空间不规则常微分方程及其路径解

那么，根据这种趋同，如何解释这种强调不足和过度？尽管很少有人知道定理0.1及其后果，但这一悖论事实上并未被理解，尤其是从业者，他们中的许多人都没有看到问题。Bergomi（2016）提供了一个解决方案，事实上存在一个解决方案，因为这些理论上的强调不足和强调过度的陈述有时仅在不切实际的短时间尺度上以有意义的准确度应用，甚至可能在没有可观察数据的情况下。正如Bergomi（2016）所述，像本文作者这样的实践者长期以来一直成功地绕过了对粗糙波动率模型的需求，首先在经典模型中采用快速回归速度。粗糙过程的某些表示后来揭示了粗糙模型和快速回复模型之间的理论关系，表明它们隐含地依赖于任意大的回复速度，参见Muravlev（2011）和Abi Jaber&El Euch（2019）。序言0.4 0.2 0.0 0.2 0.4010203040IV（k，τ）n=11d1w1m3m6m1y0.4 0.2 0.0 0.2 0.4010203040n=160.4 0.2 0.0 0 0.2 0.4k010203040IV（k，τ）n=2560.4 0.2 0.0.2 0.4k010203040n=∞图1：如Mechkov（2015）所示，赫斯顿模型不等式0.2（n=1、16、256）中的隐含波动率IV（k，τ）在对数走向k与IG模型（n=∞) 根据方程式0.3。这是定理0.1的结果。到期日τ从一天（τ=1/256）到一年（τ=1），σ=0.2，θ=v=0.04，ρ=-0.7.这种依赖性只是被小心地控制，其方式不会产生像定理0.1的NIG极限那样的跳跃，而只是降低了路径的H"olderRegulation。

经过私下讨论，Abi Jaber（2019）的演讲首次通过不同的复归性质揭示了粗波动率和跳跃之间的联系。这里的重点不是关于扭曲的精确复制，我真诚地认为，至少在股票市场上，粗糙波动率模型是最好的。这是关于我们共同将研究重点放在哪里，以及它的价值。在共同撰写了McCrickerd&Pakkanen（2018）关于特定粗糙波动率模型的衍生品定价的文章后，我觉得我花了与任何人一样多的时间来处理与粗糙波动率模型相关的实际困难，尤其是在模拟方面，因此我准备考虑替代方案。尽管随着反转速度n的提高，从方程0.2模拟赫斯顿价格过程变得更加困难，证明了各种近似技术的合理性，如Dersen（2008），扩展极限Sas n→ ∞ 定理0.1可以精确模拟。如前所述，在实践中，经典模型中的快速反转速度被视为粗波动的替代品。参见例如Bergomi（2016）和De Col，Gnoatto&Grasselli（2013）分别从股票和FX衍生品价格数据得出的1000%左右的校准值，但请注意Fouque et al。

（2011）从实际数据中获得高达10000%的价值，仍然对应于2-3个交易日的合理复归时间尺度。考虑到FRH模型的积极个人经验，以及定理0.1中的Heston-NIG关系有助于缓解这些波动率偏差和模拟问题，很明显，如果不是其他人，我应该首先花更多的时间，试图更好地理解这些相对简单的现有模型之间令人惊讶的新快速逆转关系，在重新认真考虑粗糙波动率模型之前。奥卡姆剃须刀的这一版本在金融领域尤为突出，因为监管者经常忽视企业产出要求的复杂性。计算估值调整（XVAs）的要求证明了这一点。这些取决于前面提到的衍生投资组合的未来价值，正是这些价值引导我建立了Numerix的FRH模型。在JCRA，我们将该模型用于外汇XVAs已有五年，因为它始终能够很好地校准外汇隐含波动率表面，并且可以在此后进行高效准确的模拟。总体初步目标。在了解定理0.1及其一些后果的情况下，遥远的目标是加强和推广这一点，将适用性从依赖Heston和NIG模型的从业者（如我）扩大到依赖其他模型的从业者。目前尚不清楚如何推广定理0.1，因此加强它似乎是更好的出发点，希望对它有更深入的理解之后能够揭示如何推广。对于这种加强，请注意，虽然定理0.1中Mechkov的关系引用了Heston和NIG模型，但与早期的大时间PrologueConnection不同，它仍然不是它们之间的关系。

相反，它应该被视为随机变量{Snt}n之间的一系列关系≥0与每个固定时间相关。然而，融合Sntd-→ 固定时间的标准时间在实践中很有价值，因为从中我们可以得到E[#（Snt）]→ E[#（St）]对于性能良好的函数#：R→ R、 如第4.3节所述，在一些合理的假设下，该函数和E[#（St）]等值可分别与衍生工具支付和价格相关。因此，这种趋同告诉我们，一类“欧洲”衍生品价格将如何在定理0.1的极限下表现。事实上，让#对应于特定（看跌期权）衍生品，这证实了赫斯顿隐含波动率与NIG模型波动率的收敛性，如图1所示。为了扩大对其他常见的路径相关导数的适用性，我们需要E[#（Sn）]→E[#（S）]，现在从包含sn和S路径的路径集合X中推广到行为适当的函数。这几乎是通过定义，由弱收敛snn提供的→∞=====> 子度量空间（X，dX），其中#:（X，dX）→ （R，dR）通常必须是有界的和连续的，dR可以被视为R上通常的欧几里德度量。更深入地说，如果我们想了解导数payoff s#（Sn）与那些#（s）之间的关系，而不仅仅是隐藏在期望后面的结果价格（即积分），我们需要更长期的收敛概念Snn→∞----→ Sstill，比如说概率收敛或几乎肯定（a.s.）。理解这是否真的可能与布朗运动W，Win密切相关，方程0.2和方程0.3都是相关的。为了强调实现这些目标的困难，值得提供一个扰流器。尽管包含Heston模型和NIG模型的cádlág路径的相关集合X，但它甚至会变为弱收敛Snn→∞=====> Sis违反了所有Skorokhod度量空间。

从Skorokhod（1956）开始，这些空间经常出现在金融随机过程极限定理中。谢天谢地，有一种方法可以建立弱收敛，有时在Prokhorov（1956）之后被称为“Prokhorov\'sapproach”，在Jacod&Shiryaev（2003）中得到了很好的总结，这取决于所谓的“紧密性”。但这并没有说明当事情出错时该怎么办；当违反密封性时。不幸的是，这就是我们所处的环境，尽管我们使用的是一些最流行、相对简单的模型。事实上，我的许多研究源于对随机过程极限定理不同方法的需要。正如这篇论文的标题所示，重点已经从这些初步目标转移了。它已经成为关于为获得它们而开发的数学，关于对赫斯顿模型视角的改变，从依赖It^o演算转向支持随机ODE，以及关于由此产生的稳健建模框架，该框架适应赫斯顿和NIG关系的一般化，并最终适应粗糙波动性。第4.6节给出了与经典Heston模型相关的特定问题的答案，其中必须引入NIG过程的令人惊讶的区间值推广，Xt：=infx>0:x- σWx>θt, Sot：=经验值Wρx-x个: x个∈ [文本-, Xt]. （0.4）这与方程0.3中的标准NIG过程有着非常密切的关系，实际上可以更精确地表示为St=exp（WρXt-Xt）。TheEpilogue侧重于由此产生的弱收敛的起源，并从It^oSDEs的可访问角度进行介绍。

在一个新的“退出时间”度量空间上，建立了CIR过程和与XA相关的几个Lévy过程之间的关系。1导言1导言在序言中介绍了主要动机，本导言按章节对本论文进行了概述，重点介绍了这些动机背后的更具体动机以及其中的主要结果。如果可以清楚地做到这一点，本概述中也提供了背景数学和相关文献，而不是在以下核心章节的上下文中。目前唯一需要的背景是符号：按照惯例，C和D将用于表示连续函数和Cádlág函数集，如Billingsley（1999）中所述。扩展这一点，Cdenotes实现了一阶微分，所有函数都从零开始。从赫斯顿模式到颂歌。本论文一般从基础到应用展开。由于序言中讨论的与赫斯顿相关的初步目标构成了第4.6节中具体介绍的最终应用之一，因此，如果没有这一介绍性解释，第2章和第3章与传统波动率建模的联系，更不用说具体的切斯顿模型了，可能不清楚。事实上，鉴于价格的波动性通常是一个概率和模型相关的对象，直到第4.1节才在我们的框架内定义该过程，直到第4.2节，早期的无概率ODE分析才与赫斯顿模型精确相关。我们现在放弃了一些精确性，以帮助读者发展直觉，了解像赫斯顿这样的经典随机波动率模型如何在路径基础上与本文中处理的常微分方程相关联，以及这些常微分方程如何与波动率相关联。

Towards，fix概率空间(Ohm, F、 P）支持R+上的标准二维布朗运动W=（W，W），且设S={St}t∈R+是由Wand参数σ，κ，θ，v>0，ρ构建的Heston-price过程∈ [-1，1]如方程0.1所示，即验证It^osdsdvt=σpVtdWt+κ（θ- Vt）dt，dSt=pVtStdWρt，（V，S）：=（V，1）。（1.1）我们可以从时间零点开始，以积分形式明确地写出V的CIR SDE，并根据V求解S的SDE，以获得等效模型表示vt=σZtpVsdWs+κZt（θ- Vs）ds+v，St=expZtpVsdWρs-ZtVsds. （1.2）1引言现在使用Dambis（1965）和Dubins&Schwarz（1965）的结果，精确地在定理4.11中说明并应用于定理4.14，我们可以再次将该模型等效为vt=σBRtVsds+κθt-ZtVsds+ v、 St=经验值BρRtVsds-ZtVsds（1.3）其中B=（B，B）是R+上的另一个标准二维布朗运动(Ohm, F、 P），根据引理4.13与W相连，Bρ与Wρ一样由Bρ定义：=ρB+p1- ρB.Swishchuk（2016）介绍了“时间变化”方法的丰富历史，该方法导致在方程式1.3中表示了CIR过程V，Barndorff-Nielsen&Shiryaev（2010）简要介绍了一般理论。虽然池田和渡边（1992）做出了一些重要贡献，但这一研究方向起源于1940年沃尔夫冈·多布林（Wolfgang Doeblin）的工作。在It^o的微积分，例如It^o的积分（1944）和It^o的SDEs（1951）之前，Doeblin已经证明，像V这样的微分可以像方程1.3中那样接受“时变”表示，甚至在概念存在之前就建立了鞅的性质。这并不广为人知，因为Doeblin不幸死于1940年，他的工作直到2000年才被发现。

参见Bru&Yor（2002），了解Doeblin工作的惊人历史。具体而言，在方程1.3中，我们将积分（或累积）方差过程称为B的“时间变化”。从技术上讲，时间变化必须具有与停止时间相关的某些适应性特性，精确地在定义4.21中给出，但这些特性以及鞅的相关特性对于本论文的核心分析并不重要，特别是在序言中讨论的赫斯顿和尼格的关系。因此，直到第4.3节，这篇论文与时间和鞅的变化相关的研究有所不同，因为我们将更普遍地将这个过程RTVSD视为一个随机ODE解。对于这一点，方程1.3中的B没有什么特殊之处，因此我们可以从任意布朗运动W开始构建这个模型(Ohm, F、 P），然后定义过程Xt：=RtVsds，以获得赫斯顿价格过程的另一种表示形式Xt=σWXt+κ（θt- Xt）+v，St=expWρXt-Xt公司, （1.4）其中Xt：=ddtXt=Vt.现在对于每个（t，x）∈ R+，定义实随机变量Yt，x：=σWx+κ（θt- x） +v，且随机场Y={Yt，x}（t，x）∈R+。随机字段只是C（R+，R）的一个随机元素，根据Barndorff-Nielsen，Benth&1 IntroductionVeraart（2018）一文，在定义4.1中对其进行了精确定义。现在简明扼要地写出方程式1.4，即Xt=Yt，Xt，St=expWρXt-Xt公司. （1.5）过程X因此验证了Xt=Yt，Xt和X=0，因此我们将其定义为随机IVP X=Yt，X，X=0的解决方案，如定义4.2所示。

正是通过对suchrandom IVP的研究，我们得以加强和推广序言中讨论的Heston和NIG关系，并更普遍地开发一个由方程式1.5总结的稳健波动率建模框架，但在定义4.7中更为精确。现在只关注过程X，我们将始终称之为累积方差过程，即使没有明确提及方程1.5中的相关价格过程S，我们也可以确定结果ω∈ Ohm 定义固定函数g：=Y（ω）∈ C（R+，R），可以分析确定性IVP x=g（t，x），x（0）=0，特别是寻找路径x（ω）：=Д∈ C（R+，R），其验证了ν（t）=g（t，Д（t））（R+）。那么在赫斯顿的情况下，g（t，x）：=σw（x）+κ（θt- x） +v，（1.6），其中w：=w（ω）∈ C（R+，R）。此时，如果我们要通过用w（t）替换方程式1.6中的w（x）来消除w对g的空间影响，那么现有ODE理论可以建立唯一的全局解，因为g在空间上成为Lipschitz。在回归水平θ与起始方差v一致的简化情况下，唯一的解由以下公式给出：Д（t）=vt+σZte-κ（t-s） w（s）ds。（1.7）无论θ=v与否，该解都可以解释为一个积分的Ornstein-Uhlenbeck（OU）路径，因为在用w（t）替换w（x）之后，方程式1.1中v的CIR SDEin对应物是更简单的OU SDE，它具有√VT已删除。

不幸但并不奇怪的是，现有理论处理的这些简化对波动率建模没有直接帮助，因为OU‘方差’路径ν=V（ω）可能变为负值。如果我们想了解一般的Heston情形不等式1.6是否具有唯一的正全局解，并希望避免在路径w上设置不切实际的限制性正则性约束，则需要新的ODE理论∈ C（R+，R），如Lipschitz连续性。这就有理由在这种路径基础上避免考虑赫斯顿模型，并坚持方程1.1中的It^oSDEs。然而，我们相信，这一引进替代方案的好处现在已经不言而喻了。我们的新ODEtheory的一个令人惊讶的结果是，在方程1.6的Heston情况下，IVP x=g（t，x），x（0）=0实际上是所有w∈ C（R+，R）。松散地说，“最大”解是任何“到达R+×R”的边界的解，而同样存在于R+上的解是“全局”解。这个最大解总是严格递增的，因此总是可以用来对累积方差路径进行有效建模，并具有相应的非负波动性√φ. 考虑到此类函数g不需要具有任何空间正则性性质，如果方程式1.6中的路径w可以是C（R+，R）中的任何路径，则我们将这些IVP称为空间非正则函数，并且可以使用这些函数来模拟一组反直觉的波动路径。在方程1.6的情况下，如果wVerifies the condition supx，则该最大唯一性不仅扩展到全局结果∈R+κx-σw（x）=∞, infx更一般地给出∈R+g（t，x）<0每t∈ R+，但在C（R+，R+）中定义双射的解ν，则由严格递增的Cádlág路径ν限制∈ D（R+，R+）根据Д（t）从g派生：=inf{x>0：g（t，x）<0}。