空间不规则常微分方程及其路径解

简单地计算解空间和退出时间限制，这提供了Mechkov（2015）对定理0.1最深刻的理解。结语，读者现在有了可以考虑的工具，概括了这个示例以获得其他Levy过程限制，并以概率而非路径的方式工作。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0？0（t）Д1（t）0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0？0（t）Д4（t）0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.60.81.0？0（t）Д16（t）0.0 0 0.2 0.4 0.0 6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0(R)Д0（t）Д64（t）图12：收敛Дnn→∞----→ 对于n=1、4、16和64，如例3.19所示，集成CIR路径的φon（Φ，dΦ）到IGLévy路径的φ。示例3.19（路径集成CIR到IG）。假设σ，κ，θ，v>0和w∈ C（R+，R）和定义{gn}n∈N C（R+，R）乘以gn（t，x）：=σw（x）+κ（θt- x） +v/n。注3：解空间和出口时间限制与方程1.6中的赫斯顿函数一致。然后kg- gnkR+n→∞----→ 0，其中g（t，x）：=σw（x）+κ（θt- x） 。（3.45）使用定义1.3，可以直接确定{gn}n∈N G提供条件支持验证∈R+κx- σw（x）=∞. 等效地，如果函数Д（t）：=inf{x>0：g（t，x）<0}=inf{x>0：κx- σw（x）>κθt}（3.46）是D（R+，R）中定义良好的路径。注：当w=w（ω）是布朗运动的样本路径时，这些条件均满足a.s。因此，满足了应用定理3.17的条件。这告诉我们Дnn→∞----→ 在退出时间空间（Φ，dΦ）上，其中每一个都将IVPx=ngn（t，x），x（0）=0。也就是说，Д是Φ中唯一的路径，其中验证了Дn（0）=0，且Дn（t）=nσw（Дn（t））- nκ（θt- ^1n（t））+v。

（3.47）由于每个Дnca可被视为综合CIR过程r·Vs（ω）ds的样本路径，如等式1.3所示，且极限Дa为IG Le'vy过程的样本路径，如等式1.10所示，因此，我们建立了此类过程在（Φ，dΦ）上的路径收敛，并为适用于相关Heston和NIG过程的定理0.1提供了路径原点。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0'Д0（t）Д1（t）0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0'Д0（t）Д64（t）图13：使用gn（t，x）：=σw（x）+κ（θt）重复图12中的收敛- x） +vin示例3.19，并更快地截断w，如图5.3所示，解空间和出口时间限制图12说明了该收敛，其中w是方程式2.3中截断的Weierstrass路径。对于标有Д（t）的图，我们实际使用的是区间值pathsД的图*（t） ：=[Д（t-), ν（t）]如图6所示，与推论3.15中的E（Д）（x）=M（φ）（x）的图形一致，并有助于可视化dΦ（Дn，Д）n→∞----→ 0，即空间中紧集上的时间一致收敛。在图13中，我们假设gn（t，x）：=σw（x）+κ（θt- x） +v=g（t，x）。与方程3.46和Mechkov（2015）相比，对于任何选择的w，t=0时的不连续性都是可以保证的∈ C（R+，R）提供v>0，并且该不连续性的大小为φ（0）=inf{x>0：κx- σw（x）>v}。（3.48）3.5偏移限制上一节涉及问题1.4中IVP的解序列的限制。如第1章所述，在第4章中，我们定义了一个框架，在该框架中，价格过程允许表示S=exp（WρX-十） ，其中累积方差过程X={Xt}t∈这里，R+以路径为基础解决了问题1.4。注意，S只是通过一个简单的（尽管是随机的）组合从X派生出来的，几何布朗运动∧X：=exp（WρX-x） ，即S=∧o十、

因此，为了理解S的路径在第3.4节的退出时间限制下的行为，我们在这里主要关注组合W的行为o 对于某些w∈ C（R+，R），根据第3.4节的限制，可能与Д有关。此类成分wo ^1不必表示价格路径，但可以是此类路径的功能，如衍生支付。我们发现，在此类复合材料中可能会出现瞬时漂移，这些结论将允许我们扩展例3.19中的路径CIR和IG关系，以回答序言中提出的赫斯顿和NIG相关问题。为了理解这些复合限制，以下内容令人放心，应牢记在心。这只是利用了（Φ，dΦ）上极限φ的不连续性是大气可数的这一事实，如推论3.14之前所讨论的。因此，Д是a.e.连续的，这基本上可以通过假设w是连续的定义扩展到这个推论。3解空间和退出时间限制汇总3.20（即复合收敛）。假设νnn→∞----→ Дon（Φ，dΦ）和alsow∈ C（R+，R）。那么对于任何T∈ R+以下逐点收敛a.e.发生在右侧∈ [0，T]：（wo ^1n）（t）n→∞----→ （w）o ν）（t）i=t.（3.49），这显然也会导致积分收敛，如推论3.14中的Lpstatements。尽管令人欣慰，但必须理解这个结果的局限性，因为它证明了路径依赖泛函的相关收敛可能会被违反，例如我们发现→∞支持∈[0，T）（wo ^1n）（t）≥ 支持∈[0，T）（wo ^1）（t）（3.50），在实际利益的情况下具有严格的不平等性。

这在实践中是一个重要的例子，因为它涉及到共同障碍选项的支付，尽管持续监控。本节的分析将使我们能够理解这些极限，在本例中，对于任何T>0supt，我们在（R，|·|）上获得以下令人惊讶但相当优雅的收敛∈[0，T）（wo ^1n）（t）n→∞----→ 支持∈[0，T）sup（woД）（T），（woД）（T）：={w（x）：x∈ [^1（t-), ^1（t）]}。（3.51）路径wo~n是集值的，因此上面的sup sup实际上是紧区间值的。Indeed我们有以下等效表示，注意*如图6所示，（woД）（t）=minx公司∈φ*（t） w（x），maxx∈φ*（t） w（x）, φ*（t） ：=[Д（t-), ^1（t）]。（3.52）第1章简要讨论了此类路径，现在，如序言所述，从赫斯顿模型中出现的价值间过程似乎是合理的。所以一般来说，组成的收敛性o^1nn→∞----→ wo在D（R+，R）上的所有合理度量空间上都违反了φ，就像Skorokhod（1956）的空间一样，尽管有φnn→∞----→ 第3.4节中所述的（Φ，dΦ）。因此引入了区间值路径，我们称之为偏移路径。此命名受Whitt（2002）第15章的启发，其目的是了解排队应用程序中出现的具有类似偏移路径的过程。游览空间。现在，我们正确地定义了偏移路径集E，然后定义了它的相关度量，这应该被认为是描述图在R+×R w.R.t.Hausdorff距离上的紧致收敛的特征。在解空间和出口时间限制空间（E，dE）的偏移上，我们将得到函数收敛wo ^1nn→∞----→ 在D（R+，R）上无法获得的woД，推广了方程式3.51中给出的（R，|·|）上的特定限值。定义3.21（路径集）。设集合E包含R+上的实紧区间值路径ε，即。

对于每个t∈ R+返回一个紧区间ε（t）=：[ε-（t） ，ε+（t）] R、 对于这样的路径ε，具有ε-（t） =ε+（t）是可接受的，在这种情况下，ε（t）返回一个单态。或者，假设ε∈ D：=D（R+，R），然后是为每个t返回一个单态{ε（t）}的路径∈ R+在E中，方便时仍将标记为ε。在这个意义上，D E、 我们对路径ε特别感兴趣∈ E，对于某些εo∈ D验证εo（t）={εo（t） }无论何时εo（t-) = εo（t） 和[εo（t-) ∧ εo（t） ，εo（t-) ∨ εo（t） ] εo（t）=[ε-（t） ，ε+（t）]，否则。回想一下，此类内含物按照方程式1.18进行了讨论，方程式1.18定义了Hestonmodel产生的指数化NIG过程的异常概括。与ε不同∈ E通常，这些偏移路径εo与一些εo∈ D属于Whitt（2002）第15.4节的设置，定理15.4.1为此类路径提供了条件，以便在配备我们的Hausdorff度量de时定义可分离空间。为了定义该度量de，ε∈ E使其图ΓT（ε）在[0，T]上 R+be定义ΓT（ε）：={（T，x）∈ [0，T]×R:x∈ ε（t）}，（3.53），然后定义扩展图Γ*T（ε）：=ΓT（ε）∪ {T}×R来缓解任意端点T的问题，就像我们帮助定义dMin定理3.13一样。这解释了为什么在等式3.51的示例中手动删除端点。现在这样定义。定义3.22（偏移度量）。对于ε，ε∈ E和T∈ R+，让偏移伪度量dE，t改变图之间的Hausdorff距离dhΓ1,2：=Γ*T（ε1,2），即dE，T（ε，ε）：=dH（Γ，Γ）：=max（sup（T，x）∈Γinf（s，u）∈Γ|（t，x）- （s，u）|，sup（t，x）∈Γinf（s，u）∈Γ|（t，x）- （s，u）|）。（3.54）然后通过de（ε，ε）：=Pn定义偏移度量dEon E∈N-n（1∧ dE，n（ε，ε））。注意，与每个dE、T一样，实际上定义了E上的另一个伪度量，这通常是hausdorff距离的情况。

要了解这一点，只需考虑ε1,2∈ E，ε（t）：=[-1，1]3 R+但ε（t）的解空间和出口时间限制：[-1，1]仅在有理数Q+，ε（t）：={0}否则。然后明确dE（ε，ε）=0，但ε6=ε。通过通常考虑E中路径的等价类，可以将伪度量空间（E，dE）升级为一个富饶的度量空间。然而，实际上没有必要明确地这样做，因为在E上通常会导出aBorelσ-代数E，使得（伪度量）拓扑空间（E，E）也是一个可测空间，因此适用于我们的概率波动率相关应用。在描述复合路径的偏移极限之前，wo ^1，其中∈ ΦsolvesProblem 1.4，我们首先研究时间导数的极限。这些限制不仅有助于他们自己，因为它们捕捉到了波动路径的行为√^1，但通常与复合限制有关。这可以在方程3.47中的赫斯顿示例中看到，或者更一般地，当g（t，x）：=θ（t）-w（x）如定理3.6所示，因为我们只需找到（wo Д）（t）=θ（t）- ^1（t）。（3.55）如前所述，在本节中，为了方便起见，我们将使用Д和woД也表示E中的单格尔顿值路径，后者与方程式3.51中定义的woД一致。这里发展的理论将始终应用于定理3.17的设置中，因此，尽管没有严格要求，但读者可以通篇采用那里的假设：{gn}n∈N G发出该kg-gnkR+n→∞----→ 0，{Дn}n∈N Φ分别求解问题1.4中的x=ngn（t，x），x（0）=0，最重要的是dΦ（Дn，Д）n→∞----→ 0，其中∈ Φ如定理3.3所示。衍生品限额。定理3.18构造任何路径∈ Φ  D（R+，R）作为问题1.4的解的极限，关于（Φ，DΦ）。

假设И在（0，T）中有一个不连续性，那么我们必须找到kИnk[0，T]n→∞----→ ∞, 很明显，我们不应试图确定νnasn的限制→ ∞ 在C、D甚至E上，所以对于volatilitypДn都不是。这里我们获得的最佳结果是缩放路径n的限制-1хnon（E，dE），通过显式参数表示实现这一点的方法也适用于成分wo νn，通常与方程3.55中的内容相关。对于下一个结果，请记住如果∈ Φ是问题1.4的全局解，那么导数φ允许平凡的参数表示（e，ν），这与（ν）属于相同的等价类-1, φo φ-1). 这正好等于R+{（t，ν（t））：t∈ R+}={（Д）-1（x），Д（Д）-1（x））：x∈ R+}。（3.56）3解决方案空间和退出时间限制规定了时间组件的限制，如Д-1通过定理3.17可以理解，引理3.23中的焦点是空间分量Дoφ-为清楚起见，在方程式3.57中，路径g（E（Д），E）：x 7→ g（E（Д）（x），x）在C（R+，R）中，并让范数k·kR+像往常一样使用方程1.12定义，其特征是在紧集上一致收敛。引理3.23（参数导数极限）。采用定理3.17的假设，soИnn→∞----→ Дon（Φ，dΦ）。然后导数{νn}n的下列收敛性∈Ntakes地点g（E（Д），E）- n-1хno φ-1nR+n→∞----→ 0.（3.57）证明。给定νnis IVP x=ngn（t，x），x（0）=0的唯一全局解，然后验证每个t∈ R+。替换t=Д-1n（x），我们看到-1Дn（Д-1n（x））=gn（Д）-每x 1n（x），x（3.58）∈ R+。因此，如果收敛δn：=g（E（Д），E）- gn（^1）-1n，e）[0，X]n→∞----→ 所有X发生0（3.59）∈ R+。

我们已经有了两个kE（^1）- φ-1nk[0，X]n→∞----→ 0和kg-gnk[0，T]×[0，X]n→∞----→ 0表示所有T，X∈ 定理3.17中的R+，这些确实结合了方程3.59。g的连续模∈ C（R，R）将用于显示这一点。为此，fix∈ R+和T>E（Д）（X）。然后kE（Д）- φ-1nk【0，X】<T- E（Д）（X）对于所有足够大的n，因此假设w.l.o.g.k-1nk[0，X]=Д-1n（X）<T表示所有n。这意味着所有（Д）的路径-[0，X]上的1n，e），作为等式3.59中的参数，被限定到矩形X中：=[0，T]×[0，X]。注意，三角形不等式给出δn≤ 千克（E（Д），E）- gn（E（Д），E）k[0，X]+kgn（E（Д），E）- gn（^1）-1n，e）k【0，X】。（3.60）这里处理第一个组件很简单，因为它明显以kg为界-gnkX。对于第二个，让w:R+→ R+是gover X的连续模，因此我们有界| g（t，X）- g（s，u）|≤ w（|）（t，x）- （s，u）|）（3.61）对于所有（t，x），（s，u）∈ 十、 和w()↓0--→ 使用两次三角形不等式，方程3.61的关系可以扩展到每个Gn和wn，前提是我们定义：=w+2kg-3解决方案空间和退出时间限制。注意，wn不是gnover X的连续模，因为wn()→0---→2公斤- gnkX6=0。尽管如此，我们现在可以使用kgn（E（Д），E）约束方程3.60中的最后一项- gn（^1）-1n，e）k【0，X】≤ w（kE（Д）- φ-1nk[0，X]+2kg- gnkX。（3.62）因此，方程式3.59中声称的收敛发生，因为对于每X∈ R+g（E（Д），E）- n-1хno φ-1n[0，X]=δn≤ w（kE（Д）- φ-1nk[0，X]+3kg- gnkXn→∞----→ 0。（3.63）给定X是任意的，这扩展到方程3.57 w.r.t中的要求。范数k·kR+。让{εn}n∈N E由单态εn（t）定义：={n-1Д（t）}，从而捕捉波动性的行为√在定理3.24中，我们现在将定理3.17和引理3.23结合起来，以获得一个令人惊讶的极限εnn→∞----→ ε在漂移空间（E，dE）上。

我们的方法，将对复合路径w重复o在定理3.26中，定义每个εn的有用参数表示（τn，σn），并建立这些εn的乘积一致收敛（在紧集上）到一个极限（τ，σ），最终将该极限解释为E中的路径ε。直观的是，参数表示的一致收敛实际上提供了E w.r.t.Hausdorff距离上的收敛，这一点可以通过注意到，在dEin方程3.54的定义中，我们有界sup（t，x），来很容易证实∈Γninf（南、北）∈Γ|（t，x）- （s，u）|=sups∈[0,1）infu∈[0,1）|（τn（s），σn（s））- （τ（u），σ（u））|≤ sups公司∈[0,1）|（τn（s），σn（s））- （τ（s），σ（s））|=：k（τ，σ）- （τn，σn）k[0,1）（3.64），其中我们假设w.l.o.g.所有参数表示（τn，σn）的域已方便地转换为[0,1]。这具体说明了边界T（εn，ε）≤ k（τ，σ）-（τn，σn）k[0,1），可以扩展到我们将使用的，命名为k（τ，σ）- （τn，σn）kR+n→∞----→ 0 ==> dE（εn，ε）n→∞----→ 0。（3.65）定理3.24（偏移导数极限）。采用定理3.17的假设，因此dΦ（Дn，Д）n→∞----→ 0和定义{εn}n∈N E乘以εn（t）：={n-分别为1хn（t）}。ThendE（εn，ε）n→∞----→ 0，其中ε∈ E返回单态{0}a.E.，并由ε（t）精确定义：=0，ε+（t）, ε+（t）：=最大值∈φ*（t） g（t，x），Д*（t） ：=[Д（t-), ^1（t）]。（3.66）3解决方案空间和退出时间限制。结合定理3.17和引理3.23，我们得到了乘积收敛性k（E（Д），g（E（Д），E））- (φ-1n，n-1хno φ-1n）kR+n→∞----→ 0。（3.67）现在设置（τn，σn）：=（Д-1n，n-1хno φ-1n），考虑到等式3.56中图形的等效性，分别定义了每个ε的参数表示。

因此，我们将得到所谓的收敛dE（εn，ε）n→∞----→ 0使用方程3.65和方程3.67，如果方程3.66中定义的路径ε类似地由（τ，σ）参数化：=（E（Д），g（E（Д），E））。现在，从定义3.10来看，E（Д）在N中，即在C（R+，R）中定义了一个非递减且空间无界的路径。所以这个参数表示（τ，σ）的图Γ的形式为Γ={（t，g（t，x））∈ R+×R:x∈ φ*（t） }。（3.68）使用连续性和紧凑性*（t） ：=[Д（t-), ν（t）]，则我们获得Γ=（t，x）∈ R+×R:x∈分钟∈φ*（t） g（t，u），最大值∈φ*（t） g（t，u）. （3.69）现在如果我们可以证明ε-（t） ：=最小值∈φ*（t） g（t，x）=0，对于每t，我们最终得到Γ={（t，x）∈ R+×R:x∈ [0，ε+（t）]}。（3.70）这将提供Γ={（t，x）：x∈ ε（t）}，澄清了（τ，σ）确实参数化了ε，因此dE（εn，ε）n→∞----→ 0、确认ε-（t） =0，考虑图13。在Д（t）的不连续处，我们可以看到g（t，x）≥ 所有x确保为0∈ φ*（t） 。给定g（t，ν（t-)) = g（t，ν（t））=0也遵循g的连续性，那么实际上ε-（t） =0。需要确认的是ε（t）={0}a.e.，这是由Д（t）得出的-) = ν（t）a.e.，给定的不连续性是可数的，因此ε+（t）=0 a.e.，完成证明。现在，我们再次使用示例3.19演示定理3.24。注意，当n的限制-1Дn（t）在定理3.17的设置中表示，我们等价地表示gn（t，Дn（t））=n-1хn（t）。给出等式3.47，在示例3.19中，其形式为σ（wo ^1n）（t）- κ（θt- νn（t））+v/n=n-1хn（t），（3.71），这些路径与按比例CIR过程n的路径一致-1V（ω）：=n-例3.19中，1хn，重新校准识别度Vs（ω）ds：=х。