空间不规则常微分方程及其路径解

因此推论4.15告诉我们，即使在定义4.10的广义赫斯顿子框架中，我们仍然可以通过选择Z，从理论上建模任何接受St=exp（WρXt）表示的价格过程-Xt），其中X是C（R+，R+）中X=v且lim inft的任何双射过程→∞Xt<∞.这正是为什么我们提倡使用Yt型附加可分离字段，x=θ（t）- zx下面是推论4.6，以及为什么我们要介绍示例2.2。如果我们从方程4.10中选取广义赫斯顿随机场，那么很容易看到关联t，x=θ（t）-Zx，其中▄（t）：=κ（t），▄Zx：=κx- σZx- v、 （4.24）因此，广义Heston框架实际上只是一个以可识别的方式呈现给那些熟悉经典Heston模型的人的可加性可分离领域的框架，定理4.14给出了精确的联系。较难识别的表示不等式4.24有助于数学运算，如定理4.16所示。一般MGF存在。除了像定理4.14这样与现有和内在概率理论相关的结果外，本文中的所有内容都可以简化为第3章的无概率结果。与此相反，本节的主要贡献在于（内在概率）MGFs MX（p，t）：=E【epXt】的存在。在这里，X是一个随机IVP解决方案，仅限于定义4.10中的广义Heston框架，但在推论4.15之后的讨论中，这根本不是什么限制。最明显的是，这种MGF的存在将有助于建立价格过程Ess=exp（WρX）的鞅性-十） 在第4.3节中，考虑到组件exp（Xt）的预期，可以直觉得出，此处的exp（Xt）与MX（，t）一致。

但更一般而言，在定理4.16和定理4.17中使用process4 A pathwise volatility Modeling frameworkX证明了始终使用定理4.4中的processX的力量，它支配着X。这尤其有用，因为Xt:=inf{X>0:Yt，X<0}直接来自随机IVP的基础随机场，使我们能够在不分析随机IVP的情况下，对随机IVP解决方案X得出概率结论。这使得我们的框架更易于不太熟悉ODS的概率论者使用。在得出下一个结果之前，需要澄清的是，通过成功地建立E[epXt]<E[epXt]<∞ 对于某些p>0，我们立即得到Xt<∞. 如定义4.10所示，增长点假设supx∈R+κx-σZx=∞ 是为了确保属性infx∈R+Yt，x<G中的0个字段，相当于Xt<∞. 所以如果我们得到[epXt]<∞ 对于t∈ R+和p>0，我们不必检查supx∈R+κx-σZx=∞ 也定理4.16（一般MGF存在性）。让随机场和IVP解Y和x与定义4.10中的广义Heston框架相同，以便我们可以写出t，x=θ（t）-Zx其中θ：=κθ和▄Zx：=κx- σZx- v、 固定p，T>0，然后假设▄Z的左尾（因此Z的右尾）足够薄，可以在 a、 b，c>0 s.t.对数P[~Zx<~θ（t）]<a- （p+b）x x个∈ [c，∞), （4.25）那么MGF MX（p，t）：=E【epXt】存在于t∈ [0，T]。同样，对于MX（p，t）：=E[epXt]。证据定理4.4确定X在Xt的意义上支配X≥ |Xt |=Xt，因此关于X的结论紧接着关于X的结论。如果Y源于定义4.10，那么X由(-∞, θ（t）]。具体而言，Xt：=inf{x>0:Yt，x<0}=inf{x>0：▄Zx>▄θ（t）}=：E▄θ（t）（▄Z）。

（4.26）如果X有非负严格递增路径，则结论适用于t∈ [0，T]前提是其在最终时间T内保持不变。所以让u：=PX-1t表示XT的分布，满足u（R+）=1，其中通常R+=R+∪ {∞}. 在这个阶段，单身汉{∞}是u的原子，即u({∞}) > 0，不应排除。我们需要建立[epXT]：=ZR+epxu（dx）<∞, （4.27）4一个路径波动率建模框架，一旦实现了这一点，那么很明显我们将有u({∞}) = 0，因此R+支持u。使用方程4.27中的展开式epx=1+pRxepudu，然后使用Tonelli定理，我们得到Zr+epxu（dx）=u（R+）|{z}=1+pZR+z[0，x]epuduu（dx）=1+pZR+epuZ[u，∞]u（dx）du=1+pZR+epuu（[u，∞])du，（4.28）在这个阶段，这些表达式可以读为\'∞ = ∞’. 现在是c≥ 0，定义积分Ic：=R[c，∞]epuu（[u，∞])杜。那么等式4.28显示，如果I<∞. 但实际上，如果Ic<∞ 对于任何c，因为- Ic=Zcepuu（[u，∞])杜邦≤ epcZcu（[u，∞])杜邦≤ cepc<∞. （4.29）建立Ic<∞ 并完成证明，定义Mx（~Z）：=最大值∈[0，x]~zu注意u（[x，∞]) = P[Eθ（T）（~Z）≥ x] =P[Mx（￠Z）≤θ（T）]≤ P【】Zx≤θ（T）]。（4.30）这里的中心等式来自一般等价inf{u>0：f（u）>t}≥ x个<==>supu公司∈[0，x]f（u）≤ t表示连续f和f（0）≤ 0，如在Meerschaert&Sche-fier（2004）中使用的，最终的不平等仅来自于Mx（Z）≥ Zx。现在方程4.30与u（[x，∞]) 与我们对P[~Zx]的假设一起出现在ICX中≤θ（T）]，提供u（[x，∞]) ≤ ea公司-（p+b）XF或x≥ c、 将其代入Ic后，我们发现ifZ存在Itchus E[epXT]∞cea公司-bxdx=b-1ea-bc<∞.

（4.31）由于正常数a、b和c的情况显然是这样，那么我们已经证明了它们的存在E[epXt]≤ E【epXt】<∞ 对于所有t∈ [0，T]，因此证明是完整的。方程4.31中得到的积分非常明确，表明我们对方程4.25中Z增长的假设决不是最优的。事实上，首要任务是为定理4.17提供一个预备结果，该定理涉及一类高斯过程z，已知该过程有助于波动率建模。然后将该类简化为第4.4节中定义的RLH模型中的特定示例。如果需要改进REM 4.16，那么我们证明的以下等价物提供了一个很好的起点E[epXt]=1+pZR+epxP[Mx（≈Z）≤θ（t）]dx。（4.32）4路径波动率建模框架由于定理4.16仅取决于过程X，其证明实际上适用于所有随机领域Y∈ G生成等式4.26中相同的过程X，即使它们不会生成相同的随机IVP解X。例如，letλ∈ C（R，R）是一个严格递增的双射过程，那么定理4.16适用于所有领域Yλt，x：=λ（θ（t）-因为λt：=inf{x>0:Yλt，x<0}=inf{x>0:Yt，x<0}=：Xt。（4.33）高斯MGF存在。广义赫斯顿定义框架4.10中的模型由价格S和累积方差X唯一验证的方程确定，Xt=σZXt+κ（θ（t）- Xt）+v，St=exp（WρXt-Xt）。（4.34）我们现在展示了如何应用定理4.16给出MX（p，t）：=E[epXt]的存在性，假设波动驱动过程Z是高斯的，具有方差增长约束。定理4.17特别令人惊讶的是，除了对Z的约束外，对参数σ、κ、θ、ρ没有附加限制，但结论对所有（p，t）都成立∈ R×R+。

这基本上是通过假设Zxis的方差由布朗运动的方差控制为x来实现的→ ∞. 至关重要的是，Zxis的方差仍然可以在固定的契约上以任意速率增长，这提供了协调观测所需的全局自由。第4.5节对此进行了验证，但如果这一点不明确，请注意，即使通过有界波动率过程，也可以复制所有历史和大多数未来的波动率观察结果。这种全球自由补充了我们现有的局部自由，因为Z除了其连续性之外没有任何局部约束，例如，不必是任何秩序的霍尔德正则。当然，下一个结果将适用于第4.4节中不久定义的特定RLH模型。该模型以最近的粗糙波动率建模发展为指导，假设Zis a（H"older连续）分数高斯过程验证某些γ的E[Zx]=xγ∈ (0, 1).定理4.17（高斯MGF存在性）。设X={Xt}t∈R+与广义赫斯顿定义框架4.10相同。提供了进程Z={Zx}x∈对于某些α、β，R+以高斯为中心，验证E[Zx]<α+βxγ≥ 0, γ ∈ （0，1），然后MX（p，t）：=E[epXt]全局存在，即对于所有（p，t）∈ R×R+，无论参数σ、κ、θ、v、ρ如何选择。4路径波动率建模框架证明。给定Xtis非负，当p≤ 0，所以我们现在可以假设p>0。为了将定理4.14应用于此处的全局结果，条件不等式4.25必须适用于任何p，T>0。因此，对于任何p，T>0，我们用log p[~Zx<~θ（T）]：=log p[κx]寻求a，b，c>0- σZx- v<κ（T）]<a- （p+b）x（4.35）表示x∈ [c，∞). 现在确定常数θT：=θ（T）+κ-1v>0，因此方程4.35变为方程P[σZx>κ（x- θT）]<a- （p+b）x.（4.36）只搜索c>θT，这意味着x>θT。

固定x，然后具有κ（x-方程4.36中的θT）>0使这直接成为Zx正尾上的条件。给定方差小于α+βxγ的Zxis无中心高斯随机变量，方程4.36适用于iflog Pφ>κ（x- θT）σ√α+βxγ< 一- （p+b）x，（4.37），其中φ是标准高斯数。通过调用流行的高斯界P[φ>u]<e-u或u≥ 0，我们在方程4.37中获得该要求，如果对于某些这样的a，b>0-κ（x- θT）σ（α+βxγ）<a- （p+b）x（4.38），对于大于某些c的所有x≥ θT.将方程4.38中的展开式取为x→ ∞, we seeO（x2-γ） =κ（x- θT）σ（α+βxγ）和（p+b）x- a=O（x）。（4.39）考虑到2-γ>1源自假设γ∈ （0，1），无论κ、σ、θ、α、β、T或p如何，这样的a、b、c的存在最终都是合理的。事实上，在这里的高斯设置中，我们实际上可以首先确定任何a、b>0，然后方程4.38的基本操作表明这对所有x都是满意的∈ [c，∞), 根据需要，如果我们选择c>1∨θT∨d、 其中：=2θT+2σκ（p+b）（α+β）1.-γ< ∞. （4.40）发现此类值a、b、c>0后，定理4.14提供了（p，t）的MX（p，t）和MX（p，t）的存在性∈ R×[0，T]。这扩展到所有（p，t）∈ 给定的T是任意的。请注意，用于获得方程4.38的高斯边界可在Feller（1968）中找到，以及更紧的P[φ>x]<x√2πe-xas x→ ∞. 如果需要的话，这一较紧的界限可能有助于4路径波动率建模框架处理定理4.17中的边界情况γ=1，尽管在与方程4.37中的对数合成后，其本身不适合直接操作。这就总结了我们对定义4.10中的这些广义Heston模型的理论，它定义了定义4.7中的一般模型的子框架。在第4.4节中，该理论将应用于本子框架中的特定RLH模型。

但首先，我们看一下图2所示的Martingale子框架，其中也包含RLH模型。4.3鞅子框架在本节中，定义了定义4.7中的子框架，该子框架仅适用于价格过程S={St}t∈R+是鞅w.R.t.一些过滤{Gt}t∈R+共(Ohm, F、 P）。如图2所示，该鞅框架的特点是∈ Gwhich展示了另外两个属性。这些性质分别确保了适应性和可积性条件的验证，就像定义4.19中一样，任何鞅都必须满足这些条件。与刚刚介绍的MGF一样，Y油田的这些属性也有一个非典型值，即可以在其规格确定后立即进行检查，即不需要对相关随机IVP X=Yt，X，X=0 drivenby的溶液X进行再结晶分析。因此，虽然鞅与概率是不可分割的，并且不能建立在路径基础上，但我们仍然能够保持概率上简单的方法。鞅在金融中的普遍重要性，以及该鞅框架的价值，与无套利衍生品定价的实践有关，现在对此进行解释。由于这里的目标是对实用价值进行简洁的阐述，而不是技术主题，因此我们主要借鉴Cont&Tankov（2003）中的简明推理。衍生产品定价是指措施。让时间t=0表示当前，并将真实世界股票价格St>0（例如任何公布的价格）的未来可能路径视为一个连续的随机过程S={St}t∈概率空间上的R＋(Ohm, F、 P）。

让过滤{Gt}t∈R+包含每个区间[0，t]上与S相关的信息，就像F在R+上所做的一样，并假设任何可用的价格历史记录{St}t∈[-T、 0）是固定的，在当前信息G.4中，是一个路径波动率建模框架。就我们的目的而言，S上的金融衍生品是双方之间的合同，以在未来某个特定时间T>0（到期日）交换现金金额（Payoff），这取决于S在[0，T]上的行为。现在让导数是{St}t的有界映射∈[0，T]至付款∈ R（关于Borelσ-代数可测）。E、 g.考虑#：：=ST≥Sormax{K-RTStdt，0}表示K>0（走向）。第4.5节将重点讨论max{K-ST，0}。从时间0的固定金额现金开始，假设所有市场参与者的未来投资活动都能够在任何时候购买或出售任何数量的该股票，或以商定的价格与其他方签订此类衍生品合同。此外，假设此类活动后剩余的任何现金随时间保持不变。那么，相关的问题是：一方应该如何为衍生品定价？仅在时间0时考虑这个问题（当然，该论点是泛化的），它由另一个映射∏（定价规则）来回答，从衍生品支付#到价格∏（#）∈ R、 通过概率测量Q下的支付预期来指定∏是方便的（无必要的）(Ohm, F） ，Q通过指示器A从∏中回收∈ F、 π（#））：=等式[#]==> Q【A】=π（A）。（4.41）注意，我们对#的有界性假设确保了EQ[#]的存在，但这可以通过选择Q来保证（如果需要）。现在有两点需要强调。首先，通过度量Q指定定价规则∏的这种便利性不仅仅是这样。

在地图∏上非常自然的约束下，如正性和线性：#≥ 0 ==> Π(#) ≥ 0和∏（nXi=1#i）=nXi=1∏（#i），（4.42）如果我们使用关系∏（#））=等式[#]，则∏或Q的规格在数学上是等效的。考虑到概率度量的显示性质与等式4.42中的性质非常相似，但适用于σ-代数的子集，这并不完全令人惊讶。其次，指定定价规则和度量之间的这种等价性不应被解释为一个数学事实。E、 g.至少在现阶段，现实世界度量P与任何可能的定价度量Q.4 A路径波动率建模框架无套利均值鞅之间没有直接关系。回想一下，map∏（#）=EQ[#]仅在时间0分配了竞争价格，请注意，如果Q与P在给定的信息G上一致，则可以将其等效为∏（#）=EQ[| G]。现在∏和Q之间的定价关系在时间t上持续扩展∈ [0，T]当利用∏T（#）=EQ[#Gt]和每个价格∏T（#）时，与St一样，定义了一个真实世界的随机过程，直至其成熟。现在，我们还想确保通过选择定价度量Q指定的价格∏t（#）=EQ[#| Gt），不适应现实世界度量P下无风险财富的表面生成。根据此原则设定的价格称为无套利。我们省略了套利的严格数学定义，取而代之的是一个充分的例子。从任何时间t开始工作∈ [0，T]，考虑Payoff#：=静态到期日T的衍生工具。为了确保导数价格∏t（#）=EQ[#| Gt]实际存在，我们必须将#上的早期有界性假设放宽到测度上的可积条件：EQ[ST | Gt]<∞.在时间T，该衍生工具的价格EQ【ST | GT】=ST与股票的价格一致，而与所选的度量值Q无关。

因此，如果我们可以在时间t出售该衍生工具，使用验证q[ST | Gt]>ST的度量，即EQ[ST | Gt]的比例-通过同时以St的价格购买股票来确保St>0。这种简单的策略证明了套利，并且只有在选择Q时，才能禁止对所有各方和时间进行套利，从而使EQ[St | Gt]=所有t，t的St∈ R+带t≤ T验证此属性EQ[ST | Gt]=ST的任何度量Q都可以称为风险中性，因为它表明购买股票ST的风险没有预期的收益或成本。但更重要的是，此属性是鞅的主要特征，更一般地说，如果S定义了鞅，我们称Q为鞅度量(Ohm, F、 {Gt}t∈R+，Q）。鞅的严格定义推迟到定义4.19，以保持实际重点。回顾套利是一个现实世界的概念，即与测度P相关，令人惊讶的是，如果使用鞅测度Q和map∏t[#]=EQ[#| Gt]设置导数价格，那么所有套利，而不仅仅是上面的简单例子，都是被禁止的，前提是Q是额外等价于P，这意味着对于任何事件，a∈ F、 P【A】=0==> Q【A】=0。这种等价性推广了我们先前的假设，即Q在G上与P一致。4路径波动率建模框架套利和鞅之间的完整关系比这更深，是数学金融的惊人成就，通常被称为资产定价的基础理论。这一结果进一步证明，如果我们希望抑制阿比塔比特拉，我们实际上别无选择，只能通过这种等价鞅测度（显式或隐式）来实现。有关更多细节，请参考Cont&Tankov（2003）。实际定价。