空间不规则常微分方程及其路径解

与此相反，回想一下theHeston情况Yt，x：=σWx+κ（θt-x） 方程1.5中的+v，其中Y由Wand线性构造，因此方程4.7中的第三个分量是多余的，由第二个分量表示。与此赫斯顿案例一样，接下来的两部分对W和Y施加约束，以确定价格过程S继承理想属性的子框架。既然定义4.7中对价格过程框架进行了充分规定，只有现在我们才能准确地说出我们所说的依赖于框架的随机过程波动率的含义。定义4.8（波动性）。设S={St}t∈R+是在定义4.7的框架内构建的价格过程。然后让波动率σ={σt}t∈S的R+由σ定义：=√十、 4路径波动率建模框架虽然这一定义似乎与σt=ddt[对数S]t的更可识别关系不一致，但我们将在第4.3节的鞅设置中证明两者之间的一致性，即，在定理4.26中，我们显示了[对数S]=X，也就是说，oddt[对数S]t=Xt。考虑到二次变化的存在性和性质（在传统概率意义上）与鞅有着复杂的关系，将这种一致性与S的鞅性一起处理是有意义的。从今以后，我们将优先使用√Xto表示波动性，为了避免符号与方程0.1.4.2中首次引入的Heston波动性参数的波动性发生冲突，广义Heston子框架本节沿着本章开头所述的漏斗向下移动，将一般波动性建模框架从定义4.7减少到图2中的子框架之一。该子框架中的模型是Heston（1993）流行的随机波动率模型的推广，该模型在序言中非正式介绍。

具体而言，定理4.14演示了如何恢复该模型的价格过程分布。除了澄清前一节中定理4.4和推论4.5的结果外，本节的主要贡献是定理4.16和定理4.17中的条件，这些条件确保了力矩母函数（MGF）E【epXt】在此子框架内的存在，其中X是问题4.3的解。这些结果说明了定理4.4中的主导过程X是多么有价值，并且是本论文的第一个内在概率贡献，因为迄今为止，所有内容都可以在路径基础上简化为第2章和第3章中的无概率结果。尽管这些MGF存在结果本身具有信息性，但对于确定相应价格过程的马丁尼性S=exp（WρX）至关重要-十） 在第4.3节中，给出了通过定理4.20中提供的Novikov鞅条件得到的线。现在，我们回顾Heston（1993）的波动率模型，为推广做准备。经典的赫斯顿模型。像往常一样，让我们的空间(Ohm, F、 P）支持R+上的固定标准2D布朗运动W=（W，W）。从W构造，我们可以定义经典的赫斯顿模型，如下所示。为了完整性，可以引用著名的山田和渡边（1971）的pathwise unique4 A pathwise volatility modeling frameworkness结果，表明CIR SDE不等式4.8具有唯一的强解，因此这里指定的模型确实定义得很好。定义4.9（经典Heston模型）。对于固定参数σ、κ、θ、v>0，让过程v={Vt}t∈R+是CIR SDE的唯一解，取决于W，即验证dvt=σpVtdWt+κ（θ- Vt）dt，V=V.（4.8），然后，对于固定ρ∈ [-1，1]，让赫斯顿价格过程S={St}t∈R+由T定义：=经验ZtpVsdWρs-ZtVsds, Wρ：=p1- ρW+ρW。

（4.9）这一相对简单的模型自建立以来，已进行了大量分析，但它继续为一些最前沿的波动率建模发展提供信息，如El Euch&Rosenbaum（2019）的粗糙Heston模型及其与Gatherel、Jusselin&Rosenbaum（2020）的二次方差。考虑到这一点，令人惊讶的是，这个模型和随机ODE之间的关系在现在之前并没有被认真对待。显而易见的原因是，现有的ODE理论并没有立即为生成的随机ODE提供适定性，但第2章现在已经讨论了这个障碍。一个通用的赫斯顿框架。现已定义了一个建模框架，该框架构成定义4.7的子框架，其特征如图2所示。与赫斯顿模型的关系很快推迟到定理4.14，尽管通过将下面的方程4.10与上面的方程4.8进行比较，可以在Z：=Wandθ（t）：=θt.definition 4.10（广义赫斯顿框架）时直觉得出这一点。设θ是C（R+，R+）中的双射路径，Z={Zx}x∈R+C（R+，R）中的任何进程验证条件supx∈R+κx-σZx=∞对于参数σ，κ>0。

让随机场Y={Yt，x}（t，x）∈R+in G由yt定义，x：=σZx+κ（θ（t）- x） +v，（4.10）对于v≥ 0，设X={Xt}t∈R+是随机IVP x=Yt，x，x=0的唯一解，并让价格过程S={St}t∈R+由St定义：=exp（WρXt-Xt）对于固定ρ∈ [-1, 1].如果有帮助，将使用方程xxt=σZXt+κ（θ（t））总结该框架中的特定模型- Xt）+v，St:=exp（WρXt）-Xt）（4.11）4路径波动率建模框架但为了帮助与方程式4.8中的CIR SDE进行比较，请注意，我们可以将EVT=σZRtVsds+κθ（t）-ZtVsds+ 五==> dVt=σdZRtVsds+κ（θ（t）-Vt）dt（4.12），其中V：=X，右侧方程假设等效θ（t）=Rtθ（s）ds，这在定义4.10中技术上不需要，即θ不需要绝对连续。与赫斯顿的情况相比，Z：=Wandθ（t）：=θt，我们仍然不需要通过Z在（W，W）和Y之间施加alink，如第4.1节更一般的设置中所述。当然，有必要澄清定义4.10中的隐含主张，即任何此类字段Y不等式4.10确实存在于G中。从方程式4.10中可以明显看出，Y定义了C（R+，R）的arandom元素，但使用定义1.3中的G定义，我们需要1。Y0,0≥ 0 2. Y·，x急剧增加3。infx公司∈R+Yt，x<0 4。支持∈R+Yt，x>0。（4.13）现在1。Y0,0=v>0从Z=θ（0）=0，2开始。Y·，xis严格增加∈ R+，因为θ严格递增，3。infx公司∈R+Yt，x=-∞ < 每t 0∈ R+因为增长假设supx∈R+κx-σZx=∞ 最后是4。支持∈R+Yt，x=∞ > 每个X为0∈ 因为θ的双射性给出了支持∈R+θ（t）=∞. 请注意，这些检查与定理3.6中执行的检查一样，因为这里和那里的设置当然非常相似。

因此，我们显示了Y∈ G、 此外，定义4.10中的广义赫斯顿框架确实定义了定义4.7中的子框架。更具体地说∈ G告诉我们，定义4.10中的随机IVP是问题4.3的一个例子，因此累积方差过程X具有定理4.4中第3章的所有特性。我们将很快返回到其中一些属性，但现在澄清如何在这个广义的赫斯顿框架中恢复经典的赫斯顿过程。赫斯顿关系。现在，我们将阐明定义4.10中的广义赫斯顿框架与定义4.9中的经典赫斯顿模型之间的关系。除了参数σ、κ、v、ρ，请注意，我们的框架中的特定模型是通过路径和过程Z的选择来定义的。因此，这里的主要任务是明确做出这样的选择，从而产生与经典赫斯顿模型分布相等的价格过程。4路径波动率建模框架实现这一目标的主要工具是来自Dambis（1965）和Dubins&Schwarz（1965），但在这里如Revuz&Yor（1999）中的定理5.1.6所述。类似的陈述可以在Karatzas&Shreve（1998）和Ikeda&Watanabe（1992）中找到。定理4.11（Dambis，Dubins Schwarz）。设M是上的连续局部鞅(Ohm, F、 {Ft}t∈R+，P），M=0和[M]∞= ∞, 并通过Tt定义过程T：=inf{s>0：[M]s>T}。然后Bt:=mtt定义了一个验证B[M]t=Mt的FTt布朗运动。注意在这个结果中∈ 允许R+索引过滤{Ft}t∈R+和组成该过滤的过程T，单位为FTt。虽然在数学上可以接受，但这可能导致对过程M和T之间的关系及其物理相关性的直觉不佳。

除了讨论这些现有结果外，这就是为什么我们用变量x来索引我们的布朗运动W∈ R+代替；既要避免指标重复，又要强调这是一个空间变量的物理解释，如方程4.10所示。现在，我们要应用定理4.11的连续局部鞅是组件Mit：=Rt√VSDWIS定义4.9中的i=0，1，因此[Mi]t=RtVsd[Wi]s=RtVsd。如定理4.11所述，这需要a.s.极限【Mi】∞= 限制→∞RTVSD=∞. 尽管一旦我们在定义4.7的框架内表达了赫斯顿模型（使用定理3.3中X的无界性），就可以很容易地验证这一点，但这种论证将是循环的。这种循环可以通过将其定位到紧凑时间范围，然后将其扩展到完整性来避免。或者，也可以使用CIR过程的遍历性，一般在Papoulis&Pillai（2002）或Jin、Kremer&Rüdiger（2019）中有所涉及。也可以通过矩母函数进行证明，如下面引理4.12所述。除轻微的符号差异外，方程式4.14中给出的表达式与Dufresne（2001）和Carr、Geman、Madan&Yor（2003）中获得的表达式一致。引理4.12（积分CIR无界性）。让CIR处理V={Vt}t∈R+验证方程式4.8中的SDE。然后是convergenceRtVsdsa。s--→ ∞ 作为t发生→ ∞.证据确定随机变量序列{Xn}n∈Nby Xn：=RNVSD。我们将首先测试-第1次-→ θ为n→ ∞, 然后将其扩展到索赔。为此，moment4是每个变量n的路径波动率建模框架生成函数-1Xnis由E给出[epn-1Xn]=eДn+Дnv，其中Дn：=κθnσ-2κθσ对数cosh公司λn+κλsinhλn, ^1n：=2pn-1κ+λcothλn, （4.14）和λ：=pκ- 2σpn-1、我们可以限制p∈ R确保λ>0，但这自然会作为n来保证→ ∞.

现在可以直接检查Дnn→∞----→ 0，但不太直截了当→∞----→ pθ。为此，我们首先将以下n的线性展开式写成n→ ∞日志cosh公司λn+κλsinhλn=κn-σp2κ+ε（n），（4.15），然后利用进一步的展开式λn=κn-σp2κ+O（n-1） ，1+κλ=2+O（n-1） 和1-κλ=O（n-1） ε（n）n的要求→∞----→ log（1）=0从表达式ε（n）=log（1+κλ）eλn+（1）中变得清晰-κλ）e-λn2eκn-σp2κ！。（4.16）^1nn的权利要求→∞----→ 然后，pθ来自等式4.14中对κθnσ的抵消，即νn=κθnσ-2κθσκn-σp2κ+ε（n）n→∞----→ pθ。（4.17）因此我们发现E[epn-1Xn]n→∞----→ epθ。epθ是常数θ的矩母函数，我们得到n-第1次-→ θ为n→ ∞ 根据莱维的连续性定理。这提供了-1Xnp-→ θ、 还有n-1kXnka。s--→ θ为k→ ∞ 对于子序列{nk}k∈N、 假设序列{Xnk}k∈Nis非递减，这提供Xnka。s--→ ∞, 因为limk→∞Xnk<∞产生矛盾-1kXnka。s--→ 0 < θ. 所以我们展示了NRNKVSDSA。s--→ ∞ 作为k→ ∞,这扩展了toRtVsdsa。s--→ ∞ 作为t→ ∞ 鉴于RTVSD也是非递减的。数值试验支持直观估计ε（n）=O（n-1） 在等式4.15中，但利用等式4.16中的精确表达式显然有助于确定优先级ε（n）n→∞----→ 在这一点上，值得考虑引理4.12的证明，尤其是它与我们框架中的对应引理相比的相对复杂性。即使不直接应用定理3.3，这一对应关系如下：经典的赫斯顿随机场，x：=σWx+κ（θt-x） +v满意度信息∈R+Yt，x<0和supt∈R+Yt，x>0。

在路径基础上应用推论2.11，随机IVP解X在C（R+，R+）中具有双射路径。与引理4.12相反，很容易证明过程Xt=RtVsds严格递增，这意味着定理4.11中的T与逆X一致-证明引理4.13中使用的路径波动率建模框架的合理性。根据定义3.8后的讨论，如果V在间隔内不能为零，则X严格递增。但假设这样一个区间（a，b）会导致违反方程4.8中的SDE，因为它的读数为0=κθ（t-a） >0表示任何t∈ （a、b）。接下来的结果使用引理4.12将定理4.11应用于classicalHeston模型，我们将准备从定义4.10中的广义Heston框架中恢复该模型。我们尚未正确定义时间变化，涵盖了第4.3节，因此引理4.13中的描述目前可以认为是非数学的。引理4.13（经典Heston时间变化）。让W和V与定义4.9中的经典Hestonmodel相同，并定义Xt:=RTVSD。然后B={Bx}x∈R+定义Bx：=ZX-1xpVsdWs（4.18）是上的另一个二维布朗运动(Ohm, F、 P），该验证BXt=Rt√VsdWsover R+。证据设{Fit}t∈R+是i=0，1时各分量wi的自然过滤，定义局部鞅Mit：=Rt√VsdWison公司(Ohm, F、 {Ft}t∈R+，P）。这清楚地验证了Mi=0和[Mi]t=RtVsds=：Xt。从引理4.12，我们也有limt→∞RtVsds=[英里]∞= ∞,所以定理4.11可以应用于i=0，1中的每一个。这提供了Bx：=MX-1xd定义了一个验证BXt=Mt的布朗运动，这正是这里的说法。下一个结果为第1章开头的操作带来了精确的含义。定理4.14（经典赫斯顿恢复）。

让价格过程S={St}t∈R+源自定义4.10的广义Heston框架，在我们选择θ（t）：=θt和Z：=W.（4.19）的特定情况下，S的分布与定义4.9中的经典Heston过程的分布一致，参数σ、κ、θ、v>0和ρ∈ [-1, 1]. 事实上，如果这个广义Heston过程不是由布朗运动W构造的，而是由引理4.13构造的B（另外使用Z：=B），那么它与经典Heston过程是无法区分的。证据设V和S与经典Heston模型相同，因此V验证积分方程vt=σZtpVsdWs+κZt（θ- Vs）ds+v.（4.20）4路径波动率建模框架优先考虑引理4.13中的布朗运动B，并定义Bρ：=p1- ρB+ρBlike Wρ，我们可以等效地将方程4.20和价格过程写成方程4.9，即vt=σBRtVsds+κθt-ZtVsds+ v和St=expBρRtVsds-ZtVsds. （4.21）现在优先考虑过程Xt：=RTVSD，这将简化为方程4.11的特定情况：Xt=σBXt+κ（θt- Xt）+v，St：=expBρXt-Xt公司. （4.22）因此，S只不过是定义4.10框架内的特定模型，由B而非W构成，且θ（t）：=θt，Z：=B。因此，我们首先得出了不可区分性声明。分配声明随后用W不等式4.22替换B。在SDEs术语中，定义4.10框架中的每个模型都有一个独特的强解，因此S的分布对此类替换是不变的。为了完整性，我们必须验证经典Heston选项θ（t）：=θt和Z：=w验证定义4.10中的要求，即θ是C（R+，R+）中的双射路径，Z是C（R+，R+）中的双射路径，并验证supx∈R+κx-σZx=∞. 这种最终增长条件，即supx∈R+κx-σWx=∞, 是唯一的非平凡要求，但这是从布朗运动是a.s。

如Sato（1999）所述，在0时反复出现，这意味着每N>0，就存在x>Nκ-其中Wx=0，因此κx-σWx>N。从上述证明可以清楚地看出，该结果不仅恢复了赫斯顿价格过程，而且还恢复了其累积方差Xt：=RTVSD，事实上，这些过程（X，S）是联合的。解决方案映射。在定义4.10的广义Heston子框架中工作时，随机字段Y的规格被减少到参数σ、κ、v、ρ、apathθ和波动驱动过程Z的规格。值得涵盖这对解决方案图结果的影响，如适用于定义4.7更广泛框架的推论4.6。推论4.15。在广义赫斯顿定义框架4.10中确定参数σ、κ、v和pathθ。LetΦv，θ Φ包含路径Д，其中Д（0）=v和supt∈R+θ（t）-^1（t）=∞.然后将每个进程Z映射到随机IVP解决方案X∈ Φv，θ是紧集上的双射连续w.r.t.一致收敛。具体而言，当X：=σ时生成X-1.XX号-1台- κ（θ（X-1x）- x）- v. （4.23）4路径波动率建模框架该结果源自推论4.6，但第3点之后的连续性声明除外。在定理4.4中。注意，如果我们允许参数v是R+中的随机变量，则不会发生任何变化，这将把解集从Φv，θ中的过程扩展到推论4.6中的thoseinΦθ。除了等式4.23中给出的Z外，我们还需要随机选择v：=XT来生成所选的过程X∈ θ作为随机IVP溶液。正如推论4.6之后的讨论所述，回想一下满足条件的过程集支持∈R+θ（t）-X（t）=∞ 推论4.15比Φ宽，这验证了更自然的条件lim inf→∞Xt<∞.