空间不规则常微分方程及其路径解

但这个条件依赖于无界集合中的f，如[τ，T]×R，所以以f（T，x）为例：=T- w（x）带w（x）：=x正弦（x）- 1和任何a>1，我们记录∞dx/U（t，x）<∞ 当自然选择U（t，x）=1+t+xa时，引理2.9立即提供了[τ]上所有最大解的存在性，∞), 假设上界Д是由Д（t）=inf{x>0:xasin（x）给出的D（R+，R）的元素- 1>t}=E（w）（t）<∞. （2.18）另一方面，考虑将该示例缩减为f（t，x）：=1+t，即使用instead w（x）=-1、那么，很明显，ν（t）：=t+是x=f（t，x），x（0）=0的全局解。然而，由于其中一个结果是Д（t）：=inf{x>0：-1>t}=inf := ∞ 对于所有t∈ 在这个初等例子中，R+，引理2.9是无用的。但是，正如定义1.5之后所讨论的，lim inft→∞^1（t）=∞ 在以下情况下没有帮助√^1将对波动路径进行建模。现在我们需要一个关于f的条件∈ F可确保X*= ∞ 在定理2.8中。为此，考虑f（t，x）：=2的例子- e-t型- 2倍。那么很容易检查f∈ F和Д（t）：=1- e-这是IVP x=f（t，x），x（0）=0的全局解。因此，在OREM 2.8中，我们有（T*, 十、*) = (∞, 1） ，即Д∈ C（R+，[0，1））。这个导致X的IVP的性质*= 1 < ∞ 是f（t，1）=-e-对于所有t，t<0∈ R+，因此不能通过x=1的线。实际上，这相当于具有limx↑1φ（x）=∞ 其中φ∈ C（R，R）来自引理2.3。以下结果中的条件用于排除这些示例，从而强制执行X*= ∞, 事实上，当f∈ F、 2空间不规则常微分方程的适定性在下面的陈述中，注意任何这样的最大解Д都是一些集合C（[τ，T）的双射元素*), [ξ，X*)) 带T*∨十、*= ∞ 根据定理2.8，例如Д（t）t→T*---→ 十、*持有。引理2.10（空间存在）。假设f∈ F和F（τ，ξ）>0。

然后是任何最大解∈ C（[τ，T*), [ξ，X*)) IVP的x=f（t，x），x（τ）=ξ满足x*> X有效期→∞对于所有x，f（t，x）>0∈ [ξ，X]。So X*= ∞ i有效期→∞对于所有x，f（t，x）>0∈ [ξ, ∞).证据如果首先处理方向，则更容易，因此假设X*> 对于某些X>ξ。鉴于∈ C（[τ，T*), [ξ，X*)) 根据定理2.8是双射的，然后是Д（t）t→T*---→ 十、*> X存在唯一的T∈ （τ，T*) 式中，Д（T）=X，带Д（T）≥ 0超过[τ，T]。因此，我们发现f（t，Д（t））=Д（t）≥ 0在[τ，T]上，且给定{Д（T）：T∈ 【τ，T】}=【ξ，X】和f（·，X）严格增加，然后明显受限→∞每x f（t，x）>0∈ [ξ，X]。如果X*= ∞, 此参数适用于任何X∈ (ξ, ∞), so限制→∞对于x，f（t，x）>0∈ [ξ, ∞), 完成一半的证明。在另一个方向，我们正在尝试建立X*> 对于某些X>ξ。请注意，ifT*< ∞, 那么我们必须有X*= ∞ > X验证要求T*∨ 十、*= ∞ 来自定理2.8。结果是显而易见的，我们现在应该假设*= ∞. 进一步假设对于某些X∈ (ξ, ∞), 限制→∞f（t，x）>每x保持0∈ [ξ，X]。一个timeT∈ （τ，T*) 现在将建造在必须保持φ（T）>X的位置，确认X*> 首先请注意，这种限制条件→∞f（t，x）>0表示φ（x）<∞ 对于x∈ [ξ，X]，其中引理2.3中的φ表示f的零点，根据f（φ（X），X）=0，当φ（X）∈ R、 用于 > 0，定义移位路径φ∈ C（[ξ，X]，R）乘以φ（x） ：=（τ∨ φ（x））+. 然后是严格不等式f（φ（x） ，x）>0保持不变，因为每f（·，x）严格递增一次。现在定义：=最小值∈[ξ，X]f（φ（x） ，x）∈ (0, ∞), t型*:= maxx公司∈[ξ，X]φ（十）∈ (τ, ∞). （2.19）这些值确保了不等式f（t，x）≥ 垂直线上的c（t*, x） 对于x∈ [ξ，X]，也指矩形（t）中的f（t，X）>c*, ∞) ×[ξ，X]。现在确定时间T：=T*+ c-1（X- ξ） 和线路∈ C（[t*, T），[ξ，X]），从点（T）开始*, ξ） 至（T，X），梯度c>0，乘以Д（T）：=ξ+c（T- t型*).

（2.20）我们已经构建了一条线，其中清楚地显示出Д（t）=c，并且f（t，Д（t））>c在（t）上*, T）。清楚地^1（t*) = ξ<Д（t*) 保持，并假设第一个接触点，其中Д（t）=Д（t），则空间不规则ODEД（t）的适定性为2≤ c、 提供矛盾c<f（t，Д（t））=f（t，Д（t））=Д（t）≤ c、 因此，相反，我们必须在[t]上取φ（t）>φ（t*, T]，因此，也就是Д（T）>Д（T）=X，确认X*> 十、 通过取X→ ∞, X的扩展*= ∞ 简单明了，完成证明。引理2.10的证明是有建设性的，因为它实际上为点T建立了一个下界∈ （τ，T*), i、 e.验证ξ<Д（T）<Д（T）≤ ν（T），因此改进了引理2.6的下边界。这些界限以及通过微分不等式推导的界限，对于建立第3章的极限定理，尤其是定理3.17至关重要，在那里，很自然地，这些界限不是空间上的下限，而是时间上的上限。下一个结果只是将引理2.9和引理2.10的结果结合在一起，就像在第3章中处理问题1.4时应用这些结果一样。为此，我们提出了条件Д（t）<∞ 引理2.9直接在f上∈ F作为infx∈[ξ,∞)f（t，x）<0，使用方程式2.9，这显然是等效的。同样，条件限制→∞f（t，x）>0的曲线2.10表示为supt∈[τ,∞)f（t，x）>0，这相当于f（·，x）严格递增。在推论2.11的陈述之后，假设的目的为不等式1.11，定义子集G 第3章适用的C（R+，R）将是明确的。比如引理2.10，写下∈ C（[τ，T*), [ξ，X*)) 在下面的语句中，我们指的是T值*, 十、*如定理2.8所示，因此，例如，极限ν（t）t→T*---→ 十、*持有。推论2.11（时空存在）。假设f∈ F和F（τ，ξ）>0。

然后最大解决方案∈ C（[τ，T*), [ξ，X*)) 对于IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ，验证条件infx∈[ξ,∞)f（t，x）<0t型∈ [τ, ∞) ==> T*= ∞, 支持∈[τ,∞)f（t，x）>0x个∈ [ξ, ∞) ==> 十、*= ∞.（2.21）这就完成了问题1.2中这些空间不规则IVP的一些基本特性及其解决方案的覆盖，这些特性现在通过依赖于子集Fθ的示例进行了说明 F在示例2.5中使用。特别值得注意的是infx的存在条件∈[ξ,∞)方程式2.21中的f（t，x）<0对x的正增长off（t，x）没有限制∈ [ξ, ∞), 在下面的示例2.12中，由路径w的负增长控制∈ W、 因此，方程2.21的条件确实补充了依赖于此类正增长约束的经典存在性条件，如引理2.9.2空间不规则常微分方程的适定性示例2.12（子集Fθ）所述 F） 。调用函数f∈ Fθ接受代表F（t，x）：=θ（t）- w（x），（2.22），其中（θ，w）∈ Θ×W，例如limt→±∞θ（t）=±∞ 和supx∈R+w（x）=∞. 在例2.5中，我们看到，对于IVP x=f（t，x），x（0）=0，引理2.3的路径由φ（t）=inf{x>0:w（x）>θ（t）}，（2.23）给出，这是在D（R+，R+）中，给定supx∈R+w（x）=∞. 我们可以把它写得更简洁些，如：Д=E（θ-1.o w） =E（w）o θ，使用方程2.8中的退出时间表示法。现在定理2.8告诉我们，这个IVP的任何最大解Д都是某个集合C中的双射路径（[0，T*), [0，X*)), 其中T*∨ 十、*= ∞. 给定ν（t）<∞ 对于所有t∈ R+，然后引理2.9提供T*= ∞, 并给予限制→∞f（t，x）=∞ 对于每x∈ R、 然后引理2.10提供X*= ∞ 而且

推论2.11可等效用于获得T*= 十、*= ∞, 那个isinfx∈R+θ（t）-w（x）<0t型∈ R+==> T*= ∞, 支持∈R+θ（t）-w（x）>0x个∈ R+==> 十、*= ∞.（2.24）在这个例子之后，现在具体地让f取方程2.1中的赫斯顿形式，sof（t，x）：=σw（x）+κ（θt- x） +v，（2.25），在Fθ中发现，其中θ（t）：=κθt，提供supx∈R+κx- σw（x）=∞. 然后我们得到了ν（t）：=inf{x>0：κx- σw（x）>κθt+v}（2.26），其中，给定supx∈R+κx-σw（x）=∞, 定义D（R+，R+）中的路径，并提供IVP x=f（t，x），x（0）=0的任何最大解的上界。因此，在C（R+，R+）中可以找到这样的最大解，正如我们在建模波动性时所希望的那样。在图7中，我们在这个赫斯顿环境中插图了解析式Д及其边界Д，与之前的图一致。2空间不规则常微分方程的适定性0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0x′И（t）Д（t）0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.00.20.40.60.81.0x′И（t）Д（t）图7:IVP x=f（t，x），x（0）=0的解И与引理2.6的上界一起显示。函数f与图4和图5.2.4的最大唯一性是一致的。正如本章开头所承诺的，本节首先阐明了现有的节点唯一性理论对问题1.2的解释。textAgarwal&Lakshmikantham（1993）是一个很好的起点，它系统地提出了21个直接适用的一阶ODE唯一性定理，以及进一步的推论、非唯一性理论和“Carathéodory”扩展，这些扩展只假设解的a.e.可微性。历史背景。唯一对f的空间行为没有限制的现有结果∈ C（R，R）原则上可以应用于问题1.2，是Wend（1969）的定理，在Agarwal&Lakshmikantham（1993）中被称为定理2.6.1。

从技术上讲，这并不完全正确，因为例如，Yosie（1925）提出的定理1.21.2，这是唯一一个真正具有唯一性特征的定理，当然也适用于Wend和所有其他定理。虽然这种特征化是非常直观的，但由于其结果如此普遍，很难想象在不使用其他条件的情况下建立其条件。2空间不规则常微分方程的适定性也许毫不奇怪，Wend定理中的情况与我们的类似，如第1章讨论最大解的重要性时所述。具体而言，假设存在时间单调性约束，仅在时间上向前寻求解决方案。这一结果将很快被适当介绍，但我们首先考虑Peano（1890）的早期结果。相反，这采用了空间单调性约束，并应用于示例likef（t，x）=-sgn（x）| x | afor a∈ （0，1），生成唯一的解决方案Д（t）=0到（0，0）。定理2.13（Peano唯一性）。让f∈ C（R，R）使得f（t，·）对于每t不递增∈ R、 那么IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ有唯一的最大解。证明这个结果只需要几行，这些是根据阿加瓦尔和拉克什米坎坦（1993）的定理1.3.1给出的。现在，反函数定理的一个结果，例如Rudin（1976）中的定理9.24，是如果ν是一个IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ的解，具有一个定义良好且可微分的逆ν-1，则此逆运算将求解反相器divp x=g（t，x），x（ξ）=τ，其中g（t，x）：=1/f（x，t）。Cid&Pouso（2009）对此进行了介绍和使用。现在请注意，来自Peano\'stheorem的f（t，·）的非递增假设变成了g（·，x）的非递减假设，反转了时间和空间之间的约束，并将我们置于Wend定理适用的环境中。

但也要注意，因为f（x，t）=∞ 在Peano定理中，假设∈ C（R，R），那么我们必须在Wend定理中手动排除g（t，x）=0的点。定理2.14（Wend的唯一性）。假设f∈ C（R，R），f（·，x）对于x是非递减的∈ R和f（t，x）>0 in x Rwith（τ，ξ）∈ 十、 那么IVP X=f（t，X），X（τ）=ξ在X中有唯一的解，即一些ν∈ C（[τ，T]，R）带（T，Д（T））∈ X和（T，Д（T））∈ 十、 因此，Wend定理是一个局部结果，不适用于最大解，除非f（t，X）>0 in X的假设扩展到所有R。这显然不适用于波动率建模，排除了方程2.1中本论文核心的Heston情况，并且通常使引理2.4中的重要路径ν无效，因为ν（t）=inf := ∞.通过反函数理论，从Peano到Wend的唯一性结果的转变为Cid&Pouso（2009）的思想提供了一个特殊的例子。在这里，作者使用简单的时空变换将任何唯一性结果映射到另一个唯一性结果，如图中所示的空间不规则odes2适定性。然而，像Wend定理一样，总是考虑f（t，x）6=0的区域，当考虑C（R，R）中的一般函数时，这些区域当然可能很小。因此，至少从现有结果来看，定理2.17中唯一性结果的主要贡献在于其对最大解的适用性，以及Wend（1969）和Cid&Pouso（2009）对这些限制的完全放松。当然，这里的设置和Wend定理中的设置在其他方面并不等价，因为在问题1.2中，我们要求将每个函数f（·，x）从非递减改进为严格递增。我们相信这一改进在未来可以放宽，但现在这样做没有实际价值。

例如，定义1.5中的解决方案集Φ变宽，以适应波动路径√其中（不现实的）可以在间隔上为零，但已经（同样不现实的）路径可以在任意接近全Lebesgue度量区域的集合上为零。这种扩大所付出的代价是，解的逆解并不总是存在的，这些逆解可能是相对简洁的证明的关键，例如，通过Lebesgue微积分的定理2.17。接下来，很少有数学家知道这些由Peano和Wend引起的简单单调性结果，无论他们是否在金融领域。考虑到这些数学家对相对复杂的It的脑力激荡的知识，这在金融领域似乎是自相矛盾的，方程式2.1就是从中推导出来的。皮亚诺和温德的结果并没有遵循利普希茨唯一性条件，这似乎鼓励了这一点。正如Soong（1973）所承认的那样，Lipschitzcondition对于应用来说往往“太过严格”，并且“从实践角度来看肯定是不可取的”，然而这些条件在ODE理论的教学中已经被优先考虑，现在研究人员并不总是欣赏像刚才介绍的这些简单的替代方案。与上一节相比，本节的程序相对简单，但深入探讨了功能分析。定理2.8表明问题1.2的解是双射的，它们显然有定义良好的逆，在本节中标记为^Д，以避免写入（Д-1). 这些反演是证明定理2.17的关键，因此，这些反演的重要性质首先收集在引理2.16中。唯一性结果。作为预防注意事项，很容易得出关于路径Д和^Д：=Д的“直观”结论-在这里，对于空间不规则的ODE2病例，其病理适定性是错误的。

例如，尽管有等式2.27，但从反函数定理来看，不能假定^（t）>0 a.e.（关于勒贝格测度）遵循^（x）<∞ a、 e.，即使^Д（x）>0确实从^（t）<∞. 这基本上是因为逆^Д与Д不同，不需要将空集映射到空集，这被称为Lusin（N）属性，在论文Lusin（1916）之后。这一性质与绝对连续性密切相关，但在现代泛函分析中很少被强调。Saks（1937）第7.6节专门论述了这一点。在与病理学的斗争中，我们的救世主是Lebesgue（1904年）的Lebesgue微积分基本定理，Wend定理等局部结果避免了病理学。如Royden&Fitzpatrick（2010年）第6.2节所述，我们在EMMA 2.16中提出了这一点。简而言之，定理2.17是将Lebesgue定理应用于Wend定理的产物，为了突出Lebesgue定理更广泛的重要性，我们重现了Royden&Fitzpatrick（2010）的一句鼓舞人心的评论：评论2.15。Frigyes Riesz和Bela Sz-纳吉指出，勒贝格的理论是“实变量理论中最引人注目、最重要的理论之一”事实上，1872年卡尔·韦尔斯特拉斯（KarlWeierstras）提出了一种在一个开放区间上的连续函数的数学，该函数在任何点上都是不可微的。进一步的病理学被揭示，在数学分析中，病理学的传播有一段时间的不确定性。1904年出版的Lebesgue定理及其后果帮助人们恢复了对数学分析和谐的信心。回想一下等式2.28中的不等式，它是Lebesgue定理的推论，对于Cantor（1884）的病理性Cantor函数是严格的。与直觉相反，康托函数的简单修改也能够验证λ（0）=0，λ（x）<0（即x>0，但λ（x）>0）。

这正是OREM 2.17中出现的情况，揭示了该结果适用的数学通用性水平。正如其证明所示，以下属性集合只构成了反函数定理，如Rudin（1976）的定理9.24所述，以及Lebesgue\'stheorem及其推论，如Royden&Fitzpatrick（2010）的第6.2节所述。引理2.16（解的逆性质）。假设f∈ F、 F（τ，ξ）>0，且设Д∈C（[τ，T*), [ξ，X*)) 是IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ的最大解，如空间不规则常微分方程2.8的2适定性，so x*= 限制↑T*^1（t）和t*∨ 十、*= ∞. 则Д有一个定义良好的逆^Д：=Д-1.∈ C（[ξ，X*), [τ，T*)), 这也在严格地增加。对于（t，x）∈ [τ，T*)×[ξ，X*),每当Д（t）＞0时，或当存在^Д（x）时，等于^Д（x）（x））=1（2.27），x=Д（t）。在任意子间隔上[a，b] [ξ，X*), 勒贝格定理适用于^Д，即^Д是a.e.可微的和^Д（b）- ^Д（a）≥Z[a，b]^И（x）dx。（2.28）最后，如果^Д（x）在[a，b]中除了有限个点之外的任何地方都存在，则^Д在这里是绝对连续的，等式为2.28中的等式，然后^（t）>0 a.e。证据根据定理2.8，IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ的每个最大解ν在某些集合C（[τ，t*), [ξ，X*)) 带T*∨ 十、*= ∞. 所以它的逆^^显然也是严格递增的，在C中（[ξ，X*), [τ，T*)), 并且唯一定义为验证任意（t，x）的^И（ν（t））=t和^И（x））=x的函数∈ [τ，T*) ×[ξ，X*).此外，每当^（x））>0时，反函数定理提供了^（x）=1/^（x）），因此显然存在^（x）>0。相反，如果^Д（Д（t））>0存在，则^（t）=1/。