逆高斯求积与有限正态混合逼近

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英文标题：
《Inverse Gaussian quadrature and finite normal-mixture approximation of
  the generalized hyperbolic distribution》
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作者：
Jaehyuk Choi, Yeda Du, Qingshuo Song
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  In this study, a numerical quadrature for the generalized inverse Gaussian distribution is derived from the Gauss-Hermite quadrature by exploiting its relationship with the normal distribution. The proposed quadrature is not Gaussian, but it exactly integrates the polynomials of both positive and negative orders. Using the quadrature, the generalized hyperbolic distribution is efficiently approximated as a finite normal variance-mean mixture. Therefore, the expectations under the distribution, such as cumulative distribution function and European option price, are accurately computed as weighted sums of those under normal distributions. The generalized hyperbolic random variates are also sampled in a straightforward manner. The accuracy of the methods is illustrated with numerical examples.
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中文摘要：
在本研究中，利用高斯-厄米特求积与正态分布的关系，从高斯-厄米特求积中导出了广义逆高斯分布的数值求积。所提出的求积不是高斯的，而是正、负阶多项式的精确积分。利用求积，将广义双曲分布有效地近似为有限正态方差-均值混合分布。因此，该分布下的期望值，如累积分布函数和欧式期权价格，准确地计算为正态分布下的期望值的加权和。广义双曲随机变量也以简单的方式采样。数值算例说明了方法的准确性。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Computation        计算
分类描述：Algorithms, Simulation, Visualization
算法、模拟、可视化
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Inverse_Gaussian_quadrature_and_finite_normal-mixture_approximation_of_the_gener.pdf (464.29 KB)

2022-6-10 21:09:34 上传

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关键词：distribution Quantitative Expectations Applications relationship

广义双曲分布的逆高斯求积和有限正态混合近似Jaehyuk Choia，*, Yeda Dua，清朔松巴平京大学汇丰商学院，深圳，中国伍斯特理工学院数学科学系，伍斯特理工学院，马萨诸塞州，美国摘要在这项研究中，通过利用高斯-埃尔米特求积与正态分布的关系，从高斯-埃尔米特求积推导出广义逆高斯分布的数值求积。所提出的求积不是高斯的，而是正、负阶多项式的精确积分。利用求积，广义双曲分布有效地近似为有限正态方差-均值混合。因此，分布下的期望值，如累积分布函数和欧式期权价格，被准确地计算为正态分布下的加权和。广义双曲型随机变量也以简单的方式采样。数值算例说明了该方法的准确性。关键词：广义双曲分布，逆高斯分布，正态方差-均值混合，高斯求积1。简介逆高斯（IG）分布IG（γ，δ）具有密度函数Fig（x |γ，δ）=δ√2πxexp-（γx- δ） 2倍对于γ≥ 0, δ > 0.漂移布朗运动的首次通过时间γt+Bt达到δ水平，由ig（γ，δ）分布。逆项是指布朗运动在固定位置的时间，而高斯分布是指固定时间的位置。参见Peops和Chhikara[1]，了解IG分布特性的视图。

进一步推广到广义逆*通讯作者电话：+86-755-2603-0568，地址：深圳市南山区大学城北京大学汇丰商学院518055，中国电子邮箱：jaehyuk@phbs.pku.edu.cn（Jaehyuk Choi）提交给《计算与应用数学杂志》的预印本，2020年12月2日高斯（GIG）分布，GIG（γ，δ，p），密度fgig（x |γ，δ，p）=（γ/δ）pxp-12Kp（γδ）exp-γx+δ2x,式中，Kp（·）是第二类修正贝塞尔函数，指数为p，K-/2（z）=pπ/2z e-z、 可以看出ig（γ，δ）~ gig（γ，δ，-/2). GIG随机变量X~gig（γ，δ，p），具有标度性质：X~ （δ/γ）gig（σ，σ，p）带σ=√γδ. 因此，gig（σ，σ，p）的任何语句都可以很容易地推广到gig（γ，δ，p）。倒数也遵循aGIG分布：1/X~ gig（δ，γ，-p） 。有关GIGdistribution的属性，请参见Koudou和Ley[2]。ig（σ，σ）的均值、方差、偏度和外峰度分别为1、1/σ、3/σ和15/σ。因此，IG（和GIG）分布更加偏斜，重尾σ变得更小。当X~ gig（γ，δ，p）用作正态方差-均值混合的混合分布，Y=u+βX+√XZ表示标准正态变量Z，（1）广义双曲（GH）变量Y~ gh（u，β，γ，δ，p）通过密度fgh（y |u，β，γ，δ，p）获得=√α（γ/αδ）p√2πKp（Δγ）eβ（y-u）Kp-/2（αpδ+（y- u））（δ+（y- u))(1-2p）/4，其中α=pβ+γ。GIG分布的缩放特性意味着~ gh（u，β，γ，δ，p）可归一化为顶部γ/δ（Y- u) ~ gh（0，￠β，σ，σ，p），其中σ=√γδ和￠β=βpδ/γ。因此，对于gh（0，～β，σ，σ，p）的任何陈述都可以很容易地推广到H（u，β，γ，δ，p）。顾名思义，GH分布推广了双曲线分布，即p=1情况，最初研究的是砂粒尺寸分布[3]。

后来，GH分布被应用于金融[4，5]。特别是，正态逆高斯（NIG）分布，thep=-/2案例，由于其更好的概率特性[6，7]，以及优于经验财务数据[8，9]，因此作为最有用的分布案例引起了人们的注意。基于模型的GH混合聚类最近被提议作为高斯混合的更好替代，以处理倾斜和重尾数据【10】。在文献中，GH分布由u、α、β、δ和p等效参数化，限制条件为|β|<α。尽管GH分布有着广泛的应用，但它的评估也并非微不足道。例如，累积分布函数（CDF）没有闭合形式的表达式，我们必须求助于密度函数的数值积分，这在计算上很昂贵。关于金融应用，欧洲期权定价的有效数值程序仍然普遍存在。虽然已知IG分布子集的闭合形式解【12】，但期权定价目前依赖于准蒙特卡罗方法【13】。本研究提出了一种新的有效方法，将GH分布近似为有限正态方差-均值混合分布。因此，GH分布下的期望值被降低到正态分布下的期望值，而正态分布下的期望值可以用解析或数值方法进行计算。GH分布下的CDF和vanilla期权价格分别计算为正常CDF和Black-Scholes价格的加权和。通过利用GIG分布与正态分布的关系，为GIG分布构造一个新的数值求积，即混合分布，从而获得有限混合物的成分和重量。

虽然正态分布的高斯-厄米特求积仅精确计算正矩，但所提出的求积精确计算正矩和负矩。此外，新的求积可以用作从GH分布（以及某种程度上的GIG分布）中采样Grandom变量的替代方法。除NIG分布【14】外，GH分布的抽样取决于GIG分布的接受-拒绝方法【15，16】。与现有方法相比，我们基于求积的方法更易于实现，并且不存在被拒绝的随机数。本文的组织结构如下。第2节讨论了混合分布的数值求积及其益处。第3节推导了IG和GIG分布的求积。第4节讨论了数值例子，第5节总结了研究。混合分布的数值求积关于区间（a，b）上权函数w（x）的高斯求积是{xk}，对于k=1，…，权重是{wk}，n、 最佳逼近agiven函数g（x）asZbag（x）w（x）dx的积分≈nXk=1g（xk）周。当（x）是一个高达2n次的多项式时，点和权重是最优化的，因为它们精确地计算积分-当w（x）是概率密度时，权重具有所需的特性：Pnk=1wk=1，g（x）=1。已知{xk}是关于w（x）和（a，b）的第二阶正交多项式pn（x）的根，{wk}作为拉格朗日插值多项式wk=pn（xk）Zbapn（x）x的积分给出- xkw（x）dx。对于几种著名的概率密度w（x），已经发现了高斯求积：均匀分布的高斯-勒让德求积，贝塔分布的高斯-雅可比求积，指数分布的高斯-拉盖尔求积。

特别是，本研究严重依赖正态分布的高斯-厄米特求积。在本文的其余部分中，高斯-埃尔米特求积总是根据标准正态密度w（x）=e确定的-x/2/√2π，而不是w（x）=e-x、 因此，正交多项式是文献中用Hen（x）表示的概率论者的Hermite多项式，而不是用Hn（x）表示的物理学家的Hermite多项式。如果已知混合分布X inEq的精确求积{xk}和{wk}。（1） ，涉及Y的期望可以近似为正态分布的有限混合，平均u+βxk和方差xk:Eg（Y）≈nXk=1wkEg（u+βxk+√xkZ）, （2） 对于函数g（·）和标准正态变量Z，可以有效地计算近似期望值，因为分析或数值程序广泛适用于正态分布。例如，GH变量Y的CDF可以近似为正态分布fgh（Y）=P（Y<Y）的CDF的加权和≈nXk=1wkNy- u√xk公司- β√xk公司, （3） 其中，N（·）是标准正常CDF。这种近似方法特别适用于aCDF，因为wk>0且pwk=1时，值从0单调增加到1。如果astock价格遵循对数GH分布，则在KC达成的欧洲看涨期权价格可以近似为具有不同现货价格和波动率的Black-Scholes公式的加权和GH（K）=E（max（eY- K、 0））≈nXk=1周FkN（dk+√xk）- 千牛（丹麦）,式中，Fk=eu+（β+/2）xk，dk=log（Fk/K）√xk公司-√xk。（4） 即使感兴趣的数量在正态分布下没有解析表达式，也可以为Y构造一个复合求积，其点和权重分别为{u+βxk+√对于k=1，…，xkzl}和{wkhl}，n、 l=1。

，m，其中{zl}和{hl}分别是高斯-厄米特求积的点和权重。混合分布的求积也是生成Y的随机变量的一种快速而简单的方法。Y的采样近似为asY≈ u+βxK+√xKZ，（5）其中K是由独立于z的均匀随机变量U确定的随机指数，K=inf{K:U≤ w+···+周，1≤ k≤ n} 。这里，K的构造是为了确保xKis是{xk}中根据概率{wk}随机选择的点：P（K=K）=P（xk=xk）=wk。因此，用模拟值Y评估的g（Y）期望值与用正交inEq评估的g（Y）期望值相同。（2） ：Eg（Y）≈ E（g）（u+βxK+√xKZ））=EEg（u+βxK+√xKZ）K=nXk=1wkEg（u+βxk+√xkZ）.请注意，XKC可以作为X的随机变量，但由于不确定性，使用可能会受到限制。然而，式（5）中采样的随机数Y是连续的，因为XKIs与Z混合。也可以通过将U替换为1来生成对偶变量- U、 我们将通过第4.3节中的数值实验来验证随机数生成方法的有效性。随变量变化的IG和GIG求积，（γx- δ） /x=z，图（x |γ，δ）的指数变为z中标准正态密度的指数。该映射在理解本研究以及之前已知的IG分布特性方面起着重要作用。我们适当地定义了映射并导出了一个关键引理。定义1。设φσ是x的单调递增一对一映射∈ (0, ∞) 托兹∈ (-∞, ∞), 和φ-1σ分别为逆映射，定义为z=φσ（x）=σ√x个-√x个x=φ-1σ（z）=1+z2σ+zσr1+z4σ。引理1。映射z=φσ（x），将IG密度fig（x |σ，σ）和标准正态密度n（z）联系起来，如下所示：fig（x |σ，σ）1+xdx=n（z）dz。（6） 证明。

从微分来看，证明是微不足道的，dzdx=φσ（x）=σ1+x√x。利用引理1，可以得到关于IG分布的两个重要结果。设x+和x-be x±=φ-z为1σ（±z）≥ 0。那么，x+x-= 1和0<x-≤ 1.≤ x+。对于标准法线Z和X~ ig（σ，σ），三个变量周围的概率密度，x+，x-, 和z，satisfyP（X∈ dx++P（X∈ dx公司-) =2 P（Z∈ dz）1+x++2 P（Z∈ d(-z） ）1+x-= 2 P（Z∈ dz），（7），其中p（X∈ dx±）=图（x±|σ，σ）dx±和P（Z∈ dz）=n（z）dz。接下来就是Pφσ（X）<z= P（x-< X<X+=Zx-P（X∈ dx公司-) +Zx+P（X∈ dx+=Zz2P（Z∈ dz）=P（Z<Z）。因此，φσ（X）=σ（X- 1） /X分布为具有1个自由度的卡方分布[17]。等式（7）还意味着在两个随机值之间进行选择，X±=φ-1σ（±| Z |），概率p±=1/（1+X±）（p++p-= 1） 分别是ig（σ，σ）[14]的精确抽样方法，最初为本研究提供了关键见解。引理2。设{zk}和{hk}分别为n阶埃尔米特多项式Hen（z）的高斯-埃尔米特求积的点和权重。然后，由xk=φ变换的点{xk}-1σ（zk）和权重{hk}作为关于域（0）上w（x）=图（x |σ，σ）（1+x）/2的数值求积，∞). 相应的正交函数areGn（x）=Heno φσ（x）。证据下面的证明是引理1的直接结果，引理1指出，对于函数g（x），Z∞g（x）图（x |σ，σ）1+xdx=Z∞-∞g级o φ-1σ（z）n（z）dz。首先，函数Gn（x）是正交的，因为∞Gn（x）Gn（x）图（x |σ，σ）1+xdx=Z∞-∞Hen（z）Hen（z）n（z）dz=n！δnn，其中δnni是Kronecker三角洲。其次，{xk}是Gn（x）=0的根，因为Gn（xk）=Hen（zk）=0。

最后，权重hk在映射z=φσ（x）：φσ（xk）Gn（xk）z下不变∞Gn（x）φσ（x）- zkfig（x |σ，σ）1+xdx=Hen（zk）Z∞-∞Hen（z）z- zkn（z）dz=香港。根据引理2，用{xk}和{hk}计算IG分布下g（X）的期望，如下所示：Z∞g（x）图（x |σ，σ）dx=Z∞2g（x）1+xfig（x |σ，σ）1+xdx=nXk=1g（xk）2hk1+xn（8）这一观察结果使我们得出了关于IG分布的数值求积。定理1（IG求积）。设{zk}和{hk}分别为n阶Hermite多项式Hen（z）的Gauss-Hermite求积的点和权重。然后，点{xk}和权重{wk}，由xk=Δγφ定义-1σ（zk）和wk=2 hk1+φ-1σ（zk）对于σ=pγδ，作为域（0，∞). 求积精确计算r=1的rth阶矩- nn、 证明。由于GIG随机变量的标度特性，有必要考虑γ=δ=σ的情况。新权重{wk}的构造直接遵循公式（8）。我们需要证明关于力矩的陈述：E（Xr）=nXk=1xrkwk。变量y=1/x的变化产生图（x |σ，σ）dx=-y fig（y |σ，σ）dy和E（Xr）=E（X1-r） 对于X~ ig（σ，σ）。因此，左侧表示为asE（Xr）=E（Xr+X1-r） =E1+Xθr（X）= Eθro φ-1σ（Z）.其中θ（x）=1，θr（x）=xr+x1-r1+x=(-1） r-1+r-1Xj=1(-1） r-1.-jxj+xj对于r≥ 右侧的正交积分也满足类似的性质，Pnk=1xrkwk=Pnk=1x1-rkwk，由于正交点的对称性，1/xk=φσ(-zk）。因此，右侧表示为nXk=1xrkwk=nXk=11+xkθr（xk）wk=nXk=1θro φ-1σ（zk）hk。当两边相等时，θr的高斯-厄米特积分o φ-1σ（z）应参见公式（9），了解力矩（p=-/2).

特性E（Xr）=E（X1-r） ，可以用对称性Kp（·）=K直接证明-p（·）。精确一点，如果θro φ-1σ（z）是z的2n次多项式- 1或以下。它可以用切比雪夫多项式表示。如果Tj（·）是第一类第j阶切比雪夫多项式，那么它有一个性质，Tj（cosh（y））=cosh（jy）。随着变量x=Ey和z=φσ（x）的变化，我们可以表示xj+xj=2 cosh（jy）=2 Tj（cosh（y））=2 Tjz2σ- 1..因此，θro φ-1σ（z）是Tj（z/（2σ）的线性组合- 1） 对于j=0，r- 1，therebyan订单2（r- 1） z的多项式。因此，rth阶矩的求积对于r=1，…，是精确的，n、 从对称性E（Xr）=E（X1-r） ，对于r=1，同样适用- n0可以对新的正交进行以下说明。首先，正交函数Gn（x）不是x的多项式；因此，该正交不是高斯正交。Givenbelow是从Hen（z）获得的ig（1，1）的前几阶Gn（x）：G（x）=1，He（z）=1G（x）=x- 1.√x、 He（z）=zG（x）=x- 3x+1x，He（z）=z- 1G（x）=（x- 1） （十）- 4x+1）x√x、 He（z）=z- 3Z尽管如此，积分正力矩和负力矩的求积是精确的。其次，我们在分布名称之后将该求积命名为逆高斯求积。这里，逆一词还表示它不是高斯函数，可以准确地计算逆矩。第三，求积的构造直观地理解为Michael等人所描述的方法【14】应用于离散正态随机变量{zk}，概率{hk}，而不是连续正态变量。第四，根据引理2，IG求积的误差估计是通过对高斯-厄米特求积的误差估计进行修正得到的[18，p。