空间不规则常微分方程及其路径解

最后，我们需要infx∈R+g（t，x）<0 foreach t∈ R+。考虑到这种支持∈R+θ（t）=∞, 这需要supx∈R+θ（Д）-1（x））-φ(φ-1（x））=∞. 但前提是∈R+~n-1（x）=∞, 这相当于条件支持∈R+θ（t）-^1（t）=∞. 这正是我们所假设的，因此我们在g中找到g，因此证明是完整的。下一个结果与定理3.4非常相似，仅使用内射和满射映射的定义，并且在定理3.4中实际提供了问题1.4中的IVP的完整性，这些IVP生成了任何选择的路径∈ Φ作为唯一的全局解决方案。例如，我们总是可以定义一组具有定理3.4中所需属性的有限路径，就像任何由θ（t）定义的路径一样：=at+sups∈[0，t]Д（s）-^1（0），a>0。推论3.5（解映射满射性）。问题1.4的解决方案图∈ G至溶液∈ IVP的Φx=g（t，x），x=0，是非内射和满射的。现在我们澄清，如果考虑具有相关时间结构的G子集，具体假设G∈ G允许可分表示G（t，x）=θ（t）- w（x）对于某些固定的θ，如方程3.10中所示，则推论3.5中的解映射变为双射。重要的是，这种双射性是在不影响解集的情况下获得的。注意，每个子集Gθ 定理3.6中定义的G与子集Fθ相关 f来自示例2.2，当θ（t）：=κθt时，包含等式1.6中的赫斯顿示例。定理3.6（解映射双射性）。修正任何严格递增的θ∈ C（R+，R）有限制→∞θ（t）=∞. LetΦθ Φ包含验证支持的路径∈R+θ（t）- ^1（t）=∞,设Gθ G包含表示为G（t，x）的函数G：=θ（t）- w（x）表示某些w∈ C（R+，R）带w（0）≤ 0和supx∈R+w（x）=∞. 然后是地图∈ Gθ至溶液∈ 问题1.4的情况x=g（t，x），x（0）=0的Φθ是双射的。证据

我们首先表明，Gθ确实是G的子集。对于这个fix，任何这样的θ和w，并定义G（t，x）：=θ（t）- w（x）。检查定义1.3中的属性，我们得到g（0，0）=θ（0）- w（0）=-w（0）≥ 需要时为0。每个g（·，x）都是严格的，因为θ是，并且溶液空间和出口时间限制也有支持∈R+g（t，x）=∞ > 每x 0∈ R+因为支持∈R+θ（t）=∞. 最后，我们发现infx∈R+g（t，x）=-∞ < 每t 0∈ R+因为supx∈R+w（x）=∞. So Gθ G、 有G∈ G确保IVP x=G（t，x），x（0）=0具有唯一的全局解决方案∈ Φby定理3.3，现在我们证明这也是在子集Φθ中 Φ. 为此，我们要求∈R+θ（t）- ^1（t）=∞. 请注意，任何溶液都必须验证Д（t）=θ（t）- w（Д（t）），sothatθ（t）- Д（t）=w（Д（t））。从这一点上，我们得到了如下要求，使用了从和到R+定义双射的事实，并使用假设supx∈R+w（x）=∞,支持∈R+θ（t）- ^1（t）=支持∈R+w（Д（t））=supx∈R+w（x）=∞. （3.12）现在我们证明存在唯一的g∈ Gθ产生任何∈ 作为解决方案。固定Д∈ Φθ，作为一个解，我们再次要求φ（t）=θ（t）- 对于一些这样的w，w（Д（t））。但显然只有一个这样的w，由w（x）定义：=θ（Д）-1（x））- φ(φ-1（x））用于每个∈ R+。这是在C（R+，R）中，w（0）=-φ(0) ≤ 0并满足要求supx∈R+w（x）=supx∈R+θ（Д）-1（x））- φ(φ-1（x））=支持∈R+θ（t）- ^1（t）=∞, （3.13）使用假设支持∈R+θ（t）- ^1（t）=∞. 这就建立了双射性声明。为方便起见，让子集Θ，W C（R+，R）包含的路径在定理3.6中分别具有θ和w的属性，就像我们在示例2.5中所做的那样。现在定理3.6非常强大，因为它告诉我们∈ Θ，问题1.4的解集Φ的一个非常宽的子集Φθ可以通过改变路径w以双射方式生成∈ W、 控制函数g（t，x）的空间行为：=θ（t）-w（x）。

如第1章所述，这些子集中的每一个子集Φθ Φ包含（但不限于）路径∈ Φ，用于验证lim inft→∞Д（t）<∞, 因此，波动率建模的范围是否足够广∈ Θ. 下面是定理3.6的直接结果，但不应想当然，因为如果我们允许w表示R+上布朗运动的样本路径，那么我们就不能对例如It^oSDE解映射做出这样的路径陈述。推论3.7。设W包含定理3.6中的路径W。然后在那里选择任意一个，取w∈ W到解决方案∈ x的Φθ=θ（t）- w（x），x（0）=0是双射的。3课程的解空间和出口时间限制，这些解映射满射和双射也是连续的w.r.t.紧集上的一致收敛，精确地说，在方程3.9的意义上。我们在本节结束时总结了这些结果对溶液的导数的一些影响∈ 问题1.4的Φ。这很重要，因为√^1将构成价格波动性的实现，因此可能的衍生工具路径Д告诉我们波动性建模框架有多宽。定义3.8（设置Φ个路径）。让子集Φ C（R+，R+）包含路径Д，使得对于每个（a，b） R+存在t∈ （a，b）式中，Д（t）>0，且limt→∞RtД（s）ds=∞.注意，如果∈ Φ，所以通过定义φ是C（R+，R+）中的双射路径，然后很明显∈ C（R+，R+），意思是Д（t）∈ R+每t∈ R+。但实际上，我们发现∈ Φif and only ifД∈ Φ，所以问题1.4的解的导数φ的集合正好是Φ。要了解这一点，首先假设∈ Φ，soД∈ C（R+，R+）。如果任意（a，b）上的φ（t）=0 R+，那么很明显，尽管b>a，但Д（b）=Д（a），违反了Д的严格递增性质。还有，limt→∞RtД（s）ds=极限→∞^1（t）=∞, 确实如此∈ Φ. 相反，如果∈ Φ，然后在任何（a，b）中，我们发现一些φ（t）>0。

然后，Д的连续性确保了（a，b）的开放子间隔，其中Д（t）>0，所以很明显是Д（b）- Д（a）=RbaД（s）ds>0，澄清Д严格增加。同样，limt→∞^1（t）=∞, 因此，在C（R+，R+）和Д中定义一个双射∈ Φ<==> φ ∈ Φ.尽管问题1.4衍生工具集Φ的定义3.8中有这种特征，但仍不容易理解C（R+，R+）子集的完全多样性，因此也不容易理解波动路径√可以（理论上）使用问题1.4建模。例如，令人惊讶的是，尽管在任何（a，b）中都发现Д（t）>0 R+，即（a，b）中点集的Lebesgue度量，其中φ（t）=0可以任意接近b-a、 这在Royden&Fitzpatrick（2010）的第6.5节中得到了证明，其中作者在（a，b）的所谓“fat-Cantor”子集上指定了Д（t）=0，并表明积分Д仍然严格增加。这告诉我们，出于实际目的，我们基本上可以对任何连续的非负波动路径进行建模√使用问题1.4。考虑到这是在不损害定理3.3的适定性性质或本节中获得的解映射性质的情况下实现的，我们已经清楚地得出了一个非常适合volatilitymodelling的建模框架，实际上是Φ或Φ中任何路径的建模，无论应用如何。3解决方案空间和退出时间限制3.3统一退出时间空间我们迄今为止想当然地认为，我们希望对连续波动路径进行建模，如从连续价格定义3.8中的集Φ得出的方法。显然，需要做更多的工作来协调我们的波动性建模框架，如问题1.4所总结的，与不连续的价格路径，如序言中介绍的NIG过程。这种协调将通过极限定理来实现，极限定理可以加强和推广定理0.1中的Heston和NIG关系。

在本节中，我们为这些极限定理定义了最重要的“退出时间”度量空间，并研究了它的一些性质。在详细讨论之前，应该记住，这一节的乘积是子集Φ上的度量空间（Φ，dΦ） D（R+，R+）是cádlág路径的，它与度量空间（N，D）等距，其中N仅包含c（R+，R+）中的所有非递减和无界路径，D是等式1.12中的度量，其特征是在紧集上一致收敛。因此，尽管这种退出时间空间（Φ，dΦ）首先看起来很不寻常，但事实证明，与通过斯科罗霍德（1956）的度量定义Φ的备选方案相比，理解和使用Φ要简单得多。任何直接使用这些替代指标的人都会清楚这一点，他们所依赖的参数表示集也是如此。为了进行一些比较，这个退出时间空间（Φ，dΦ）不仅是可分离和完整的（一旦建立了等距，这很容易检查），而且定理3.13表明它比Skorokhod的Mspace更精确。所以，就像在M上一样，Φw.r.t.dΦ的收敛性比点态a.e.和所有lpconvergence都强。这个空间似乎是我们能期望的最好的空间，因为我们的主要兴趣是问题1.4的不同解收敛到D（R+，R+）中的不连续路径。这在Skorokhod最流行的Jspace上是不可能的，在Jspace上只有不连续的序列才能找到这样的限制。《惠特》（Whitt）（2002）是这些问题的绝佳资源，尤其是第11章。反向度量。为了准备退出时间度量dΦ，考虑一个非常规的“逆度量”d-1: Φ ×Φ → [0，1]根据tod定义问题1.4的解决方案集-1（Д，Д）：=kД-1.- φ-1kR+。

（3.14）3解空间和出口时间限制器k·kR+是方程1.12的范数，其特征是一致收敛超紧。此度量d-1通过将相关指标d应用于投资，明显不同于相关指标d。不难看出（Φ，d-1） 是一个博纳（可分离但不完整）度量空间，因为定义集Φ-1:= {φ-1: φ ∈ Φ}的逆映射，则逆映射清楚地定义了等距（Φ-1，d），给定d（Д）-1, φ-1） =d-1(φ, φ). 这个等距是一个附加的对合，也就是说，它自己的逆，因为-1(φ-1, φ-1） =d（Д，Д）。注意，（Φ，d）上的收敛提供了（Φ，d）上的收敛-1） ，通过连续模可以直接证明。所以在第3点。在定理3.3中，我们实际上可以写- gnkR+n→∞----→ 0 ==> k^1-1.- φ-1nkR+=：d-1（Дn，Д）n→∞----→ 0。（3.15）我们应该考虑反度量d-1as测量路径之间的时间距离，单位为Φ，而不是通常的空间距离。受限于集合Φ，反向度量和退出时间度量将重合，但退出时间度量dΦ已定义，与d不同-1，在超集上 Φ包含我们对建模感兴趣的不连续路径，如方程1.10中出现的IG Lévy过程。相应的空间（Φ，dΦ）是（Φ，dΦ）的自然泛化-1） ，退出时间映射提供了新的等距（N，d）。退出时间功能。与第2章中的符号用法相比，我们更注意定义退出时间函数Enow，因为该函数将构成（Φ，dΦ）和（N，dΦ）之间刚刚讨论的等距。关于出口时间路径E（Д）的详细信息，可参考Whitt（2002）第13.6节∈ D（R+，R+）时∈ D（R+，R）验证（0）≥ 0和supt∈R+Д（t）=∞. 请注意，“右逆”表示法-1在那里使用。其他地方的一致性，例如。

方程式2.8，我们不施加ν（0）≥ 定义3.9（退出时间函数）。让子集D* D（R+，R）仅包含正无界路径，即∈ D（R+，R）验证支持∈R+Д（t）=∞. 然后让函数E:D*→ D*将每条路径Д映射到通过R+byE（Д）（x）定义的退出时间E（Д）：=inf{t>0：Д（t）>x}。（3.16）在引理2.4之前，我们已经讨论了为什么在子集D中发现E（Д）* DwheneverД在D中*. 这表明退出时间函数E:D*→ D*定义明确。3解空间和退出时间限制事实上，利用Whitt（2002）的推理，我们还表明如果∈ C（R+，R）带Д（0）≤ 0，则E（ν）严格递增，下面的引理3.11涵盖了相反的情况。正确定义此函数后，我们将调用子集Φ D*第一章介绍。定义1.6（设置Φ个路径）。让超集Φ Φ包含D（R+，R+）中严格递增的Cádlág路径，该路径也是无界的，即验证极限→∞^1（t）=∞.很明显，的确Φ Φ，因为定义1.5中的集Φ正好包含路径∈ Φ，可与φ（0）=0区分。这组Φ包含定理3.3中作为上界出现的所有路径Д，如图6所示的赫斯顿情况下的等式1.9，这并非巧合。现在，以下子项 C（R+，R）类似地定义了集Φ的超集-1:= {φ-1: φ ∈ 逆路径的Φ}。定义3.10（路径集N）。让超集N Φ-1仅包含C（R+，R+）的非递减和正无界元素，即那些具有极限的元素→∞^1（t）=∞.同样，夹杂物Φ-1. N是明确的。定义这些超集的要点Φ Φ和N Φ-1是下一个结果，它表明Φ和N之间的退出时间映射E生成Φ和Φ之间的逆映射-1.

这只是合并了退出时间图的已知属性，如定义3.9所述，具体见Whitt（2002）的Lemmas13.6.2和13.6.5，与Whitt（1971）和Puhalskii&Whitt（1997）相关。引理3.11（出口时间双射性）。从Φ到N和从N到Φ，退出时间泛函定义了一个双射对合。特别是，（Eo E） （Д）=φ或N中每个Д的Д。现在已经了解了退出时间函数的一些简洁特性，我们可以定义依赖于它的退出时间度量，并推广方程3.14中的逆度量。退出时间度量。补充刚才讨论的集合之间的映射属性，退出时间函数E将定义退出时间空间（Φ，dΦ）和看似简单（但等距）空间（N，d）之间的对合等距。这再次推广了逆映射，它定义了子空间（Φ，d）之间的等距-1） 和（Φ-1，d）。定义3.12（退出时间度量）。对于Д，Д∈ Φ，定义退出时间度量dΦbydΦ（Д，Д）：=kE（Д）- E（Д）kR+。（3.17）3度量dΦ的解空间和退出时间限制也在N上定义得很好，并且，给定引理3.11，可以很直接地看到E定义了（Φ，dΦ）和（N，d）之间声称的对合等距，因为（E（ν），E（ν））：=kE（Д）- E（Д）kR+=：dΦ（Д，Д），dΦ（E（Д），E（Д））=kД- ^1kR+=：d（Д，Д），（3.18），其中我们使用了（EoE） （Д）=Д。考虑到等式1.12中定义的范数k·kR+=d表示时间紧子集上的空间一致收敛，我们从定义3.12中可以看出，退出时间度量dΦ表示空间紧子集上的时间一致收敛。这就是为什么我们称（Φ，dΦ）为统一的退出时间度量空间。我们也可以定义Φ上的伪度量，但优先考虑半形。

例如，请注意，从方程式3.17和方程式1.12中，我们得到了Φ（Д，Д）=Xn∈N-n（1∧ kE（^1）- E（Д）k【0，n】）≤Xn公司∈N-n=1，（3.19），因此，在n和p中使用k·k[0，n]的单调性∞n=n+1-n=2-N、 我们获得Φ（Д，Д）≤ nkE（^1）- E（Д）k[0，n]+2-n、 （3.20），在方程式1.12后注明，并将很快使用。给定的（N，d）是可分离且完整的，（Φ，dΦ）也是可分离且完整的，与（Φ，dS）不同的是，（Φ，dS）中的dS是Skorokhod（1956）中的J1,2，M1,2metrics中的任何一个。因此，dΦ在Φ上归纳出一个波兰拓扑，这使得Prokhorov对概率极限定理的普遍方法成为可能，如Jacod&Shiryaev（2003）所述。最后，Φ在（Φ，dΦ）中密集，即Φ的完成 Φw.r.t dΦ是Φ的整体。这源于Φ本身是完整的，并且在下一节中，我们将从可行的解决方案序列中明确构建Φ中的任何路径∈ 问题1.4的Φ。斯科罗霍德的Mspace。这一部分将我们的退出时间空间（Φ，dΦ）与斯科罗霍德的Mspace限制为Φ联系起来。与dΦ相比，Mmetric的定义相对复杂，所以谢天谢地，我们不会明确依赖两者之间的关系。尽管如此，这种关系还是提供了信息，并提供了一些结果，如这里的推论3.14。为了帮助定义M，我们使用Whitt（2002）第3.3节。为了直观地介绍所有Skorokhod J1,2，M1,2计量，应参考第11.5.2节。3解决方案空间和退出时间限制∈ D（R+，R），确定完成的图表（0，T） R+为点集ΓT（Д）：={（T，x）∈ [0，T]×R:x∈ [^1（t-) ∧ Д（t），Д（t-) ∨ ν（t）]}（3.21），其中通常-) := lims公司↑tД（s），以及Д（0-) := 0.请注意，对于∈ Φ我们可以简单地使用x∈ [^1（t-), 公式3.21中的ν（t）]，给定Д严格递增。

定义的影响（0-) := 0表示点（0，0）和（0，Д（0））之间的线包含在ΓT（Д）中。Puhalskii&Whitt（1997）提出了这一想法，以放宽不切实际的要求Дn（0）n→∞----→ 来自Skorokhod（1956年）的设置。为缓解端点T处不连续性引起的类似问题，请定义图Γ*T（Д）：=ΓT（Д）∪{T}×[Д（T），∞), 使点（T，Д（T））和（T）之间的线，∞) 也包括在内。现在称（τ，σ）为Γ的参数表示*T（Д）ifτ∈ C（R+，[0，T]）是非递减的，σ∈ C（R+，R）和（τ，σ）：R+→ Γ*T（Д）是双射的。Let∏*T（Д）是此类参数表示的集合。对于Д1,2∈ D（R+，R），然后用dm，T（Д，Д）：=inf{kτ定义[0，T]上的伪距- τkR+∨ kσ- σkR+：（τi，σi）∈ Π*T（Дi）}，（3.22），然后像往常一样，D（R+，R）上的Mmetric除以dM（Д，Д）：=Pn∈N-ndM，n（Д，Д）。现在我们可以确定度量空间（Φ，dΦ）小于（Φ，dM）。让e表示Φ中的身份路径，那么关键的观察结果是，对于任何φ∈ Φ，路径（E（Д），E）参数化了一个完整的图，假设E（Д）和E都在N中 C（R+，R+）按Emma 3.11。这与（e，Д）形成对比，每当Д有不连续时，这是不完整的。为了精确起见，定理3.13的证明依赖于以下事实：对于任何∈ Φ，规格为∏*当τ*∈ C（R+，[0，T]）和σ*∈ C（R+，R）的形式为τ*:= E（^1）∧ T、 σ*:= e、 （3.23）这种简单的参数表示是可能的，因为我们包括了线{T}×[Д（T），∞) 在图中∏*T（Д）。否则，如果目标是确定整个R+的指标，那么在没有任何实际收益的情况下，处理终点T会更加复杂。定理3.13（与M的关系）。身份映射从出口时间度量空间（Φ，dΦ）到斯科罗霍德（Φ，dM）是连续的。等价地，对于序列{νn}n∈N Φ，dΦ（Дn，Д）n→∞----→ 0 ==> dM（Дn，Д）n→∞----→ 0