空间不规则常微分方程及其路径解

具体而言，我们如何适应（0，）中任何固定顺序的H"older连续波动率模型。为了预见这种和谐，首先回顾一下，广义赫斯顿框架中的模型可以由价格及其波动性唯一验证的方程来总结√十、 namelyXt=σZXt+κ（θ（t）- Xt）+v，St=exp（WρXt-Xt），（4.45），其中通常Wρ=p1- ρW+ρW和（W，W）是标准的二维布朗运动。还可以从定理4.14中回忆一下，当选择θ（t）=θt和Z=W时，此处S的分布与经典Heston模型的分布相一致。然后，此处定义的新模型体现了简单地用其黎曼-刘维尔分数导数Z=Dα（W）=：Wα（0，）中的某阶α替换经典布朗运动Z=Wselection的想法。这是赫斯顿模型的一个新的推广，由于明显的原因，将被称为黎曼-刘维尔赫斯顿（RLH）模型。该模型可通过在方程4.45中设置Z=Wα来总结，然后在α=0的省略4 A路径波动率建模框架边界情况下简单恢复经典的赫斯顿模型。假设方程4.45中的θ为例如Lipschitz，则方差过程xinher为Z的H"older连续性：=Wα，即。-α - 对于任何 > 这个经典的替换在我们基于ODE的框架中是可以接受的，不需要额外的适定性工作，这一事实不容忽视。事实上，这证明了我们的框架的稳定性源自第2章的结果，与经典赫斯顿模型的基于It的框架形成对比，在赫斯顿模型中，如果没有实质性的额外工作，这种和谐的替代理念基本上没有意义。参见示例。

Keller Restel，Larsson&Pulido（2018）和Abi Jaber，Larsson&Pulido（2019）的研究适用于替代性的“粗略Heston”概括，但仍不知道有独特的强大解决方案。热切的读者可以跳到图22，图22展示了ourlh模型的样本路径，但本节主要致力于严格定义该模型，从Riemann-Liouville型分数导数开始。如前一节所述，在确认RLH价格过程定义了阿马丁格尔，从而生成无套利衍生品价格之前，将澄清第2章和第3章结果的后果。分数导数。现在引入了（0，1）阶的Riemann-Liouville（RL）分数阶导数，并强调了H"older空间之间的连续映射性质。该特性将有助于稍后理解RLH模型的相关映射特性，然后通过定理2.20建立其模拟的收敛性。对于任何λ∈ （0，1），设Hλ C（R+，R）表示从0开始，且在任何紧致子区间I=[0，I]上的函数集w R+验证λ：kwkλI=supx阶的H"older条件∈I | w（x）|+supx，u∈Ix6=u | w（x）-w（u）| | x- u |λ<∞. （4.46）回想一下空间（Hλ，k·kλI）（包含每个w的限制∈ Hλto I）是不可分的Banach空间。证明了布朗运动可以在可分离子空间（Hλ，k·kλI）上构造，这对我们来说非常方便，后来如Hamadouche（2000）中介绍的那样。定义4.27（Riemann-Liouville分数阶导数）。对于任意路径w∈ Hλ和α阶∈ （0，λ），w的α-分数导数是路径Dα（w）∈ Hλ-在R+比亚迪α（w）（x）上定义的α：=Γ（1）- α） ddxZxw（u）（x）- u） αdu。

（4.47）4路径波动率建模框架本文定义的算子Dα被Hardy&Littlewood（1932）的经典结果很好地定义，并在Hamadouche（2000）的定理8中得到了很好的巩固。在w（0）=0之后，dα（w）（0）=0的含义不应忽视。作为参考，Dα与Samko et al.（1993）定义2.2中的左手RL分数导数一致，其中用Dα0+表示。然而，出于我们的目的，不建议使用此流行文本。以下连续性结果也是由Hardy&Littlewood（1932）得出的，尽管Hamadouche（2000）中的命题2也提供了光滑的证明。这个证明也说明了dα：Hλ→ Hλ-α是双射的，因此也定义了H"older范数的同构。定理4.28（分数阶导数的H"older连续性）。对于λ∈ （0，1），{wn}n∈NHλ，α∈ （0，λ）和I=[0，I] R+，算子Dα在kw意义下是H"older连续的- wnkλ英寸→∞----→ 0 ==> kDα（w）- Dα（wn）kλ-α英寸→∞----→ 0。（4.48）调整粗略波动率观察值；波动率表现出的H"older正则性远低于布朗运动，我们只需在定义4.10的广义Heston框架中，通过RL分数阶导数过程来驱动波动率过程。定义4.29（Riemann-Liouville过程）。从布朗运动W={Wx}x∈R+接通(Ohm, F、 P），确定过程Wα={Wαx}x∈R+乘以Wα=Dα（W），其中α∈ (0,). 一、 e.，Wαx：=Γ（1- α） ddxZxWu（x- u） αdu。（4.49）因为λ在Hλ中的Ware a.s.路径∈ （0，），然后我们在λ的Hλ中找到Wα∈ (0,-α).因此，我们可以通过根据需要简单地提高导数阶数α来降低Wα的H"older正则性，从而降低X。忽略常数，这个过程Wα实际上与It^ointegralRx（x）无法区分-u）-αdWu，由Lévy（1953）引入，与Mandelbrot&Van Ness（1968）的分数布朗运动有关。

具体而言，对于粗波动率建模，Horvath、Jacquier和Muguruza（2019）对此类可区分的关系进行了概括。为了使分数阶导数的性质之间的联系最为明确，将优先考虑定义4.29中Wα的表示。这也继续强调了我们缺乏对随机微积分的任何直接依赖。在Jacquier、Pakkanen和Stone（2018）中可以找到Wα的完整协方差结构，但以下总结了我们需要的内容。4路径波动率建模框架EMMA 4.30（Riemann-Liouville过程属性）。对于α∈ （0，），Riemann-Liouville过程Wα是高斯过程，每个λ的路径在Hλ中∈ (0,-α） ，对于所有x∈ R+验证值[Wαx]=0，E[（Wαx）]=x1-2αΓ(1 - α)(1 - 2α). （4.50）在这一点上，值得注意的是，对于某些固定的a，b，过程Wα具有次线性方差增长，即E[（Wαx）]<a+bxC≥ 0，c∈ （0，1）和所有x∈ R+。例如，回顾α∈ （0，）并使用引理4.30，取任意a>0，b>Γ（1-α)-2(1-2α)-1和C=1- 2α. 注意，这使得定理4.17可以用于多种目的。RLH模型。RLH价格过程模型是在定义4.10的广义Heston框架内建立的，在此框架内，我们选择分数导数Z=Wα：=Dα（W）。因此，在任何概率空间上，其完全定义如下(Ohm, F、 P）支持R+上通常的2d布朗运动W=（W，W）。我们使用Wα和Wρ的符号表示不同的过程，例如ρ=α6，不应产生混淆==> Wρ=Wα。定义4.31（Riemann-Liouville-Heston模型）。

设θ是C（R+，R+）中的任何双射，且设Wα={Wαx}x∈R+是α阶的分数阶导数Wα=Dα（W）∈ (0,).对于某些固定参数σ、κ、v>0，确定随机场Y={Yt，x}（t，x）∈R+in G byYt，x：=σWαx+κ（θ（t）- x） +v，（4.51）然后设x={Xt}t∈R+是随机IVP x=Yt，x，x=0的解，让价格过程S={St}t∈R+由S定义：=exp（WρX-十） 对于某些固定ρ∈ [-1, 1].因此，RLH模型可以用X和S唯一验证的方程来总结：Xt=σWαXt+κ（θ（t）-Xt）+v，St=exp（WρXt-Xt），Wρ=p1- ρW+ρW，（4.52），利用定理4.14，当θ（t）=θt和α=0时，价格过程S的分布与经典Heston模型的分布一致，注意D（W）=W。如方程4.12，我们的波动过程√五=√Xin该模型等效验证vt=σWαRtVsds+κθ（t）-ZtVsds+五==> dVt=σdWαRtVsds+κ（θ（t）-Vt）dt，（4.53），其中第二个方程假设θ的绝对连续性，即θ（t）=Rtθ（s）ds。注意，严格增加θ可确保其a.e.差异性，因此V=Xa。e、 继承了4 A pathwise波动率建模框架(- α - )-Wα的H"older连续性。如果θ是额外的(- α - )-H"older continuous（例如Lipschitz），那么X也是如此（无处不在，而不仅仅是a.e.）。最终波动率√Xinherits公司(-α-)-Xt>0且为的区间上的H"older连续性(-α-)-霍尔德则不然。得体。我们需要确认其含义∈ 定义4.31中的G。如果RLH模型位于定义4.10中的广义Heston子框架中，则可以实现这一点。看起来确实如此，但请注意，我们省略了supx要求∈R+κx- σZx=∞那里如定理4.16之前所讨论的，这个条件等价于过程X={Xt}t的存在∈R+上的定理4.4给出了θ和thatXt的双射性质：=inf{x>0:Yt，x<0}=inf{x>0：κx- σZx>κθ（t）+v}<∞.

（4.54）因此我们需要确认Xt<∞ 对于所有t∈ Z=Wα时的R+。为了完全清楚，这意味着P[Xt<∞] = 1.t型∈ R+，而不是P[Xt<∞ t型∈ R+]=1，尽管在我们的设置中，这些条件是等价的，因为X是严格递增的。如定理4.16之前所述，我们将得到Xt<∞ 对于所有t∈ R+如果我们有更强的mgf存在E[epXt]<∞ 对于所有t∈ R+和一些p>0。下一个结果证实了这一点。推论4.32（RLH MGF存在）。设随机IVP解X={Xt}t∈R+及其上界X={Xt}t∈R+是定义4.31中RLH模型的值。然后MGFsMX（p，t）：=E[epXt]和MX（p，t）：=E[epXt]全局存在，即对于所有（p，t）∈ R×R+。证据如果我们可以应用定理4.17，那么这个主张就成立了。为此，我们要求RLH模型下的过程Z=Wα是以高斯为中心的，对于一些a，b≥ 0，c∈ （0，1）和所有x∈ R+。引理4.30中给出的Wα方差表明，对于任何a>0，b>Γ（1），情况确实如此-α)-2(1-2α)-1和c=1-2α.鉴于Xt<∞ 以下为所有t∈ R+，然后等效为supx∈R+κx- σWαx=∞,所以Y∈ G和RLH模型确实是我们定义4.10中的广义Heston模型之一。就完整性而言，这意味着RLH模型的适定性直接遵循定理4.4，可以总结为方程4.52中的定义方程具有路径唯一解。更具体地说，对于每个ω，RLH路径X（ω）和S（ω）在R+上唯一存在∈ Ohm*:= {ω ∈ Ohm : supx公司∈R+κx-σWαx（ω）=∞}.4路径波动率建模框架解决方案映射连续性。对于RLH模型，我们现在快速整合了连续性陈述，如thosein定理4.4和方程4.7。这些陈述最终源自第2章的结果，特别是定理2.18。

首先请注意，在集合中隐式Ohm*刚刚定义的是每个Wα（ω）实际存在的假设。为方便起见，我们可以将此集合简化为只包含W（ω）的结果∈ Hλλ ∈ (0,). 这充分考虑了Wis布朗运动，确保每个Wα（ω）都存在于定义4.27中，并明确了即将到来的H"older范数k·kλR+：=Pn∈N-n（1∧k·kλ[0，n]）存在。定理4.33（RLH解映射连续性）。设（X，S）为theRLH模型中定义的过程，由（W，W）构成。然后对于结果{ωn}n∈N Ohm*和λ∈ （α，），（kW（ω）- W（ωn）kR+，kW（ω）- W（ωn）kλR++n→∞----→ (0, 0)==> （kX（ω）- X（ωn）kR+，kS（ω）- S（ωn）kR++n→∞----→ (0, 0). （4.55）证明。首先注意α∈ （0，），我们总是有λ∈ （0，），因此W（ωn）∈每n的Hλ∈ N、 这表明这里存在范数k·kλR+。现在从假设k·kλR+n→∞----→ 0这里，定理4.28提供kWα（ω）-Wα（ωn）kλ-αR+n→∞----→ 0，再次表示λ-α ∈ （0，）已确保。因此，等式4.55中的极限假设大于（kW（ω）- W（ωn）kR+，kW（ω）- W（ωn）kR+，Wα（ω）- Wα（ωn）kR++n→∞----→ （0，0，0），（4.56），即强于紧集上的乘积一致收敛。使用定义4.31，我们获得RLH随机场收敛kY（ωn）- Y（ω）kR+n→∞----→ 由于方程式4.3和方程式4.7的假设现已得到证实，我们得出了这些假设的结果。这些与此处的主张完全一致，因此请完成证明。马丁尼性。让{Fx}x∈R+表示W=（W，W）的自然过滤。与往常一样，我们现在确认RLH价格过程S={St}t∈定义4.31中的R+是过滤空间上的鞅(Ohm, F、 {Gt}t∈R+，P），其中Gt：=FXt。与定理4.26一样，我们还可以得到波动率处理的关系X=[对数S]√X通常满足。为了实现这一点，将应用定理4.26更一般的鞅性结果。

这取决于MGF E【epXt】存在条件和Y的空间适应条件，4定义4.23中的路径波动率建模框架。为了帮助实现后者，首先提供了以下内容，这些内容适用于广义赫斯顿子框架中的所有模型，因此RLH模型特别适用。引理4.34（广义Heston适应性）。让随机场Y={Yt，x}（t，x）∈R+采用定义4.10中的广义赫斯顿形式，即Yt，x=σZx+κ（θ（t）- x） 某些Z的+v={Zx}x∈R+和路径θ。如果Z适应于{Fx}x∈R+，则Y在空间上自适应。证据选择Fx自适应的过程Z意味着Zxis Fx可测量为everyx∈ R+。即Zx：(Ohm, 外汇）→ （R，R）定义了一个可测映射，其中R是R的Borelσ代数，例如由欧几里德距离导出的代数。在广义的Heston情况下，其中y采用形式Yt，x=σZx+κ（θ（t）-x） +v，该假设扩展到Yt，x：(Ohm, 外汇）→ （R，R）对于每个（t，x）是可测量的∈ R+，假设θ是一个固定的连续函数。因此，现在仅使用定义4.23，Y就如所声称的那样在空间上进行了调整，并且证明是完整的。现在定理4.26，推论4.32和引理4.34一起提供了以下内容。推论4.35（RLH模型的鞅性）。RLH价格过程S={St}t∈定义4.31中的R+是过滤空间上的鞅(Ohm, F、 {Gt}t∈R+，P），其中Gt：=FXt。证据定理4.26将在假设被证实适用于此处后提供索赔。为此，评估的MGF E[eXt]首先必须存在于R+之上，我们已经在推论4.32中证实了这一点。第二，也是最后一点，RLH油田必须在空间上进行调整。为此，我们可以应用引理4.34，适用于所有广义heston模型，前提是RLH分数阶导数选择Z：=Wα：=Dα（W）适用于{Fx}x∈R+。

从定义4.29中的积分表示可以清楚地看出，Wαx：=Γ（1- α） ddxZxWu（x- u） αdu，（4.57）表明Wα不仅适应于外汇，而且适应于成分W的自然过滤。因此，我们可以应用定理4.26来完成证明，也可以确定X=[对数S]。4.5模拟衍生产品定价现在我们的注意力转向近似理论RLH价格过程S={St}t∈定义4.31中的R+，以及可使用路径波动率建模框架4模拟的计算可行过程定义2.19中的远期Euler方案。尽管为了具体起见，我们在这里重点关注RLH模型，但所采用的方法明确了如何将第2.20条的灵活收敛结果应用于定义4.7的一般框架中的其他模型。假设定理4.26建立了S在空间上的鞅性(Ohm, F、 {Gt}t∈R+，P），主要应用是评估（无套利）衍生品价格。因此，在第4.3节之后，我们将关注通过蒙特卡罗模拟，对真实、有界和连续的导数payoff#=#（S）的期望值E[#| G]=E[#]。Glasserman（2003）和Asmussen&Glynn（2007）为这一目标提供了背景。为此，一个序列{Sn}n∈将定义Nof RLH多边形过程，该过程可以模拟并验证E[#（^Sn）]n→∞----→ E[#（S）]任何此类付款。根据定义，这相当于建立随机元素^Snn的弱收敛性→∞=====> S、 或诱导概率测度的弱收敛性；例如，见比林斯利（1999）第1节。接下来，我们处理这样一个事实，即对于任何这样的近似过程^Sn，期望E[#（^Sn）]本身只能由估计量N来近似-1PNi=1#（^Sni），取决于最终实现{Sni}Ni=1。

这种联合近似在蒙特卡洛理论中是一个被忽视的问题，但由于忽视了其中一种近似，理论家和实践者很少陈述实际计算机模拟收敛的概念。在定理4.43中，我们提供了一个易于处理和直观的联合收敛声明，证明了现有实践的合理性。准备结果。考虑到前向Euler收敛结果定理2.20，此处方法的核心将是一个可行序列{Yn}n∈Nof随机场在紧集上均匀收敛到RLH随机场Yt，x：=σWαx+κ（θ（t）-x） +v.虽然具有弱收敛结果，即^Ynn→∞=====> 为了最清楚地应用定理3.3中的路径模拟收敛结果，我们将移动到一个纯粹抽象的概率空间，在该空间上可以建立a.s.收敛结果。与定理4.36一样，该空间上的随机元素通常会用X表示。这种通过a.s.收敛的方法是Billingsley（1999）提出的方法之一。我们现在提供一些准备结果，使这一点成为可能。第一个是Skorokhod（1956）的Skorokhod\'s强大表示定理，如Billingsley（1999）所述。4路径波动率建模框架要正确解释这一点，请回顾收敛声明Xnn中隐含的→∞=====> Xona赋范向量空间（X，k·kX）是映射Xn的可测性：(Ohm, F、 P）→ （X，B（X）），其中B（X）是由k·kX诱导的X的Borelσ-代数，并且是Xnis任何集的支撑∈ B（X）使得uXn【A】=1，其中uXn：=PX-1nis是Xn的分布。最后，对于这样一个可分离的集合，意味着它有一个在（X，k·kX）中稠密的可数子集。定理4.36（斯科罗霍德表示定理）。假设Xnn→∞=====> Xon（X，k·kX）和xh是一个可分离的支架。