空间不规则常微分方程及其路径解

（1.8）用等式1.6中的g表示代替，该cádl"eg路径的形式为Д（t）：=inf{x>0：κx- σw（x）>κθt+v}。（1.9）现在用过程w替换布朗运动路径w：=w（ω），并用X（ω）：=Д在路径基础上定义cádlág过程X，然后从方程1.9我们得到xt：=inf{X>0：κX- σWx>κθt+v}。（1.10）咨询Applebaum（2009），该过程X不是IG Lévy过程以外的过程，也具有IG分布随机起点X>0。因此，我们相对简洁地展示了如何在路径基础上使用这些空间不规则ODS考虑赫斯顿模型，这有助于确定该模型与NIG Lévyprocess的关系。为清楚起见，如方程式0.3所示，NIG过程严重依赖于IG过程，就像赫斯顿价格过程依赖于综合方差过程Xt：=RTVSD一样。方程式1.9中的路径Д是所有w的D（R+，R+）的明确元素∈满足supx条件的C（R+，R）∈R+κx-σw（x）=∞ 更直观地介绍了这种方法如何推广Heston和NIG连接。事实上，我们最终会理解，D（R+，R+）中的任何严格增长路径如何可以构造为我们的IVP解的alimit，因此，任何D（R+，R+）中的路径作为随机IVP解的极限的严格增长过程X，以及任何S型价格过程=exp（WρX-十） 。既然本文研究的空间不规则常微分方程与路径波动率建模之间的联系已经很清楚，我们将从此类常微分方程的适定性基础开始，详细概述每章和每节中的主要结果。第二章：空间不规则常微分方程的适定性。本章的重点是一类一阶一维常微分方程x=f（t，x），其中f是C（R，R）中的一个函数，具有一些额外的简单性质。

这些属性由以下集合捕获。定义1.1（函数集F）。让子集F C（R，R）包含f（·，x）每x严格递增的函数f∈ R、 对于某些（τ，ξ），f（τ，ξ）>0∈ R、 在考虑各种可能性时，F中函数的这些性质在简单性和通用性之间形成了平衡，我们知道这些可能性会导致严格递增的VP解。如前所述，这确保了Д可用于建模具有显著波动性的价格累积方差路径√^1，假设Д始终为非负。事实上，F中的函数不必具有任何空间正则性性质，例如F（t，·）不必是Lipschitz或H"older连续的，这一方面使这些常微分方程超越了经典理论，但另一方面使我们能够对丰富的波动路径集进行建模。请注意，F中的函数 这里的C（R，R）与g不同∈ 方程式1.6中定义的C（R+，R），与赫斯顿模型相关。这是因为，在这个阶段，我们不想假设解决方案^1通过（0，0）∈ R、 即，验证Д（0）=0，并随后包含在R+中。处理不同的初始值（τ，ξ）∈ 当f（τ，ξ）=0时，r变得很微妙，因此本章只关注与f相关的IVP，下一章将其简化为与子集g中的函数g相关的IVP C（R+，R）和（τ，ξ）=（0，0），只有一次F和任意初始值（τ，ξ）∈ 罕见的完全理解。1简介与方程1.1中的赫斯顿模型一样，我们始终对从初始状态即当前状态开始的时间向前的解感兴趣。

该状态由值τ、ξ和f（τ，ξ）描述，给出了必须验证的要求Д（τ）=ξ和Д（τ）=f（τ，ξ）。给定这些值，可以将解Д的任何“历史”视为由方程1.6定义f中的σ、κ、θ、v等参数描述。只有在第3章中，我们才会考虑某些区间（T，τ）上的此类历史，这必须解决终值问题（TVP）x=f（T，x），x（τ）=ξ，以帮助理解τ、ξ和f（τ，ξ）的合理值。对于给定的IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ，了解最大域[τ，t]至关重要*) 存在解决方案，即保持不变。这是因为，当我们移动到随机过程X解方程1.4中随机IVPA的概率设置时，我们必须禁止，例如，使用Xtt→T*---→ ∞ 某些T的正概率*< ∞. 考虑到St=exp（WρXt）等价格过程的可能行为，这种爆炸不仅是不自然的-Xt）作为t→ T*, 但从数学上讲，我们甚至不清楚如何理解这些随机过程实际上应该被视为常规随机过程，即提供一个函数集和σ-代数，这些对象从中定义可测量的映射(Ohm, F、 P），以便进行概率计算。因此，本章的重点问题如下，鉴于理解最大域的重要性，将始终强调最大解。这些与非最大解的差异仅通过T上的最终条件*∨ 支持∈[τ，T*)|^1（t）|此处。问题1.2（第2章的IVPs）。对于f∈ F和（τ，ξ）∈ rw其中f（τ，ξ）>0，找到最大解ν∈ C（[τ，T*), R） IVP的x=f（t，x），x（τ）=ξ。

根据定义，这意味着对于每一个t∈ [τ，T*), Д（τ）=ξ，也包括T*∨支持∈[τ，T*)|^1（t）|=∞.这个最大条件T*∨ 支持∈[τ，T*)|^1（t）|=∞ 相当于描述，从τ开始，时间向前，解ν\'达到R的边界\'。一旦我们知道问题1.2的解决方案正严格增加，我们将获得代表支持∈[τ，T*)|Д（t）|=|ξ|∨ 限制↑T*Д（t）=：|ξ|∨ 十、*, 所以可以开始简单地写T*∨ 十、*= ∞.可追溯到Peano（1890）的经典ODE理论证明，对于任何初始条件（τ，ξ），问题1.2中的最大IVP解始终存在∈ R、 提供f∈ C（R，R）。1引言Lakshmikantham&Leela（1969）可参考该理论，特别是关于解的存在性和“延续性”的理论1.1.2和1.1.3。第2.1节中的一些重要子集Fθ 引入F，其中包含具有简单可加可分表示F（t，x）=θ（t）的函数- w（x）对于某些θ，w∈ C（R，R）。函数集Fθ和问题1.2的相关案例与本论文的整体相关，因此将始终用于帮助澄清新结果。注意，方程1.6中的赫斯顿函数g可以用类似的可加可分形式表示。在第2.3节中，我们开始建立问题1.2的最大解的一些性质，但不假设这些解是唯一的。但在此之前，在第2.2节中，我们只关注了解F中任何函数的零点，即rw中F（t，x）=0的点，因为这种理解有助于后面的许多结果。

在本节中，引入了与方程式1.8中定义的路径类似的严格递增的cádlág路径，每当Д（t）<∞ 并最终将绑定上面的任何解决方案。在第2.4节之前，我们将理解，如果我们选择初始条件，使得f（τ，ξ）>0，那么问题1.2的任何解确实是严格增加的，正如所期望的那样。这确保了在某个集合C（[τ，T）中，任何最大解Д构成一个双射*), [ξ，X*))带T*∨十、*= ∞, 我们在f上提供了附加条件，合并在推论2.11中，确保T*或X*大于R中的任何选定值，或∞.我们现在可以考虑问题1.2中f（τ，ξ）>0的假设，也就是说最初的Д（τ）>0，是否会导致这种双射∈ C（[τ，T*), [ξ，X*)) 满足所有t的ν（t）>0∈ [τ，T*). 事实上，我们可以用公式1.6中的Heston示例来确认情况并非如此，即可以找到（t）=0的点。在本例中，当在维纳测度下对w=w（ω）进行采样时，发现ν（t）=0的概率与发现Vt=0的概率一致，其中V通过方程1.1求解CIR SDE。然而，众所周知，每当CIR SDE的参数超过“Feller条件”σ时，该概率都是严格正的≤ 2κθ. 例如，见Feller（1968）或Cox等人（1985）。始终使用最大解，因此处理发现ν（t）=0的可能性，使得定理2.17中的唯一性结果成为本论文最重要的一个结果。适用于最大解是将此结果排除在现有理论范围之外的原因，也是导致稳健概率建模框架的原因。如第2.4节所述，适用的现有理论以Wend（1969）结束，该理论仅适用于已知φ（t）>0的情况。

即使在Heston情况下，如果σ>2κθ（通常需要），则不存在区间[0，) 其中，ν（t）=Vt（ω）>0 a.s.，因此无区间，在该区间上，我们有一个有助于概率应用的唯一性结果。如果westick to It^oSDEs，我们确实有这样一个结果，由Yamada&Watanabe（1971）提供。在唯一性部分之后，在适定性一章中，我们分别在第2.5节和第2.6节中介绍了连续依赖和模拟收敛结果。除了澄清建模框架的稳定性属性外，前者还可以帮助我们进一步定义随机IVP解决方案（如方程式1.5中的X）构成可测量地图的意义(Ohm, F、 P），富裕随机过程也是如此。regardingsimulation的目标仅仅是确定最基本、易于实现的前向Euler模式将始终收敛到唯一的最大解，并为未来留有优化空间。第三章：解空间和退出时间限制。本章的第一个目标是提供条件，以保持前一章的适定性，同时额外调节初始值（τ，ξ）∈ rw其中f（τ，ξ）=0。如前所述，对于某些t>τ，我们可能会发现Д（t）=f（t，Д（t））=0，因此，如果ODE x=f（t，x）在任何时间间隔（τ）上存在严格递增的解，则可以确保定理3.1中适用于问题1.2的条件- , τ] 达到（τ，ξ），即Д（τ）=ξ。这就是说，如果当前状态（τ，ξ）存在有意义的“历史”，则f（τ，ξ）=0是确定的，其中≥ 0左右波动率√^1已定义。这些历史记录可能不是唯一的，即问题1.2总是生成唯一的未来解决方案，但这可能没有唯一的过去，这说明这些IVP是不可逆的。

考虑到每个f（·，x）严格增加的假设显然是不可逆的，这可能被认为是显而易见的。Zumbach（2009）在《金融学》中对时间相关对称性进行了著名的处理，Blanc、Donier和Bouchaud（2017）对时间相关对称性进行了推广。现在有很好的证据表明金融过程，如一般的自然物理（参见热力学第二定律），表现出时间反转不对称。El Euch、Gatheral、Radoici'c&Rosenbaum（2020）和Cordi、Challet&Kassibrakis（2020）给出了此类asym1引入金融的最新情况，我们将对其进行未来的调整。第3.1节的重点是对函数施加附加条件，以确保问题1.2的解决方案具有建立概率波动性建模框架所需的特性。首先，我们需要唯一的双射极大解∈C（[τ，T*), [ξ，X*)) 永远存在，在空间上无界，也就是说，我们想要*=十、*= ∞, 因为价格过程的行为St=exp（WρXt-Xt）在路径X（ω）=作为t时不需要↑ T*否则在处理了不同初始状态的后果后，我们现在w.l.o.g.fix（τ，ξ）=（0，0），施加f（0，0）≥ 0和定义的函数仅大于+，如方程1.6中的赫斯顿情况。与F相关，我们得到以下集合。定义1.3（功能集）。让子集G C（R+，R）包含如下函数：1。g（0，0）≥ 0; 2.g（·，x）严格地为每x增加∈ R+，和；3、infx∈R+g（t，x）<0t型∈ R+；4、监督∈R+g（t，x）>0x个∈ R+。（1.11）尽管集合G的定义比F更复杂，但相应的问题，如下文所述，更容易分析。我们现在只考虑全局解，即最大解，如问题1.2所定义，但其中最大时间间隔[τ，T*) 为R+。问题1.4（第3章的IVPs）。

对于g∈ G、 找到全球解决方案∈ VP x=g（t，x），x（0）=0的C（R+，R+）。也就是说，验证Д（t）=t的g（t，Д（t））∈ R+和Д（0）=0。有了这个问题，论文其余部分的基础已经到位，即对于avolatility建模框架，其中累积方差过程在路径基础上解决问题1.4的空间不规则IVP x=g（t，x），x（0）=0。在定理3.3中，我们巩固了前一章的重要适定性结果，但适用于问题1.4。这是条件3。和4。分别确保T*= ∞ 和X*= ∞,所以问题1.4的任何最大解都是自动全局的。在定理3.3中，我们还明确指出，任何此类全局解Д更具体地位于以下路径集中。定义1.5（设置Φ个路径）。设集合Φ包含C（R+，R+）中的双射路径。1简介在第3.2节中，我们首先关注问题1.4的解决方案集，即建立精确的Φ累积方差路径，可以使用这些IVP建模。这不仅是该集合的整体，而且在定理3.4中，我们提供了依赖于子集Gθ的IVP示例 可加分离函数G（t，x）：=θ（t）- w（x），如方程1.6中的赫斯顿情况，其产生任何特定的ν∈ Φ作为问题1.4的唯一全局解决方案。此外，在定理3.6中，我们证明了我们甚至可以用supt在C（R+，R）中定义路径θ∈R+θ（t）=∞, 并且仍然生成任何解决方案∈ Φ满足要求∈R+θ（t）- ^1（t）=∞, 因此，任何满足较弱条件的→∞Д（t）<∞. 考虑到我们永远不需要对波动路径建模，这个条件对我们的目的没有限制√^1lim信息→∞^1（t）=∞.

至此，我们已经证明问题1.4的IVP非常适合波动率建模。第3.3节是回答序言中有关赫斯顿和尼格模型的初步问题的最重要部分。从数学上讲，这与理解集Φ的不连续极限点如何从问题1.4的简单解序列中产生有关。兴趣极限由以下超集Φ表示。无意中，该集合a.s.包含方程式1.10中IG过程的路径Д=X（ω）。定义1.6（设置Φ个路径）。让超集Φ Φ包含D（R+，R+）中严格递增的Cádlág路径，该路径也是无界的，即验证极限→∞^1（t）=∞.在本分析中，我们在定义3.12中指定了一个新的“统一退出时间”度量dΦ。通过定义3.9的“退出时间函数”定义，该指标仅考虑Φ中路径之间的时间统一性，而不是空间统一性。因此，与Skorokhod（1956）的备选方案相比，它的定义和使用要简单得多，并且在Φisstronger上比那里的两个指标都强。我们最终将证明问题1.4的解集Φ在（Φ，dΦ）中是稠密的，并且这个度量空间是可分的和完备的。因为从第3章开始，我们将始终研究无界解的无界域R+∈ 问题1.4的Φ，我们通过统一的半形式kwk[0，T]：=supt来定义我们关于C的标准度量d：=C（R+，R∈[0，T]| w（T）|根据tod（w，w）：=kw- wkR+：=Xn∈N-n（1∧ 千瓦- wk[0，n]）。（1.12）1简介这可以解释为可数积×nC（[0，n]，R）上的阻尼一致范数。因此，（C，d）是可分的和完整的（参见Billingsley（1999）的附录M6，以获得成功的证明），并且（C，d）上的收敛性与所有紧约束C（[0，n]，R）上的收敛性一致。

这可以通过拆分方程式1.12中的和来获得边界k·kR来看出+≤ nk·k【0，n】+2-n、 正是w.r.t.这种一致收敛超越了通过方程1.12定义的退出时间度量dΦ‘考虑时间上的一致性’。具体而言，对于路径Д1,2∈ Φ  Φ，带倒数-11,2∈ C、 我们得到Φ（Д，Д）=kД-1.- φ-1kR+。（1.13）也是w.r.t.r+和r+中紧集上一致收敛的拓扑，定理3.3建立了问题1.4的解图，将每个g带到IVP x=g（t，x），x（0）=0的全局解ν，从g连续 C（R+，R）至Φ C（R+，R）。在本章的主要限制性结果定理3.17中，我们展示了路径如何∈ Φariseas x=ngn（t，x），x（0）=0，as n类型问题1.4解的（Φ，dΦ）极限→ ∞.此外，在定理3.18中，我们明确构造了任何此类极限∈ Φ，它最终为定理0.1中赫斯顿和尼格极限关系的大量推广提供了路径基础。例如，这些结果解释了方程1.6中用g求解IVPs x=ng（t，x），x（0）=0的累积方差路径νn=：Xn（ω）如何收敛于方程1.9中IG Lévy过程的路径x（ω）：=ν（Φ，dΦ），如n→ ∞. 结语被认为是我们在序言中关于运动问题的发现的最深层来源，它阐明了几个Lévy过程如何成为集成CIR过程（Φ，dΦ）的弱极限，这些集成CIR过程解决了方程1.1中的问题，而不是解决了方程1.5中的相关随机IVP。第3.5节中本章的最终目标是发展路径理论，以理解方程1.5中价格过程路径S（ω）在这些退出时间限制Xn（ω）：=Дnn下的结果行为→∞----→ Д=：X（ω）开（Φ，dΦ）。