空间不规则常微分方程及其路径解

极限ε∈ 定理3.24中的E表示ε（t）：=0，最大值∈φ*（t） σw（x）+κ（θt- x）, ν（t）：=inf{x>0：κx- σw（x）>κθt}，（3.72）3解空间和出口时间限制。因此，我们可以将ε在空间中的瞬时偏移解释为路径w在时间上的某些偏移在空间中的间隔上的表现。εn（t）的收敛性：={n-如定理3.24所示，图14显示了（E，dE）上的1хn（t）}到ε。与图12相比，请注意，εnindeed中的偏移仅在ν跳跃时出现。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.000.250.500.751.001.251.501.752.00ε1（t）ε0（t）0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.000.250.500.751.001.251.501.752.00ε4（t）0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.000.250.500.751.001.251.501.752.00ε16（t）ε0（t）0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.000.250.500.751.001.251.501.752.00ε64（t）ε0（t）图14：收敛εnn→∞----→ 显示εon（E，dE），其中εn（t）：={n-1хn（t）}是示例3.19中的缩放CIR路径，ε在方程3.72.3中定义，即解空间和出口时间限制复合限制。适用于复合路径wo^1n，与我们的价格过程一样st：=exp（WρXt-Xt）稍后定义，该部分的结构反映了最后一部分，阐明了我们限制定理3.17得出的结果的方法。具体地说，这里的推论3.25提供了一些有用的参数表示的收敛性（一致在紧上），定理3.26将其简化为偏移空间（E，dE）上的结果。回想一下，在推论3.20中，我们已经演示了pointwiseconvergence（wo^1n）（t）n→∞----→ （w）o^1）（t）a.e.，因此，这里我们将其概括为（令人惊讶的）功能性陈述。

虽然我们将使用固定路径w∈ C：=C（R+，R），这可以推广到序列{wn}n∈正在验证kw- wnkR+n→∞----→ 0无困难。全球解决方案∈ 问题1.4的Φ，带逆φ-1，注意（e，wo ^1）和（Д）-1，w）在参数表示的相同等价类中，精确地表示{（t，w（ν（t）））：t∈ R+}={（Д）-1（x），w（x））：x∈ R+}。（3.73）该等效性类似于方程式3.56中的等效性，而适用于导数Д。下一个结果使用这一点来获得定理3.17的一个平凡的扩展，它从未对我们需要了解的复合路径的行为进行编码o ^1nas n→ ∞.推论3.25（参数复合极限）。采用定理3.17的假设，使dΦ（Дn，Д）n→∞----→ 0和fix w∈ C（R+，R）。然后序列{-1n，w）}n∈投资（E（Д），w）-(φ-1n，w）R+n→∞----→ 0.（3.74）证明。鉴于此处的空间分量，请明确验证kw- wkR+=0，则索赔仅根据结论dΦ（Дn，Д）=kE（Д）-φ-1nkR+n→∞----→ 定理3.17中的0。让{εn}n∈N E由单态εn（t）定义：={（wo 在定理3.26中，我们现在建立一个极限εnn→∞----→ ε，从而描述了w的极限行为o 因此，价格路径也是。如第1章所述，所发现的极限当然是填充成分ε：=wo）（t）：={w（x）：x∈φ*（t） }如往常一样*（t） ：=[Д（t-), ^1（t）]。注ε（t）返回单态{（woν）（t）}a.e.，为了与方程3.66进行比较，我们有等效表示ε（t）：=ε-（t） ，ε+（t）, ε-（t） ：=最小值∈φ*（t） w（x），ε+（t）：=最大值∈φ*（t） w（x）。（3.75）3解决方案空间和退出时间限制理论3.26（偏移复合限制）。采用定理3.17的假设，使dΦ（Дn，Д）n→∞----→ 0和fix w∈ C（R+，R）。

定义集合{εn}n∈N E分别由单态εn（t）：={（wo νn）（t）}，ε：=woД∈ E、 然后dE（εn，ε）n→∞----→ 0.证明。根据推论3.25，我们得到了乘积收敛k（τ，σ）-（τn，σn）kR+n→∞----→0，其中（τ，σ）：=（E（Д），w）和（τn，σn）：=（Д）-1n，w）。因此，我们可以使用方程3.65中的方法来获得dE（εn，ε）n的要求→∞----→ 如果每个（τn，σn）参数化εn，则为0。当n 6=0时，使用等式3.73中的等效性，（τn，σn）明确参数化εn。为了看到（τ，σ）也参数化了ε，我们操纵（τ，σ）的图Γ来获得Γ={（E（ν）（x），w（x））：x∈ R+}={（t，w（x））∈ R+×R:x∈ [^1（t-), ν（t）]}={（t，x）∈ R+×R:x∈ （woД）（t）}。（3.76）给定ε：=woД，那么我们可以等价地写Γ={（t，x）：x∈ ε（t）}可以看出（τ，σ）确实参数化了ε。所以我们得到了dE（εn，ε）n→∞----→ 0，完成证明。为结束本章，提供了定理3.26的一个示例，该示例将pathwiseCIR和IG限制关系从示例3.19扩展到Heston和NIG模型，如序言中所述。这为加强和推广Mechkov（2015）的定理0.1奠定了坚实的基础，我们将在第4.6节中这样做。结果收敛εnn→∞----→ 价格路径的ε如图15所示，与图14一致。示例3.27（从赫斯顿到NIG的路径）。固定路径w0,1∈ C： =C（R+，R），对于某些ρ∈ [-1，1]定义wρ：=ρw+p1- ρw。这些可以解释为布朗运动的样本路径，它定义了方程1.4中的赫斯顿模型，例如wρ：=wρ（ω）。NowletДn∈ Φ用w：=w求解例3.19中的IVPs x=ngn（t，x），x（0）=0，从而得出Дn（t）=nσ（wo ^1n）（t）- nκ（θt- νn（t））+v.（3.77）让每个单态值路径εn∈ E根据εn（t）从wρ和溶液Дn中确定：=经验值（wρo ^1n）（t）-^1n（t）.

（3.78）再次使用方程式1.4，注意εnandnma可分别被视为赫斯顿价格过程及其累积方差的样本路径。如例3.19所示，3可应用解空间和退出时间限制定理3.17来获得νnn→∞----→ Дon（Φ，dΦ），其中Д是一条IG Lévy路径。定义几何布朗路径w（x）：=exp（wρ（x）-x） ，我们可以应用定理3.26进一步获得收敛性εnn→∞----→ εon（E，dE），其中ε：=woД。总ε（t）：=经验值wρ（x）-x个: x个∈ [^1（t-), ^1（t）]. （3.79）0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.51.52.02.53.03.54.0ε1（t）ε0（t）0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.51.01.52.02.53.03.54.0ε4（t）0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.51.01.52.02.53.54.0ε16（t）ε0（t）0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.51.01.52.02.53.03.54.0ε64（t）ε0（t）图15：收敛εnn→∞----→ 图中显示了εon（E，dE），其中εnare-Heston-pricepaths和ε是指数化NIG路径的区间值推广，两者在示例3.27.3中定义了解空间和出口时间限制。注意，ε是等式1.18中极限S的路径，我们声称这是指数化NIG过程S的区间值推广o那里这将在EMMA 4.56中介绍，但请注意，当-) = ν（t），即a.e.，则ε（t）仅包含sp（wρo ^1）（t）-^1（t）= 经验值p1级- ρ（wo Д）（t）+2ρ- σ2σД（t）-ρθσt（3.80）其中，最终表达式使用关系式κД（t）- σ（wo Д）（t）=κθt以消除EWo^1的定义如下。现在很明显，这个表达式与指数化NIG过程的apath一致o. 因此，我们证明了区间值指数化NIG推广的赫斯顿价格路径ε到路径ε的收敛性。为了一致性，在图15中，我们将path win示例3.27固定为Weierstrass pathdriving图14，并设置ρ=-1（对股票价格而言并非不合理），因此实际上不依赖于额外路径w。

设置ρ=-1是指赫斯顿价格路径εn中仅出现向下偏移，如果ρ=1，则向上偏移。这些向下偏移在图15中的广义NIG极限ε中明显可见。通过相关ODE，如方程3.55，图15中的这些向下价格偏移可直接与图14.4中的波动率向上偏移相关。路径波动率建模框架4路径波动率建模框架我们现在准备使用前两章中的新ODE理论来构建概率波动率建模框架。我们使用“pathwise”（可能被认为是“probability”的同义词）来描述这个框架，以提醒我们，所有带有init的模型都将存在于某个概率空间中(Ohm, F、 P），在显式子集上定义良好Ohm* Ohm 完全P-测量的结果（或“路径”）。这一点的证明将来自我们应用于每个结果ω的无概率适定性理论∈ Ohm*. 这种情况比模型更有用，因为它不需要明确提供Ohm*. 我们不认为“路径”一般有标准化的含义；见。g、 Vovk（2016）简要介绍了其在It^o型积分中的各种用途。配备Ohm*其中P[Ohm*] = 因此，我们的模型在任何其他衡量标准P下仍保持a.s.良好定义*验证P*[Ohm*] = 1，因此根据任何P* P、 实际上，这使我们能够用大量其他（不规则）随机过程代替方程1.3中赫斯顿模型表示的布朗运动，而不需要额外的适定性分析。这将在推论4.6之后进行讨论，并在定义4.10中进行精确定义，其中定义了替代波动率驱动因素Z。

我们在第4.4节定义RLH模型时使用了这些，其中使用了定理4.17中的高斯过程之一。回想一下，这种取代布朗运动的能力是弗里兹&维克托尔（2010）和弗里兹&海尔（2014）的路径理论背后的动机之一。例如，如果我们调用源自F"ollmer（1981）的路径It^o演算，我们只能以类似的“路径”感觉来考虑方程1.1中的Heston SDE。这是一条活跃的研究路线；参见Davis、Oblój&Siorpaes（2018年）、Lochowski、Perkowski&Pr"omel（2018年）和Cont&Perkowski（2019年）的发展动态，所有这些都是由金融问题引起的。我们从ODE构建的pathwise框架并不是为了与这些roughpath和pathwise It^o备选方案竞争（而是在处理序言中概述的问题时出现的）。但与之相比，它的一个显著优点是相对简单，因为它不依赖于这些备选方案核心的非黎曼积分。在我们的概率设置具体化之前，本章的计划已经概述。4从框架到模型的路径波动率建模框架。在前两章ODE理论的基础上，本章的前半部分是一个三阶段漏斗。概率空间上价格过程建模的一般框架(Ohm, F、 P）在第4.1节中首次定义。如第1章所述，这取决于每个ω的问题1.4的解∈Ohm. 因此，根据推论3.5，它是从非内射和满射解映射建立的，根据定理3.3，它是紧集上的连续w.r.t.一致收敛。然后，在第4.2节和第4.3节中，将该一般框架简化为两个不同的子框架，分别包含广义赫斯顿模型和鞅模型。

最后，第4.4节定义了漏斗的特殊产品RLH模型，该模型位于这两个子框架的交叉处。图2对此进行了说明，为了方便起见，这里重复了这一点。第4.1节：一般波动率建模框架第4.2节：广义赫斯顿子框架第4.3节：鞅子框架第4.4节：黎曼-刘维尔-赫斯顿模型图2：维恩图，显示了本章定义的框架和模型。在选择这些漏斗阶段进行演示时，我们非常小心，因为我们正试图在不损害任何目标的情况下实现几个目标。当然，我们希望最终得到一个波动率模型，该模型展示了其他更成熟框架中领先对手的一些特性。但另一方面，考虑到该框架所基于的基于ODE的基础是非常规的金融基础，可以认为更重要的是，该模型的路径在某些方面是可识别的。根据这些要求，我们还必须说明如何应用第3章的限制性结果来精确描述序言中讨论的赫斯顿-尼格关系。通过这样做，这一新框架能够教会我们关于其他人的实际有价值的东西4一个路径波动率建模框架是毋庸置疑的，这不仅是因为赫斯顿模型和NIG模型是两个最流行的金融模型，分别来自不同的（连续和纯跳跃）框架。综上所述，我们让赫斯顿模型在本章中扮演着某种核心角色。具体而言，第4.2节中的子框架产生了一个价格过程，当驱动波动性的过程Z是布朗运动时，该过程的分布与赫斯顿模型的分布相等，但允许该过程基本上被C（R+，R）的任何其他随机元素所取代。

（如果读者熟悉随机过程仅存在于非零但随机爆炸时间内，请参见池田和渡边（1992）中的定义2.1，可以省略此处的“基本”。）这种简单地取代布朗运动的能力并不是理所当然的，正如刚才所讨论的，这让人想起粗糙路径理论的广告。RLH模型（第4.4节的重点）构成了该广义Heston子框架内的特例，其中波动驱动布朗运动被（0，）中的Riemann-Liouville分数阶导数代替。因此，当（且仅当）该衍生指令为零时，该模型的价格过程（分布）与赫斯顿模型的价格过程一致。由于Riemann-Liouville分数阶导数映射定义了H"older空间之间的连续同构，参见Samko、Kilbas和Marichev（1993），因此很容易将此RLH模型与越来越多的证据相协调，即波动性通常表现出的H"older正则性远远低于布朗运动。特定应用程序选择。本章后半部分重点介绍应用，最后一部分是第4.6节中已经提到的限制。鉴于第3章中提供了任何其他模型的无概率理论，为了最大程度地清晰起见，在RLH模型的特定情况下处理这些限制。如例3.27和图15所示，这些限制不仅仅是数学上的好奇，还将为序言中关于流行的赫斯顿和尼格模型的问题提供精确答案。在此之前，我们将在第4.5节中介绍如何在RLHmodel下模拟衍生品价格。理论上，这取决于第4.3节中的鞅理论和定理3.3中的无概率模拟收敛。

继Cont&Tankov（2003）和Guyon&Henry Labordère（2013）的非常务实的理论之后，第4.3节还提供了衍生工具定价的关联性背景。这是一个特定的4路径波动率建模框架推论4.35，通过将现有和新的其他结果结合在一起，将RLH价格过程确定为鞅。为此，应遵循定理4.16，阐明鞅价格如何与波动驱动过程边际尾部的厚度相关，以及在第4.2节更广泛的广义赫斯顿子框架中。在框架开发的这一阶段，优先考虑基于模拟的方法有两个原因。首先，它为定价衍生（或对冲或预测等其他应用）提供了一个独立的框架范围的解决方案，而不是依赖于模型特定的概率分析，我们将其留给未来。其次，最近的研究表明，除了模拟之外，神经网络还为概率分析经典处理的问题提供了一种替代方法。参见例如Buehler、Gonon、Teichman&Wood（2019）的对冲和Horvath、Muguruza&Tomas（2021）的模型校准。为了帮助我们的模拟收敛，使用了McCrickerd&Pakkanen（2018）中推荐的方差缩减方法，我们没有统计偏差可报告。通过将模拟结果与分析可用的经典Heston对应物进行核对，我们确信模拟得到了正确的实施，并且已经有效地收敛。附录中还提供了简明的python代码，以帮助其他人实现我们的模型。概率设置。

鉴于前两章中的无概率基础，本章的大部分内容也可以在不参考概率度量的情况下介绍。然而，大多数实际应用，如我们依赖于第4.3节中的鞅，或第4.5节和第4.6节中的弱收敛结果，都与概率密不可分。因此，更清楚的是，立即开始引入概率必要性。为此，我们通常会在概率空间上进行研究(Ohm, F、 P）支持所有引用的随机元素，并让ω表示Ohm. 通常可以在固定概率空间上构造这些随机元素，但为了简洁起见，我们不会重复这样做。例如，第4.4节中的RLH模型可以构建在正则概率空间上，该空间仅支持R+上的二维（2d）标准布朗运动W=（W，W）。因此，我们可以Ohm := C（R+，R）×C（R+，R），设F：=B(Ohm) 假设P=W是路径波动率建模框架上的维纳测度，则P=W是具有一致收敛性的特定Borelσ-代数(Ohm, F） 设W为(Ohm, F、 P），简单定义为W（ω）：=ωforeachω∈ Ohm. 这表明，每个结果ω不仅需要与W的apath间接联系，而且它实际上可能是W的一条路径。方程0.2和方程0.3中的Heston和NIG过程也可以在这个固定空间上构造(Ohm, F、 P），因为与我们框架中的所有模型一样，这些模型都是从路径唯一映射构建的。我们假设(Ohm, F、 P）支持这样的二维布朗运动W，它通常由变量x索引∈ R+，例如W={Wx}x∈R+。