空间不规则常微分方程及其路径解

RLH模型本身的局限性，请注意经典Heston模型的弱收敛方法如何通过有限维分布和紧密性与通常的“Prokhorov方法”形成对比，如Jacod&Shiryaev（2003）所简要总结的。在Skorokhod（1956）的所有拓扑上，将Prokhorov的方法天真地应用于等式4.84中的Heston-price过程是注定的，因为此处建立的函数极限通过定理3.26；这些不是连续过程极限，也不是cádlág过程，而是紧区间值过程，路径ε（t）=：[ε-（t） ，ε+（t）]，在定义3.21的集合E中。Whitt（2002）第15章对这些过程进行了研究，鉴于第5章讨论的路径依赖衍生品的意外行为，它们在金融领域的出现不仅在理论上引人入胜，而且具有实际价值。准备结果。本节中的所有随机过程限制均源自第3.4节和第3.5节中的无概率结果。具体而言，我们将应用定理3.17和定理3.26的exittime和Hausdorff结果。为了明确这些结果的应用，我们首先在此处的概率设置中阐明其后果。调用集合Φ 定义1.6中的D（R+，R+），包含严格递增和无界的cAdlAg路径，并设DΦ为定义3.12中的退出时间度量，满足4路径波动率建模框架Φ（Д，Д）=kE（Д）- E（Д）kR+。为清楚起见，E是定义3.9中的退出时间函数，k·kR+是方程1.12中的范数，表示一致收敛超紧。最后调用集合G 定义1.3中的C（R+，R），以问题4.3为特征。没有给出下一个结果的证明，因为它与第3点的结果相同。

在定理4.4中，仅将定理3.3的路径应用替换为定理3.17的路径应用。推论4.46（统一退出时间限制）。设{Yn}n∈G中的Nbe随机场，let{Xn}n∈解随机IVP x=nYnt，x，x=0和定义x∈ Φx Xt：=inf{x>0:Yt，x<0}。如果Yna。s----→n→∞Yuniformly在压实上，然后是Xna。s----→n→∞Xon退出时间空间（Φ，dΦ）。如定理3.13和推论3.14所述，回想一下这个收敛Xn→ Xon（Φ，dΦ）比Skorokhod的Mspace（通过度量不等式3.22定义）上的Xon（Φ，dΦ）更强，并且为（Lebesgue）a.e.t.提供了a.s.逐点收敛∈ R+。现在，转化为概率设置的定理3.26提供了以下内容（E，dE），其中我们从定义3.21中回忆起，E是紧区间值路径overR+，以及该集合上的Hausdorff度量，通过方程3.54中的伪度量定义。在下面，我们允许进程∧X∈ E返回每个t的单态{∧Xt}∈ R+。推论4.47（Hausdor ff复合极限）。采用推论4.46，sothat Xna的假设。s----→n→∞Xon（Φ，dΦ），设∧={∧x}x∈R＋是C（R＋，R）中的任意进程。然后复合过程{∧o Xn：=λXn}n∈Nverify∧o Xna。s----→n→∞∧oXon（E，dE），其中（∧oX）t：{∧X:X∈ [文本-, Xt]}。（4.86）回想一下定理3.26的证明，这里的推论4.47依赖于定理3.26，而推论3.25不仅是图形Hausdorff收敛结果，而且是生成这些图形的特定参数表示的productconvergence结果。给出推论4.47的相应产品声明如下（（Xn）-1, Λ) → （E（X），λ）均匀分布在紧集上。虽然更强大，但这并不会导致对我们的模型的直接陈述，而是对它们的更高维度表示的直接陈述。

这些代表性在未来可能会有所帮助，但目前我们更倾向于优先考虑推论4.47.4这类路径波动性建模框架。现在，我们准备应用这些结果来了解RLH过程和Snin定义4.45的快速逆转限制。事实上，推论4.47中的∧X与序言中等式0.4中的NIG推广S之间的相似性应该已经很明显了。累计差异限制。现在，我们将定义为4.45的一系列过程的极限xonf表示为n→ ∞, i、 e.RLH快速回复限制。推论4.46将用于确定这些，因此，尽管每个过程都是不同的，但极限将表现出不连续性，如以下对IG Lévy过程的概括。回顾定义4.29中的Riemann-Liouville（RL）分数阶导数过程Wα。定义4.48（部分IG过程）。对于a，b>0和α∈ （0，），确定RL分数过程Wα：=Dα（W），与通常一样，过程X={Xt}t∈R+按退出时间XT：=infx>0:x- aWαx>bt. （4.87）这样的过程x将被称为α级分数IG过程，参数为a，b。通过定义δ：=a-1b和γ：=a-1，该分数IG过程与经典IG Lévy过程完全一致，参数δ，γ>0，如Applebaum（2009）所定义，当α=0时（因此当Wα是布朗运动时），其具有MGF eδ（γ-√γ-2u）tin通用，soE[epXt]=eba-2(1-√1.-2au）听我们的话。如前所述，可通过适当的曲线θ（t）代替方程4.87中的线性出口屏障bt进一步推广该过程。与经典IG过程一样，分数IG过程具有严格递增和无界的DCádlág路径，但在R+上仍然是有限的，Φ中的a.s也是有限的。这遵循引理2.4和定理4.17。

后一个结果实际上建立了MGF存在MX（p，t）=E[epXt]<∞ 对于所有（p，t）∈ R×R+，其中a.s.单位Xt<∞ 当然是这样。现在，将推论4.46应用于RLH模型，得到如下分数IG过程。推论4.49（分数IG限值）。设{Xn}n∈Nbe将RLH过程序列定义为定义4.45，并将定义4.48中的分数IG过程设为Xbe，因此xNT=naWαXnt+bt- Xnt公司+ c、 Xt=infx>0:x- aWαx>bt. （4.88）然后收敛dΦ（Xn，X）=kE（X）- （Xn）-1kR+a.s。--→ 0作为n发生→ ∞.4路径波动率建模框架证明。进程{Xn}n∈Neach求解随机IVPs x=nYnt，x，x=0，其中ynt，x：=aWαx+bt- x+n-1c，（4.89）且明显为Yna。s--→ R+as-n的云形上紧→ ∞, 式中，Yt，x：=aWαx+bt-x、 所有RLH领域{Yn}n∈此外，如推论4.32中MGF存在后所证实的，在G中也存在Nare。所以推论4.46的假设成立，因此我们得到了收敛Xna。s--→ Xon（Φ，dΦ），其中X∈ Φ由Xt定义：=inf{x>0:Yt，x<0}。由于Xcoincides的表达式与等式4.88中的表达式一致，因此证明是完整的。现在回想一下定理3.13，退出时间空间（Φ，dΦ）上的收敛性比Skorokhod的Mspace上的收敛性强，本质上是因为前者只考虑路径之间的时间距离，而不是时间和空间。反过来，就像推论3.14一样，我们得到a.s.（Lebesgue）a.e.逐点收敛。也就是说，一直以来T∈ R+，我们a.s.哈维莱特∈ [0，T]：Xntn→∞----→ Xti=T.（4.90）最后注意到，Vellaisamy&Kumar（2018）在非分数情况下分析了推论4.49中出现的极限退出时间过程E（X），α=0。使用关系Eo 引理3.11中提到的E=M，这可以用方程3.27中的最大泛函等效表示，如E（X）=b-1M（e- aWα），即e（X）X=b-1最大功率∈[0，x]{u-aWαu}。

逆{（Xn）-1} n个∈在推论4.49 a.s.中，发现此最大极限均匀分布在紧集上，这可以在路径基础上观察到，如图12所示。经典积分CIR极限。现在，我们澄清了推论4.49，将theRLH模型与分数IG过程联系起来，对于方程4.84中的theHeston模型中的经典CIR过程意味着什么。考虑到CIR和IG流程在滚动4.50中的流行，令人惊讶的是，即使是推论4.51的1d缩减也是新的，尽管自Tse&Wan（2013年）以来，CIR流程和IG分布之间的时间关联已经很长。因此，这些结果证明了我们基于路径ODE的框架能够教给我们关于已经被大量分析的随机过程的令人惊讶的新结果。推论4.50（逆高斯出口时间限制）。设{Vn}n∈Nbe方程式4.84中的一系列循环过程，并定义{Xn}n∈根据时间积分Xnt：=4，路径波动率建模框架RTVNSDS。在定义4.48中定义免疫球蛋白过程Xas，α=0，总之，dVnt=napVntdWt+n（b- Vnt）dt，Vn=c，Xt=infx>0:x- aWx>bt. （4.91）然后是弱收敛Xnn→∞=====> X放置在退出时间度量空间（Φ，dΦ）上。证据为避免符号冲突，用{Xn}n表示∈n进程{Xn}n∈当设置α=0时，NfromCorolution 4.49，因此我们得到▄Xna。s--→ Xon（Φ，dΦ）。如定理4.14所示，对于每n，我们就有等价的▄Xnd=Xnin分布∈ N、 （鉴于我们采用了定义4.45中的参数化，请注意参数关系，例如σ=na。）因此，从Xna开始。s--→ Xon（Φ，dΦ）我们得到Xnn→∞=====> Xas声称。（Φ，dΦ）上的收敛等价于弱收敛E（Xn）n→∞=====> 紧集上出口时间w.r.t.一致收敛的E（X）。

与推论4.49一样，Skorokhod的Mspace上的收敛也是一个结果，现在我们很自然也很有现实意义地问，我们是否也有有限维分布的收敛。这将被表示为Xnf。d--→ Xas n→ ∞, 这意味着弱收敛（Xnt，…，Xntd）n→∞=====> （Xt，…，Xtd）对于任何{tk}dk=1发生 尺寸d的R+∈ N、 如Billingsley（1999）第13章所示，即使在Skorokhod的更强Jspace上出现弱收敛，也不会出现这种情况，但如果所关注的过程具有随机连续性，即P[Xt-= Xt]=1，其中Xt-:= lims公司↑TXS和往常一样，在我们的设置中为X-:= 下一个结果显示Xnf。d--→ Xas n→ ∞ 在我们的设置中，假设Xis是随机连续的，就像任何Lévy过程一样。为了证明这一点，回想一下P[Xt-= Xt]=1还提供P[Xtk-= Xtk，k=1，d] =1对于任何定义{tk}dk=1 R+，可使用方程1.15中的基本操作进行证明。还可以从推论3.14中回忆一下，收敛νn→ νon（Φ，dΦ）还提供了逐点收敛Дn（t）→ Д（t）表示Д的任何连续点，其中isa。e、 至少。Skorokhod（1956）中也显示了同样的情况，以适用于此处定义的所有指标。推论4.51（逆高斯f.d.极限）。补充推论4.50，收敛Xnf。d--→ R+上的Xof有限维分布也作为n发生→ ∞.证据设{Xn}n∈Nbe作为推论4.50的证明，因此Xna。s--→ Xon（Φ，dΦ）和▄Xnd=xn，每个n∈ N、 回想一下，每一个都是可区分的，并且x是一个反向的，4是一个路径波动率建模框架高斯Lévy过程，因此是随机连续的。固定任意有限集{tk}dk=1 R+，因此我们有P[Xtk-= Xtk，k=1，d] =1。

由于（Φ，dΦ）上的收敛在（R，|·|）上的连续点上提供了收敛，因此从| Xna开始。s--→ Xon（Φ，dΦ）和thea。s、 连续性P[Xtk-= Xtk，k=1，d] =1我们得到（▄Xnt，▄Xntd）a.s。--→ （Xt，…，Xtd）on（Rd，|·|）。给定▄Xnd=Xn，这将提供（Xnt，…，Xntd）n→∞=====> （Xt，…，Xtd）。所以Xnf的claimof。d--→ Xis由定义确定，给定有限集{tk}dk=1 R+是任意的。当然可以验证推论4.51，因为集成的CIR和IG过程是有效的，所以有封闭形式的MGF表示。实际上，在1d情况下这样做与引理4.12中通过MGFs给出的证明相似。为此，让进程{Xn}n∈nbe推论4.50中的那些，对于2ap<1和t>0，定义MGFs MnX（p，t）：=E【epXnt】。然后，我们得到MnX（p，t）=eДn（t）+Дn（t）c，其中n∈ N和λ：=p1- 2ap>0我们发现~nn（t）：=bta-2银行日志cosh公司nλt+λsinhnλt, ^1n（t）：=2pn-11+λcothnλt. （4.92）根据重新定义的参数，这些表达式与方程式4.14中给出的表达式一致。从方程4.92中，我们可以看到νn（t）n→∞----→ ν（t）：=0，前提是λ>0，由2ap<1保证。使用引理4.12中给出的类似展开式，我们还发现cosh公司nλt+λsinhnλtn→∞----→ λt.（4.93）因此，我们完全可以找到νn（t）n→∞----→ ^1（t）：=ba-2(1-λ） t，以及由此产生的MGF极限MX（p，t）=eД（t）+Д（t）c=eba-2(1-λ） t=eba-2(1-√1.-2ap）是IG随机变量XTfromCorolution 4.51，定义4.48后明确。

这与1案例中的推论4.51相一致，在更高维度中这样做是可以通过归纳实现的，尽管相当繁琐。这与我们对推论4.51的证明形成了对比，推论4.51甚至可以如图12所示进行可视化。由于这一与经典积分CIR和IG过程相关的结果只是应用定理3.17时出现的限制之一，我们在结语中澄清了CIR过程参数化时可能出现的所有其他限制。其中包括列维过程，正如Applebaum（2009）所示，列维过程可以被视为IGLévy过程的一个特例，并且这两个列维过程也可以以随机起点出现。4路径波动率建模框架价格过程限制。在这一部分中，我们将对RLH价格过程进行与之前相同的分析，但定义为4.45。然后在下一部分中，我们将从方程4.84将其简化为经典Heston模型的结果，最终尽可能地加强理论0.1，从而回答序言中的问题。与定义4.48中的分数IG过程一样，我们首先确定了RLH价格过程的两个候选极限。这些概念概括了经典的NIG过程，参见。g、 Barndor Off-Nielsen&Shephard（2001a）、Cont&Tankov（2003）或Applebaum（2009）将在下一部分中阐明，当这些限制与经典Heston模型相关时。定义4.52（分数NIG cádlág过程）。让Xbe从定义4.48中得出分数IG过程，然后定义过程So= {Sot} t型∈R+如等式4.85所示。因此，完整，Xt：=infx>0:x- aWαx>bt, Sot： =经验值WρXt-Xt公司, （4.94）对于a，b>0，α∈ (0,), ρ ∈ [-1，1]，其中Wα：=Dα（W），Wρ：=ρW+p1- ρ正常。

So称为α级分数NIG cádlág过程，参数为a，b，ρ。给定exp（Wρx-x） 是R+和Xa上的连续过程，当x=0时，严格增加R+上的cádlágprocess，很明显So实际上是R+上的cádlág过程o= 1.注意，从Kumar&Vellaisamy（2012）到Wylomanska，Kumar，Poloczanski&Vellaisamy（2016）的研究路线中，研究了一种替代的“分数NIG”过程，考虑了统计物理中的几种应用。在另一种情况下，分数布朗运动是从属的，而我们的分数过程Wα隐藏在与波动性相关的从属变量X中。因此，我们的候选极限S的出现o从一系列鞅来看，仍然是合理的。我们现在定义了一个相关的区间值过程。定义4.53（分数NIG偏移过程）。设a，b，α，ρ，W，Wand Xbe为定义4.52，但定义了实际区间值过程So={Sot}t∈R+而不是使用ot:=nexpWρx-x个: x个∈ [文本-, Xt]o.（4.95），则So将被称为α阶分数NIG漂移过程，参数为a，b，ρ。4通过exp（Wρx）的连续性，再次构建路径波动率建模框架-x） ，每个Sot，用于t∈ R+，定义了R的随机闭区间，而不仅仅是

就像任何cádlág进程的不连续性，如x和So, 这些偏移在给定路径上是a.s.可数的，所以不管随机连续性如何，我们a.s.都有sot={sot} 对于a.e.t∈ R+，再次表示Sot=S-t=S+t。这样一个区间值过程So，与一个特定的cádlág过程S相连o, 完美地融入了Whitt（2002）第15.4节的设置，产生于排队论。与非滚动4.47一样，我们将So视为定义3.21中E的随机元素。重新调用E只包含R+上的所有实紧区间值路径，即不只是So的那些与S的cádlág路径相连的路径o. 正是关于E上的偏移（Hausdorff）度量定义3.22所诱导的Borelσ-代数，我们可以将其视为一个博纳随机过程，即(Ohm, F、 P）至（E，E）。接下来的两个结果阐明了序列{Sn}n∈Nof RLH价格过程从定义4.45收敛到分数NIG过程So和So分别。这些结果分别构成推论3.20和推论4.47的直接应用。推论4.54（即分数NIG极限）。设{Sn}n∈Nbe定义4.45和S中的一系列RLH价格过程o定义4.52中的分数NIG cádlág过程。然后是a.s.，收敛Sntn→∞----→ SoT放置a.e.，即所有T∈ R+，我们a.s.哈维莱特∈ 【0，T】：Sntn→∞----→ Soti=T.（4.97）4路径波动率建模框架证明。给定Xna。s--→ 推论4.49中的Xon（Φ，dΦ）∧x：=exp（Wρx-x） a.s.在C（R+，R）中有路径，然后在路径基础上应用推论3.20 a.s.提供了LEBHT∈ [0，T]∧Xntn→∞----→ ∧Xti=T。