空间不规则常微分方程及其路径解

否则，当w控制随机场Y={Yt，x}（t，x）的空间行为时，就会产生混淆∈很快引入R+，andis随后由随机IVP解X组成，如WρXin方程1.4中的Heston表示。为了保持一致性，我们将使用{Fx}x∈R+表示W的自然过滤，和{Gt}t∈R+对于不同的过滤w.R.t.，我们的价格过程是鞅。4.1一般价格流程框架问题1.4，我们现在要确定IVP解决方案的随机副本X。回想定理3.4，这个问题的解集Φ正是C（R+，R+）中的双射路径。价格过程S将通过具有几何布朗运动的组合从这些路径中获得，特别是S：=exp（WρX-十） ，所以我们称S的累积方差，Xinstantaneous方差和√X波动性。通常，Wρ是上的一维布朗运动(Ohm, F、 P）由W定义ρ：=p1- ρW+ρwf的某些相关性ρ∈ [-1, 1]. 还没有必要通过Y来约束X和W的关系。最后一点值得详细阐述。我们在这一阶段不会施加这样的限制，因为与其他框架不同，我们的框架的适配性并不需要它。例如，为了生存，It^ointegralRt√方程1.2中赫斯顿模型的VsdWρs要求V适应Wρ的自然过滤。只有在考虑鞅价格时，我们才设法将引入相应的约束推迟到定义4.23。延期的好处是，如果我们不在鞅约束下工作，例如，如果我们的应用是波动率预测而不是衍生品定价，那么我们不必检查定义4.23中的条件。

我们为这种自由付出的代价是，在完全的普遍性中，Y和W仅仅是同一空间上的随机元素(Ohm, F、 P），4路径波动率建模框架相关性ρ和过程Wρ在理论上是多余的。然而，我们选择继续使用这些定义我们的价格过程，因为在我们的应用中，我们将与方程式1.1中的介绍一致地使用它们。也就是说，我们将使用ρ来控制价格S与其波动性之间的相关性√十、 通常被称为不公平市场的杠杆效应。这种影响可以在图16中的货币隐含波动率偏斜中检测到，如方程4.78所示，也可以在S和V路径中检测到：=Xin图22。从这种松散的描述中产生的一个问题是：X（和S）在什么意义上应该被视为一个真正的随机过程，例如，X实际上从哪个函数拓扑中定义了一个可测量的映射(Ohm, F、 P）？回想定理3.3，问题1.4的解映射在G C（R+，R）和C（R+，R）w.R.t.紧上一致收敛的范数k·kRd+。所以这个解映射在诱导σ-代数（拓扑）之间是可测的。所以提供了函数g的随机对应项∈ 问题1.4中的G可从(Ohm, F、 P），那么X（和S）也将是。g的随机对应项∈ G称为随机场，在定义4.1中介绍。我们之所以援引上述定理3.3，是因为我们可以，并且可以直接建立X和S的可测性。为此，可以使用一系列（可测量的）带消失网格的前向Euler多边形过程，其收敛性由定理2.20保证。这种方法反映了Han&Kloeden（2017）第2.1.2节，其中使用了Picard Lindel"of序列，因为我们的函数对应于∈ G是空间上的Lipschitz。随机字段和IVP。

在这一部分中，说明了问题1.4的随机对应项，为此我们引入了连续随机场。在我们的设置中，这些将是C（R+，R）的随机元素，但其他域的含义将很清楚。我们使用旋转Y={Yt，x}（t，x）∈Barndor Off-Nielsen et al.（2018）的R+表示这些，尽管存在“范围随机”的应用。现在回想一下定理3.3中使用的C（R+，R）上的范数k·kR+，它导出了紧集上一致收敛的拓扑。定义4.1（连续随机场）。设连续随机场Y={Yt，x}（t，x）∈R＋是C（R＋，R）的任意随机元。也就是说，从(Ohm, F、 P）到具有由C（R+，R）上的范数k·kR+诱导的Borelσ-代数的setC（R+，R）。4使用连续随机场（以下简称随机场）、随机ODE和IVP及其解决方案的路径波动率建模框架可定义为其非随机对应物的自然延伸。我们确定了所有R+的解决方案，因为我们最感兴趣的是像问题1.4这样的IVP，其中最大的解决方案是全局的。将其简化为R+的紧凑子集很简单。定义4.2（随机IVP）。对于随机场Y={Yt，x}（t，x）∈R+接通(Ohm, F、 P），调用astochastic进程X={Xt}t∈R+如果x a.s.veri fiesxt=Yt，Xtover R+，则随机ODE“x=Yt，x”的解。若X=0，则称X为随机IVP的解‘X=Yt，X，X=0’。如第1章所述，我们的定义与Strand中随机ODS的“SP”（样本路径）公式（1970）一致，该公式基于作者的博士论文Strand（1968）。这应该与Han&Kloeden（2017）中给出的定义形成对比，该定义与Soong（1973）和Sussmann（1978）的定义一致，所有定义都扩展了Srinivasan和Vasudevan（1971）的定义。

具体而言，使用随机过程Z={Zt}t∈R+和函数h∈ C（R，R），然后Han&Kloeden（2017）会问随机微分方程X={Xt}t∈R+验证R+上的x=h（Zt，x）表达式，即Xt=h（Zt，Xt）。我们在第1章中讨论了为什么这对波动率建模过于严格，因为即使在方程1.4的赫斯顿情况下，我们也有x=h（t，Zx），所以Xt=h（t，ZXt）。经典的随机常微分方程理论有充分的理由避免这种情况，因为h（t，Z·）型最理想（随机）函数违反了依赖于适定性性质的Lipschitz条件。在Heston情况下，h（t，Z·）继承了布朗运动的正则性，因此只有（0，）中的阶数是h"older连续的。这种推理激发了宋楚瑜（1973）关于空间李普希兹随机赋的类似悲观言论。根据第4.2节的定义，本章中考虑的问题类别可能很明显，但在澄清其适当性之前，值得明确说明。调用子集G 定义1.3中的函数的C（R+，R），第2章和第3章中的大多数结果适用。问题4.3。固定随机字段Y={Yt，x}（t，x）∈R+是集合G中的a.s.那么f fina随机过程X={Xt}t∈求解随机IVP x=Yt，x，x=0除以R+。对于每个结果ω∈ Ohm, （非随机）IVP x=Yt，x（ω），x（0）=0，然后a.s.提供问题1.4的示例x=gω（t，x），x（0）=0，给定a.s.gω（t，x）=Yt，x（ω）∈ G、 从路径波动率建模框架概率的角度来看，我们对“修复”的使用。然后……\'应注意问题4.3。这是因为我们处于特权地位，我们可以首先确定Y，并且能够找到解决方案x，而不必同时寻找这对夫妇（x，Y）。借用SDE的术语，我们只寻求独特的强大解决方案。

如Cherny&Engelbert（2005）的图1.1所述，如果在G中发现任意Y，这是“最佳可能情况”。与此相关的是，每当我们提到像X这样的随机过程，例如问题4.3的唯一解，我们通常指的是一类不可区分的随机过程。只有定理4.4明确承认这一点，通过构造问题4.3的一个解X，并澄清任何其他X*无法区分，即a.s.Verifies X*= 十、 得体。考虑到问题4.3中的随机IVP仅由G中的随机场和a.s.驱动，我们可以利用前两章中的无概率分析。下一个结果明确了定理3.3对问题4.3的后果。此后，我们将在明确的情况下省略“a.s.”的重复，例如写Y∈ G、 这样的假设意味着集合{ω∈ Ohm : Y（ω）∈ G} 是可测的，即在F中。反过来，满测度集的任何可数交集都可以通过σ-代数的性质来测量，并通过方程1.15保持满测度。正如下一个证明所示，这正是为什么我们的无概率理论可以在路径基础上应用，以获得a.s.结果的原因。定理4.4（问题4.3的适定性）。OREM 3.3中适用于问题1.4的解决方案的所有无概率陈述，在a.s.基础上适用于问题4.3的解决方案，即适用于随机IVP x=Yt，x，x=0和Y的解决方案∈ G、 具体而言：1（全局存在性和唯一性）。存在唯一的解决方案X={Xt}t∈任何此类随机IVP的R+。此解决方案在集合Φ中有路径 定义1.5中的C（R+，R+）；2（上限）。这个解X由过程X={Xt}t控制∈R+defined byXt=inf{x>0:Yt，x<0}，其路径集Φ 定义1.6中的D（R+，R+）；3（持续依赖）。

问题4.3的解映射是连续的，从G到Φw.r.t。紧集上的一致收敛。也就是说，如果{Yn}n∈n生成解{Xn}n∈N、 肯塔基州- YnkR+n→∞----→a、 s.0==> kX公司- XnkR+n→∞----→a、 s.0。（4.1）4路径波动率建模框架证明。让子集Ohm* Ohm 结果的定义Ohm*:= {ω ∈ Ohm : Y（ω）∈ G} 。Giventhat Y∈ 假设我们知道这个集合Ohm*具有全尺寸，即P[Ohm*] = 1、对于每个ω∈ Ohm*, （非随机）IVP x=gω（t，x）：=Yt，x（ω），x（0）=0构成问题1.4的一个例子，因此符合定理3.3的适定性结果。特别是对于每个ω∈ Ohm*, 该IVP有一个唯一的解Д=Дω，该解以路径Д=Дω为界。检查（Д，Д）∈ Φ×Φ在定理3.3和这些集合的定义中很简单。现在，简单定义每个ω的X（ω）：=Д和X（ω）：=Д∈ Ohm*, 进程X和Xare使用第1点中声明的属性构造。和2。在这里技术上还有其他流程X*这解决了问题4.3，但假设这些字段与X不可区分，则提供了Ohm*当违反定理3.3中的唯一性陈述时，使用正测度。所以不可区分X*= 确保X。方程4.1中的连续依赖性陈述以类似的方式遵循定理3.3对子集的应用Ohm* Ohm 全面衡量结果。具体而言，我们可以定义Ohmn： ={ω∈ Ohm : Yn（ω）∈ G} ，则，Ohm*:= ∩nOhmn∩{ω ∈ Ohm : kY（ω）-Yn（ω）kR+n→∞----→ 0}（4.2），然后得到kX（ω）-Xn（ω）kR+n→∞----→ 每个ω为0∈ Ohm*应用定理3.3。ProvidedYn公司∈ G和kY-YnkR+n→∞----→a、 s.0，然后自Ohm*是完全测度集的可数交集，我们有P[Ohm*] = 1根据方程式1.15。

因此，我们展示了kX- XnkR+n→∞----→a、 s.0。除了等式4.1中给出的连续性陈述外，我们也可以使用定理3.3来获得与不同随机元素的相同结果无关的陈述，而是与固定元素的不同结果相关的陈述。E、 g.对于结果{ωn}n∈N Ohm*,kY（ω）- Y（ωn）kR+n→∞----→ 0 ==> kX（ω）- X（ωn）kR+n→∞----→ 0。（4.3）该路径陈述与方程3.9中的无概率陈述不同，只是因为它适用于完整度量集Ohm*, 并且能够在一个明确的完整度量集上做出这样的陈述，这就是为什么我们将我们的框架描述为“路径”本身。然而，方程式4.1中的陈述比方程式4.3更具实用价值。例如，假设我们想要模拟一个随机的IVP解Xb，但不能模拟Y。那么我们可以使用近似场{Yn}n∈Nand至少生成收敛序列{Xn}n∈N、 4路径波动率建模框架解决方案空间。现在，我们澄清了问题4.3的解决方案图的另外两个属性，如第3点。在定理4.4中，而是从第3章推导而来。这些结果没有提供证明，因为它们分别来自定理3.4和定理3.6，就像定理4.4来自定理3.3一样。也就是说，通过定义适当的完整度量集Ohm*, 然后对每个结果ω应用定理3.4和定理3.6∈ Ohm*.扩展使用Д-1在定理3.4中，我们现在让过程X-1={X-1x}x∈R+表示任意X的唯一逆∈ Φ，类似问题4.3的解决方案。这个逆函数定义得很好，在C（R+，R+）中有双射路径，如X和veri fies X-1Xt=t和XX-1x=x表示（t，x）∈ R+。推论4.5（解决方案集）。问题4.3的解集正是所有随机过程X={Xt}t∈R+路径为Φ。

特别是，筛选任何进程＝{t}t∈R+，路径为C（R+，R），然后每个X∈ Φ求解随机IVP x=Yt，x，x=0，当t，x：=XX时-1x+θt- θX-1x。（4.4）此随机IVP提供了问题4.3的一个示例，即Y∈ G、 当θ随supt严格增加时∈R+θt-Xt=∞. 在这种情况下，X是随机IVP的唯一解决方案。请注意，对于每个固定的x∈ R+，方程4.4中随机场的时间结构完全由过程θ决定。下一个结果来自定理3.6，告诉我们，如果我们将这个过程θ简化为固定函数，那么问题4.3的解集不会受到太大影响。具体而言，解集Φ简化为子集中有路径的所有随机过程Φθ Φ在定理3.6中定义。如下文所述，任何这样的子集θ都包含所有路径θ∈ Φ，附加lim inft属性→∞Д（t）<∞.推论4.6（解映射双射性）。修正任何严格递增函数θ∈ C（R+，R）带supt∈R+θ（t）=∞. LetΦθ Φ包含验证支持的路径∈R+θ（t）-^1（t）=∞, 让Gθ G包含表示为G（t，x）的函数G：=θ（t）- w（x）表示某些w∈ C（R+，R）带w（0）≤ 0和supx∈R+w（x）=∞. 然后，地图将每个随机字段Y∈ Gθ到溶液X∈ 问题4.3的情况x=Yt，x，x=0的Φθ是双射的。与定理3.6的证明一样，唯一字段Y∈ 生成所选processX的Gθ∈ Φθ作为问题4.3的解，现在用过程Z={Zx}x给出∈R+byYt，x：=θ（t）- Zx，Zx：=θ（X-1x）- XX号-1x。（4.5）4路径波动率建模框架该过程的路径为C（R+，R）和满意度Z≤ 0和supx∈R+Zx=∞. 推论4.6中的solutionmap双射性当然补充了此映射从Gθ到Φθw.r.t连续。紧集上的一致收敛，如第3点所示。定理4.4。

这样的领域并不常见∈ 方程式4.5中的Gθ与示例2.2中首次引入的函数inFθ密切相关，并包含方程式2.1中定义的赫斯顿情况。我们将提倡使用此类字段Yt，x：=θ（t）- zxf对于波动率建模更为普遍，其中θ∈ C（R+，R）严格增加，支持∈R+θ（t）=∞, Z∈ C（R+，R），Z≤ 0和supx∈R+Zx=∞. 这是因为推论4.6指出，即使我们对一个随机场的时间结构进行了x检验∈ G通过函数θ，问题4.3的解集仅简化为θ中的过程。所有这些过程都满足supt∈R+θ（t）- Xt=∞,由supt保证∈R+θ（t）=∞ lim输入时→∞Xt<∞. 鉴于我们将简要说明流程√X要成为价格过程的波动性，此条件必须满足→∞Xt<∞考虑到lim inft→∞Xt=∞ a、 这显然是不现实的。现在回顾定义3.8中的集Φ和以下讨论。这组特征是瞬时方差过程，我们可以用问题4.3理论建模。因此，如果我们使用Yt型场，x=θ（t）-ZX我们可以对任何X进行建模，从而对波动性进行建模√十、 哪些信息满足要求→∞Xt<∞ 和限制→∞RTXSD=∞, 间隔内不为零。既然我们理解了为什么问题4.3对波动率建模如此有希望，我们最终准备好正确定义目前存在此问题的建模框架。显然，我们还没有在路径基础上整合所有适用于问题4.3的无概率结果。其余部分，如定理3.3中的模拟收敛和定理3.17中的退出时间限制，将在需要时引入。价格流程框架。在本节开始时，我们描述了建模价格过程S={St}t的一般框架∈R+，通过表达式S=exp（WρX-十） 。

该框架在定义4.7中有适当定义，具体取决于问题4.3，该问题具有唯一的解决方案X={Xt}t∈R+根据定理4.4。根据这一定义，我们最终可以调用√Xvolatility在此框架中，然后将该框架更好地描述为“一般波动率建模框架”，如图2.4的维恩图所示，路径波动率建模框架定义4.7（价格过程框架）。让空间(Ohm, F、 P）支持R+和随机场Y上的二维布朗运动W=（W，W）∈ G、 设X={Xt}t∈R+是随机IVP x=Yt，x，x=0的唯一解，然后定义价格过程S={St}t∈R+简单地由St表示：=exp（WρXt-Xt），其中Wρ：=p1- ρW+ρwf对于某些固定ρ∈ [-1, 1].与方程1.5中的赫斯顿模型表示一样，该一般框架中s和X的特定模型将由它们唯一验证的方程总结，命名为Xt=Yt，Xt，St：=exp（WρXt-Xt）。（4.6）我们已经在本节开头讨论了为什么这些过程X和sar确实是富饶的随机过程；因为他们都从(Ohm, F、 P）对于具有Borelσ-代数的集C（R+，R），其特征是紧集上的一致收敛。事实上，这些映射在这个意义上是连续的，如果(Ohm, F、 P）适当定义。E、 g.出租(Ohm, F、 P）是支持布朗运动W=（W，W）和随机场Y的正则积空间，因此Ohm := C（R+，R）×C（R+，R），然后通过将等式4.3中的假设扩展到乘积收敛（kW（ω））来确认S的连续性- W（ωn）kR+，kW（ω）- W（ωn）kR+，kY（ω）- Y（ωn）kR++n→∞----→ (0, 0, 0).（4.7）由此我们得到kS（ω）-S（ωn）kR+n→∞----→ 0提供{Y（ωn）}n∈NG、 在定义4.7的框架内，假设Y∈ G、 请注意，尚未对W和Y之间的关系施加任何约束。