空间不规则常微分方程及其路径解

（3.24）3解决方案空间和退出时间限制。我们首先显示dM，T（Дn，Д）n→∞----→ 如果T>0，则索赔基本上是由dM定义的。Let（τ*n、 σ*n）∈ Π*T（νn）的定义如方程3.23中的n所示∈ N、 thendM，T（ДN，Д）：=inf{kτ- τkR+∨ kσ- σkR+：（τ，σ）∈ Π*T（Дn），（τ，σ）∈ Π*T（Д）}≤ kτ*- τ*nkR公司+∨ kσ*- σ*nkR+：=kE（Д）∧ T- E（^1n）∧ T kR+∨ ke公司- ekR公司+≤ kE（^1）- E（Дn）kR+=：dΦ（Дn，Д）。（3.25）因此假设dΦ（Дn，Д）n→∞----→ 0，不等式dM，T（Дn，Д）≤ dΦ（Дn，Д）不仅提供dM，T（Дn，Д）n→∞----→ 0表示所有T，但也表示dM（Дn，Д）n→∞----→ 0，例如，根据等式3.20，我们得到了边界dM≤ T dM，T+2-T对于所有T∈ N、 空间（Φ，dΦ）和（Φ，dM）实际上在拓扑上是等价的，这似乎很有可能，这也需要定理3.13中的相反陈述。然而，我们不追求这一点，因为从今以后不再直接依赖于Mmetric，而且它比退出时间度量更难以使用。当然值得注意的是，（Φ，dΦ）既是可分的又是完全的，（Φ，dM）是可分的但不是完全的。例如，设置Дn（t）：=n-n为1t∈ N和ν（t）：=0，那么我们有∈ ΦbutД6∈ Φ考虑到Д没有严格增加，但dM（Дn，Д）≤ d（Дn，Д）n→∞----→ 如果D（R+，R）中路径的不连续性最多是可数的，请参见Billingsley（1999）的第13节，那么很容易证明（Φ，DΦ）中的收敛性强于a.e.逐点收敛性，因此也可以在任何Lpspace中收敛。事实上，正如Whitt（2002）第11.5.2节所明确指出的那样，（Φ，dM）的收敛性也比这些意义上的收敛性更强，因此我们可以只考虑以下第3.13条的结果。让Leb表示Lebesgue度量，并注意到|pn（t）=|n（t）| pforД∈ Φ.推论3.14（即逐点和Lpconvergence）。

假设收敛φnn→∞----→ ν发生在出口时间空间（Φ，dΦ）上，如定理3.13所示。那么，对于任何T，p∈ R+，Lebht∈ [0，T]：Дn（T）n→∞----→ Д（t）i=t和z[0，t]Уpn（t）dtn→∞----→Z[0，T]νp（T）dt。（3.26）现在我们可以继续本章的主要极限定理，适用于问题1.4的解，发生在出口时间空间（Φ，dΦ）上，这是专门为它们设计的。3解决方案空间和退出时间限制3.4统一退出时间解决方案限制本节展示了如何设置IVP序列，每个IVP都提供了仅通过单个参数区分的问题1.4的示例，以便解决方案收敛到退出时间度量空间（Φ，dΦ）上的任何选择限制。从实践的角度来看，其后果是深远的：尽管我们的工作框架是累积方差∈ 价格路径的Φ是不同的（因此相应的波动率√存在），我们可以构建任何不连续的轨迹∈ Φ，例如Levy从属函数的Φ，作为一个极限。作为一个理论上令人惊讶且具有实际价值的示例，我们用示例3.19结束本节，示例3.19具体确定了积分CIR路径与IG Lévy过程路径的收敛性。这在图12中以图形方式进行了说明，为理解序言中讨论的赫斯顿和尼格关系提供了直观而深刻的基础，使我们能够在下一节中准确描述这两个特定流行模型之间函数收敛的概念。然而，这里的定理3.17和定理3.18的结合广泛地推广了这种特殊的联系。首先，在推论3.15中，我们阐明了路径ν的退出时间的一个简单性质∈ Φ来自定理3.3，这是问题1.4解的上界。接下来，引理3.16建立了（Φ，dΦ）上此类边界的某种收敛性。

然后，我们将准备好结合这些来证明定理3.17，这是本节的主要结果。现在，将定义3.9中的退出时间函数E补充为最大函数M:D（R+，R），既和谐又清晰→ D（R+，R）。我们定义为byM（Д）（t）：=sup{0∨ ^1（s）：s∈ [0，t]}。（3.27）这在Whitt（1971）中用S表示，我们避免使用S，因为这表示我们的价格过程，并用Д表示↑在Whitt（2002）中。Whitt（1980）和Whitt（2002）第13.4节具体分析了该函数的性质，Whitt（2002）第13.6节具体分析了与退出时间函数的关系。E的优雅“双重”关系o E=M andEo应注意M=E，再次参见Whitt（1971）。我们对“0”的使用∨公式3.27中的“s”在M从所有D（R+，R）中定义时保留这些关系，不需要使用“0”≥ 0.3解空间和退出时间限制在D（R+，R+）的任何非递减子集（如Φ或N）上明显具有恒等式M=e，因此我们从这些子集中简单地找到eoE=E，如引理3.11所述。最后，请注意，如果路径φ∈ C（R+，R）和Д∈ D（R+，R+）的定义见第2.2节，但g∈ G、 如方程式3.28中的sup := 0，则路径M（φ）和ν（非偶然）位于定义3.10和定义1.6中的集合N和Φ中。推论3.15（退出时间下限）。修复g∈ G、 设ν为IVP x=G（t，x），x（0）=0，且设φ的唯一全局解∈ C（R+，R）和Д∈ Φ通常由φ（x）定义：=sup{t∈ R+：g（t，x）<0}，Д（t）：=inf{x>0：g（t，x）<0}。（3.28）然后E（φ）=Д，E（φ）=M（φ）和M（φ）（x）=E（φ）（x）≤ E（Д）（x）=Д-1（x）代表x∈ R+。证据回想引理2.3，当从函数f导出时，路径φ在C（R，R）中∈ F

物业支持∈g中函数的R+g（t，x）>0确保我们现在找到φ∈ C（R+，R）。同样，infx∈R+g（t，x）<0确保∈ 引理2.4中的D（R+，R+）和Д=E（φ）。我们还可以得到E（Д）=（Eo E） （φ）=M（φ），使用一般函数关系Eo E=M。当量E（Д）=Д-1是显而易见的，所以它只需要证明下时间界E（Д）（x）≤ E（Д）（x）保持在R+。随后，将函数E应用于空间上限Д（t）≤ ν（t）来自定理3.3，它简单地颠倒了顺序。下一个结果适用于边界，将完成定理3.17的一半工作。它利用了方程3.28中的φ，这当然与引理2.3中的φ有关，它表征了函数f的零点∈ F根据F（φ（x），x）=0，当φ（x）时∈ R、 φ定义为不等式3.28，当φ（x）>0时，我们得到g（φ（x），x）=0，而g（0，x）≥ 否则为0。引理3.16（边界收敛）。假设{gn}n∈N G和let{νn}n∈N Φbeth从每个gn中定义了通常的IVP解决方案界限，如推论3.15所示。那么我们有KG- gnkR+n→∞----→ 0 ==> dΦ（Дn，Д）：=kE（Д）- E（Дn）kR+n→∞----→ 0.（3.29）证明。我们专注于建立kφ-φnkR+n→∞----→ 0，其中{φn}n∈N C（R+，R）是从每个gn中定义的路径，如等式3.28所示。然后，应用连续映射M，并引用推论3.15.3中的关系M（φn）=E（φn）。解空间和出口时间限制给出了这些路径φnare，当φn（x）>0时，与每个gnvia gn（φn（x），x）=0相关，以询问ifkg- gnkR+n→∞----→ 0 ==> kφ- φnkR+n→∞----→ 0（3.30）本质上是询问被视为x轴上的图的gn的零点是否一致地在紧集上收敛于g的零点。对于一般的{gn}n，不需要这样做∈NC（R+，R），例如取g：=0和gn：=n-1.

在我们的环境中，每一个gn（·，x）严格地增加，同时也增加了supt∈R+gn（t，x）>0，方程3.30可以直觉得出，可能很清楚。为此，首先假设我们在某个有界x上的φ（x）>0的更相关设置中 R+。我们将为任何 > 0，我们有kφ- φnkX< 作为n→ ∞.假设所有x的g（φ（x），x）=0∈ 十、 每g（·，X）严格递增，注意g（φ（X）- , x） <0<g（φ（x）+, x） x上的（3.31），其中我们可以假设φ（x）- ≥ 由此我们得到相关的orderinggn（φ（x）- , x） <0<gn（φ（x）+, x） （3.32）当n大于某些n时，大于x∈ N、 使用假设kg-gnkR+n→∞----→ 0。但给定φ是X上定义的唯一路径，其中gn（φn（X），X）=0，等式3.32表明，在X上，φn介于φ± 当n>n.So kφ时- φnkX< 当温度>N，因此kφ- φnkXn→∞----→ 0适用于φ（X）>0的任何此类有界X。在可选设置中，其中φ（x）=有界x上的0 R+，so g（0，x）≥ 0，我们发现0≤ g（0，x）=g（φ（x），x）<gn（φ（x）+, x） =gn(, x） （3.33）代替方程式3.32，so kφ- φnkX=kφnkX< 每当n>n时，通过拆分任何紧集[0，X] R+进入φ（x）>0或不大于0的点，我们得到kφ- φnk[0，X]n→∞----→0.因此，kE（Д）- E（Дn）k[0，X]=kM（φ）- M（φn）k[0，X]n→∞----→ 0根据M的映射属性。现在，基本上根据定义，我们拥有dΦ（Дn，Д）n的权利要求→∞----→ 0，我们可以使用dΦ（Дn，Д）≤ NkE（^1）-E（Дn）k[0，n]+2-Nf来自方程式3.20。现在，我们准备证明本节的主要结果，这将构成建立（Φ，dΦ）引起的拓扑概率极限的主要工具，如综合CIR过程向IG Lévy从属的收敛。

初读时，3解决方案空间和退出时间限制有助于设置gn:=每n的gf∈ N、 作为序列{gn}N的推广∈N G并没有那么困难，这部分的大部分工作都是由引理3.16完成的。在定理3.17中，我们将每个νnas设置为源自ngn而非gn的IVP解，这一事实不容忽视。事实上，这实际上就是整点：ngn的爆炸值，因此，作为n→ ∞, 在（Φ，dΦ）上生成不连续限制。如果我们改用gn，那么我们在子空间（Φ，dΦ）=（Φ，dΦ）上得到等式3.15中实用价值较低的连续性结果-1). 注意，每个NGN的零与NGN的零重合；这是确保解的非退化极限Д始终存在的原因，与Дn不同。为了完全清楚，定理3.17中的此类极限Д通常由gbyД（t）：=inf{x>0：g（t，x）<0}定义。（3.34）定理3.17（统一退出时间限制）。假设{gn}n∈NG、 设{νn}n∈NΦsolveeach IVP x=ngn（t，x），x（0）=0，分别取∈Φ通常从g中导出。然后，kg- gnkR+n→∞----→ 0 ==> dΦ（Дn，Д）=kE（Д）- φ-1nkR+n→∞----→ 0.（3.35）证明。声称的收敛dΦ（Дn，Д）n→∞----→ 0将从边界dΦ（Дn，Д）开始≤NkE（^1）-E（Дn）k[0，n]+2-方程3.20，如果我们可以建立一致收敛ke（ν）- E（Дn）k[0，X]=kE（Д）- φ-1nk[0，X]n→∞----→ 0（3.36）表示任何X∈ R+。通知E（Дn）=Д-1nsince，限制为Φ，E与逆映射一致。现在对于任何 > 0，我们将显示kE（^1）-φ-1nk[0，X]< 对于足够大的n。对于大多数情况，每个φ的上限足够紧-1通过不同的线性性质建立NIS，然后将调用推论3.15和引理3.16来提供下边界。为此，定义线λ∈ C（[0，X][, ]) 点之间(, 0）和(, 十） ，λ（X）：=1+xX, （3.37）注意kλk[0，X]=λ（X）=.

还应确定移位函数u：=E（Д）+λ，notingku-E（Д）k【0，X】=. 回想引理3.11，E（Д）定义了一个非递减路径inC（R+，R），sou∈ C（[0，X][, 定义了一条严格递增的双射路径，该路径具有逆u-1，式中T：=E（Д）（X）+. 因为λ有梯度2X>0，u具有单侧Lipschitz3溶液空间和出口时间限制特性u（x）-u（u）≥2X（x-u） 对于x≥ u in[0，X]。Sou-1具有交互版本u-1（t）- u-1（s）≤ L（t- s） ，L：=2X-1< ∞ （3.38）对于t≥ s英寸[, T）]。注意u-1() = 0从u（0）开始=, so设置u-1（t）：=0超过[0，) 定义C（[0，T]，[0，X]）中的路径，该路径保留方程式3.38的特性。有u-1（t）：=0超过[0，) 显然是u-1a任何（严格递增）IVP解决方案的严格下限，), 方程3.38中的Lipschitz性质允许我们将这个关系也扩展到[, 当微分不等式n（T，u-1（t））>L（3.39）在此时间间隔内进行验证。为清楚起见，这是因为接触点Дn（t）=u-1（t）这里导致了通常的L<L矛盾：L<ngn（t，u-1（t））=ngn（t，Д（t））=Д（t）≤ 五十、 现在，我们表明，对于足够大的n，方程式3.39确实是经过验证的，如果这些gn发现极限气体n，则可以对其进行拟合→ ∞. 为此，确定点x的直线：={（t，u-1（t））：t∈ [, T]}={（u（x），x）：x∈ [0，X]}（3.40）并设置m：=minXg。给定u（x）>E（Д）（x）=M（φ）（x）除以[0，x]和g（φ（x，x）≥0，则g（·，x）的严格递增性质确保m>0。现在假设kg- gnkR+n→∞----→ 0当然提供kg- gnkXn→∞----→ 0，因此minXgn=：mnn→∞----→ m、 所以我们可以继续w.l.o.g.假设mn>mfor每n∈ N、 但现在我们看到，当N>2L/m时，方程3.39的不等式得到验证，因为nGn（t，u-1（t））≥ n minXgn=：nmn>nm>L.（3.41），因此我们可以再次进行w.L.o.g。

假设每n保持一次∈ N、 强制执行绑定u-1（t）<un（t）大于[0，t]，每n等于u（x）>Д-[0，x]上方1n（x）。回想一下，我们已经确保该界限非常接近E（Д），确切地说是ku-E（Д）k【0，X】=.每个Д对应的下限-1nwas在推论3.15中确定，即每个（νn）。请注意，如果n>0，则通过ngnor gn定义每个Дn之间没有差异。重要的是，引理3.16建立了收敛性kE（Д）-E（Дn）k[0，X]n→∞----→ 03边界的解空间和退出时间限制，因此，补充了排序E（νn）（x）≤ φ-1n（x）<u（x）（大于[0，x]），我们也可以将n设置得足够高，以确保kE（Д）-E（Дn）k[0，X]<. 这样，我们就得到了ke（ν）- φ-1nk[0，X]≤ kE（^1）- uk【0，X】∨ kE（^1）- E（Дn）k【0，X】≤ . （3.42）也就是说，给定此顺序，从-1nto E（Д）不能超过E（Д）到E（Дn）和u之间的最大距离。已经证明，对于anyX， > 0，kE（Д）- φ-1nk[0，X]< 对于足够大的n，我们有kE（ν）-φ-1nk[0，X]n→∞----→ 定义为0，以及dΦ（Дn，Д）n的预期结论→∞----→ 也为0。在出口时间空间（Φ，dΦ）上建立了这个极限定理后，我们立即得到了收敛性νnn→∞----→ 在Skorokhod的M空间上，通过定理3.13，以及在推论3.14意义上的逐点收敛a.e.和所有LPSpace上。现在，很有可能在实际操作中介绍这一结果的示例，如果读者愿意，他们可以跳过示例3.19和图12。但我们将理论动量保留在这里，并覆盖本节的最后一个结果。

这是对前面的补充，通过演示我们如何在退出时间空间（Φ，dΦ）中显式构造任何选定的极限，并且还与Φ中任何IVP解的定理3.4的构造有关。鉴于（Φ，dΦ）与（N，d）等距，是一个完整的度量空间，下面的构造也很方便地说明问题1.4的解决方案集Φ的完成是Φ的整体，如定义3.12所述。也就是说，Φ在（Φ，dΦ）中是稠密的。最后回顾子集Θ，W 定理3.6和推论3.7中的C（R+，R）。为方便起见：Θ表示严格递增路径集θ∈ C（R+，R）带极限→∞θ（t）=∞, 和W路径集W∈ C（R+，R）带w（0）≤ 0和supx∈R+w（x）=∞. 如定理3.6所示，IVP x=g（t，x），x（0）=0，g（t，x）：=θ（t）- 然后，w（x）提供了问题1.4和g的一个示例∈ Gθ G、 因此有一个独特的全球解决方案∈ Φθ Φ.定理3.18（退出时间限制的构造）。与定理3.17相反，fix anyД∈Φ, θ ∈ Θ和w∈ W满足M（W）=θoE（Д），例如取w：=θo E（Д）。定义g∈ Gθx G（t，x）：=θ（t）- w（x），设{gn}n∈Nverify千克- gnkR+n→∞----→ 0，例如设置gn：=g，然后设置dΦ（Дn，Д）n→∞----→ 0，其中每个φn表示IVP x=ngn（t，x），x（0）=0。Thusevery^1∈ Φ可以被构造为问题1.4（Φ，dΦ）上此类解决方案的极限。3解决方案空间和退出时间限制。满足定理3.17的条件，因此我们得到dΦ（Дn，Д）n→∞----→ 0，其中Д（t）：=inf{x>0:g（t，x）<0}=inf{x>0:w（x）>θ（t）}。（3.43）所以我们只需要证明∈ W，M（W）=θoE（Д）确保等效性Д=Д。为此，使用关系EoM=E我们也可以将方程3.43写成：Д（t）=inf{x>0：M（w）（x）>θ（t）}=inf{x>0：（θ-1.o M（w））（x）>t}=：E（θ-1.o M（w））（t）。

（3.44）因此，一般来说，我们的表示形式为Д=E（θ-1.o M（w）），补充了简单表达式Д=E（w）o θ来自方程式3.43。现在应用M（w）=θ的假设o E（ν），我们确实看到了Д=（Eo E） （Д）=M（Д）=Д，使用一般关系EoE=M，并且事实上，Д严格地增加。给定Д=Д，证明是完整的。这一结果表明，如果我们可以选择任何θ，那么在生成所选限制on（Φ，dΦ）时有很大的自由度∈ Θ，任何w∈ W，M（W）=θo E（Д）和任何此类序列{gn}n∈N、 如果我们通过θ定义一个时间结构，那么与定理3.6的双射性结果不同，现在有许多∈ W产生相同的极限，每个极限以不同的速率收敛。几何上，我们看到给定的示例w：=θoE（Д）是唯一的递减路径，它生成极限Д，但将以最慢的速率进行。鉴于习惯性地将D（R+，R）中的路径想象为严格不连续的，因此Φ，例如忘记C∞ C 自动控制 D、 最后值得指出的是，定理3.18不仅仅是一个结果，它使我们能够构建任何不连续的累积方差路径∈ Φ作为解决方案的限制∈ Φ，但也提供了在连续路径之间插值的方法，如Black-Scholes和更丰富的粗糙波动率模型。在例3.19中，我们现在展示了定理3.17如何建立IVP解到IgLévy从属路径的收敛性，首先在方程式1.9中讨论。图12和图13中的插图表明，该示例与第2章中的示例相关，显然，所获得的极限类似于图7中的cádlág解界Д。从第1章的第一部分到方程式1.10，我们将清楚地了解为什么我们考虑示例3.19来演示集成CIR过程的路径收敛。