空间不规则常微分方程及其路径解

这里，E是通常的退出时间函数，它定义了退出时间空间（Φ，dΦ）与C（R+，R+）中的非递减无界路径集之间的对合等距，并配备了“紧集上的一致收敛”范数k·kR+。回想一下，在退出时间度量空间（Φ，dΦ）上的收敛可以立即在Skorokhod的Mspace上提供收敛，也可以在LPSpace上提供逐点收敛。通过弱收敛性Xnn→∞=====> Xon a metric space（X，dX）我们指的是收敛E[#（Xn）]n→∞----→ E[#（X）]表示实数、有界和连续#自（X，dX）。在下面，如果x=1，则让指示符rx={1}（x）返回值1，否则返回值0。定理5.2（综合CIR快速回复极限）。对于固定的a、b、c>0和α、β、γ，让过程族{Vn}n>0求解方程5.11中的CIR SDE∈ (-∞, 1]. 通过Xnt分别定义时间积分{Xn}n>0：=RtVnsds。然后弱收敛Xnn→∞=====> Xtakes放置在退出时间空间（Φ，dΦ）上，其中Xis是Lévy processXt：=infx>0：-αaWx+βx>bt+γc. （5.13）证明。设bn是由引理4.13中的W和每个vna构造的布朗运动，因此，如定理4.14所示，每个CIR过程vn等价地解积分方程vnt=nαabrntvnsds+n英国电信- nβ-1ZtVnsds+ nγc.（5.14）然后，每个时间积分x解随机IVP x=nYnt，x，x=0，其中ynt，x：=nα-1aBnx+bt- nβ-1x+nγ-1c。（5.15）如定理4.14所示，该随机IVP构成了问题4.3的一个例子，每个领域都有Yna。s、 因此，定理4.4给出了这些条件的适定条件。现在，让X为随机IVP X=nYnt，X，X=0的Pilogue唯一解，其中每个yn如方程5.15所示，但由固定布朗运动W而非Bn构成。为清楚起见，这意味着▄Ynt，x：=nα-1aWx+bt- nβ-1x+nγ-1c，（5.16），这导致了等效的Xnd=Xnin分布。

请注意，convergencenx-1n→∞----→x个∈ 固定x发生{0，1}∈ (-∞, 1]. 假设α，β，γ∈ (-∞, 1] ，Convergence▄Yna。s--→因此，在压实体上均匀发生，如n→ ∞, 式中▄Yt，x：=αaWx+bt-βx+γc.（5.17）现在确定候选极限过程x∈ Φ  D（R+，R+）类似于推论4.46 byXt：=inf{x>0：~Yt，x<0}=inf{x>0：-αaWx+βx>bt+γc}。（5.18）然后，通过推论4.46，我们得到了收敛Xna。s--→ Xon退出时间空间（Φ，dΦ）为n→ ∞. 由于对于每n>0，我们都有等价的Xnd=~Xnof分布，因此这也提供了弱收敛Xnn→∞=====> Xon空间（Φ，dΦ），如所述。（α，β，γ）XtLimit description（0，0，0）=infx>0：0>bt= ∞ 立即爆炸（0，0，1）=infx>0:0>bt+c= ∞ 立即爆炸（0，1，0）=infx>0:x>bt= bt确定性从0（0，1，1）=infx>0:x>bt+c= bt+c确定性来自c（1，0，0）=infx>0：-aWx>btLévy（1，1，0）=infx>0：-aWx+x>btIG（1，0，1）=infx>0：-aWx>bt+cLévy，随机开始（1，1，1）=infx>0：-aWx+x>bt+cIG，随机起始表1：定理5.2中极限的表示和描述。考虑到方程式5.13中有八个隐式Lévy过程限值，表1描述了其中的每一个限值，主要见于Applebaum（2009）。请注意，（α，β，γ）的每种情况实际上都适用于一系列复归制度，但（1,1,1）除外。E、 g.，（α，β，γ）=（0，1，0）对应于方程5.11中α，γ<1且β=1的任何复归制度，如Heston（1993）和Fouque et al.（2011）在方程5.12中定义的制度。现就表1中出现的所有限制以及确定这些限制的方法提供一些结论性评论。

这些评论强调了这里所采用的基于随机ODE的方法的惊人性，该方法向我们传授了关于数学金融中所使用的随机过程的新知识，这些随机过程已经被大量研究和依赖。与表1中Mechkov（2015）的（1，1，0）情况对应的推论4.51一样，收敛Xnf。d--→ X极限为随机连续点的补充定理5.2。这是所有的R+，除了{0}之外，当限制违反X=0 a.s时，必须删除，即在表1中的情况1、2、4、7和8中。定义X-:= 0，这可能被视为违反随机连续性。从他们的表述中可以清楚地看出，两个随机起始情况在位移时与其确定性起始对应情况一致-C时间倒退。通过方程5.11，我们可以看到，只有当CIR起始点Vn=nγc=nc趋向于∞ 就像n一样。如推论4.51所示，所有f.d.收敛都可以使用MGF进行验证，因为这里的所有过程都是一个函数。例如，如果我们将等式5.11中的IR反转水平b推广到具有严格递增和无界积分Tb（s）ds的cádlág路径b（t），这将变得更加困难，但仍然是可能的。如第4.6节所述，本扩展和其他扩展的第5.2条证明实际上没有变化。E、 g.，我们简单地发现，在等式5.13的极限中，积分RTB（s）ds取代了术语bt=Rtbds。由于表1中的确定性极限是连续的，因此在这些情况下的收敛是Uniformor紧集。请注意，Heston（1993）和Fouque et al.（2011）的复归机制都属于（0,1,0）的第三种情况，因此线性极限Xt：=bt。在这些情况下，Heston-price过程弱收敛于Black-Scholes w.r.t.一致收敛于紧集。Fouque等人（2011年）指出了这一影响。

VN不一定是确定性的，因为Xn：=RVNSD确实是确定性的，并且通常可以产生随机漂移∞. 这可以通过图14所示的定理3.24中的限制来解释。注释有用的注释下表收集了本论文中用于表示已执行集合的符号。还显示了每个集合的描述以及每个符号首次使用的页码。符号页描述25个自然数，即{1，2，3，…}N35非负整数，即{0，1，2，…}=N∪ {0}R 14实数，即(-∞, ∞)R+9非负实数，即[0，∞)R 41扩展实数，即[-∞, ∞] = R∪ {±∞}C 16连续函数SN 87非递减连续函数SAC 68绝对连续函数SHλ149λ阶H"older连续函数∈ （0，1）Hλ149 HλΦ24子集问题1.4ΦΦ84Φ86ΦΦΦ中函数一阶导数子集的解集-188ΦD 16 Cádlág函数的ΦΦ73超集中函数的逆se 73偏移函数f 20连续函数的子集从Rto RFθ22连续函数的子集FG 20从R+到RGθ25连续函数的子集GBibliographyBibliographyAbi Jaber，E.（2019）。调和剧烈波动与跳跃。在维也纳数学金融大会上的演讲。Abi Jaber，E.和El Euch，O.（2019年）。粗糙波动率模型的多因素近似。《金融数学杂志》，10（2），309–349。内政部：https://doi.org/10.1137/18M1170236AbiJaber，E.、Larsson，M.和Pulido，S.（2019年）。一个有效的Volterra过程。《应用可能性年鉴》，29（5），3155–3200。内政部：https://doi.org/10.1214/19-aap1477Agarwal，R.P.和Lakshmikantham，V.（1993）。序微分方程的唯一性和非唯一性准则。世界科学部：https://doi.org/10.1142/1988Aliprantis，C.D.（1998年）。《真实分析原理》（第3版）。学术出版社。Alòs，E.&León，J.A。

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