空间不规则常微分方程及其路径解

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英文标题：
《On spatially irregular ordinary differential equations and a pathwise
  volatility modelling framework》
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作者：
Ryan McCrickerd
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  This thesis develops a new framework for modelling price processes in finance, such as an equity price or foreign exchange rate. This can be related to the conventional Ito calculus-based framework through the time integral of a price\'s squared volatility, or `cumulative variance\'. In the new framework, corresponding processes are strictly increasing, solve random ordinary differential equations (ODEs), and are composed with geometric Brownian motion. The new framework has no dependence on stochastic calculus, so processes can be studied on a pathwise basis using probability-free ODE techniques and functional analysis.   The ODEs considered depend on continuous driving functions which are `spatially irregular\', meaning they need not have any spatial regularity properties such as Holder continuity. They are however strictly increasing in time, thus temporally asymmetric. When sensible initial values are chosen, initial value problem (IVP) solutions are also strictly increasing, and the solution set of such IVPs is shown to contain all differentiable bijections on the non-negative reals. This enables the modelling of any non-negative volatility path which is not zero over intervals, via the time derivative of solutions. Despite this generality, new well-posedness results establish the uniqueness of solutions going forwards in time.   Motivation to explore this framework comes from its connection with a time-changed Heston volatility model. The framework shows how Heston price processes can converge to a generalisation of the NIG Levy process, and reveals a deeper relationship between integrated CIR processes and the IG process. Within this framework, a `Riemann-Liouville-Heston\' martingale model is defined which generalises these relationships to fractional counterparts. This model\'s implied volatilities are simulated, and exhibit features characteristic of leading volatility models.
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中文摘要：
本文开发了一个新的金融价格过程建模框架，如股票价格或外汇汇率。这可以通过价格平方波动率的时间积分或“累积方差”与基于Ito演算的传统框架相关联。在新框架中，相应的过程严格递增，求解随机常微分方程（ODE），并由几何布朗运动组成。新框架不依赖于随机演算，因此可以使用无概率ODE技术和泛函分析在路径基础上研究过程。考虑的ODE依赖于“空间不规则”的连续驱动函数，这意味着它们不需要具有任何空间规则性属性，例如Holder连续性。然而，它们在时间上严格地增加，因此在时间上是不对称的。当选择合理的初值时，初值问题（IVP）的解也严格递增，并且这类IVP的解集包含非负实上的所有可微双射。这使得能够通过解的时间导数对任何非负波动路径进行建模，该路径在时间间隔内不为零。尽管存在这种普遍性，但新的适定性结果确定了解决方案在时间上的唯一性。探索该框架的动机来自于它与一个随时间变化的赫斯顿波动率模型的联系。该框架展示了赫斯顿价格过程如何收敛到NIG征税过程的推广，并揭示了综合CIR过程和IG过程之间的更深层次的关系。在此框架内，定义了一个“Riemann-Liouville-Heston”鞅模型，该模型将这些关系推广到分数阶鞅模型。对该模型的隐含波动率进行了模拟，显示了领先波动率模型的特征。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> On_spatially_irregular_ordinary_differential_equations_and_a_pathwise_volatility.pdf (3.61 MB)

2022-6-11 14:36:12 上传

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关键词：常微分方程 微分方程 不规则 常微分 Differential

关于空间不规则有序微分方程和路径波动建模框架伦敦帝国理工学院数学系哲学博士论文McCrickerdrmccrickerd@chatham财务方面。ComAbstracts本文开发了一个新的框架，用于建模金融中的价格过程，如股票价格或外汇汇率。这可以通过价格平方波动率的时间积分或“累积方差”与传统的基于It^oCalculus的框架相关。在新框架中，相应的过程严格递增，求解随机常微分方程（ODE），并由几何布朗运动组成。新框架不依赖于随机演算，因此可以使用无概率ODE技术和泛函分析在路径基础上研究过程。所考虑的ODE依赖于“空间不规则”的连续驱动函数，这意味着它们不需要具有任何空间规则性属性，例如霍尔德连续性。然而，它们在时间上严格地增加，因此在时间上是不对称的。当选择合理的初值时，初值问题（IVP）的解也严格增加，并且这类IVP的解集显示包含非负项上的所有可微双射。这使得能够通过解的时间导数对任何非负波动路径进行建模，该路径在区间内不是零。尽管有这种普遍性，但新的良好定位结果确立了解决方案在时间上的唯一性。给出了一个禁止爆炸的条件，然后证明了IVPs的解映射在紧集上关于一致收敛是连续的。探索该框架的动机来自于它与一个随时间变化的赫斯顿波动率模型的联系。

该框架展示了Heston-price过程如何收敛到正态逆高斯（NIG）Lévy过程的推广，并揭示了综合Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程和逆高斯（IG）过程之间的更深层次的关系。在此框架内，定义了一个“Riemann-Liouville-Heston”（RLH）鞅模型，该模型将这些关系推广到分数对应关系。模拟了该模型的隐含波动性，并展示了领先波动性模型的特征。版权声明本论文的版权归作者所有。除非另有说明，其内容根据知识共享署名非商业4.0国际许可证（CC BY-NC）进行许可。根据本许可证，您可以任何媒体或格式复制和重新分发材料。您还可以创建和分发作品的修改版本。这是有条件的：你信任作者，不要将其或任何衍生作品用于商业目的。重复使用或共享此作品时，请确保通过命名许可证并链接到许可证文本，让他人清楚了解许可证条款。如果一部作品已经被改编，你应该指出该作品已经被修改，并描述这些修改。对于本许可证中未包含或英国版权法允许的本作品的使用，请寻求版权持有人的许可。原创性陈述本论文中作为我自己的作品呈现的部分是我自己的作品。本论文中非我个人作品的部分并不是这样呈现的，而是适当的参考。致谢我首先要感谢那些没有他们这篇论文就不可能存在的人。最重要的是我的父母、兄弟姐妹，他们为我独立、公正和创造性地思考提供了初始条件。

我早期对体育、视频游戏和卡通片的兴趣可以解释我对现实的兴趣，以及抽象模型与现实的关系。如果没有彼得·奥格雷迪在学校的鼓励，我可能无法获得数学学位。他的教学质量使我能够在学习期间继续从事体育运动，无论是在现实中还是在虚拟环境中。事实证明，在视频游戏上胜过朋友很重要：避免了令人陶醉的booby奖；保持更清晰的数学头脑。我在JCRA工作了几年，才对金融领域使用的模型形成了自己的欣赏，而不是物理领域更性感的模型。这些年来，我的经理里凡·哈金斯（RivanHarkins）对我的支持程度总是令人惊讶的，他在工作中支持博士研究将永远受到极大的重视。在我和许多朋友看来，已故的约翰·拉斯伯恩（JohnRathbone）在JCRA建立的更广泛的文化和他一样是非凡的。我的导师Mikko Pakkanen和Martin Rasmussen Atimerial College的耐心和建议，尤其是我的研究采取了非传统和冒险的方向，对其完成至关重要。事后看来，我有时被数学美学指导得太多，而不是我研究的更有价值的结果。我很高兴能与我的犯罪搭档拉维尼亚·辛格和她的家人走得更近，也很高兴能开始我们自己的生活。看着Lavinia的成长，被冠状病毒-19感染，我很受鼓舞，我无法想象自己会比今天更幸运。

亲眼目睹一位诗歌编辑忍受我对功能拓扑的思考为我提供了进一步的启示。最后，我感谢科丁顿和莱文森（1955）、阿加瓦尔和拉克什米坎坦（1993）以及惠特（2002）的作者，我觉得我站在他们的肩膀上最多。本论文直接由EPSRC金融计算和分析博士培训中心资助，间接由我的雇主JCRA和Chatham Financial资助。目录：Heston NIG激励关系81简介162空间不规则颂歌的适定性342.1主要问题和示例。372.2驱动功能的零点。402.3最大存在性、双射性和界。462.4最大唯一性。552.5解决方案图的连续性。622.6溶液模拟。673解决方案空间和退出时间限制733.1简化问题。743.2问题的解决方案图。823.3统一退出时空。873.4统一出口时间解决方案限值。933.5偏移限制。1024路径波动率建模框架1144.1一般价格过程框架。1184.2通用赫斯顿子框架。1264.3鞅子框架。

. . . . 1384.4 Riemann-Liouville-Heston模型。1484.5模拟衍生工具定价。1544.6分数Heston-NIG限值。1715结论184结语：综合CIR-Lévy关系196有用的符号200参考文献201附录：RLH模拟代码214序言序言：Heston NIG激励关系该序言介绍了作者对本论文背后的初步动机的个人描述。这些主要源于在经历了这种金融风险管理的建模益处之后，对验证、加强和推广Mechkov（2015）主要结果的渴望。虽然没有严格要求欣赏这篇论文的数学贡献，但本文给出的结果和目标将在其余部分中提及。个人建模经验。迄今为止，我担任风险管理定量分析师已有九年之久，主要在一家名为JCRA的咨询公司工作，该公司由JohnRathbone于1989年成立，2019年被Chatham Financial收购。2015年，在帝国理工学院（Imperial College）攻读博士学位的前一年，我回顾了金融变量（如利率、外汇汇率、股价）的模型，以进行与客户衍生品投资组合未来可能价值相关的各种模拟计算。为此，我们拥有Numerix的模型库（Numerix是一家交易和风险管理技术提供商，请参见例如Numerix.com）。这就是我如何跨越Numerix的“快速回归赫斯顿”（FRH）模型的原因，尤其是在比较各种外汇（FX）模型的校准精度和稳定性时。

Mechkov（2015）提供了这方面的详细信息，并在github进行了实施。com/ryanmccrickerd/frh外汇。很明显，赫斯顿（1993）的经典随机波动率模型的FRH扩展对于我们的目的来说是极好的。简单地说，该模型可以像赫斯顿模型的交替扩展（如局部随机波动率或跳跃差异）一样，以近乎完美的精度复制外汇隐含波动率曲面中的100多个报价，并且也可以轻松准确地模拟，这与经典的同名模型不同。根据我的经验，我用相对较少的、稳定的和物理上有意义的参数来实现这一点，人们有机会向非数学的同事和客户解释这些参数的影响。因此，我惊讶地发现，FRH模型并不是一个真正的新模型，但至少在其基本形式上，是一个重新包装的旧模型。具体而言，它是Barndorff-Nielsen（1997）提出的重新参数化正态逆高斯（NIG）模型，其中conProloguecern变量，如汇率或股票价格，由指数化NIG（exp-NIG）Lévy过程建模。值得注意的是，保留了赫斯顿参数对FRH版本的影响，对于这一点，理学硕士毕业生和定量分析师通常有很强的直觉。我立即感到惊讶的是，这些显然相关的Heston和Nig模型是两种最受欢迎的金融模型，因此公司的巨额财富及其相关决策取决于其资产。在我的工作中，这种依赖性主要体现在这些模型对导数的描述上。从数学上讲，此处相关的模型存在于不同的框架中。

一个依赖于It^o演算，适应像Heston这样的连续样本路径，另一个依赖于非布朗Lévy过程，具有像NIG模型那样的不连续路径。抛开流行性不谈，这些模型是这些对比鲜明的理论框架的典范。作为实践经验的补充，这些理论考虑增强了深入理解这两种模型之间关系的价值。梅奇科夫与赫斯顿·尼格的关系。现在总结了Mechkov（2015）的Heston和NIG关系，以与本论文核心一致的符号表示。这是一种通过参数极限表现出来的关系，所以考虑一系列经典的赫斯顿价格过程Sn={Snt}t∈R+，n>0，与Heston（1993）中的一样，dVnt=σnpVntdWt+κn（θn-Vnt）dt，dSnt=pVntSntdWρnt，（Vn，Sn）：=（Vn，1），（0.1），其中W是从0开始的独立1d布朗运动，Wρn：=p1- ρnW+ρnW。在金融中，方差处理的随机微分方程（SDE）Vn={Vnt}t∈由于Cox、Ingersoll&Ross（1985），R+verify被称为CIR SDE。参数σn、κn、θn、vn>0分别称为波动率波动率、反转速度、反转水平和起始方差，以及ρn∈ [-1，1]相关性。对于某些固定σ、θ、v>0和ρ∈ [-1，1]，现在设置（σn，κn，θn，ρn，vn）：=（nσ，n，θ，ρ，v），以便n表示该族的反转速度{Sn}n>0，方程式0.1更简单地读取为dVnt=nσpVntdWt+n（θ- Vnt）dt，dSnt=pVntSntdWρt，（Vn，Sn）：=（v，1）。（0.2）序言事实上，每个VN的CIR SDE的分散和复归成分均与n呈线性比例，因此以与n相同的速率增长→ ∞, 对于这种参数化的新颖性以及由此产生的NIG关系至关重要。

这不同于Fouke、Papanicolaou、Sircar&Solna（2011）以及同一作者之前的文章中所考虑的，在这里，用相同的符号，可以设置σn：=√nσ。在定义Lévy过程时，说明其边缘特征函数是有效且常见的，在Mechkov（2015）中可以找到NIG函数，与Heston函数一起。但是在Applebaum（2009）之后，可以构造一个exp-NIG processS={St}t∈来自相同布朗运动W的R+在方程0.2中，bySt：=expp1级- ρWXt+2ρ- σ2σXt-ρθσt, Xt：=infx>0:x- σWx>θt.（0.3）进程X={Xt}t∈R+是一个逆高斯（IG）从属函数，这是一个不减损的Lévy过程。Mechkov（2015）的主要结果如下。定理0.1（Mechkov的Heston-NIG关系）。设{Sn}n>0为方程0.2中的Hestonprice过程族，以及方程0.3中的指数化NIG过程族。然后针对每个固定的t∈ R+，分布Sntd的收敛性-→ ST作为n发生→ ∞.起初，这一结果似乎与之前所知的固定赫斯顿过程在很大程度上的分布与NIG分布之间的关系有关，NIG分布独立于Keller Restel（2011）和Forde&Jacquier（2011）建立。然而，当人们试图将这个大时间结果映射到一系列赫斯顿模型的参数上时（通过布朗运动的标度特性），得到的族与方程0.2中的族不太一样，而是在方程0.1中设置（σn，κn，θn，ρn，vn）：=（nσ，n，nθ，ρ，nv）时获得的族。随着这些起始方差和回归水平的增加，n→ ∞, 因此，家庭SNA在任何固定时间的分布都以一种无法与固定支出过程相协调的方式增长。

因此，固定赫斯顿模型的这些早期大时间结果无法适应与固定限制模型的关系。事实上，作者当时得出了这个结论，现在强调了定理0.1的新颖性。序言波动率倾斜悖论。有了定理0.1，就值得强调它提出的一个悖论。在我意识到并计算验证Mechkov的Heston-NIG关系时，我也意识到Gathereal、Jaisson&Rosenbaum（2018）的预印本以及“粗略”波动率模型的日益流行。这些模型通常扩展了赫斯顿这样的经典模型，并以具有相对较低H"older规律性的递减波动或方差过程为特征。所以这些过程看起来很粗糙，就像带有低赫斯特参数的分数布朗运动。在我从事衍生品相关工作的领域中，这些模型能够再现股票市场中观察到的“隐含波动率偏斜”。拜耳、弗里兹和Gatheral（2016）首次证明了这一点，Alòs、León和Vives（2007）和Fukasawa（2011）的理论支持了这一点。对于价格过程S={St}t∈R+和未来时间，通过一些变换，这种倾斜与St的三阶矩松散相关。参见Bergomi（2016）或方程4.78。该理论表示，定理0.1中的经典Heston和NIG模型将分别强调和低估与粗波动率一致的偏差如何在时间上向后发展，朝着t=0。对于NIG模型，这一点的理论依据是Gerhold，Gülüm&Pinter（2016）。但定理0.1的一个结果是，这些模型中的隐含波动率（从中得出偏差）将收敛为n→ ∞.这在Mechkov（2015）中以图形方式进行了演示，我们重现了图1中类似的内容。