，除了N=2的展开，它远不如Call期权的显著。图7b和7c分别对2年和0.25年的到期时间重复分析。正如预期的那样，短期到期的准确率显著提高，而长期到期的准确率则下降。此外，更好地近似ITM选项的效果也变得更加明显。与之前一样，在长期到期的情况下，收敛模式开始消失。3近似HESTON模型34图7:HESTON【1993】模型股票价格中欧洲看跌期权的KM近似80 85 90 95 100 105 110 115 120-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4（a）到期时间一年股票价格80 85 90 95 100 105 110 115 120-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4（b）到期时间两年股票价格80 85 90 95 100 105 110 110 120-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4（c）到期时间0.25 Deargotes：欧洲看跌期权KM近似的收敛行为。真实模型为Heston【1993】，基线模型为Black-Scholes模型。百分比误差以分析赫斯顿价格的百分比表示。分析价格是通过傅里叶变换和使用MATLAB的integral（）函数进行数值积分计算得出的。N=纠正术语的数量。履约价格=100，到期时间=1年（a组）和0.25年（b组），κ=2.00，θ=0.04，ω=0.10，ρ=-0.5，r=0.1 0，v（t）=0.04，γ=0.5。干扰参数设置为σ=pv（t）。3近似HESTON模型353.2.2近似HESTON模型中的希腊人迄今为止，我分析了KM系列扩展在近似欧洲看涨期权价格方面的性能，并在HESTON模型的fr Amework中出售期权。

接下来，我将评估Heston framewo r k中对冲比率计算的KM近似值的准确性。为了计算对冲比率的KM近似值，我使用（20）中的级数展开和有限差分近似值来计算其中的导数。我使用与表2计算相同的一组参数来计算这些希腊语。该示例与以KM为单位进行的示例相同。然而，KM并没有解释他们是使用数值近似还是解析近似来获得序列扩展值。通过使用有限差分，我能够获得所有希腊人在不同钼含量情况下以KM为单位的相同值。对于可变现货波动率的情况，我的近似值和分析套期保值比率都与KM中报告的值略有偏差。结果见表3和表4。因为我代表选项 以百分比表示，近似误差报告在%点。表5显示了用KM级数展开近似V时的结果。这里给出了近似误差的绝对偏差。对于V，当sp ot波动率变化时，我的结果与KM的偏差最大（见附录B）。这有点令人惊讶，因为我在这两种情况下使用相同的计算方法，得到了VaryngMoneyness的精确KM结果。注意，对于V，基线模型没有对应的希腊语。尽管Black-Scholes挥发参数的值设置为等于赫斯顿模型中的现货挥发参数，但变量并不相同。在推导（45）中的初始定价误差时也强调了这一点，其中Black-Scholes模型的相应导数被认为等于零。

因此，当考虑（20）中的级数展开时，表示基线模型导数的第一个元素在近似V时等于零。3近似赫斯顿36型表3：近似赫斯顿面板A：股票价格傅里叶变换KM近似差值。，pp.950 44.2794 44.2819-0.0025864960 46.2918 46.294-0.002158848.2928 48.2945-0.0016931980 50.2776 50.2788-0.0 0120152.2414 52.2421-0.000694181000 54.18 5 4.1801-0.0001839856.0893 56.089 0.000318741020 57.9657.9649 0.000809659.8046 0.001262661.6066 61.6049 0.00168691050 63.3654 63.3633 0.00207面板B：v（t=0）傅里叶变换KM约差。，pp.0.1 51.9512 51.9516-0.000443210.2 52.6614 52.6509 0.0104690.353.2189 53.2149 0.00405750.453.6929 53.6917 0.00121050.554.1121 54.1121 0.00003480.6 54.492 54.4932-0.00120020.754.8416 54.8419-0.000211020.855.1673 55.1588 0.00850980.9 55.4732 55.4419 0.03134355.7625 55.69 0.0725551.1 56.0376 55.9066 0.131 01注：比较根据Heston[1993]模型的动态，稳定部队的欧洲看涨期权。所有希腊语单位为pct，差异单位为百分点。傅里叶变换价格是使用Matlab的integral（）函数通过数值积分得到的。希腊语的KM近似值通过有限差分获得。面板A：区分期权的现货价格。执行价格=1000。B组：在货币选项（S（t）=罢工=1000）处，用于区分即期差异。在bot h Panles中：到期时间=1/12，κ=0.1465，θ=0.517 2，ω=0.5786，ρ=-0.0243，r=0.00，v（t）=θ。Black-Scholes模型的波动率为σ=pv（t）。所有与Heston（1993）参数一致的B-S参数都设置为相等。3近似赫斯顿模型37表4：近似赫斯顿的Γ面板A：股价傅里叶变换KM近似值。

差异。，pp.950 0.20165 0.20161 4.0526e-05960 0.20076 0.20071 4.4782e-050.19937 0.19932 4.8141e-05980 0.1975 0.19745 5.0149e-050.19519 0.19514 5.0908e-051000 0.19246 0.19241 5.0701e-050.18935 0.1893 4.9582e-051020 0.18588 0.18583 4.7187e-050.18209 0.18205 4.4327e-050.17802 0.17798 4.0407e-051050 0.1737 0.17366 3.6158e-05面板B：v（t=0）傅里叶变换KM约差。，pp.0.1 0.44642 0.38533 0.0610960.2 0.31234 0.30392 0.00841560.30.25395 0.25273 0.00121730.40.21935 0.21918 0.00016690.50.1958 0.19575 5 5.1236e-050.6 0.17844 0.17843 1.3833e-050.70.16496 0.1652-0.000237020.80.15409 0.15448-0.000380830 0.9 0.14509 0.1436 0.00149050.137450 8 0.1273 0.0101791.1 0.13092 0.096136 0.034784注：赫斯顿动态下欧式看涨期权的比较【1993】型号。Al lGreek以百分比表示，差异以百分比表示。傅里叶变换价格是通过使用Matlab的integral（）函数进行数值积分得到的。希腊语中KM的近似值通过有限差分获得。面板A：区分期权的现货价格。Str ike价格=1000。小组B：在货币期权（S（t）=罢工=1000）上，用于区分即期差异。在两个窗格中：时间成熟度=1/12，κ=0.1465，θ=0.51 72，ω=0.5 786，ρ=-0.0243，r=0.00，v（t）=θ。Black-Scholes模型的波动率为σ=pv（t）。所有与Heston【1993】参数一致的B-S参数均设置为相等。3近似赫斯顿模型38表5：近似赫斯顿的VPanel A：股价分析V KM近似Diff，abs。74.9687 74.9679 0.00076581960 76.221 76.2212-0.0002336777.2834 77.2847-0.0013377980 78.1538 78.1563-0.002528678.8316 78.8354-0.00378511000 79.3178 79.3229-0.00508379.6148 79.6212-0.00639611020 79.7259 79.7336-0.007696679.6561 79.6651-0.008956679.4111 79.4213-0.0101481050 78.9977 79.0090-0.0112面板B：v（t=0）傅里叶变换KM约。

差异。，防抱死制动系统。0.1 180.4329 151.6085 28.82440.2 127.7884 122.9584 4.82990.3104.3134 103.4803 0.833080.490.279 90.1519 0.127050.580.6826 80.6861-0.00356990.673.5874 73.5304 0.0569 880.7 68.0654 67.8674 0.1979 20.863.6084 63.6146-0.00614720.9 59.9122 61.4241-1.51256.7816 62.6834-5.90181.1 54.0853 69.5145-15.4293注：在Heston【1993】模型动力学下，欧洲看涨期权的V比较。使用Matlab的integral（）函数，通过数值积分获得傅里叶变换价格。希腊语的KM近似值通过有限差分获得。A组：区分选项的零散性。执行价格=1000。B组：在货币期权（S（t）=罢工=1000）处，用于区分即期差异。在两个窗格中：成熟时间=1/12，κ=0.1465，θ=0.5172，ω=0.5786，ρ=-0.0243，r=0.00，v（t）=θ。Black-Scholes模型的波动率为σ=pv（t）。与Heston【1993】参数一致的所有l B-S参数设置为相等。4近似CEV模型394近似CEV模型在本节中，我将继续遵循K M的路径，并将其级数展开方法应用于另一个随机波动率模型。这也是由KM自己完成的，因此我在本节中也打算通过应用KM的结果来开始我的数值分析。

然而，与之前的赫斯顿模型一样，我也将考虑一些自己的例子。Chan等人【1992】首先引入了恒定方差弹性（CEV）模型来模拟随机利率，Jones【2003】或Lewis【2000】等在随机波动的背景下对其进行了进一步分析，并由以下SDEsdS（t）=rSdt+pv（t）SdW（t）（48）dv（t）=κ（θ）系统定义- v（t））dt+ω| v（t）|γdW（t）（49）dW（t）dW（t）=ρdt，其中κ表示平均反转参数的速度，θ和ω分别表示长期方差和扩散系数，r表示恒定瞬时短期速率。γ表示CEV参数。（48）和（49）中的表示是以KM为单位的相同值。然而，方差过程通常包括v（t）γ而不是| v（t）|γ。KM没有指出他们选择此版本CEV模型的原因，但这对系列扩展没有任何影响。CEV模型是赫斯顿模型的推广。通过设置γ=0.5，可以得到平方根过程in（34）。尽管Heston模型很受欢迎，但具有γ6=的CEV模型的案例具有实证相关性，如Jones【2003】所示。而在赫斯顿模型中，瞬时波动率的波动率不是水平依赖的，而方差瞬时波动率似乎是水平依赖的。Jones（2003）得出结论，水平依赖性似乎是数据的一部分，因此CEV模型可能在应用观察到的波动率微笑方面表现更好。因此，在（49）中选择γ6=1/2的过程可能是赫斯顿规范的合理选择。事实上，通过对标准普尔500指数（S&P500 index）日收益率数据的大量样本和3537个观测值进行分析，Jones（2003）估计γ值为1.33。

如本文所述，这些值表明了高方差弹性，与经验金融中的其他发现一致。Younesian（2013）使用标准普尔500指数看涨期权的最新数据集估计CEV参数约为0.6。请注意，虽然Jones[200 3]依赖Monte Carlo模拟和Baysian估计方法来获得他的估计，但Younesian[2013]直接从期权价格的m个横截面估计参数，我使用与KM相同的术语。然而，在文献中，术语CEV通常用于描述方差由确定性函数（例如股票价格）给出的模型。见Jones【2003】见Jones【2003】中的讨论，第196.4页，使用非线性最小二乘估计和KM的闭式近似公式近似CEV模型40。然而，Younesian【2013年】指出，CEV参数的估计因与KM系列近似值相关的相关系数的正确估计存在困难而受到严重影响。由于除了γ=之外，CEV模型的任何情况下都没有可用的解析解，因此我将依靠蒙特卡罗模拟来获得通过KM方法估计的期权价格的参考值。因此，本节中所述的所有近似误差可理解为与通过蒙特卡罗（MC）获得的价格的百分比或绝对偏差。4.1 CEV模型的KM展开由于CEV模型是赫斯顿模型的简单推广，因此很容易推导出该模型的KM级数展开式。在赫斯顿模型的情况下，可以简单地重复步骤，只需在第3.1节的所有方程中用v（t）γ替换v（t）项。遵循知识管理的方法，我再次使用Black-Scholesmodel作为基线模型。

由于我再次打算在CEV模型下近似欧洲看涨期权，并在Black-Scholes模型中使用看涨期权，因此调整边界的修正项等于零。应用（14）得到的初始定价误差与针对Heston模型δ（S，t）=（v（t）得到的初始定价误差相同- η） S哥伦比亚广播公司S（50），其中（50）再次出现，因为哥伦比亚广播公司/v=哥伦比亚广播公司/v=哥伦比亚广播公司/Sv=0。下表6显示了定价误差序列是如何按照近似顺序发展的，从（50）到任意正整数N。将表6与表1进行比较表明，修正项中唯一的差异在于方差项v（t），它是γ的幂，而不是1/2。由此产生的系列扩展与（46）中的相同，只是使用表6中的纠正术语。关于KM近似下的假设，更仔细地研究CEV过程的一个性质可能会很有趣。具体而言，如果γ>1then v→ ∞ 因此，增长条件无法保持。回顾KM方法所基于的假设的简要总结，在确定tr ue和基线模型之间差异的PDE解决方案的Feynman-Kac表示中提到了增长条件（见第2.2节）。然而，该条件仅在确保真实模型的SDEs存在解时才有必要。因此，如果生长条件被违反，则证明存在差异是很有必要的。为了证明ECV SDEs解的存在性，我密切关注Jones[2003，附录C]中的证明。见Jones[2003]，第187页。Jones（2003）证明了溶液的存在，但使用了不同的CEV过程公式。

因此，我基本上重做了Jones[2003]中的步骤，使用了近似CEV模型41的公式。请注意，CEV模型的价格过程本质上是一个几何布朗运动。对于常方差的情况，这类DE的解的存在性已在文献的其他地方得到证明。对于目前的随机波动率案例，Jones【2003】表明，如果SDE存在一个解，则存在一个解来确定方差的随机行为。因此，为了证明存在CEV模型的解，从而很好地定义了确定KM近似中定价偏差的PDE解的Feynman-Kac表示，有必要证明（49）的解的存在。要做到这一点，有必要说明（4 9）的尺度度量在0和+∞.（49）的标度度量为Ohm（v） =ZnmΘ（v）dv（51），其中Θ（v）=exp2κθω(2γ - 1） v2γ-1.-κω(γ - 1） v2γ-2.附录A.6包括上述比例尺的简要推导。Jones（2003）指出，上界+∞ 无法实现，如果Ohm（v） =R+∞mΘ（v）dv=+∞. 对于γ>1，这是true，因为t henv2γ- 1.→ 0和V2γ- 2.→ 0，使得Θ（v）→ 1as v→ ∞. 因此，积分无法收敛导致+∞ 无法实现。因此，Jones[2 003]指出，如果Ohm（v） =RnΘ（v）dv=+∞. 注意，对于γ>1，Θ（v）≈ 经验值2κθω(2γ-1） v2γ- 1.作为v→ 如果额外的t oγ>1，κ>0，自然θ>0，则Ξ≡2κθω(2γ-1） >0为真。对于v的小值，这意味着以下关系exp2κθω(2γ - 1） v2γ-1.= 经验值Ξv2γ-1.> 经验值Ξv>Ξv（52）自1/v起→ +∞ 作为v→ 0上述不等式也表示Θ（v）→ +∞ asv公司→ 0

因此，对于CEV变量过程的尺度度量，0和+∞ 无法获得（49）的解，因此存在（49）的解，因此，即使生长条件为viola t ed f或γ>1，也可以确保存在确定CEV模型的SDE解。因此，至少应该明确KM近似的第一步，即定价误差服从的PD e解的费曼-卡茨表示。本文使用的CEV模型。见Jones[2003]，第217页或其中引用的资料来源。见Jones[2003]，第216页。见Jones[2003]，第216.4页近似CEV模型434.2数值精度图8显示了KM对CEV模型中欧洲调用的近似值，用于两个CEV参数选择γ=0.6（面板a）和γ=1.33（面板b）。到期时间为一年，履约价格设定为100。其他参数为：θ=0.04，ω=0.10，ρ=-0.5，r=0.1，即期方差v=0.05，到期时间为一年，履约价格为100。布莱克-斯科尔斯足球俱乐部√v、 如前一节所述，N表示近似的阶数。由于这两种选择的CEV参数没有CEV模型的解析解，因此通过蒙特卡罗模拟获得参考值。图8中的两个例子都清楚地表明KM的级数展开收敛于蒙特卡罗解。γ=1.33的近似值似乎比γ=0的近似值更精确。总的来说，收敛模式与赫斯顿模型已经观察到的模式非常相似。对于CEV参数的两种情况，每一个新的修正项都会改善近似值，因此对于γ的两个值，显然应使用N=4阶近似值。结果表明，γ=1.33时的精度略高。