空间不规则常微分方程及其路径解

除了简单的模型外，波动率建模通常需要这种广义的模拟收敛，我们将在第4章中依赖它进行应用。虽然可以参考计算ODE文本，如Griffiths&Higham（2010）和Han&Kloeden（2017）来了解Euler方法和扩展，但相关的Cauchy-Peanoexistence定理证明及其依赖性，如Coddington&Levinson（1955）中所述，将使读者更好地了解定理2.20。这是因为我们的目标不是任何类型的fancysimulation方案，而是目前适用于任何f∈ F、 这是尽可能简单的，尽管刚才提到了必要的概括。起初，这里的定理2.20似乎可以遵循定理2.18的连续依赖结果，反之亦然。但在这里，正在模拟实际多边形，这些多边形是不可区分的，只能被视为解决由不连续函数驱动的IVP，即Carathéordory意义上的IVP。定理2.18==> 定理2.20要求定理2.18的扩展适用于不连续函数，如fn∈ D（R，R）。通过简单地将Lebesgue微积分应用于（绝对连续的）多边形，可以避免这种获得定理2.20的方法。在另一个方向上，我们只得到定理2.20==> 定理2.18如果在定理2.20中，我们取网格极限kπnk→ 0服用前fn→ f、 但这种迭代限制实际上无法在计算机上实现。现在，我们定义IVP的前向Euler多边形。为此，调用一个无界集π：={tk}k∈N [τ, ∞), τ=：t<t<，[τ]的划分，∞), 设∏（[τ，∞)) 成为这些对象的集合。对于T∈ (τ, ∞), 定义网格kπk[τ，T]：=maxk∈N{tk+1∧T-tk公司∧T}。最后，我们写出Дπ∈ 自动控制 强调以下多边形的绝对连续性。定义2.19（前欧拉多边形）。

修复f∈ C（R，R）和π：={tk}k∈N∈ Π([τ, ∞))对于某些τ∈ R、 例如，可以设置tk：=τ+k 对一些人来说 > 0、定义多边形Дπ∈ AC（[τ，∞), R） 使用Дπ（τ）：=ξ∈ R、 然后在每个间隔（tk，tk+1）上递归设置Дπ（t）：=Дπ（tk）+（t- tk）f（tk，Дπ（tk））（2.44）注意到↓tk公司--→ 每k的Дπ（tk）∈ N、 以及∪k∈N（tk，tk+1）=（τ，∞). 对于IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ，这样的路径Дπ将被称为前向Eulerπ-多边形。2空间不规则常微分方程的适定性在所有[τ，∞), 即使最大解决方案∈ C（[τ，T*), R） 相关IVP的x=f（t，x），x（τ）=ξ在有限时间内爆炸，例如满足t*< 十、*:= 限制↑T*^1（t）=∞. 理论上，我们的前向Euler多边形Дπ不能在紧致的[τ，T]上爆炸，因为这将需要从π到[τ，T]的一系列时间点。实际上，Дπ当然可以超过计算机的最大值。现在，我们给出了问题1.2的前向Euler多边形的收敛结果。它的证明使用了函数f的连续模∈ F其中，在紧X上 R、 is definedw（R）=wf，X（R）：=sup{| f（t，X）- f（t，x）|：：（t，x）- （t，x）|<r，（ti，xi）∈ 十} 。（2.45）对于任何此类f和X，w的存在和极限w（r）r↓0--→ 0从f开始跟踪∈ C（R，R）。定理2.20（前向Euler收敛）。假设{fn}n∈N F和fn（τ，ξ）>0。Forpartitions{πn}n∈N Π([τ, ∞)), let^1n∈ AC（[τ，∞), R） 为IVP x=fn（t，x），x（τ）=ξ，且设Д的前向Eulerπn多边形∈ C（[τ，T），R）是IVP x=f（T，x），x（τ）=ξ的唯一最大解∈ （τ，T）和X∈ （Д（T），∞),kf公司- fnk[τ，T]×[ξ，X]，kπnk[τ，T]n→∞----→ (0, 0) ==> k^1- Иnk[τ，T]n→∞----→ 0.（2.46）证明。与定理2.18中的IVP解不同，给定的多边形Дnneed不能像Д那样严格递增，实际上可能会违反引理2.6中的界限，例如。

对于某些n和t>τ，我们可以找到νn（t）<ξ。然而，与定理2.18一样，fix T∈ （τ，T）和X∈ （Д（T），X），然后定义矩形X：=[τ，T]×[ξ，X]。现在，我们将澄清，在某个子区间[τ，t] [τ，T]，我们仍然发现（T，ν（T））∈ X表示非常大的n。由于f（τ，ξ）>0且f（·，ξ）严格增加，则f（t，ξ）>0超过[τ，t]，且f的连续性提供了一个矩形X:= [τ，T]×[ξ，ξ+]  其中f（t，X）>0。使用KF-fnkX公司n→∞----→ 0，可以将w.l.o.g.扩展到每n，即我们可以假设fn（t，x）>0表示所有提供的n（t，x）∈ 十、. 正如定理2.18所示，更广泛的收敛性kf- fnkXn→∞----→ 0还允许我们假设所有n的w.l.o.g.a边界kfnkX<M。矩形条X将成为多边形的反射屏障，有效地增大n，重新建立边界φn（t）≥ ξ为n→ ∞. 要了解这一点，请考虑νnover[τ，t]，其中t：=τ+M-1（X- ν（T））如定理2.18所示。由于kfnkX<M，对于空间不规则odes，|ncanh2适定性不能达到[τ，t]上X的顶部，但它可以达到底部。然而，要拉动此力，必须首先从X的顶部逃逸, 找到fn（t，x）<0的点。对于νnto，则到达X的底部需要X的交叉在一个向前的欧拉步骤中，因为fn（t，x）>0 inX. 一旦模拟网格足够小，特别是oncekπnk[τ，t]<M，这就不可能了-1.. 因为这是由假设n保证的→ ∞, 我们现在可以假设。l、 o.g.它适用于所有n，因此，至少在[τ，t]上，所有的νnare现在包含在X中，现在得到k-Иnk[τ，t]n→∞----→ 0使用了方程2.39中的一般方法，但细节与定理2.18中的略有不同，因为Дn（t）6=ξ+Rtτfn（s，Дn（s））ds，即Дn不是IVP解，而是前向Euler多边形。

然而，给定∈AC（[τ，∞), R） ，那么我们至少有ξn（t）=ξ+R[τ，t]Дn（s）ds，可以写为Дn（t）=ξ+Z[τ，t]f（s，νn（s））+λn（s）ds，λn（t）：=Дn（t）- f（t，νn（t））。（2.47）注意λnhere与方程式2.40之间的细微差异。对于每个t∈ [τ，T]，设tn=tn（T）：=最大{tk∈ πn：tk<t}表示分区πn中的时间点，它正好在t之前，因此0<t- 田纳西州≤ kπnk[τ，T]和Дn（T）=fn（tn，Дn（tn）），无论在何处出现。将方程2.47中的该等式代入λnf，以代替a.e.t∈ [τ，t]我们得到|λn（t）|=| fn（tn，νn（tn））- f（t，Дn（t））|≤ |fn（tn，Дn（tn））- f（tn，Дn（tn））|{z}≤kfn公司-fkXn公司→∞----→0+| f（tn，Дn（tn））- f（t，νn（t））|{z}≤w(√1+Mkπnk[τ，T]）n→∞----→0（2.48），使用三角形不等式，界限|（tn，νn（tn））-（t，Дn（t））|<√1+Mkπnk[τ，T]，连续模量w=wf，xf来自方程2.45，满足w（r）r↓0--→ 0、确保kΝnk[τ，t]<|ξ|∨ |X |和kИnk[τ，t]<M，集合{Иn}n∈Nis在[τ，t]上等边界和等连续。就像定理2.18的证明一样，假设limitkД-Иnk[τ，t]n→∞----→ 通过调用Ascoli引理和limitR[τ，t]λn（s）dsn，违反0会导致矛盾→∞----→ 方程式2.47中的0获得一个极限值*:= 利姆→∞Дnk6=Дwhichveri fiesД*（t） =ξ+Rtτf（s，Д）*（s） ）ds如^1。

因此，我们必须得出kИn的结论- νk[τ，t]n→∞----→ 0，同样在定理2.18中，这可以逐步扩展到任何[τ，tk∧ T]含tk：=τ+kM-1（X-^1（T）），提供了kДn的权利要求-νk[τ，T]n→∞----→ dT后0-τt-τe阶跃。2空间不规则常微分方程的适定性∈N Π([τ, ∞)) 在定理2.20中，我们可以自由地将方程2.46中的假设解耦为lim（n，m）→(∞,∞)（kf- fnk，kπmk）=（0，0）。通过使用上述定理2.20和前一节中的定理2.18，可以很容易地确定该联合极限可以用迭代方差limn代替→∞limm公司→∞或limm→∞画→∞. 然而，正如前面所讨论的那样，这种迭代限制无法在计算机上实现，因此其本身并没有实际用途。为了说明定理2.20，在图9中，我们复制了图4，但也显示了正向Euler多边形的序列，该序列与IVP解相一致。使用二元和三元分区，由πn定义：={km-n： k级∈ N} 对于m=2，分别为3。为简单起见，fn：=对于所有n，其中f（t，x）：=σw（x）+κ（θt- x） +v是图3.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0n=0n=1n=2n=4n中的赫斯顿函数=∞0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0图9：左面板显示了在使用二元分区时收敛到图4中IVP解的前向Euler多边形。右侧面板重复左侧，但使用替代三元分区，因此收敛速度更快。通常，如果不对f（t，x）的空间正则性施加约束，我们就无法限制图9所示的收敛速度：=σw（x）+κ（θt- x） +v通过w。

尽管如此，当我们在新的波动率模型和第4.5节中现有的波动率模型之间进行比较时，衡量我们的前向Euler模式2对空间不规则常微分方程的适定性所带来的误差仍然很重要。在图16和图17中，所比较的指标是隐含波动率，我们发现4096条模拟路径足以将所有模拟隐含波动率控制在分析生成的赫斯顿波动率的0.1以内。这4096条路径中的每一条都取决于我们定义2.19中的前向Euler方案，在附录中，我们提供了简洁的python代码，该代码在10年内以4096个时间步生成一条这样的路径，即使用 := 10/4, 096 ≈ 定义2.19中的0.0024。如附录所述，此代码在2.3 GHz Intel Core i5 MacBook Pro上运行需要75毫秒。本章到此结束，问题1.2的适定性处理也到此结束。虽然这里很容易包含对这个问题的一些小修改，特别是考虑到将f（τ，ξ）>0的假设放宽到f（τ，ξ）的微妙可能性≥ 0，这似乎更好地放在下一章中，探讨解决方案空间及其限制。3解决方案空间和退出时间限制3解决方案空间和退出时间限制本章有三个主要目标。

首先，在第2章的适定性分析之后，定理3.1提供了一个适用于问题1.2的条件，该条件保留了迄今为止的结果，并且也适应了初始值，其中φ（τ）=f（τ，ξ）=0，而不是f（τ，ξ）>0。尽管建模结果可以忽略不计，但定理3.1都在ourIVPs的解空间中注入了和谐，并提供了一个具体的解释，解释了为什么定理2.17的最大唯一性结果成立，尽管f（t，ν（t））=0在任何未来时间t>τ都是可能的。与第2章一样，子域[τ，∞) × [ξ, ∞)  Rof a函数f∈ F C（R，R）决定解决方案的行为，因此为了避免重复假设，第3.1节的实用结论是简化正在考虑的IVP，由相关函数g驱动∈ G C（R+，R），如等式1.6中的赫斯顿示例。在谨慎处理初始值后，仅考虑x=g（t，x），x（0）=0类型的IVP。问题1.4中有这样的IVP特征，由此为论文的其余部分奠定了建模基础。本章的第二个目标是精确理解这些IVP的解集，以及如何通过它们的简单序列产生某些不连续的极限点。该分析将我们带到第3.4节，通过定理3.17，该节为理解时间积分CIR过程和Lévy从属函数（如方程1.10中的IG过程）之间令人惊讶的极限关系提供了基础。但更一般而言，提供了一个简单的方法来构造任何严格递增的无界路径D（R+，R+），作为直观的“退出时间”度量空间（Φ，DΦ）上IVP解的限制。本章的最终目标是揭示此类限制的后果→∞----→ 复合路径w的φon（Φ，dΦ）o ^1n，对于任何w∈ C（R+，R）。

复合收敛Wo ^1nn→∞----→ wo ^1在点方向a.e.发生，但在斯科罗霍德的拓扑图上被违反，因为wo ^1ncan将瞬时“偏移”发展为n→ ∞. 因此，在第3.5节中，引入了ahaudor ff度量空间（E，dE），在此空间上建立了图的收敛性。这为回答关于Heston和Niggrelationship的序言中的问题提供了基础，最终将定理0.1扩展为一个实际有价值的函数结果。3解决方案空间和退出时间限制有了这一路径理论，我们将准备进入第4章的概率框架，其中迄今为止与IVP解决方案Д相关的结果将应用a.s.计算方差和价格过程X和s。如第1章所述，这些将通过组合s=exp（WρX）进行关联-十） ，因此我们强调复合路径。3.1简化问题在第2章中，只有IVPs x=f（t，x），x（τ）=ξ和初始值（τ，ξ）∈ rf（τ，ξ）>0，这意味着解决方案Д验证Д（τ）=f（τ，ξ）>0。然而，定理2.17的最大唯一性结果适应了时间t>τ，其中φ（t）=f（t，φ（t））=0，这表明了一些自然发生的条件，其中f（τ*, ξ*) = 0表示某些τ*> τ和ξ*> ξ、 然而，转换IVP x=f（t，x），x（τ）的唯一性*) = ξ*仍然有效。事实上，定理3.1的一个结果是：提供点（τ，ξ）∈ Ris可通过严格增加（“历史”）实现∈ C（（T，τ），R）解决了终值问题x=f（T，x），x（τ）=ξ，那么相应的初值问题存在唯一的最大解（“未来”），无论f（τ，ξ）=0与否。

当f（τ，ξ）=0时，这种自然稳定性是可靠的，给出了即将出现的唯一性反例。在这些反例和定理3.1的证明之后，新的IVP函数集 第1章中介绍的C（R+，R）已得到适当定义，这将在本章后面优先考虑，并纳入第4章。虽然这组G不太容易定义为F，但相关的最大解Д肯定更容易分析。这主要是因为它们总是构成从R+到R+的不同双射，所以体极大解实际上是全局的。如前所述，如果需要从拓扑上理解解决方案空间，这在转移到概率设置时非常有用。非唯一性示例。回想一下通过x=f（t，x）给出的IVP唯一性的常见反例：=| x |α，x（0）=0对于某些α∈ (0, 1). 验证这两个全球解决方案是很简单的∞（t） ：=0和Д（t）：=（（1-α） t）1-α、 将这些结合起来，得到其他的，νT（T）：=φ∞（t） t型∈ [0，T），Д（T- T）T∈ [T，∞),（3.1）3任何T的解空间和退出时间限制∈ (0, ∞). 事实上，收敛性ДTT↓0--→ Д和ДTT↑∞---→ φ∞然后均匀放置在压实物上。提出这个例子的目的是要澄清，在我们的例子中，f∈ F、 我们不需要担心沿着直线likex=0的解的这种转换。这是因为这样的线，其中f（·，x）必然为零，被每个f（·，x）严格递增的条件所排除。

然而，请注意，当这个IVPI适应于x=sgn（x）| x |α，x（0）=0时，我们会得到额外的负解，如-φ.这些正是我们需要担心的非唯一性示例。为了将这些情况彻底扩展到我们的设置中，我们可以考虑F（t，x）类型的函数：=Ia，b（t）| t |α+Ic，d（x）| x |β，Ia，b（t）：=at<0+bt≥a、b、c、d为0（3.2）∈ R和α、β∈ (0, 1). 请注意，f∈ 如果a<0<b，则假设everyf（·，x）严格增加。当（c，d）=(-1，1），有趣的是，我们仍然可以得到非唯一性，而不需要这个排序c<0<d。为了清楚起见，我们将只考虑情况f∈ 用简化表示F（t，x）：=t+Ia，b（x）p | x |（3.3）对于某些a，b∈ R、 注意，当τ>0时，IVP x=f（t，x），x（τ）=0提供了问题1.2的示例，因为f（τ，0）=τ>0，而τ=0给定f（0，0）=0。假使-3=：a<0<b：=1和τ=0，我们得到两个抛物线解Д±（t）：=±t，这很容易确定。但即使我们-3=：a<b：=-1<0，所以Ia，bn的符号在x=0的直线上不再变化，我们仍然得到两个解，即ν+（t）=tandД-（t） =-t、 图10中展示了这些示例的解Д±以及路径φ（x）：=-引理2.3中的Ia，b（x）p | x |，其中f（φ（x），x）=0。因此，当τ>0时，第2章的结果适用于方程3.3中的这些例子，当τ=0时，很少有人这样做。这清楚地表明，我们一般不能将问题1.2陈述中的条件f（τ，ξ）>0放宽到f（τ，ξ）≥ 0，并保持适定性。在这种唯一性分解之后，很容易构造出“不连续依赖”的例子，这违反了定理2.18。