空间不规则常微分方程及其路径解

（2.1）2空间不规则odes的适定性∈ C（R，R），现有理论提供了IVP x=f（t，x）的局部解的唯一性，x（0）=0在某个区间[0，T]上，当w在布朗运动的维纳测度下绘制时，仍然可能（实际上很可能，在波动率建模中）没有固定区间可以几乎肯定地应用该理论。因此，没有固定区间[0，T），即使在方程2.1中相对简单的赫斯顿示例中，也可以使用现有的ODE理论定义一致波动率模型。这说明了Wend（1969）和Cid&Pouso（2009）等局部结果的缺点对于概率应用，有助于解释为什么这些不在主流理论中。考虑到这一点，这里的新结果包括如下定理2.17的直接结果，对于某些t>τ，这并不禁止发现Д（t）=f（t，Д（t））=0。推论2.1（最大唯一性）。提供f∈ F和F（τ，ξ）>0，IVP x=F（t，x），x（τ）=ξ有唯一的最大解。也就是说，问题1.2有一个独特的解决方案。回顾第一章，此类IVP的解决方案Д将建模价格过程的累积方差路径，以及相应的波动性√φ. 所以我们对初始值（τ，ξ）不感兴趣∈ RwhereД（τ）=f（τ，ξ）<0。如上文推论2.1所述，本章进一步假设f（τ，ξ）>0，因为处理f（τ，ξ）=0的情况很微妙。这种处理方法一直保留到第3.1节，在第3.1节中，我们更仔细地研究了此类IVP的解决方案集，并确认这适应了所有严格增加和可区分的路径。这对于波动路径的后果√^1都很富有。

例如，虽然很明显，在间隔时间内，Д不能为零，但Royden&Fitzpatrick（2010）使用病理学示例表明，在任意接近全Lebesgue测度的一组点上，Д仍然可以为零。我们很快将在第2.1节中提供一类与本论文整体相关的“可加分离”IVP示例，但目前我们展示了方程式2.1中熟悉的赫斯顿案例的一个具体示例，以建立F中不同函数的直觉。在方程式2.1中，我们可以自由确定任何w∈ C（R，R），因此可以选择卡尔·韦尔斯特劳斯的病理功能，哈代（1916）对其进行了研究，其霍尔德正则性在齐格蒙德（2003）建立。这允许傅里叶级数表示w（x）：=Xk∈不适用-αksin（2akπx）。（2.2）2任意α空间不规则常微分方程的适定性∈ （0，1），通过Weierstrass M检验，如果a是大于5的奇数整数，则该级数收敛，并且路径w不可微，但α-H"older连续。图3以及方程式2.1中的相应函数f显示了这一点。右面板中的蓝色箭头与后面的相关图一样，提供了向量（1，f（t，x））的方向，ODE解必然与向量相切。请注意，f（t，x）=1的点如何在x轴上形成图形，这与w.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x32101230.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0xf（t，x）=1图3：左面板显示了方程式2.2中的Weierstrass路径w，其中a=7，α=0.25。右面板展示了等式2.1中相应的赫斯顿函数f（蓝色箭头），其中σ=0.25，κ=2，v=θ=1。还显示了f（t，x）=f（0，0）=1的路径。一旦这种高度不规则IVP的唯一性到位，更广泛建模框架的实际相关属性就会到位。

例如，定义截断函数wn（x）：=nXk=0a-αksin（2akπx），fn（t，x）：=σwn（x）+κ（θt- x） +v，（2.3）对于n∈ N、 与w或f不同，它可以准确地存储在计算机内存中。然后，定理2.18的连续相依性结果确定，IVPsx=fn（t，x），x（0）=0的解，将收敛到IVP x=f（t，x），x（0）=02的唯一解，对于均匀分布在紧致上的空间不规则常微分方程，其适定性为n→ ∞, 定理2.20的模拟收敛结果同样证明了计算友好的前向Euler多边形的收敛性。现在，本章的结构如下。第2.1节精确定义了本章中所处理的空间不规则IVP的类别，并提供了Fθ的示例子集 F包含迄今为止提及的所有赫斯顿相关函数的函数。第2.2节后退一步，分析任何函数f的零点∈ F、 尽管与IVP没有直接关系，但这一点不容忽视，对随后的许多结果都很重要。第2.3节讨论了IVP解的最大存在性，但也确定了解的一些基本性质，例如它们是严格递增的，对于波动率建模非常重要。第2.4节、第2.5节和第2.6节分别重点讨论了最大解的唯一性、连续依赖性和模拟。2.1主要问题和示例本节的计划是首先重申第1章中讨论的IVP类别，即集合F C（R，R）函数，本章中的主要结果将适用于这些函数，然后提供简单的子集Fθ F适用于迄今为止提到的VP的示例，例如：。

方程2.1中赫斯顿案例得出的结果。回想一下，本章适用的是问题1.2，为方便起见，在此重复。问题1.2（第2章的IVPs）。对于f∈ F和（τ，ξ）∈ rw其中f（τ，ξ）>0，找到最大解ν∈ C（[τ，T*), R） IVP的x=f（t，x），x（τ）=ξ。根据定义，这意味着对于每一个t∈ [τ，T*), Д（τ）=ξ，也包括T*∨支持∈[τ，T*)|^1（t）|=∞.一些次要的观点是正确的。首先，通过问题1.2的陈述，很明显，我们只寻求在某些集合[τ，T]上定义的解决方案*), i、 e.在时间上从初始条件（τ，ξ）向前延伸。如第1章所述，第3章将考虑向后延伸的“历史”。因此，我们应该将И（τ）解释为右导数。回想一下，我们是否应该在集合C（[τ，T*), R） 对于一些T*∈ (τ, ∞], 那么只有条件T*∨ 支持∈[τ，T*)|^1（t）|=∞ 这将其区分为最大解决方案。该条件意味着Д必须延伸至R的边界，即尽可能远。2空间不规则常微分方程的适定性，对于ν是这样一个解，从而验证了在[τ，t]上的ν（t）=f（t，ν（t））*) 和Д（τ）=ξ，相当于验证积分方程Д（t）=ξ+Rtτf（s，Д（s））ds。尽管这需要证明，但这可以在任何颂歌文本中找到，例如Coddington&Levinson（1955）的第2页。最后，如本论文标题所示，我们将问题1.2中的IVP称为“空间不规则”，因为我们没有对F中函数的空间分量施加规则性条件，如Lipschitz或H"older连续性。“时间严格增加和空间不规则”当然提供了更完整的描述。但是，粗略地说，尽管ourIVPs在时间变量上严格增加，这使得它们有助于volatilitymodelling，即。

确保波动性√如果给出一个解决方案，则很好地定义了^1，正是这些IVP的空间不规则性决定了通过IVP的解决方案集的帮助程度，并将生成的建模框架与相对受限的其他框架区分开来。例如，由于这种不规则性，解集变得如此之大，以至于与依赖于它的传统框架不同，可以容纳现实中观察到的高度不规则的波动路径，具有非常低的、时变的，甚至没有明显的霍尔德规则性。参见Bennedsen、Lunde和Pakkanen（2016），了解此类波动路径的大量经验证据，以及最近对“超”或“超”粗波动模型的研究，如Jusselin和Rosenbaum（2020）和Bayer、Harang和Pigato（2020）。鉴于我们对波动率建模的关注，我们强调“空间不规则”描述。我们现在来看问题1.2的一些例子，其中F中的函数允许加法可分表示F（t，x）=θ（t）- w（x）对于某些θ，w∈ C（R，R）。这些例子可能首先与Kaper&Kwong（1988）的工作有关，作者认为类似的可分离函数。但这些假设实际上是非常不同的，例如，除了在IVP起点，w被假设为单调和可区分的。示例2.2（子集Fθ F） 。让路径θ∈ C（R，R）严格递增且双射，因此限制→±∞θ（t）=±∞, 然后让集合Fθ包含表示为F（t，x）：=θ（t）的函数- w（x）（2.4）对于某些w∈ w（0）<0且supx的C（R，R）∈R+w（x）=∞. 对于任何此类θ，包括Fθ F 然后，使用定义1.1，C（R，R）就非常清楚了，因为对于空间上不规则的常微分方程，每个f（·，x）都是严格的2适定性。

此外，如果保证f（0，0）>0，那么对于任何f∈ FθIVPx=F（t，x），x（0）=0提供了问题1.2的示例，特别是（τ，ξ）=（0，0）。与以下各项相关的假设∞ 在示例2.2中，现在可以忽略，但以后会非常有用。我们将具体使用假设supx∈R+w（x）=∞ （例如，几乎可以肯定的是，布朗运动路径满足了这一要求）以确保IVPsx=f（t，x），x（0）=0的最大解始终是全局的，例如，在所有R+上保持不变。等式2.4中使用的不必要减号稍后也将在示例2.5中进行调整。让Θ包含示例2.2中的函数θ，然后看看我们没有setequivalence∪θ∈ΘFθ=F我们可以考虑F（t，x）=θ（t）型函数-w（x）），其中θ1,2∈ Θ，并且也是乘法类型f（t，x）=θ（t）w（x），前提是w是严格正的。我们不会在我们的应用中探索这些函数，因为我们没有理由相信它们比Fθ中的函数更有助于波动率建模。注意，方程2.1中的Heston函数位于Fθ中，其中θ（t）：=κθt，前提是supx∈R+κx-σw（x）=∞.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0xf（t，x）=1Д（t）0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.000.250.500.751.001.251.501.752.00图4：左面板重复图3中的右面板，但包括VP x=f（t，x），x（0）=0的解。右侧显示了相应的“粗略”波动路径√φ.在图4中，我们说明了IVP x=f（t，x），x（0）=0的解决方案，其中f∈ Fθ，使用图3右面板中的Heston函数，soθ（t）：=κθt。图4中还显示了空间不规则ODE2的适定性对应的波动路径√^1，它显然继承了图3左面板中的DRIVING Weierstrass函数的属性。

当然，必须使用模拟方案来近似Д和Д，我们使用定义2.19.0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0xf（t，x）=1Д（t）0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.000.250.500.751.001.251.501.752.00图5：图4的复制，但使用方程式2.3中n=1的截断可微分路径Wn，而不是α-H"older Weierstrass极限为n→ ∞.现在我们来考虑函数f的零点∈ F、 如图4所示，即R中F（t，x）=0的点与F（t，x）=1的点相关。注意f∈ Fθ，这些零验证了简单的方程式θ（t）=w（x），证明了方程式2.4中的负符号。所以这些零也验证了t=θ-1（w（x）），给定∈ C（R，R）是双射的。2.2 f驱动功能的零点∈ F、 理解rw中F（t，x）=0的点结果是非常有成效的。例如，本章中建立的IVP解的一些基本性质、第3章的极限定理和第4章中的鞅性结果都依赖于引理2.4中定义的cádlág路径，与方程1.9中前面定义的路径相关。由于每个f（·，x）严格递增，这些零点可以用空间不规则ODEspathφ的单2适定性来表征，如引理2.3所述。然而，因为也可能没有点t∈ 其中，对于给定的x，f（t，x）=0∈ R、 我们选择将φ的图像扩展到R之外。所以让R：=R∪{±∞} 表示扩展实线，和[x，∞] := [x，∞) ∪∞ x等∈ R、 我们为R（和子区间）配备了标准拓扑（或“两点紧定”），这是同胚的，例如，在[-1, 1]. 这可以由度量d（a，b）得出：=| tanh（b）- tanh（a）|在R上，tanh（±）∞) := ±1，例如。Aliprantis（1998）可查阅更多详情。

现在用C（R，R）和d（R，R）表示给定这些拓扑的路径集，这些路径集分别是连续的和Cαdlαg。采用惯例sup := -∞ 和inf := ∞. 这使得φ的定义更加紧凑∈ 引理2.3中的C（R，R），尽管检查它是否等于φ（x）是有用的：=-∞ f（t，x）>0t型+∞ f（t，x）<0tt∈ 否则f（t，x）=0。（2.5）下一个结果引理2.3与隐函数定理有关，如Rudin（1976）的Orem 9.28中所述，尽管我们不假设f的可微性。我们的证明依赖于序列的Bolzano-Weierstrass定理（R中的有界序列具有收敛子序列），这在Bartle&Sherbert（2018）中作为定理3.4.8给出。引理2.3（零路径）。对于f∈FC（R，R），定义函数φ=φf:R→ R乘以φ（x）：=sup{t∈ R:f（t，x）<0}。（2.6）那么φ是C（R，R）中定义良好的路径，每当φ（x）时，验证f（φ（x），x）=0∈ R、 证明。很明显，使用方程式2.6，φ：R→ R是一个定义良好的函数，方程式2.5中的三种情况仅遵循sup := -∞, 辅助R=∞以及每个严格递增f（·，x）的连续性。无论何时φ（x）∈ R、 然后我们在方程2.5中的第三种情况下，很明显f（φ（x），x）=0，为了建立证明，只剩下证明这个函数φ在C（R，R）中。这里的证明使用了序列的极限。所以让{xn}n∈N R是带xnn的序列→∞----→ xin R，但是，对于一个矛盾，假设φ（xn）n→∞----→ φ（x）在R中被破坏。这个散度提供了一个开放球B 围绕φ（x）的空间不规则常微分方程的R2适定性，使得在R\\B中有很多φ（xn）。通过考虑{xn}n的子序列∈如有必要，我们可以选择w.l.o.g。

假设φ（xn）∈ R\\B每n∈ N、 因为R上的拓扑与R上的欧几里德拓扑同胚[-1，1]，Bolzanovierstrass定理提供了一个子序列{xnk}k∈再验证φ（xnk）k→∞----→ t型∈ R、 重要的是，t6=φ（x）源自确保φ（xn）∈ R\\B每n，相对φ（x）∈ B、 再次重新定义{xn}n∈如有必要，我们可以假设w.l.o.g.φ（xn）n→∞----→ t6=φ（x）保持不变。现在假设t<φ（x），并且fix任意t*∈ （t，φ（x）） R、 使用公式2.5，如果φ（x）=∞, 那么我们有f（t*, x） 定义<0，如果φ（x）<∞, 然后f（t*, x） <f（φ（x），x）=0从严格增加的f（·，x）得出。Sof（t*, x） 确保<0。自φ（xn）n起→∞----→ t<t*, 我们可以假设w.l.o.g.φ（xn）<t*对于每个n，如前所述，如果φ（xn）=-∞, 然后f（t*, xn）>0，如果φ（xn）>-∞, 则0=f（φ（xn），xn）<f（t*, xn）从严格递增的每个f（·，xn）开始。So f（t*, xn）>0是每个n的保证。f的连续性现在提供了矛盾0<f（t*, xn）n→∞----→ f（t*, x） <0。（2.7）t>φ（x）的分析实际上是相同的，这些不等式是相反的。由于这些矛盾，收敛φ（xn）n→∞----→ t： =R中的φ（x）必须保持不变。所以，对于任意序列{xn}n∈N、 收敛性xnn→∞----→ xin R表示φ（xn）n→∞----→ R中的φ（x）。这相当于φ的未决索赔∈ C（R，R），因此证明是完整的。路径φ∈ C（R，R）清楚地刻画了f的零点，以及整个集合{φa}a∈Rof路径的定义类似，其中f（φa（x），x）=a。图4中的红线，其中f（t，x）=1thus与φ（x）重合。通过一些工作，使用微分不等式，每个这样的路径φa∈ C（R，R）可用于构造对应IVPx=f（t，x），x（τ）=ξ的任何解的界。

我们将只关注φ=φ，它具体导致引理2.4中正确定义的路径，该路径稍后作为引理2.6中的解边界建立。对于φ∈ C（R，R）和（τ，ξ）∈ R、 下一个结果引理2.4使用了“退出时间”符号E（φ）=Eτ，ξ（φ），这是指在[τ，∞), 带inf := ∞, 通过（φ）（t）：=inf{x>ξ：φ（x）>t}。（2.8）2空间不规则ODE的适定性在定义3.9中适当规定了退出时间函数E，但这些细节现在过于详细。然而，注意方程2.8中定义的函数E（φ）的一些性质非常有用，Whitt（2002）第13.6节对此进行了广泛分析。为此，允许φ为D（R，R）中的任何路径，以验证supx∈[ξ,∞)φ（x）=∞. 那么很明显E（φ）（τ）≥ ξ、 实际上是E（φ）（t）∈ [ξ, ∞) 对于每个t∈ [τ, ∞), 鉴于此，SUPX∈[ξ,∞)φ（x）=∞. 同样清楚的是，E（φ）是非递减的。不太清楚的是，E（φ）是dl，因此定义了D（[τ，∞), [ξ, ∞)). 为此，请注意，anyt存在左极限*∈ [τ, ∞) 自，超过[τ，t*), E（φ）单调且有界于[ξ，E（φ）（t*)]. 右极限也是如此。右连续性最好通过矛盾来观察：任意x*:= E（φ）（t*),然后，由于在方程式2.8中使用了“φ（x）>t”（与“φ（x）”相反）≥ t\'），不等式supx∈[x*,x个*+)φ（x）>φ（x*) 适用于每个 > 如果假设存在右不连续，则命名为点t*∈ [τ, ∞) 其中x+*:= 限制↓t型*E（φ）（t）>E（φ）（t*) =: x个*, 然后supx∈[x*,x个*+)φ（x）>φ（x*) 违反了 ∈ （0，x+*-x个*). 最后，有两种情况可以使（φ）在一个区间内不增加：要么φ（ξ）>τ，然后区间是[τ，φ（ξ）），要么给定一个向上的不连续limx↑x个*φ（x）=：φ（x-*) < φ（x*), 那么间隔是[φ（x-*), φ（x*)).假设φ（ξ）≤ τ和φ∈ 因此，C（R，R）排除了此类间隔，使得E（φ）严格增加。