空间不规则常微分方程及其路径解

注意等式4.76中包含了系数θα。这有助于在α变化时进行比较，并且可以通过分数阶导数过程Wα的自相似性从理论上进行验证，参见Jacquieret al.（2018）。撇开理论不谈，图16和图17的最后（τ=2）面板显示出明显的相似性，因此可以对其他面板进行更清晰的比较，即较早到期的面板。为简单起见，我们设置v=θ，以便期望值E[RtVsds]=-2E【log St】=在赫斯顿模型下，θt在时间上呈线性。然后以数值方式寻求RLH曲线θ，从而得出类似关系E【Xt】=-2E[log St]=θt保持不变，因此所有impliedvolatilities都具有该值√θ平均值。（“平均值”可以精确表示；例如，参见McCrickerd&Pakkanen（2018）中的图9和相关讨论。）通过成功找到suchaθ，利用方程4.76和E[Xt]=θ的托内利定理，我们得到了表示式θ（t）=θt-σθακE[WαXt]。（4.77）在模拟过程中，当使用方程式4.77获得F时，我们观察到输出没有变化，当我们得到目标“前向方差”曲线ξ（t）=E[Xt”，如ξ（t）=θ时，该公式将θ作为模型的输入。我们注意到E[WαXt]6=0 fort>0且α6=0（可选停止理论仅在α=0时适用，否则Wα不是局部鞅）。但根据经验我们观察到-当α∈ （0，），因此方程4.77中的θ肯定是严格递增的，因为RLHmodel需要存在于我们的框架中，并根据定理4.4具有唯一（强）解。在图16中，我们设置ρ=-0.7，因此价格过程与其波动性呈强负相关，这在股票市场中通常是如此。在图17中，我们将ρ=0.4设置为更适用于外汇市场的路径波动率建模框架。

在这两种情况下，σ=κ=0.2和θ=v=0.04，α等于0或0.2，我们显示的到期日从一周（τ=1/52）到两年（τ=2）。使用定理4.42中的方案，在python中对每个成熟度运行4096条路径的单独模拟，时间和空间步长分别为τ/512和θτ/512。我们总是从看跌期权payoff s#（s）：=max{K中获得隐含波动率- ST，0}，根据推论4.44进行假设。因此，该收敛结果适用于ψ=IV=BS-1和BS，如等式4.74所示。按照约定，我们在log-strike k：=log（k）空间中表示隐含波动率，并将其放大100。选择返回“delta”N的对数打击(-d+）从方程4.74中大致在区间内（0.005，0.995），因此我们的删除量总是大致捕获99%的模拟价格。我们使用McCrickerd&Pakkanen（2018）中推荐的方差缩减技术。正如报告所述，我们发现这些技术对估计数据的统计偏差可以忽略不计，因此我们没有在这里报告这些偏差。

最后请注意，经典的赫斯顿数据点是在Gatherel（2006）之后通过该模型的特征函数和数值积分获得的。为了更加清晰，附录中给出了用于通过定义4.41中的方案模拟RLH模型的简化版本代码，价格路径如图22所示。如第2.6节末尾所述，该代码运行时间为75 ms，我们发现此处使用4096条路径足以使图16和图17中的所有α=0 RLH隐含波动率在数值积分赫斯顿对应值的0.1范围内。4路径波动率建模框架0.06 0.04 0.02 0.00 0.02 0.04 0.06k182022IV（k，τ=1w）HestonRLHα=0.0RLHα=0.20.15 0.10 0.05 0.00 0.05 0.10 0.15k1618202224IV（k，τ=1m）HestonRLHα=0.20.2 0.1 0.1 0.2k161820222426IV（k，τ=3m）HestonRLHα=0.0RLHα=0.0RLHα0.20.4 0.2 0.0 0.2 0.4k161820222426IV（k，τ=6m）HestonRLHα=0.0RLHα=0.20.4 0.2 0.0 0.2 0.4k15.017.520.022.525.027.5IV（k，τ=1y）HestonRLHα=0.0RLHα=0.20.75 0.50 0.25 0.00 0.25 0.50 0.75k15.017.520.022.525.027.5IV（k，τ=2y）HestonRLHα=0.0RLHα=0.2图16：分别在方程4.75和方程4.76中定义的经典Heston和RLH模型的隐含挥发率IV（k，τ）。

参数设置为σ=κ=0.2，θ=v=0.04，ρ=-0.7，分数导数α如图所示。4路径波动率建模框架0.06 0.04 0.02 0.00 0.02 0.04 0.06k19.920.020.120.220.320.420.5IV（k，τ=1w）HestonRLHα=0.0RLHα=0.20.15 0.10 0.05 0.00 0.05 0.10 0.15k19.7520.0020.2520.5020.7521.00IV（k，τ=1m）HestonRLHα=0.0RLHα=0.20.1 0.0 2k19.520.020.521.021.522.0IV（k，τ=3m）HestonRLHα=0.0RLHα=0.20.4 0.2 0.0 0 0.2 0.4k202122IV（k，τ=6m）HestonRLHα=0.0RLHα=0.20.4 0.2 0.0 0.2 0.4k1920212223IV（k，τ=1y）HestonRLHα=0.0RLHα=0.20.75 0.50 0.25 0.00 0.25 0.50 0.75k192021222324IV（k，τ=2y）HestonRLHα=0.0RLHα=0.2图17：显示图16的复制，设置为ρ=0。在图16和图17中，当α=0时，RLH隐含波动率与经典Heston模型的波动率明显一致，验证了定理4.14。考虑到两年期的所有隐含收益率都是相似的，当α增加到0.2时，对较短期限的影响也很明显：在图16中，我们观察到随着成熟度下降到一周，倾斜越来越明显，在图17中，我们观察到弯曲越来越明显。4路径波动率建模框架现在，在图18和图19中，我们通过有限差来近似（按货币）倾斜和曲率，通过以下绝对偏导数（τ）为每个到期日τ定义：=IV（k，τ）kk=0，曲率（τ）：=IV（k，τ）kk=0。

（4.78）0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00τ0.00.10.20.30.40.50.6斜交（τ）：=| IV（k，τ）/k | k=0HestonRLHα=0.20.23τ-0.2图18：根据图16.0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00τ012345曲率（τ）：=| 2IV（k，τ）/k2 | k=0HestonRLHα=0.20.84τ-0.4图19：在中央单位近似的货币隐含波动率曲率下，与图17.4中的数据不同，这是一个路径波动率建模框架。在图18和图19中，我们希望观察幂律倾斜和曲率，就像领先的粗糙波动率模型生成的曲线一样，并将其视为股市的“程式化事实”。因此，我们包括τ型幂律-α和τ-分别为2α，这是Alòs et Al.（2007）和Alòs&León（2017）在通过H"older正则性将Hurstparameter H转换为分数阶导数α时所预测的，即H=0.5- α.尽管这些幂律本身是（短期）近似值，但它们与我们的有限差分RLH偏斜和曲率之间的相似性仍然很明显，这表明RLH模型在这方面的行为确实与领先的粗糙波动率模型类似。现在，在图20中，我们使用改进的RLH模型模拟隐含波动率，该模型与El Euch et al.（2019）中图1和图2的模型相似，即粗略的Heston模型。1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 0.2 0.4k1020304050IV（k，τ）τ=0.025τ=0.082τ=0.260τ=0.8802.0 1.5 1.0 0 0.5 0.0 0 0 0.5k1020304050IV（k，τ）τ=0.019τ=0.085τ=0.250τ=1.070图20：公式4.80中修正RLH模型的隐含波动率，与粗糙Heston的波动率相比。

参数为H=0.1216，ν=0.2910，ρ=-左面板中为0.6714，H=0.0474，ν=0.4061，ρ=-右侧0.6710。与方程4.75中的经典Heston方差过程相比，El Euch et al.（2019）中的粗糙Heston对应物是奇异随机Volterra方程的弱解vt=ξ（t）+νΓ（H）+Zt（t- s） H类-pVsdWs，（4.79）4远期方差曲线ξ（t）=E[Vt]，H的路径波动率建模框架∈ （0，）和ν>0。为了与theRLH模型进行比较，我们将定义4.31中的累积方差过程X修改为solveXt=θ（t）+νW-HXt公司<==> Vt=θ（t）+νΓ（H+）Z·（·）- x） H类-dWx公司RtVsds，（4.80）其中V：=X，我们允许θ（0）>0，我们对粗略的赫斯顿-赫斯特参数h进行了优先级排序=- α、 并已移除漂移组件-XT完全来自方程式4.52。我们注意到，根据定理4.4，该模型具有唯一（强）解，前提是θ严格递增。然而，基于定理4.17的鞅性结果不再适用，因为存在这种漂移-Xtis已删除。然而，这实际上无关紧要，因为如果漂移-对于任何 > 0，例如。 := 2.-方程式4.79中的粗略赫斯顿模型与方程式4.80中的修正RLH模型之间存在明显的相似性。图20对此进行了验证，尤其是因为该图不是通过校准我们的参数H、ν、ρ来复制粗略的赫斯顿输出，而是通过简单地采用El Euch等人（2019）的粗略赫斯顿参数来生成的。然而，请注意，RLH模型通常在图20中的左尾中产生更高的隐含挥发性，因此通过实际校准仍有改进的空间。回顾方程式4.77，仍需确保等效性θ（t）=ξ（t）- νE[W-HXt]达到合理的精度。

我们在模拟生成图20的过程中对其进行管理，但我们发现θ（t）=θ+θ（1）型曲线-2H）t2Halso产量合理。通过图18、图19和图20，我们提供了令人信服的证据，证明RLH模型的行为与领先的粗糙波动率模型类似。然而，需要更多的理论或数值证据来验证与粗糙赫斯顿模型的关系，因为我们生成图20的模拟依赖于非常高的分数导数。我们在第5章末尾阐明了一些关于RLH模型的潜在未来研究。最后，回顾本章开头的内容，我们在定义RLH模型时的主要目标是通过熟悉的经典Heston模型，促进对图2中更广泛的波动率建模框架的理解。这些明显的粗糙的赫斯顿相似性是一个额外的好处。与粗糙的Heston模型不同，RLH模型存在于一个框架中，所有模型都可以在不损害其唯一强解的情况下灵活修改，4一个路径波动率建模框架，并具有连续的解映射w.r.t.在紧集上一致收敛。尽管进行了尝试，但粗糙赫斯顿模型（以及相关的随机Volterra方程）具有唯一强解的条件仍然未知。粗糙的赫斯顿模型有一个可以近似的特征函数，但可以实现半解析定价。4.6分数Heston-NIG限制在本最后一节中，计划将第3章的限制结果（最著名的是第3.17节）应用于定义4.31中的RLH模型。这样做之后，我们将演示令人惊讶的经典CIR和Heston极限结果作为特例。

前者将在时间积分CIR过程和IGLévy过程之间建立一种全新的联系，其结果是Skorokhod的Mtopology的弱收敛。后一个结果将加强在序言中详细讨论的赫斯顿和尼格之间的关系。回想一下，Keller Restel（2011年）和Forde&Jacquier（2011年）中已经建立了赫斯顿大时间过程和NIG分布之间的联系，Mechkov（2015年）的EOREM 0.1建立了过程边缘分布之间的第一个联系。因此，这里的Heston和NIG关系是第一个功能结果，说明了这些过程在所有时间内是如何同时相关的（和不相关的，因为它变了）。这些结果不如CIR相关结果容易获得，例如，Skorokhod的所有五种拓扑都违反了弱收敛性。为了对经典CIR和Heston过程得出这些结论，将使用定理4.14中这些过程与RLH模型之间的关系，当分数激励α=0时。回想一下FXt鞅价格过程的RLH模型s={St}t∈R+及其累积方差X={Xt}t∈R+，由方程sxt=σWαXt+κ（θ（t））总结- Xt）+v，St=exp（WρXt-Xt），（4.81），其中我们定义了通常的过程Wα：=Dα（W）和Wρ：=ρW+p1- ρW.我们现在对这些模型的序列感兴趣，这些模型可以用方程4.81中隐含的潜在随机场的序列来表示。

具体而言，我们考虑场综合，x：=σnWαx+κn（θn（t）- x） +vn，（4.82）4一个路径波动率建模框架，指出这意味着布朗运动（W，W）和参数α，ρ现已固定。当将定理3.17应用于此类领域时，曲线κnθn（t）+vnplay具有相同的作用，提供了一个在紧致上一致发现的极限，如n→ ∞, 因此，为了帮助对经典CIR和Heston过程得出直接结论，我们将只考虑θn（t）：=θt和vn：=v的（经典）情况，对于θ，v>0。因此，方程4.82中的场可以表示为ynt，x：=σnWαx+κn（θt- x） +v（4.83），在随后的结果中，θt可以推广到极限曲线θ（t）。回想定理4.14，当我们在方程4.83中设置分数阶导数α=0时，随机ODE解X的分布与积分CIRprocess的分布一致，S的分布与Heston-price过程一致。现在，根据我们如何让σ和κn标度为n，不同的，可能不连续的，极限将通过定理3.17获得。这里我们最感兴趣的是Mechkov（2015）研究的极限，并在序言中总结，其中σn，κnn→∞----→ ∞ 同样的速度，因为我们知道这些导致了经典过程之间信息量最大、实用性最强的函数关系。在结语中，明确了源自Heston（1993）和Fouque et al.（2011）制度的替代限制，也适应了Yn0,0=vnn的情况→∞----→ ∞.快速反转参数化。在Mechkov（2015）中，定义了Heston模型的一种特殊的“快速回归”参数化，该参数在重新标注参数a、b、c>0的情况下，相当于考虑以下由任何n>0dVnt=napVntdWt+n（b）索引的It^oSDEs- Vnt），dSnt=pVntSntdWρt，（Vn，Sn）=（c，1）。

（4.84）该参数化的新颖之处在于，对于V和n，CIR SDE的扩散和转化分量均呈线性缩放。通过对特征函数的分析（假设方程4.84中的系统是有效的），分布Sntd的收敛性-→获得的STI为n→ ∞ 对于任何t>0，其中Sis是指数化的NIG Lévy过程，参数仅取决于a、b和ρ，不再取决于c。该结果由定理0.1总结，将由推论4.57证实，然后在推论4.58中扩展。现在，我们想以类似的“快速恢复”方式对一系列RLH模型进行参数化。4路径波动率建模框架考虑到RLH模型如何与经典Heston模型相联系，通过OREM 4.14，通过利用方程4.83中的字段Ynas，σn：=na和κn：=n，实现了方程4.84中的参数化。这简单地导致了以下结果。定义4.45（快速反向RLH参数化）。在定义4.31的RLH模型中，将σ=na，κ=n，θ（t）=bt和v=c设置为一些n，a，b，c>0，因此RLH过程（Xn，Sn）是R+上的唯一过程，验证定义方程xnt=naWαXnt+bt- Xnt公司+ c、 Snt=expWρXnt-Xnt公司, （4.85）对于某些固定α∈ （0，）和ρ∈ [-1, 1]. 我们会说，这样的RLH模型正在快速恢复参数化，并将调用n→ ∞ RLH模型的快速回复极限。现在，我们主要关注的是通过第3章的无概率结果建立该模型的a.s.函数极限。然后，通过设置α=0，这些将立即为Heston模型提供弱限制，如等式4.84所示。虽然我们对a.s.感兴趣。