空间不规则常微分方程及其路径解

在上述推理中，与传统的论述相比，我们故意淡化了现实世界中度量P在衍生品定价中的作用。回想一下，我们假设S是连续时间t上的随机过程∈ R+，尽管它为离散发布的价格定义了一个模型。因此，真实世界属性的经验验证，如P[A]=0，而不是P[A]=10-理论上是不可能的。我们继续按照埃米尔·博雷尔（EmileBorel）的这句话，也在Cont&Tankov（2003）中。备注4.18。也许可以证明某些[关于概率的]定理，但它们可能没有任何意义，因为在实践中，不可能验证假设是否充分。在实践中，衍生工具定价者通常专注于直接开发和利用成功的鞅模型，即描述鞅测度，而忽略了一些现实世界的影响。最近byrough volatility提供了一个罕见的成功反例。在这种情况下，研究人员开发了鞅模型，例如Bayeret al.（2016）的鞅模型，以特别适应他们的真实世界信念，即波动性可以表现出比布朗运动低得多的霍尔德规律，参见Gatheral et al.（2020）。无论出于何种动机，我们通常评估这种新鞅模型的实际性能的方式是通过它们协调更大的现有现实世界衍生品报价集的能力。回想一下，衍生价格∏t（#）=EQ[| Gt]在P下定义了一个随机过程，与St类似。但在Q下，通过应用条件期望的塔式属性，该价格∏t（#）被视为与St共享鞅属性，EQ[∏t（#））：=EQ[EQ[| Gt]=EQ[#Gt]=：t（#）。（4.43）4路径波动率建模框架通过这种方式，我们可以认为衍生产品价格与股票价格一样。

而且，正如能够以两种不同的价格交易一只股票将构成最简单的套利一样，设定与可靠的现有报价不一致的衍生品价格也将构成最简单的套利。这就是将现有价格的调整作为绩效衡量的模型。Indeed这个度量可以是循环的，但以这种方式（无意中）使用它表明了缺乏选择敏感导数集的能力，这可能更像是一门艺术而非科学。在继续之前，值得指出的是，这里省略了与现实世界衡量标准P相关的许多常见定义，如可接受和自我融资交易策略，以及买方和卖方价格的概念。为了理解这些概念是如何通过现实世界的超级复制和市场完整性来实现鞅度量的，建议使用实用但数学上优雅的文本Guyon&Henry Labordère（2013）。诺维科夫鞅条件。我们现在致力于定义4.7中的鞅子框架。我们将保留所有与真实世界概率度量的联系，如上所述，以供将来的工作使用，因此重新引入我们的过滤空间(Ohm, F、 {Gt}t∈从本节开始，理解P将描述一个抽象模型，而不是真实世界。很快就会明白为什么我们用GT来表示我们的一般过滤。首先，我们正确地定义了这个空间上的连续鞅。为此，回想一下连续随机过程M={Mt}t∈R+接通(Ohm, F、 {Gt}t∈如果Mtis Gt可测量每个t，则称为R+，P∈ R+。如果我们让指数t表示时间，那么这基本上就是说我们不需要来自未来的信息，即在某些集合中，用t>t来构建Mt。

同样，由于包容性s≤ t型==> Gs公司 Gtof过滤，如果我们可以从Gt构建MTF，那么我们可以另外构建整个历史{Ms:s∈ 定义4.19（连续鞅）。关于过滤概率空间(Ohm, F、 {Gt}t∈连续鞅是一个连续过程M={Mt}t∈R+采用并验证了E[| Mt |]<∞ 和E[Mt | Gs]=每s，t的Ms∈ R+带s≤ t、 这个定义将通过写M是Gt鞅来总结。如果M在C（R+，R+）中还有路径，即非负且在紧集上有界的路径，4则为路径波动率建模框架，然后可积条件e[| Mt |]<∞ 当Mt不依赖于G时是多余的，即验证e【Mt】=e【Mt | G】。然后我们总是发现E[| Mt |]=E[Mt]=E[Mt | G]=M<∞.关于鞅价格过程，我们将始终处于刚才描述的设置中。要了解这一点，请记住，我们的价格过程是S={St}t∈在定义4.7的一般框架中，R+采用指数形式S=exp（WρX-十） ，带X∈ Φ  定义1.5中的C（R+，R+）。因此，S的路径是严格正且有限的，S=1给定Wρ=X=0。我们建立这种价格过程的马丁尼性的主要工具如下所示，这是Novikov（1973）认可的，尽管这里的介绍与Ikeda&Watanabe（1992）类似。定理4.20（Novikov鞅条件）。设L={Lt}t∈R+是上的连续局部鞅(Ohm, F、 {Gt}t∈R+，P），L=0，并确定过程M={Mt}t∈R+byMt：=膨胀（Lt-[五十] t）。然后提供E[E[L]t]<∞ 每t∈ R+，M是Gt鞅。请注意，我们对Novikov条件的陈述在技术上忽略了Ikeda&Watanabe（1992）中隐含的局部平方可积性假设。

正如罗杰斯和威廉姆斯（Rogers&Williams）（2000）第5章所阐明的，这一假设非常丰富，也就是说，这里的任何此类过程都满足了这一假设。当然，我们还没有真正定义局部鞅L={Lt}t∈R+和相关的二次变量[L]={[L]t}t∈定理4.20所依赖的R+。但这是因为应用现有的“时间变化”结果（稍后将介绍）将使我们能够在框架中应用EOREM 4.20，而不直接依赖于这些复杂的对象。具体而言，比较表示经验（Lt-[五十] t）在定理4.20中，价格过程St=exp（WρXt-Xt）在定义4.7中，应用Novikov条件的要求是明确的：随机IVP解X必须是WρX={WρXt}t∈R+定义了这种过滤的aGt局部鞅，其中[WρX]=X，E[eXt]<∞ 对于t∈ R+。对于那些熟悉时间变化的人来说，重要的是要认识到，对于依赖于任意随机场Y的任何此类随机IVP解决方案X，像[WρX]=X这样的属性绝不是经过验证的∈ G开启(Ohm, F、 P）。这相当于说问题4.3的解决方案不仅仅是变相的时间变化，通过定理4.22后面的一个例子加以说明。因此，如果我们想将定理4.20与时间变化理论相结合，那么我们必须只选择具有与定义4.7中的属性相比的额外属性的随机领域。一旦我们了解适用于X等一般过程的相关属性，而不一定是随机IVP解决方案，一些随机领域的路径波动率建模框架属性将从本质上揭示出来。时变布朗运动。对于这一部分，我们使用Revuz&Yor（1999）第5章第1节。

在其他流行的文本中可以找到非常相似的部分，如池田和渡边（1992）、卡拉萨斯和什里夫（1998）以及罗杰斯和威廉姆斯（2000），但通过使用Revuz和Yor（1999），我们可以最简洁地处理上述与时间变化相关的问题。也就是说，在我们的设置中，所有这些文本中用于索引的符号可能会令人困惑。通过指出我们的目标是得出S是aGt鞅的结论，可以直观地预见这种混淆，也就是说，我们想得出一个关于由“时间”t索引的过程和过滤的结论∈ R+。然而，在时间改变后（如果我们想避免重复使用索引），如果我们从一个空间开始，这个简单的目标将无法实现(Ohm, F、 {Ft}t∈R+，P）由t表示∈ R+，就像我们通常做的那样。当然，在很多情况下，重复使用任意索引是明确的，但这不是我们的设置，因为将要重复的索引直接对应于索引我们随机领域的索引Y={Yt，x}（t，x）∈R+。在本章开头描述概率设置时，我们已经讨论了这个小问题的自然解决方案。我们只需要从太空开始(Ohm, F、 P）支持我们的2d布朗运动W，并用空间变量x索引该过程∈ R+，即W={Wx}x∈R+。然后{Fx}x∈R+表示W的自然过滤。我们现在正确定义了时间变化。对比Revuz&Yor（1999）中的定义1.2，我们这里只考虑连续时间变化，这简化了呈现。对于我们的应用程序，实际上只需要严格增加和区分时间变化，就像我们的随机IVP解决方案X∈ Φ. 首先回顾一下随机变量τ∈ R+接通(Ohm, F、 {Fx}x∈如果事件{τ≤ x} 在Fx中。

我们继续为这些变量使用停止时间，即使在我们的设置中，停止级别更合适。定义4.21（连续时间变化）。过滤概率空间上的连续时间变化(Ohm, F、 {Fx}x∈R+，P）是一个随机过程X={Xt}t∈R+，其在C（R+，R+）中具有递增路径，并且每个随机变量定义一个Fx停止时间。现在，我们可以简明扼要地陈述Revuz&Yor（1999）中命题1.5的一部分，如下所示。4路径波动率建模框架定理4.22（时变布朗运动）。设X={Xt}t∈R+是时间变化(Ohm, F、 {Fx}x∈R+，P）。那么WX={WXt}t∈R+是一个FXt局部鞅，其中[WX]=X。因此，现在我们要建立价格过程S：=exp（WρX-十） 我们需要随机IVP解X={Xt}t∈根据定义4.21，R+为时间变化。然后，我们将能够结合定理4.20和定理4.22，而不需要直接考虑局部鞅或二次变化的性质。根据定义4.21和定理4.4，很明显，任何此类随机IVP解X在S中：=exp（WρX-十） 是一种时间变化，前提是每个XT都是Fx停止时间。为清楚起见，这要求每个x∈ R+，我们发现事件{Xt≤ x} 在Fx中，其中{Fx}x∈R+是W的自然过滤。重要的是要看到，在问题1.4中，我们对驱动随机场Y和生成Fx的布朗运动W之间的关系没有任何限制，X自然不会表现出这种停止时间特性：我们的随机IVP解决方案不仅仅是变相的时间变化；时变理论为我们建立鞅框架提供了便利。为了证实这一点，对于任何c>0的情况，请考虑字段Y∈ G在YT定义的广义赫斯顿框架中，x：=σZx+κ（θ（t）- x） +v，Zx：=W | c-x个|- 厕所。

（4.44）然后每当x∈ [0，c），{Xt≤ x} 在Fc中-x\\Fx而不是Fx，因此x不是时间变化。因此，为了寻求定义4.7的鞅子框架，现在的任务是描述领域的子集∈ G确保每个XT定义一个外汇停止时间，从而改变时间。考虑到简单关系Xt=Yt，Xt，确保这一点的条件并不难获得，其中一些条件已在适应性定义4.23中正式规定。现在，注意到，在X确定时间变化的情况下，使用log S=WρX-X根据定理4.22，我们可以看到[对数S]=[WρX]=X。那么我们对波动率σ的一般概念是：=√定义4.8中的x与传统关系σt=ddt[对数S]t相一致。这就是是否可以应用定理4.20的情况，例如，我们可以发现e[外部]=∞ 然后S：=exp（WρX-十） 可能不是鞅。鞅框架。这一部分从定义4.25中的图2定义了鞅子框架，并以定理4.26告终，这实际上证明了这4一路径波动率建模框架产生了鞅价格过程S={St}t∈R+。该结果用可积性假设MX（，t）：=E[exp（Xt）]<∞, 我们已经通过定理4.16和定理4.17展示了如何在广义Heston模型中验证这一点。下一个定义只是形式化了一个想法，即给定布朗运动W={Wx}x∈子区间[0，x]上的R+ R+，我们希望能够构造随机场Y={Yt，x}（t，x）∈子域上的R+×[0，x] R+。调用{Fx}x∈R+表示W的自然过滤，并设R为R的Borelσ-代数，例如由欧几里德距离导出。定义4.23（空间适应领域）。

在上(Ohm, F、 {Fx}x∈R+，P），调用随机字段Y={Yt，x}（t，x）∈如果y，x：(Ohm, 外汇）→ （R，R）对于每个（t，x）都是可测量的∈ R+。请注意，它是排序属性u≤ x个==> 傅 Fxof过滤，确保如果Yt，x：(Ohm, 外汇）→ （R，R）是可测量的，那么Yt，u也是可测量的：(Ohm, 外汇）→ （R，R）用于每个HU∈ [0，x）。也就是说，如果一个随机场Y在空间上符合这里的定义，那么我们确实可以在整个R+×[0，x]上构造Y，前提是我们在[0，x]上给定W。从在R+×[0，x]上构造Y的能力可以清楚地看出，即在任何时候，当给定nw在[0，x]上时，我们将假定Y·，x-Y0，xd为每个fixedx定义一个确定性函数∈ R+。当然，定义4.10中的广义赫斯顿框架就是这种情况。考虑到确保每个定义一个外汇止损时间的总体目标，可以通过直接利用止损时间来大幅推广定义4.23。这可以使我们在从另一个随机IVP解决方案构建基础随机场时保留价格过程的马丁尼性，但这相当于考虑高维随机IVP，当然，首先探索1d案例是有意义的。下一个结果证实了空间自适应场的值，表明这些场确保了停车时间属性{Xt≤ x}∈ Fxfor（t，x）∈ R+。为此，它有助于服务于事件{Xt≤ x} ：={ω∈ Ohm : Xt（ω）≤ x} 与{x一致-1台≥ t} ，通过定理4.4给出了随机IVP解X从和到R+的双射的路径。引理4.24（时间变化解）。让Y∈ G是空间上的空间适应场(Ohm, F、 {Fx}x∈R+，P）。那么问题4.3的解，x=Yt，x，x=0，是一个时间变化。4路径波动率建模框架证明。

使用定义4.21，从定理4.4可以清楚地看出，解X∈ Φ具有时间变化所需的所有属性，但通常每个XT不必是Fx停止时间。等式4.44中的反例说明了这一点。此停止时间条件要求每个x∈ R+，我们发现{Xt≤ x}∈ 外汇。假设字段Y在空间上符合定义4.23，每个限制{Yt，u}（t，u）∈R+×[0，x]是Fx可测量的，即从Fx我们可以在R+×[0，x]上构造字段Y。因此，给定X和Y之间的关系Xt=Yt，Xt，X=0，从fx我们也可以清楚地将过程X构造到相同的X级∈ R+，在随机时间X达到-1x。在给定Fx的情况下，这种能力可以构造严格递增的过程X，直至级别X∈ R+明确了任何t∈ R+，事件{Xt≤ x} 从Fx中的信息可知：我们只测量随机时间x-1x，然后使用{Xt≤ x} ={x-1台≥ t} 。这表明{Xt≤ x}∈ Fx，因此通过定义，每个XT是一个Fx停止时间，完成证明。我们已经准备好定义图2所示的鞅框架。这是定义4.7中一般框架的一个子框架，假设Y具有空间适应性和[exp（Xt）]<∞ 其中Xt：=inf{x>0:Yt，x<0}，但为了更清晰，在这里进行了完全定义。定义4.25（鞅价格框架）。让(Ohm, F、 P）在R+上支持布朗运动W=（W，W），设{Fx}x∈R+是W的自然过滤，Y是G中的空间适应随机场，满足MX（，t）：=E[exp（Xt）]<∞ 超过R+。设X={Xt}t∈R+是随机IVP x=Yt，x，x=0的解，然后定义价格过程＝{St}t∈R+乘以S：=exp（WρX-十） ，其中Wρ=p1- ρW+ρwf对于某些ρ∈ [-1, 1].在本节的过程中，基本上已经确定了下一个结论性结果，但仍在此处加以巩固。

虽然很明显，定义4.25中的可积性假设仅用于确保MX（，t）<∞, 前者被优先考虑是有充分理由的：这是非常有实际价值的，因为这是一种可以直接从Y检查的情况，不需要分析随机IVP。定理4.16证明了这一点。定理4.26（鞅价格过程）。任何价格过程S=exp（WρX-十） 源自定义4.25中的框架的是Gt:=FXt鞅，而Verifies[log S]=X.4是路径波动率建模的框架证明。假设MX（，t）≤ MX（，t）和MX（，t）<∞ 由假设确保，然后E[外部]<∞ 并且可以调用定理4.20中的Novikov条件得出结论，如果WρXis是一个FXt局部鞅，则S是一个鞅，该局部鞅验证[WρX]=X。如果X是(Ohm, F、 {Fx}x∈如定理4.22所述，R+，P），然后[对数S]=[WρX]=X也如下所示。引理4.24的唯一目的是确定X确实定义了所需的时间变化，前提是Y在空间上符合定义4.23，因此应用该引理完成了证明。4.4 Riemann-Liouville-Heston模型本节的主要目的是在刚刚涉及的两个价格过程子框架的中间部分定义和澄清特定模型的属性，如图2所示。即定义4.10和定义4.25中的广义Heston和鞅模型。尽管通用的赫斯顿子框架通过选择波动驱动过程Z={Zx}x提供了很大的自由度∈R+（回顾推论4.15和下面的讨论），这里的第二个目的是演示如何通过选择Z，轻松和数学协调地进行粗略波动性研究。