空间不规则常微分方程及其路径解

Whitt（1971）也获得了相关函数E的连续映射性质，并在Puhalskii&Whitt（1997）中得到了利用。在接下来的内容中，将对这些观察结果进行微小的扩展，特别是为了适应这里的两个主要差异，在引理2.3之后，其中φ在C（R，R）中，而不是在C（R，R）中，并且其中supx∈[ξ,∞)φ（x）<∞ 是可能的，而不是supx∈[ξ,∞)φ（x）=∞.引理2.4（Cádlág零）。采用引理2.3的假设。然后对于任何初始值（τ，ξ）∈ rw其中f（τ，ξ）≥ 0，定义函数Д=Дf，τ，ξ：[τ，∞) → [ξ, ∞] byД（t）：=inf{x>ξ：f（t，x）<0}。（2.9）则Д是D中明确的增长路径（[τ，∞), [ξ, ∞]), 验证Д=E（φ）=Eτ，ξ（φ）。此外，如果Д（T）<∞, 然后ν严格递增，验证f（t，ν（t））=0除以[τ，t]。证据使用公式2.9，对于t*∈ [τ, ∞), 任意Д（t*) = inf公司 := ∞ 或者，通过持续的φ（t*) 是最小值x*∈ [ξ, ∞) 其中f（t*, x） <0表示部分（x）中的所有x*, x个*+). 空间不规则常微分方程的这2个适定性表明：Д：[τ，∞) → [ξ, ∞] 是一个定义良好的函数。如果该最小值x*= ^1（t*) <∞ 确实存在，那么f（t*, x）≥ 0表示x in[ξ，x*], 而f（t*, x） <0表示x∈ （十）*, x个*+ ),所以f的连续性也保证了f（t*, x个*) = f（t*, ^1（t*)) = 因为引理2.3中的φ表示f的零点，当φ（x）时，f（φ（x），x）=0∈ R、 然后t*= φ（x*) ∈ R、 现在将建立等价物Д=E（φ），意味着Д（t）=inf{x>ξ：φ（x）>t}=：E（φ）（t）over[τ，∞). 首先假设x*= ^1（t*) < ∞. 如果φ（x）<∞ 对于x∈ （十）*, x个*+ ),然后是排序f（t*, x） <0=f（φ（x），x）保持，t*= φ（x*) < φ（x）则从f（·，x）开始严格递增。

但很明显φ（x*) < 如果φ（x）=∞.现在假设x*∈ [ξ, ∞) 不是φ（x）>φ（x）的最小值*) 对于某些（x）中的x*, x个*+), so不等于E（φ）（t*), 与x相矛盾*= ^1（t*) 是[ξ]中的最小值，∞)其中f（t*, x） <0表示x∈ （十）*, x个*+ ), 再次使用f（·，x）是严格递增的。这就建立了等价物Д（t*) = E（φ）（t*) 对于t*∈ [τ, ∞) 当^1（t*) < ∞. 如果改为Д（t*) = ∞, so f（t*, x）≥ x为0∈ [ξ, ∞), 然后φ（x）≤ t型*保持相同的间隔[ξ，∞),和E（φ）（t*) = ∞. 这说明了Д=E（φ）是否∞ 是否达到。剩下来的就是证明Д=E（φ）在D中（[τ，∞), [ξ, ∞]) 并且正在增加或严格增加。方程式2.8的讨论表明，E（φ）严格增加，D（[τ，∞), [ξ, ∞)) 当φ∈ C（R，R），φ（ξ）≤ τ和supx∈[ξ,∞)φ（x）=∞.在我们的例子中，φ（ξ）≤ 如果φ（ξ）=-∞, 否则由f（φ（ξ），ξ）=0确定≤ f（τ，ξ）和f（·，ξ）严格递增。φ的结果∈ C（R，R）C（R，R）就是点x*∈ (ξ, ∞) 可能存在于limx↑x个*φ（x）=∞. 但是假设*作为这一点的最低点，那么E（φ）显然只存在于D（[τ，∞), [ξ，x*)). 同样，有supx的影响∈[ξ,∞)φ（x）=t*< ∞ 就是E（φ）（t）=∞ 对于所有t∈ [t*, ∞),使用inf := ∞, 也就是说E（φ）出现在D（[τ，∞), [ξ, ∞]). 在所有情况下，Д=E（φ）保持在D（[τ，∞), [ξ, ∞]), 严格地增加了[τ，T] [τ, ∞) 提供Д（T）<∞, 并且在任何T上都是常数，∞)  [τ, ∞) 如果Д（T）=∞, 因此，证明是完整的。显示引理2.3中的零路径φ在C（R，R）中可能看起来非常复杂，但这条路线似乎是建立路径ДinLemma 2.4属性的最清晰路线，这一点并不明显，但至关重要。

例如，如果空间不规则常微分方程的φ2适定性仅连续到R较弱的“一点紧定”，那么例如，可以在-∞ 和∞, 则不能保证结果路径Д严格递增。对于我们的波动率建模应用程序，可以假设∈ F C（R，R）是这样的，每个f（·，x）定义了从和到R的严格递增的双射，就像方程2.1中的赫斯顿情况和子集fθ中的所有函数一样 F来自示例2.2。在这种情况下，很容易证明方程2.6中的零路径φ在C（R，R）中。尽管很容易做出这种双射性假设，但仍然需要扩展实R来理解引理2.4中更重要的cádlág路径，除非Д（t）<∞ 可确保超过[τ，∞) 通过进一步的限制。所以至少在这一章中，我们停留在一般的环境中，其中f只属于f，所以φ∈ C（R，R）。以下示例说明了这两条路径的形式，φ∈ C（R，R）和Д∈ D（R+，R+），当f在子集fθ中时 F，当（τ，ξ）=（0，0）时。为方便起见，让子集Θ，W C（R，R）分别包含示例2.2中的路径θ和w。示例2.5（子集Fθ F） 。调用函数f∈ Fθ接受代表F（t，x）：=θ（t）- w（x），（2.10），其中（θ，w）∈ 利用方程2.6，引理2.3的路径φ由φ（x）：=sup{t给出∈ R:f（t，x）<0}=sup{t∈ R：θ（t）<w（x）}=θ-1（w（x）），（2.11），其中最终表示φ=θ-1.o w根据我们的假设得出θ∈ Θ是双射的。因此，路径φ可以在C（R，R）中找到，即我们从未找到φ（x）=±∞, 对于所有x，havef（φ（x），x）=0∈ R、 现在从方程2.9中，相应的路径由以下公式给出：=inf{x>0：f（t，x）<0}=inf{x>0：w（x）>θ（t）}。（2.12）鉴于w∈ W确保supx∈R+w（x）=∞, 然后，我们发现ν（t）<∞ 超过R+。

将其与引理2.4相结合，则在D（R+，R+）中定义了一条严格递增的路径，其中f（t，ν（t））=0成立，最后我们得到了退出时间关系-1.ow） =E（φ）。在这些例子之后，现在具体地让f采用方程2.1中的赫斯顿形式，sof（t，x）：=σw（x）+κ（θt- x） 空间不规则常微分方程的+v，（2.13）2适定性，发现于Fθ，其中θ（t）：=κθt，提供了supx∈R+κx- σw（x）=∞. 然后我们发现φ（x）：=（κθ）-1（κx- σw（x）- v） ，Д（t）：=inf{x>0：κx- σw（x）>κθt+v}。（2.14）Д的形式与方程式1.9中给出的形式一致，如第1章所述，可以将其视为IG Lévy过程的路径。图6的左面板演示了方程式2.14中的两条路径，应将其与图4的左面板进行比较。为了帮助可视化И（其不连续性在技术上很密集）和引理2.4的关系Д=E（φ），间隔*（t） ：=[Д（t-), ^1（t）]显示在右面板中。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0xφ（x）(R)（t）0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0xφ（x）(R)*（t） 图6：左面板显示了方程式2.14中的路径φ和φ，其中Weierstrass路径w和参数σ、κ、θ、v与图4中的一致。右侧面板重复左侧，但显示的是^1*（t） ：=[Д（t-), ^1（t）]。2.3最大存在性、双射性和边界今后的重点是问题1.2的IVP解，而不仅仅是驱动函数f的性质∈ F、 如前一节所述。具体而言，本节的主要计划如下。首先，在引理2.6中，建立了解的空间边界，如定理2.8所述，这有助于澄清最大解Д是someset C（[τ，T*), [ξ，X*)) 带T*∨ 十、*= ∞. 这是在空间不规则常微分方程问题1.2的2适定性陈述之后讨论的。

引理2.9和引理2.10提供了关于f的简单条件，有助于控制T的值*∈ (τ, ∞] 和X*∈ (ξ, ∞] 分别如此，例如T*= 十、*= ∞ 可以保证。正如定义1.3之前所讨论的，这对于波动率建模是可取的。最后，根据示例2.2，在f示例中给出了这些结果的结果∈ Fθ。解决方案边界。考虑到下一个结果的简单几何后果，如图6所示，很明显，空间解界ξ≤ ^1（t）≤ ν（t）将已建立的解限制为[τ]的子集，∞) × [ξ, ∞) 其中f（t，x）≥ 0，从而得到所需的严格递增解决方案。重要的是要认识到，这并不意味着可以忽略或任意替换f（t，x）<0的区域。相反，这个区域需要从引理2.4中确定重要路径。引理2.6的证明在这里使用了微分不等式，如Lakshmikantham&Leela（1969）中广泛介绍的那样。然而，这里提供了全部细节，因为我们非常规异地使用了与ν相关的cádlág路径上的此类不等式∈ D（[τ，∞), [ξ, ∞]).使用这些路径会使结果看起来更加复杂，并且使用路径φ∈ 引理2.3和中值定理（MVT）中的C（R，R），而不是直接使用Д，看起来非常复杂。这是因为，尽管方程式2.15提供了在某个区间（Д（t），Д（t）中x的f（t，x）<0+), 此类 如果μ的不连续性在[τ，T]中密集，则任何时间间隔的值均为零*). 这是等式2.14的赫斯顿示例中的情况a.s.，因此实际上是相关的，这意味着我们不能使用一组路径（t） ：=Д（t）+ 高于Д，其中f（t，Д（t） ）<0，这将简化问题。引理2.6（空间解边界）。

假设f∈ F和F（τ，ξ）>0，然后用Д（t）定义Д：=inf{x>ξ：F（t，x）<0}，（2.15），其遵循引理2.4。然后，IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ的任何最大解，在某个集合C（[τ，t*), R） 和T*∈ (τ, ∞], 满意度ξ≤ ^1（t）≤ ν（t）大于[τ，t*).证据ξ的下界≤ Д（t）很容易确定。因为Д（τ）=f（τ，ξ）>0，那么对于某些（τ，τ+), 因此，ν进入象限（τ，∞) ×(ξ, ∞).第一接触点t*> τ，其中Д（t*) = ξ然后提供Д（t*) ≤ 0，对于空间不规则ODEsapproachξ，给定的Д（t）必须2适定性。但是f（·，ξ）严格地在增加，所以我们遇到了矛盾0≥ ^1（t*) = f（t*, ^1（t*)) = f（t*, ξ） >f（τ，ξ）>0，（2.16），并且必须得出以下结论：对于所有t∈ （τ，T*). 建立Д的上限在概念上是相似的，但由于f（t，Д（t））=0，每当Д（t）<∞,如引理2.4所示，而不是更有用的f（t，ν（t））<0。此外，如前所述，尝试利用价值观 > 0，使得所有x的f（t，x）<0∈ （Д（t），Д（t）+)是徒劳的，因为 值在任何间隔内为零，在该间隔内，φ跳跃。所以我们利用路径φ∈ 引理2.3中零的C（R，R），与φ至φ=E（φ）相关。由于f（τ，ξ）>0，从方程2.15和f的连续性可以清楚地看出，Д（τ）>ξ=Д（τ），因此在该起点处，Д是一个严格的界限。同样，如果t*∈ [τ，T*) 我们发现（t*) = ∞,那么，很明显，严格界限是Д（t）<Д（t）=∞ 同时持有【t】*, T*). 如果t*= τ、 这适用于不切实际的情况（对我们来说），如f（t，x）：=1+t。尽管ν仅为cádlág，但如果发现了一个点，其中ν（t）>Д（t），则为交叉点t*< twhere^1（t*) = ^1（t*) =: x个*保证，给定Д（τ）<Д（τ），且Д严格递增。假设第一个这样的交叉点t*∈ （τ，T*) 存在。

然后给出关系式Д=E（φ），φ∈ C（R，R）和t*是第一个交叉点，存在, δ>0，使得t的参数路径（t，Д（t））为∈ （t*, 对于x，tδ）在时间上严格早于（φ（x），x）的时间∈ （十）*, x个), 式中，tδ：=t*+ δ和Д（tδ）=x:= x个*+ . 为了更清楚地说明，居住“时间严格提前”是指Д（t）=x==> t<φ（x），无论何时（t，x）∈ （t*, tδ）×（x*, x个).给定φ根据引理2.3中的f（φ（x），x）=0表征f的零点，并且everyf（·，x）严格增加，然后将（t，Д（t））定位在比（φ（x），x）更早的时间，为t提供f（t，Д（t））<0∈ （t*, tδ）。然而，MVT提供了一个t点∈ （t*, tδ），其中Д（t）=（x-x个*)/（tδ-t型*) = /δ > 0. 因此，我们在这一点上确定了f（t，ν（t））<0<Д（t），因此，Д无法求解（t）上的ODE x=f（t，x*, tδ） [τ，T*), 如果t*存在。[τ，T]中这样一个点的假设*) 其中，Д（t）<Д（t）因此是荒谬的，并且Д（t）≤因此，ν（t）从初始时间τ延伸到整个[τ，t*), 完成证明。在上述证明中，我们看到了ν（t）的界≥ ξ对所有t>τ都是严格的，考虑到该证明的几何结构，值得涵盖使空间不规则ODEsboundД（t）的upper2适定性的条件≤ ν（t）也严格，超过[τ，t*). 为此，假设Д不仅严格地增加，而且验证Д（t）-^1（s）≥ （t-s） 对一些人来说 > 0和所有s，t∈ [τ，T*) 带s≤ t、 现在，如果第一次接触时间t*∈ （τ，T*) 式中：Д（t*) = ^1（t*) 假设为，则φ（t*) = 0，给定f（t*, ^1（t*)) = 0，但Д（t）- ^1（t*) ≤ -（t*- t） <0表示t∈ （τ，t*). （τ，t）中的矛盾区间*) 在以下位置可以找到：Д（t）<Д（t）。

给出引理2.4中的关系φ=E（φ），其中φ∈ 每当φ（x）时，C（R，R）和f（φ（x），x）=0∈ R、 则该性质为ν（t）-^1（t*) ≤ -（t*-t） 给定单侧Lipschitz条件φ（x），确保<0（通过基本几何因素）- φ（u）≤ L（x- u） 引理2.7的，其中 := L-关于解的界和唯一性，单侧Lipschitz性质可以在Lakshmikantham&Leela（1969）和Agarwal&Lakshmikantham（1993）中找到。引理2.7（严格上界）。引理2.6中的上界是严格的，即μ（t）<μ（t）/【τ，t】*), 如果路径φ∈ 引理2.3中的C（R，R）具有单侧lipschitz性质φ（x）-φ（u）≤ L（x-u） 对于一些L∈ R+和所有u，x∈ [ξ, ∞) 带x≥ u、 这一结果实际上是相关的，因为对价格路径的累积方差进行建模的解决方案Д具有严格正的相应波动率√φ. 为了将抽象的风险中性衍生工具定价措施与现实世界的概率测量（均在第4.3节中介绍）联系起来，这可能会很有帮助，但不包括这方面的细节。双射极大解。NOWMA引理2.6中的边界的主要目的是帮助在以下结果中启用双射性语句。读者应注意，这里的假设f（τ，ξ）>0通常不能放松到f（τ，ξ）≥ 0，在第3.1节中创建。现在回想一下，在问题1.2的陈述之后，最大解决方案∈ C（[τ，T*), R） 是指达到R边界的，即*∨支持∈[τ，T*)|^1（t）|=∞, 经典的ODE理论，例如Lakshmikantham&Leela（1969）的定理1.1.3，在我们的环境中建立了这样的解的存在性，其中f∈ C（R，R）。定理2.8（最大存在性和双射性）。假设f∈ F和F（τ，ξ）>0。然后存在IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ的最大解。

此外，任何此类Д定义了某些集合C中严格递增的双射（[τ，T*), [ξ，X*)), 其中T*∨ 十、*= ∞.2空间不规则ODEsProof的适定性。经典理论给出了存在性陈述，因为f∈ C（R，R）。这提供了最大的解决方案∈ C（[τ，T*), R） 从定义上讲，这满足了*∨ sup[τ，T*)|^1（t）|=∞.因为f∈ F和F（τ，ξ）>0，界ξ≤ ^1（t）≤ν（t）保持[τ，t*) 引理2.6。假设t>τ时f（t，ξ）>f（τ，ξ）>0，那么从定义ν（t）：=inf{x>ξ：f（t，x）<0}可以清楚地看出，在f（t，x）中，Д被限制为rw的子集≥ 0，使Д不递减。从引理2.4中回想，当Д（t）<∞, 因此，接触点Д（t）=Д（t）提供Д（t）=0。相反方向，如果Д（t）=0，则我们必须找到Д（t）=Д（t）或Д（t）=Д（t-) < ν（t），给定的Д是严格增加的。所以现在，对于一个矛盾，假设ν（t）=0在一个区间【a，b】上保持不变 [τ，T*). 那么我们必须找到（a-) ≤ Д（a）=Д（a）=Д（b）=Д（b-) ≤ ^1（b）。（2.17）但具有Д（a）=Д（b-) 意味着И至少在[a，b]上是恒定的，这违反了引理2.4中Д的严格递增性质。因此，Д是非递减的，并且Д（t）=0不能保持间隔。因此，在任何这样的[a，b]中，我们必须找到一个点，其中Д（t）>0，并且И的连续性扩展了这一点，以确保Д（b）-Д（a）=a、b的RbaД（s）ds>0∈ [τ，T*).因此，像^1一样，我们发现∈ C（[τ，T*), R） 严格增加，因此在C中定义双射（[τ，T*), [ξ，X*)), 其中X*= 限制↑T*^1（t）∈ (ξ, ∞]. 这允许最大化条件T*∨ sup[τ，T*)|^1（t）|=∞ 写为T*∨ |ξ| ∨ 十、*= ∞. 反过来，这与T*∨ 十、*= ∞, 已知|ξ|<∞, 完成证明。存在条件。从条件T开始*∨ 十、*= ∞ 在定理2.8中，我们知道*= ∞, 或X*= ∞, 或者两者兼而有之。

下两个结果的目的是为f提供单独的可行条件，独立地确保T*= ∞ 或X*= ∞ 两者都是可取的。确定其中的第一个非常简单，如下所示。引理2.9（暂时存在）。设f，τ，ξ，Д如引理2.6所定义，且∈C（[τ，T*), [ξ，X*)) 是IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ的任何最大解。如果Д（T）<∞对于一些T∈ (τ, ∞), 然后T*> T，并通过扩展，如果Д（T）<∞ 超过[τ，∞), 然后T*= ∞.证据根据定理2.8，ν是某些C（[τ，T）的双射元素*), [ξ，X*)) 带T*∨十、*=∞. 对于矛盾，假设Д（T）<∞ 对于一些T∈ (τ, ∞) 但是T*≤ T<∞. 那么我们有X*= ∞, 所以T*∨ 十、*= ∞ 已验证，因此→T*---→ ∞. 因为对于空间不规则常微分方程，在[τ，T]上严格增加，ν是2适定性*) 且ν大于[τ，T] [τ，T*), 然后，有魟（τ）=ξ<魟（τ）和魟（T）<limt↑T*^1（t）=∞ 提供独特的接触点t*∈ （τ，T*) 式中：Д（t*) = ν（T），具有严格的不等式ν（T）<Д（T）<Д（T）/（T*, T*). 这与关系Д（t）相矛盾≤ ν（t）大于[τ，t*) 引理2.6。因此，我们发现*> 如果Д（T）<∞. 延伸至T*= ∞ 在让T→ ∞, 确定索赔。ν（T）<∞ 在引理2.9中，当f∈ F、 当F∈ C（R，R）。然而，这是一个补充经典存在论的条件，如Wintner（1945）的主要结果，在Hartman（2002）中简洁地作为定理5.1提出。此理论需要检查限制器∞dx/U（t，x）=∞, 对于带有| f（t，x）|的某些U≤ U（t，| x |）在[τ，t]上，并适用于U（t，x）=x和U（t，x）=x log x的情况。