空间不规则常微分方程及其路径解

当确定x=Д（t）时，等式2.27中更简洁地表示了这些等效值。尽管^^可能不可区分，但严格来说，它是在[ξ，X]之上增加的*), 因此，byLebesgue定理是a.e.可微的，并验证了方程2.28。如果^Д在【a，b】中被改进为可区分的，除了有限数量的点外，那么在这些点之间的开放子区间（ai，bi）中它是可区分的，具有^Д（bi）- ^Д（ai）=RBAIi^Д（x）dx。Leb积分的线性度[∪i（ai，bi）]=b-a将该等式推广到等式2.28。对于严格递增函数，等式2.28中的等式等价于Royden&Fitzpatrick（2010）的推论6.5.12中的绝对连续。最后，如果^Д（x）<∞ xi分数有限的情况除外∈ 【a，b】，则很明显，在【a，b】中，除了在最后点ti：=^И（xi）外，Д（t）=1/^И（Д（t））>0，因此Д（t）>0 a.e.】如下所示。我们不会直接使用[^（a），^（b）]中的最终结论^（t）>0 a.e.，但将其包括在内，以强调我们通常不能假设它，即使^（x））>0 a.e.在[a，b]中，从^^（x）<∞ a、 e.in[a，b]和Д（t）=1/^Д（t））。如前所述，空间不规则ODE2的适定性假设^Д具有Lusin（N）性质。等效地，利用Saks（1937）的定理7.6.7，假设^^严格增加，因此有界变化是绝对连续的。现在我们可以讨论这篇论文中最重要的一个结果了。与迄今为止的所有结果一样，人们通常不能期望这在f（τ，ξ）=f（τ，Д（τ））=0的扩展中成立，尽管对于任何t∈ （τ，T*).定理2.17（最大唯一性）。假设f∈ F和F（τ，ξ）>0。那么，IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ，确实存在一个最大解。

这个唯一解是某个集合C（[τ，T）上的严格递增双射路径*), [ξ，X*)), 带T*∨ 十、*= ∞.证据首先，假设φifor i=1，2是该IVP的任意两个这样的最大解，其中定理2.8定义了一些集合C（[τ，Ti），[ξ，Xi]）中的严格递增路径和双射路径，其中Ti∨ Xi=∞. 这种双射性确保了νi（t）t→Ti公司---→ xi现在定义*:= T∧ 串联X*:= 十、∧ 十、 所以φiboth存在于X中：=[τ，T*) ×[ξ，X*). 现在的任务是显示在X中的Д=Д。从这一点出发，我们可以直觉地，通过一个简单的个案分析来阐明，T=Tand X=X，因此实际上，在C中，Д是相同的最大解（[τ，T*), [ξ，X*)) 带T*∨ 十、*= ∞. 为了涵盖一个这样的情况，让T<∞, sothat X=∞ 由T给出∨X=∞. 然后假设X<∞, so T=∞. 现在，在X中具有Д=Д尤其意味着Д（t）=Д（t）=X<∞ 对于一些t∈ [τ，T），自Д（T）T起→T型<∞------→ X=∞. 对于Д，这是荒谬的，因为双射路径Д满足Д（t）t→T型=∞------→ X<∞ 因此，对于任何t<∞. 因此，现在我们可以专注于验证X中的Д=Д，从中可以得出最大唯一性声明。从今以后，关键是使用倒数^Иi：=Д-1i∈ C（[ξ，Xi），[τ，Ti）），以及在引理2.16中合并的这些路径的属性。请注意，如果我们发现^^^=^^，X中的唯一性，则在X中的^=^*) ×[τ，T*). 为此，定义函数λ∈ C（[ξ，X*), R） 由λ（x）：=^Д（x）- ^Д（x），跟踪每个^ito到达空间级别x的时间差。该函数满足λ（ξ）=0，因为^Д（ξ）=^Д（ξ）=τ，如果我们在所有[ξ，x]上发现λ（x）=0，则证明是完整的*).针对矛盾，假设存在点c∈ （ξ，X*) 式中λ（c）6=0，假设w.l.o.g.^Д（c）>^Д（c），则λ（c）>0。

通过λ的连续性，以及λ（ξ）=0的事实，一个区间（a，b） [ξ，X*) 对于空间不规则常微分方程，存在包含λ（x）>0且λ（a）=0,2适定性的c，其含义为^И（a）=^Д（a）。a=ξ是可能的，但不应假定。现在，λ（x）>0覆盖（a，b）意味着这里的^Д（x）>^Д（x），因为每个f（·，x）严格增加，那么f（^Д（x），x）>f（^Д（x），x）。计算x的常微分方程Д1,2（t）=f（t，Д1,2（t））和θ1,2（x）∈ （a，b），这个关于f值的不等式等价地提供了Д（^Д（x））- Д（^Д（x））>0。（2.29）现在清楚地显示出Д（^Д（x））≥ （a，b）上的0，并且确实有可能得出^（x））=0。但请注意，等式2.29反而强制（a，b）上的Д（^Д（x））>0。因此，方程式2.27提供了^Д（x）=1/Д（^Д（x））<∞, 在（a，b）中显示^Д是不同的，因此验证^Д（x）- ^Д（a）=Z【a，x】^Д（u）du（2.30），对于所有x∈ （a、b）。为完整性起见，请注意，即使未定义^Д（a），这一点仍然成立，即使用引理2.16和单态{a}的完整性，意味着^（^Д（a））=0 【a，b】。不能假设方程式2.30的等式适用于^Д，通常在（a，b）中仅保持a.e.可微，而方程式2.28中的勒贝格定理提供了^Д（x）- ^Д（a）≥Z[a，x]^И（u）du。（2.31）方程式2.30和方程式2.31中的不等式将暂时引用，但首先考虑方程式2.29。通过将引理2.16应用于此处的每个组件，这可以等效地表示为1/x- 1/o^Д（x）>0 a.e.in（a，b），因此λ（x）=^Д（x）- ^Д（x）<0。（2.32）除了（a，b）中λ（a）=0和λ（x）>0的性质外，现在似乎很接近于一个矛盾，但如果没有方程式2.30和方程式2.31，则无法保证与直觉相反。（如备注2.15所述，λ（a）=0，λ（x）<0 a.e.和λ（x）>0同时存在的函数）。

实际上，仅通过使用方程2.30、方程2.31和方程2.322对空间不规则常微分方程的适定性（按该顺序），λ（x）>λ（a）=0对（a，b）的顺序矛盾如下：λ（x）- λ（a）=^Д（x）- ^Д（a）- （^И（x）- ^Д（a））≤Z[a，x]^И（u）du-Z[a，x]u（u）du（2.33）=Z[a，x]u（u）- ^Д（u）du=Z[a，x]λ（u）du<0，（2.34），其中（2.33）使用方程2.30和方程2.31，（2.34）使用方程2.32。这建立了λ（x）<λ（a）=0除以（a，b），因此给出了所需的矛盾。apoint c的存在性∈ （ξ，X*) 因此，λ（c）6=0是荒谬的，取而代之的是λ（x）=0除以[ξ，x]*). 这提供了[ξ，x]上的^Д（x）=^Д（x*), so也包括ν（t）=ν（t）除以[τ，t*). 如前所述，这意味着T=T=T*, X=X=X*和T*∨十、*= ∞, 因此，两个φ实际上都是IVP x=f（t，x）x（τ）=ξ的sameunique最大解，完成了证明。这个结果结束了这个简短的部分。应该注意的是，这是已知的ODE x=f（t，x）的第一个最大唯一性结果，其中没有对函数f施加空间正则性约束。关于本章中介绍的IVP，并在几个图中进行了说明，例如取决于子集Fθ的IVP F从示例2.2中，除了解决方案以外，没有什么可说的了∈ C（[τ，T*), [ξ，X*)) 所提及的事实上是唯一的。2.5解映射的连续性本节的重点是建立定理2.18的连续依赖性结果，从而澄清问题1.2的某些稳定性性质，并完成“适定性”（存在性、唯一性和连续依赖性）的三个常规要求。粗略地说，目标是获得类似于Coddington&Levinson（1955）第2.4节的陈述，例如定理2.4.1。然而，与大多数文献一样，这些结果重新考虑了初始条件（τ，ξ）的连续性∈ 兰德参数u∈ Rk。

另见Hartman（2002）第5章空间不规则ODE2适定性，该章强调了解映射的可微性，并遵循函数f的相关假设∈ C1,1（R，R），此处不适用。这些与初始条件和参数有关的结果对我们来说太严格了。例如，我们有兴趣知道theHeston IVP的累积方差解Д是否=方程式2.1中的f（t，x），x（0）=0，其中f（t，x）：=σw（x）+κ（θt-x） +v，相对于采样路径W（ω）=：W是连续的∈ C： =类过程布朗运动的C（R，R）。实际上，这告诉我们是否以及如何用计算有用的序列{wn}n来近似这样一个路径w∈N C、 例如线性多边形或方程式2.3的平移傅立叶级数。后者用于图8中的演示。这些考虑因素在理论上也很有帮助，因为对于价格过程的建模框架，St=exp（WρXt-Xt）第1章中概述的实际定义，我们需要累积方差和价格过程X和S从(Ohm, F、 P）进入显式可测空间，以便实际可以进行概率计算。当然，如果我们能够建立一种适当的一般形式的连续性，那么可测量性就会随之而来。相关的可测空间将始终是具有由特定度量或范数导出的Borelσ-代数的集合。对比与初始条件和参数相关的结果，这说明了为什么我们寻求一般顺序连续性语句，如Fnn→∞----→ fon（F，dF）==> ^1nn→∞----→ νon（Φ，dΦ），（2.35）对于IVP的溶液Дnof x=fn（t，x），x（τ）=ξ，并且适当定义Φ，dF，dΦ。然后，此处的假设简化为需求wnn→∞----→ 赢得赫斯顿的榜样。我们等到第3章，特别是第3点。

在定理3.3中，给出了连续性陈述，该陈述将在第4章的概率框架中得到依赖，现在解决了定理2.18中的连续性陈述，该连续性陈述在这里的无概率设置中提供了更多信息。为了按预期解释方程2.37，让C（R，R）上的均匀半形定义为kfk[τ，T]×[ξ，X]：=sup{| f（T，X）|：（T，X）∈ [τ，T]×[ξ，X]}（2.36），对于任何矩形[τ，T]×[ξ，X] R、 类似地，在集合C（[τ，T*), R） 和T*∈ (τ, ∞],通过kИk[τ，T]：=支持定义精原细胞∈[τ，T]|Д（T）|对于任何T>τ的情况，对于空间上不规则的常微分方程，这应该是内部2适定性，称为kДk[τ，T]：=∞ 当T≥ T*. 这是T≥ T*只是为了适应如下情况→田纳西州≤T------→ ∞ 在方程2.37中，kа- ^1nk[τ，T]=∞. 从定理2.18中可以清楚地看出，k^1- ^1nk[τ，T]=∞ 最多为有限数量的条款。最后，定理2.18的证明依赖于Ascoli引理，如Coddington&Levinson（1955）第1章所述。这一基本结果表明，一个等界且等连续的序列{νn}n∈N C（[τ，T]，R）具有一致收敛的子序列。对于不同的序列，这些等条件分别从kИnk[τ，T]<x和kИnk[τ，T]<M开始。事实上，后者具有一致的起点Дn（τ）=ξs。定理2.18（解映射连续性）。假设子集{fn}n∈N 对于所有n，F为fn（τ，ξ）>0∈ N、 并让^1N∈ C（[τ，Tn），R）表示每个IVP的唯一最大解x=fn（t，x），x（τ）=ξ。然后对于任何值t∈ （τ，T）和X∈ （Д（T），∞),kf公司- fnk[τ，T]×[ξ，X]n→∞----→ 0 ==> k^1- Иnk[τ，T]n→∞----→ 0.（2.37）证明。回想一下，根据定理2.8和定理2.17，此类最大解νnexist是唯一的，并且定义了集C（[τ，Tn），[ξ，Xn）]中严格递增的双射，其中Tn∨Xn=∞. 现在Fix T∈ （τ，T）和X∈ （Д（T），X），然后定义X：=[τ，T]×[ξ，X]。

此外，还应确保kfkX<M<∞, 自f起存在∈ C（R，R）。给定kf-fnkXn→∞----→0，则我们发现所有n大于某些n的kfnkX<M∈ N、 所以我们可以假设w.l.o.g.对于所有N∈ 通过重新定义M或删除前N个条款。使kfnkX<M确保（t，νn（t））∈ X代表t∈ [τ，t∧ T]式中T=τ+M-1（X- ξ).为了以后的一致性，请定义较早的时间t：=τ+M-1（X-^1（T））。减少t的使用∧ T，假设最坏的情况，即T<T。尽管如此，这提供了（t，νn（t））∈ 对于所有n，X大于[τ，t]，现在我们的目标是建立简化结论kν-Иnk[τ，t]n→∞----→ 0、用于获得该值的推理将在时间tk=τ+kM内重复-1（X-直到[τ，T]上的收敛，如方程2.37中所示，最多T- τt- τ=M（T- τ）X- ^1（T）（2.38）本程序的迭代。这是一个走向收敛的过程-Иnk[τ，t]n→∞----→ 0刚好超过[τ，t]通过Ascoli引理遵循一个相对标准的论点，该引理用于Coddington&Levinson（1955）的2空间不规则常微分方程相关定理2.4.1的适定性，非常松散地概括为等有界性+等连续性{z}==> Ascoli引理+唯一性==> 汇聚（2.39）这里，等有界性和等连续性涉及集合{νn}n∈Nof IVP解决方案。在我们的设置中，我们已经确保了自我们发现knk[τ，t]以来在[τ，t]上的这些性质≤|ξ| ∨ |X |<∞ 和kИnk[τ，t]≤ kfnkX<M<∞ 适用于所有n∈ N、 Ascoli引理则提供了收敛性k*-Иnkk[τ，t]k→∞----→ 子序列{Кnk}k的0∈Nto a限制*.寻找一个矛盾，现在假设k^1- Иnk[τ，t]n→∞----→ 违反了0。

然后是{νn}n的有限子序列∈n保持在围绕ν的某个开放球外，而theAscoli引理提供了这一点的一个子序列，即kν*-Иnkk[τ，t]k→∞----→ 0，其中*6= φ.但是，[τ，t]上的每个ДnkveriДnk（t）=ξ+Rtτfnk（s，Дnk（s））ds，可以写成Дnk（t）=ξ+Ztτf（s，Дnk（s））+λnk（s）ds，λn（t）：=fn（t，Дn（t））- f（t，νn（t））。（2.40）现在kλnkk[τ，t]≤ kf公司- fnkkXk→∞----→ 假设为0，且具有f∈ C（R，R）伸长量K^1*- Иnkk[τ，t]k→∞----→ 0至kf（·，Д）*(·)) - f（·，Дnk（·））k[τ，t]k→∞----→ 0，所以取k→ ∞ 不等式2.40我们发现*（t） =ξ+Rtτf（s，Д）*（s） ）ds超过[τ，t]。So^1*求解[τ，t]上的x=f（t，x），x（τ）=ξ，与定理2.17给出的唯一性结果相矛盾*6= φ. 假设kД- Иnk[τ，t]n→∞----→ 因此，违反0是荒谬的。现在将重复前面的参数以延长间隔[τ，t]。有k-Иnk[τ，t]n→∞----→ 0，存在N∈ N，使得对于N>N，给定φ（t）<φ（t）时，φN（t）<φ（t）。通过删除第一个条目，我们可以假设n为φn（t）<φ（t∈ N、 但是，这个界限，连同Д（T）<X和kfnkX<M，让我们扩展了前面的语句（T，ДN（T））∈ X在[τ，t]上到相同的在[τ，t]上∧ T]，其中T：=T+M-1（X- ^1（T））。So{νn}n∈现在Nis在[τ，t]上是等界和等连续的，再次假设t<t。重复方程式2.39中总结的程序，然后得出k-Иnk[τ，t]n→∞----→ 进一步重复，序列tk：=τ+kM-1（X- 生成的时间为（T），得出的结论为k- Иnk[τ，tk∧T]n→∞----→ 0.因此，k^1的权利要求- Иnk[τ，T]n→∞----→ 方程2.38.2空间不规则常微分方程的适定性方程2.37中的域[τ，T]×[ξ，X]对路径的依赖性表明，定理2.18还不能扩展到度量空间上的方程2.35这样的陈述，这有助于概率。

如前所述，在第3章中，一旦解决方案被保证是全局的，即存在于R+上，这种依赖将得到缓解。然后我们得到一个声明kf- fnkR+n→∞----→ 0 ==> k^1- ^1nkR+n→∞----→ 0（2.41），其中这些不是字面上的一致范数，但与方程1.12中的一致范数一致，分别在R+和R+的紧致子集上诱导一致收敛的拓扑。因为当我们移动到概率设置时，请注意等式2.41的类似路径语句不适用于It^oSDE映射。这在《Riz&Victoir（2010）》和《Friz&Haier（2014）》的介绍中进行了解释，并用于激励粗糙路径理论。值得注意的是，在定理2.18中，假设{fn}n∈N 与本章相关的F和fn（τ，ξ）>0主要用于我们的方便，因为我们知道溶液严格增加，等等。很难将此结果扩展到已知具有唯一溶液的任何IVP。方程2.39中的方法在区间序列【τ，tk】上的重复应用仍然可以使用，只需稍作调整。最后，隐式收敛fn（τ，ξ）n→∞----→ 方程2.37中的f（τ，ξ）允许假设所有n的fn（τ，ξ）>0∈ 放宽到f（τ，ξ）>0，这也是定理2.20即将出现的模拟收敛结果的情况。然而，当我们在第3章中引入f（τ，ξ）=0的微妙可能性时，这种情况就不再存在了，因此对于章节之间更平滑的过渡，我们将这些极限结果保持原样。现在来说明定理2.18，让函数fn∈ F代表n≥ 1如方程式2.3所示，fn（t，x）：=σwn（x）+κ（θt- x） +v，wn（x）：=nXk=0a-αksin（2akπx），（2.42），f（t，x）：=σw（x）+κ（θt-x） +v和w（x）：=P∞k=0a-αksin（2akπx）。为保持一致性，如图3所示，对所有值σ、κ、θ、v、a、α进行x检验。

现在，我们来说明每个IVP的唯一最大解x=fn（t，x），x（0）=0。然后使用kw- wnk[0，X]n→∞----→ 0对于所有X>0（可通过逐点收敛和等连续性建立），我们得到kf-fnk[0，T]×[0，X]n→∞----→ 0表示所有T，X>0。推论2.11的存在条件可以是空间不规则常微分方程的2适定性，用于建立ν∈ C（R+，R+），特别是T=∞ 在定理2.18中。这一结果提供了k^1-^1nk【0，T】n→∞----→ 0表示所有T>0。三角不等式的应用还提供了收敛性k- ^1nk【0，T】n→∞----→ 0表示所有T>0。综上所述，k^1- ^1nk=kf（·，Д（·））- fn（·，Дn（·））k≤ kf（·，Д（·））- f（·，Дn（·））k+kf（·，Дn（·））- fn（·，Дn（·））kn→∞----→ 0。（2.43）图8说明了一致收敛性Дnn→∞----→ ν大于[0，1]，且相应的挥发度为ypИnn→∞----→p^1。请注意，该图还包含图4和图5.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0n=0n=1n=2n=4n中的路径=∞0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.000.250.500.751.001.251.501.752.00图8：左面板显示IVP x=fn（t，x），x（0）=0，fnas在等式2.42中的解。还显示了方程式2.42（黑色）中wn=0时的IVP解决方案。右面板显示了相应的波动率路径SPДn.2.6溶液模拟本节的重点是定理2.20，它与IVPs x=f（t，x），x（τ）=ξ和f的简单正向Euler模拟模式有关∈ F、 然而，这个结果不是标准的，因为我们从来没有真正假定这个函数F的值可以在计算机上精确地再现，而只是那些方便的序列{fn}n的值∈N F（在紧集上）一致收敛到它。所谓方便，我们的意思是（过紧）对于空间不规则odes计算机内存，每个fn都可以存储在2个适定性中。