空间不规则常微分方程及其路径解

考虑到等式1.5，我们可以写出St：=exp（WρXt-Xt）=∧Xtwhere∧x：=exp（Wρx-x） ，我们必须了解复合路径{wo ^1n}n∈对于一些（w，Дn）∈ C×Φas n→ ∞.一般来说，路径复合收敛o^1nn→∞----→ wo在所有Skorokhod的度量空间上，都违反了φ，在推论3.25之后，我们展示了如何通过参数表示来理解极限引入（φ-1n，w），构成价格过程路径的自然高维表示。通过定理3.26，我们展示了序列{wo^1n}n∈Ncan可开发瞬时但有限的偏移，如n→ ∞, 以及该序列如何收敛到紧致区间值极限woД，与w密切相关oν，关于图之间的Hausdorff距离，一般为R+×R（w，Д）∈ C×Φ这些区间值限值wo是为每个t定义的∈ R+by（woД）（t）：=w（x）：x∈ [^1（t-), ^1（t）]（1.14）式中，通常-) := lims公司↑tД（s）。顺便说一句，这些极限与等式0.4中的指数化NIG过程的区间值推广路径完全相同，因此为回答和推广序言中与赫斯顿和NIG价格过程以及依赖于这些过程的衍生品相关的问题提供了理论基础。第4章：路径波动率建模框架。至此，所有路径理论都已到位，可以建立一个概率波动率建模框架，该框架可以用表达式Xt=Yt、Xt和St=exp进行总结WρXt-Xt公司在方程1.5中，其中Y={Yt，x}（t，x）∈R+是集合G中的随机字段a.s.返回函数 C（R+，R）。为此，我们首先在第4.1节中明确了随机IVP x=Yt，x，x=0和解决方案的含义。

这是确定性IVPfrom问题1.4的自然推广，与Strand（1970）中的“SP”（样本路径）公式一致。这一一般表述对比了宋楚瑜（1973）和韩克洛登（2017）的应用文本的重点，因为这些文本依赖于利普希茨条件来获得良好的性能。这种依赖性通常会降低x=h（Zt，x）型随机常微分方程的一般性，其中h是固定的，且在空间上是Lipschitz。这显然对一般的波动率建模限制太大，因为即使在方程1.4的赫斯顿情况下，我们也有x=h（t，Zx），其中h（t，Z·）继承了-  布朗运动的H"older正则性。在陈述了问题4.3中我们关注的随机IVP之后，我们巩固了前两章适用于解决方案X={Xt}t的路径结果的结果∈R+。例如，推论4.5表明，路径a.s.在Φ中的任何过程X都可以构造为问题4.3的唯一解，这意味着我们在理论上能够对St=exp类型的任何1引入价格过程建模WρXt-Xt公司. 但根据推论4.6，我们从可加分离类型Yt的随机场开始，x=θ（t）- zxf用于volatilitymodelling，其解集仍然包含所有X∈ Φ带a.s.lim输入→∞Xt<∞.作为旁白，通过以下语句：∈ Φ我们总是指a.s.意义上的，即在空间上(Ohm, F、 P）我们有P[X∈ Φ]：=P[ω∈ Ohm : X（ω）∈ Φ] = 1. 当我们开始在Y旁边施加进一步的a.s.条件时∈ G、 请注意，如果{Ohmn} 是的可数子集Ohm 如果是完全P-测度，则交点也是Ohm*:= ∩nOhmn、 自咨询Billingsley（1995）以来，P[∩nOhmn] =1- P[(∩nOhmn） c]=1- P[∪nOhmcn]≥ 1.-XnP公司[Ohmcn]=1。

（1.15）在本章中，始终可以明确定义此类相交集Ohm*我们的分析和结果对每个结果ω都适用∈ Ohm*. 这正好是一个路径框架，其中所有模型都具有无概率意义。最后，至此，我们已经准备好完全指定由表达式St=exp总结的价格流程框架WρXt-Xt公司, 定义4.7。在此之后，我们可以调用进程√X S的波动性，尽管累积方差过程X具有普遍性，但这一点当然得到了很好的定义∈ Φ和它与（W，W）的任意关系。接下来的两节重点介绍定义4.7中非常通用的子框架，该子框架展示了某些理想的特性，然后第4.4节在这些子框架的交叉处介绍了一个特定的模型。图2中的维恩图描述了这种情况。第4.1节：一般波动率建模框架第4.2节：广义Heston子框架第4.3节：鞅子框架第4.4节：Riemann-Liouville-Heston模型图2：显示第4.1章引言中定义的框架和模型的维恩图更具体地说，第4.2节在定义4.10中定义了广义Heston子框架。在这个子框架中，价格S及其累积方差X的模型验证了方程X t=σZXt+κ（θ（t）- Xt）+v，St=expWρXt-Xt公司, （1.16）其中σ，κ，v>0，ρ∈ [-1，1]可以像通常的Heston参数一样进行解释，θ是C（R+，R+）中的任意双射路径，Z={Zx}x∈路径在C（R+，R）中的进程。很明显，当θ（t）=θt且Z=W时，这与方程1.4中的经典Heston情况相吻合，但与方程1.1中的Heston It^oSDEs不同，这些模型对于任何Z a.s都能很好地定义R+。验证supx∈R+κx-σZx=∞. 该a.s.条件同时确保方程1.16中的隐式随机场为a.s。

在G中，与方程1.10中的过程类似，支配X的cádláG过程X存在于整个R+。定理4.16和定理4.17在本节末尾展示了直接来自随机领域的支配过程X的力量。这些结果提供了Z确保矩母函数（MGF）MX（p，t）：=E【epXt】存在的条件，这对于在第4.3节中建立S的鞅性很重要。第二个结果集中于具有次线性方差增长的高斯过程，如分数布朗运动，这是由于Gatheral et al.（2018）和Bayer et al.（2016）在波动率建模中越来越突出，我们将在第4.4节中使用。在第4.3节中，重点是一个子框架，其中所有价格过程都是鞅。主要借鉴Cont&Tankov（2003）和Guyon&Henry Labordère（2013），讨论了鞅对衍生品定价的重要性，并重点强调了实用性。到目前为止，对随机场Y和布朗运动（W，W）之间的关系没有任何限制，除了两者都是随机元素(Ohm, F、 P），因此通过St=exp对X和Wρ定义S没有限制WρXt-Xt公司.以定理4.26为顶点，我们现在展示了Y应该如何适应自然过滤{Fx}x∈由（W，W）生成的R+，以确保定义4.25框架中的价格S是Gt：=过滤空间上的FXt鞅(Ohm, F、 {Gt}t∈R+，P）。与迄今为止介绍的模型一致，在这个鞅框架中忽略了随机利率的现实。理论上，这相当于假设利率为零，因此通常的银行账户数字B={Bt}t∈R+不变1简介BT=B：=1，价格过程S与其折扣对应物B一致-1秒。

参见Brigo&Mercurio（2006）和Andersen&Piterberg（2010），了解数字和折扣的背景。在未来，可以很容易地引入与Wρ和x无关的随机利率。否则，将利率的波动性与价格过程联系起来将是和谐的，例如，采用利率rX={rXt}t∈R+适应{Gt}t∈R+AND银行账户编号Bt：=exp（RtrXsds），因此价格过程St=Btexp（WρXt-Xt）。回到方程式1.3总结的与Doeblin\'swork相关的一些动机，我们顺便澄清一下，在这个鞅子框架中，随机IVP解x定义了布朗运动Wρ的常规时间变化，定义为4.21，与Revuz&Yor（1999）一致。因此，我们的总体定义√Xof波动率与It^o的演算中最传统的波动率一致，取决于二次变化[·]。具体而言，我们可以确认[对数S]=X a.S.成立。在这一点上，所有的概率理论都已经到位，从业者可以在我们的框架内开始定义模型，从早期的路径分析中我们知道，与其他模型相比，该模型非常普遍和稳定。第4.4节定义了“RiemannLiouville-Heston”（RLH）模型，该模型展示了广义Heston子框架和鞅子框架，因为它位于这些子框架的交叉点，如图2所示。该模型背后的思想非常简单，可以通过调整方程1.3 toXt=σWαXt+κ（θt）来总结- Xt）+v，St=expWρXt-Xt公司, （1.17）其中，我们简单地将布朗运动ww替换为其Riemann-Liouville分数阶导数Wα：=某阶α的Dα（W）∈ （0，），因此，在α=0的边界情况下，恢复了经典的Heston模型。

在我们的框架中，这种布朗运动的替代是可能的，不需要任何额外的适定性分析，这一事实不应该被认为是理所当然的，这让人想起了Friz&Victoir（2010）和Friz&Haier（2014）的介绍中给出的粗糙路径理论背后的一些动机。与Wα一样，方差过程Xbecomes H"older regular的阶数为（0，-α） ，很清楚如何在RLH模型中选择分数阶导数α来重现波动率可以表现出比布朗运动低得多的H"older规律的证据。1简介该模型在定义4.31中有详细说明，但在此之前，根据Hardy&Littlewood（1932）至Hamadouche（2000）的理论，提供了RiemannLiouville分数导数的背景。该理论对于建立衍生品定价模拟方案的收敛性非常重要，这是第4.5节的重点。该方案用于生成第4.5节末尾的隐含波动率，与经典Heston模型的波动率进行对比，展示了期望的特征，如倾斜的幂律缩放（在序言中讨论）和曲率，由领先的粗糙波动率模型显示。附录中提供了此模拟方案的独立和简化python代码，种子输出如图22所示。最终目标是使用RLH模型来说明第3章的路径限制结果，并将其专门化为经典的赫斯顿模型，以便准确回答序言中的激励问题。

第4.6节中最引人注目的发现如下。首先，设Sn为定理0.1中的经典Heston过程，定义Xt为方程0.3和方程0.4中的IG过程，并定义cádlág和区间值过程ot： =经验值p1级- ρWXt+2ρ- σ2σXt-ρθσt,Sot：=经验值Wρx-x个: x个∈ [文本-, Xt]. （1.18）然后So是定理0.1中的exp-NIG过程，而So是方程1.14中区间值路径woД的随机对应物。包含Sot型∈ Sot=：[S-t、 在引理4.56之后，S+t]变得清晰起来，它澄清了反直觉的表述ot=exp（WρXt-Xt），其中Sot={Sot} 几乎到处都有（a.e.）跟着，意思是S-t=Sot=S+t。然后，尽管我们证明了定理0.1中的收敛性可以推广到sn到S的有限维分布的收敛性o或者点式收敛，即在a.e.路径上，Snin R+×R的图实际上弱收敛于So的图，关于推论4.58中的Hausdorff距离。因此，SN开发了紧凑的空间偏移，大小为S+t- SoTuwards和Sot型- S-tdownwards，它几乎不存在，但在时间上却很密集，就像X的不连续性。图15非常有助于可视化（和验证）这种特殊的Hausdorff收敛。1引言第5章：结论。

虽然我们并没有着手探索第4章的波动率建模框架，而是在考虑第4.6节最终回答的问题时，这些框架在过去几年中逐渐显露出来，但到目前为止，我们已经从问题1.4财务角度为我们的空间不规则IVP的价值提出了一个令人信服的案例。但事实上，很明显，这些在理论上有利于任何动态系统的建模，因为双射解（我们在上下文中标记为累积方差路径）本质上是对时间本身的建模，而时间本身是所有动态系统的核心定义。与其他领域不同的是，时间建模本身在金融领域是一个非常自然的概念，许多作者都利用了这一概念，主要是通过从属的莱维过程，如巴恩多夫·尼尔森和谢泼德（2001a）、杰曼、马丹和约尔（2001）和卡尔·吴（2004）等。这是因为我们旨在建模的价格基本上是通过参数观察的，贸易的时间和空间成分都是由确定性贸易识别者捕获的另一个时间概念索引的，两者都是广义的。对于其他领域的应用，我们的IVP的一般时间不可逆性，如第3章所述，与未来和过去之间的明显不对称性特别一致，这与熵的严格增加和热力学第二定律有关。当然，我们将这些令人兴奋的一般考虑因素留给了未来，在第五章中，我们将重点讨论本论文可能提出的未来金融研究的几个更具体的想法。这包括此处处理的ODE的理论“Carathéodory”扩展，以及方程1.18中令人惊讶的区间值极限（如So）的实际含义。结语：综合CIR-Lévy关系。

正如前面所讨论的，结语完全从It^oSDEs的角度巩固和概括了我们所认为的赫斯顿和尼格关系的起源。虽然我们的证明当然需要随机IVP，但这纯粹是从这个更容易理解的角度提出的。为此，我们首先根据DVNT=nαapVntdWt+n（b），对Heston的CIR SDE进行了彻底的参数化- nβ-1Vnt）dt，Vn=nγc.（1.19）指数α，β，γ∈ (-∞, 1] 然后控制每个术语的缩放方式为n→ ∞ 与复归术语nb相比，提供了与Heston（1993）、Fouque et al.（2011）和Mechkov（2015）的1个引入制度相一致的特定选择。根据这些指数的选择，表1确定了综合CIR过程中可能出现的八种Lévy过程。其中两个是退化的，但也有两个出现在随机起点上。因此，本论文不仅通过随机IVP的新应用适应了波动率的连续、粗糙和跳跃模型，而且在此我们还研究了Mechkov（2016）和Jacquier&Shi（2019）研究的模型。2空间不规则odes的适定性2空间不规则odes的适定性本章的主要结果涉及一阶一维IVPs x=f（t，x），x（τ）=ξ，其中f属于子集f 第1章的C（R，R），为了方便起见，在这里重复。定义1.1（函数集F）。让子集F C（R，R）包含f（·，x）每x严格递增的函数f∈ R、 对于某些（τ，ξ），f（τ，ξ）>0∈ R、 本章的重点是这些IVP的适配性，这对我们来说意味着解决与解决方案的存在性和唯一性、连续依赖性和模拟相关的问题。

继Lipschitz（1876）和广泛的基于空间正则性的唯一性理论之后，如在Agarwal&Lakshmikantham（1993）中大量收集的，尚未考虑此类IVP最大解的适定性，即问题1.2的适定性。尽管ODE隐含地依赖于Wolfgang Doeblin在1940年对差异的处理中出现的函数inF（以“时间变化”的形式呈现，如方程式1.3所示），如第1章所述，并在Bru&Yor（2002）中广泛讨论。由F中的函数驱动的ivp的局部唯一性理论确实存在，并且F（·，x）可以松弛为非递减偶。这一研究路线可以认为起源于Peano（1890）的一个简单的唯一性结果，但本质上终止于Wend（1969）。第2.4节详细介绍了这一点。这篇终端文章最相关的结果在Agarwal&Lakshmikantham（1993）的定理2.6.1中给出，但在经典Hartman（2002）等主流文本中被省略。实际问题正是这个局部性，它减少了考虑的时间间隔[τ，T]，直到我们知道f（T，ν（T））>0适用于局部解∈ C（[τ，T），R）。有鉴于此，唯一性证明变得简单明了，并得到了Cid和Pouso（2009）的一般工作的支持。第1章讨论了这种局部约束的不切实际性，以及方程1.1中Heston模型的IVPderiving，这在波动率建模中很重要。考虑到方程1.6，fixσ，κ，θ，v>0和w∈ C（R，R），然后定义f∈ F使用F（t，x）：=σw（x）+κ（θt- x） +v。