空间不规则常微分方程及其路径解

（4.98）但现在仅使用Sn、S的定义o而∧，我们看到这正是我们的主张。虽然这种限制结果对于某些应用是有效的，但以下内容对于理解路径依赖导数更丰富的限制行为是必要的。与推论4.47一样，我们让sn同时表示E中返回单态{Snt}的过程。推论4.55（Hausdor ff分数NIG极限）。设{Sn}n∈Nbe定义4.45中的一系列RLHprice过程，让我们o定义4.53中的分数NIG偏移过程。然后是收敛Sna。s--→ So发生在（E，dE）作为n→ ∞.证据与推论4.54一样，定义过程∧x：=exp（Wρx-x） 。然后给出收敛Xna。s--→ 推论4.49中的Xon（Φ，dΦ），推论4.47可用于获得∧oXna。s--→ ∧oXon（E，dE）。根据Snand S的定义，这是一项索赔。如推论4.47所述，此处的图形Hausdor ff结果实际上是适用于此类图形显式参数表示的更强乘积收敛结果的结果。在这里的设置中，我们有（（Xn）-1，λ）a.s。--→ （E（X），∧）均匀压缩。推论4.55中的简化Hausdor ff陈述优先考虑，因为它直接适用于RLH模型，而不是它的高维表示。经典赫斯顿极限。现在，我们可以在上述价格过程收敛结果中设置分数阶导数α=0，以建立方程4.84中经典Heston模型的极限。现在也很清楚，定义4.52和定义4.53中的分数NIG cádlág和偏移过程是如何推广经典NIG Lévy过程的。第一次回忆，例如，从Applebaum（2009）中，一个NIG Lévy进程N={Nt}t∈R+允许以下“方差-均值混合”表示形式，即IG Lévy从属函数X，Xt：=infx>0:x- aWx>bt, Nt：=αWXt+βXt+γt。

（4.99）如果α、β、γ∈ R不受限制，例如，我们可以在这里简单地设置^α=1。然而，为了与赫斯顿模型进行最清晰的比较，4路径波动率建模框架这些参数应该像下一个结果一样加以限制，这很简单，但决不是显而易见的。请注意，S的表示形式o引理中的4.56与方程0.3中的一致，与方程4.99不同，它只取决于三个参数a、b、ρ。引理4.56（分数NIG约化）。让我们o是定义4.52中的分数NIG过程，分数阶α=0。然后So是一个指数化的NIG过程。具体而言，Sot=经验值αWXt+βXt+γt, ^α：=p1- ρ,^β :=2ρ - a2a，γ：=-ρba。（4.100）证明。首先分离出过程Wρ：=ρW+p1- ρ赢得定义So:=exp（WρX-十） 。尽管与直觉相反，IG流程验证了以下内容-aWXt=bt，给定其定义Xt：=inf{x>0:x-aWx>bt}和W的连续性。因此我们可以将进程aWXtin S替换为o按Xt-bt，这样我们就得到了所声称的陈述。下一个结果提供了定理0.1的高维推广。当然可以使用MGFs来验证这一点，就像我们在推论4.51之后的1d案例中所做的那样。然而，对于适用于此处价格过程的1d案例，应咨询Mechkov（2015）。推论4.57（赫斯顿f.d.极限）。设{Sn}n∈Nbe Heston-price的序列从方程4.84开始，让我们o是定义4.52的过程，α=0（因此承认引理4.56中的指数化NIG表示）。然后是Snf。d--→ SoR+上为n→ ∞.证据设{Xn}n∈Nbe推论4.51证明的累积方差过程。--→ （Xt，…，Xtd）on（Rd，|·|），对于任何{tk}dk=1 R+和▄Xnd=xN∈N、 其中Xnt：=RTVSD是也来自推论4.51的经典Heston过程。

通过∧x将∧过程定义为：=exp（Wρx-x） 和▄Sn：=∧▄Xn，回顾▄Snd=snbytherm 4.14。然后通过∧的连续性，我们得到（▄Snt，▄Sntd）：=（∧▄Xnt，▄Xntd）a.s。--→（λXt，…，λXtd）=：（S）ot、 ，Sotd）开（Rd，|·|）。现在假定（▄Snt，▄Sntd）d=（Snt，…，Sntd）对于每n∈ N、 这提供了（Snt，…，Sntd）N→∞=====> （S）ot、 ，Sotd）开（Rd，|·|）。因为时间点{tk}dk=1 R+是任意的，这相当于索赔Snf。d--→ So超过R+。根据推论4.55，该最终结果准确描述了经典赫斯顿价格过程的区间值弱限。这一限制在定义3.21的集合E中有路径，这本身就非常令人惊讶。如定义4.53所述，4路径波动率建模框架回顾NIG漂移过程So此处A.S.返回单态{Sot} 对于a.e.t∈ R+，给定α=0，So允许引理4.56中的指数化NIG表示。推论4.58（Heston Hausdorff界限）。设{Sn}n∈Nbe等式4.84中的赫斯顿价格过程序列，以及定义4.53中α=0的过程序列，因此xt：=infx>0:x- aWx>bt, Sot：=nexpWρx-x个: x个∈ [文本-, Xt]o.（4.101）然后是弱收敛Snn→∞=====> So发生在Hausdor ff度量空间（E，dE）上。证据在推论4.57中定义类似于SN的过程。然后根据推论4.55，收敛Sna。s--→ So发生在（E，dE）作为n→ ∞. 假设我们设定了α=0，那么定理4.14提供了▄Snd=Sn。因此，来自Sna。s--→ 在（E，dE）上，我们得到弱索赔Snn→∞=====> So。我们认为推论4.58尽可能加强定理0.1。

鉴于这是推论4.55的结果，这是推论4.47的结果，这是无概率定理3.26的结果，那么很明显，我们不仅显著地加强了定理0.1，而且还广泛地推广了它。因此，我们实现了从序言到加强和推广定理0.1的初步目标。最后回想一下，推论4.58最终依赖的定理3.26在图15中进行了可视化演示。以同样的方式，我们可以可视化缩放的Hestonvariance如何处理n-方程式4.84中的1Vn表现为n→ ∞ 使用图14。事实上，定理3.24可以扩展到概率设置中（就像定理3.26一样），以显示n-1vn在（E，dE）上有一个区间值限制，如Sn。此限制a.s.返回Singleton{0}a.e.，但仍有紧凑的向上偏移，如图14所示，即densein R+。鉴于过程VN不可直接交易，我们看不到这一令人惊讶的限制的任何实际后果，超出推论4.50和推论4.58.5的结论5结论这里不可避免地重复了本论文的成果，如摘要和第1章所总结。然而，现在进一步明确了这些成就是如何实现的、它们的价值以及可能的扩展。这一价值观建立在序言中所述的基础上，主要与个人激励经验和特定（尽管非常流行）模型有关。在此澄清之后，提出了一些未来的研究方向。从第2章中获得的新的ODEwell适定性结果的理论概括，到第4章中首次出现的数学金融中的区间值预测价格过程的实际含义。Heston-NIG关系。

当然，首要任务仍然是发展所需的数学理论，以描述经典Heston和NIG模型在Mechkov（2015）的“快速回归”极限中的关系，扩展在那里获得的固定时间分布结果，如定理0.1所示。正如序言中所述，描述必须足够丰富，以揭示其值在该极限范围内收敛的衍生工具类别，从而阐明这些模型对从业人员的适用性和价值。这种关系的程度现在可以通过COLLARY 4.57的有限维限制结果得到。这确实揭示了一大类价格趋同的衍生品，即仅通过固定时间点（有时称为百慕大期权）取决于基础价格过程的衍生品。但是，主要出于归纳的动机，第3章中针对这些限制采取的新的无概率和基于ODE的方法使得推论4.58的Hausdorff限制结果更强，信息更丰富。这一Hausdor-fff结果提供了Heston-NIG关系的完整描述，尽管令人惊讶的是，需要引入经典NIG过程的区间值推广。这一结果对于实际目的来说是理想的，因为它不仅明确了价格不会收敛于经典NIG限制的持续监控路径依赖衍生品的类别，而且还明确了这些价格将收敛于什么。5结论对于任何对随机过程极限定理感兴趣的人来说，无论是在金融领域还是其他领域，这一特殊结果都应该具有理论价值。在金融领域，这是第一个值间过程，就像Whitt（2002）新兴的排队论中定义和研究的过程一样。

在更一般的数学中，这是第一个已知的通过参数限制的连续过程自然产生的过程的例子。鉴于我们所讨论的不是利基连续过程，而是最简单和最流行的随机波动率模型之一，这一点更令人惊讶。赫斯顿（1993）有10000条引文证明了这一点，更重要的是，它在无数金融机构和商业图书馆（如Numerix）中的实施。在第4.6节的过程中，还发现，这些赫斯顿-尼日关系植根于综合CIR和IG过程之间更深层的联系。这种联系建立在第3章中介绍的新的退出时间度量空间上，它比斯科罗霍德的Mspace更强。它也更容易理解，因为它不依赖于参数表示上的函数，并且同胚于非递减连续路径上紧集上一致收敛的波兰拓扑。结语收集了其他Heston参数下CIR过程产生的其他几个Lévy过程限制，例如Heston（1993）和Fouque et al.（2011）的限制。最后值得澄清的是，这些限制关系有直接的多维概括。例如，以具有公共CIR方差过程的d维Heston模型为例，使用公共IG从属函数获得类似的d维exp-NIG Lévy极限。这将De Col等人（2013）流行的Heston FX建模框架与分析和计算要求较低的对应物和谐地联系在一起，随着维度的提高，其重要性越来越大。

事实上，这一NIG对应物属于Ballota、Deelstra&Rayée（2017）的易处理外汇框架，该框架是由Levy流程构建的，github提供了一个实现。com/ryanmccrickerd/frh外汇。更广泛的建模框架。所有这些经典的随机过程关系都源自第3章中ODE解的一般极限结果，最重要的是定理3.17和定理3.26。这些结果使第4.6节中的Heston-NIG关系得以部分概括，与第4.4.5节中的RLH模型相关。结论更一般而言，RLH模型是第4.1节中基于随机ODE的一般框架的范例，存在于第4.2节和第4.3节中定义的两个子框架中。通往推论4.35的路线汇集了这些章节中的几个结果。实际上，该结果证明RLH价格过程是所有参数组合的鞅，因此总是生成无套利衍生品价格。理论上，它证明了定理4.26更一般的鞅结果，它构成了时变和Novikov鞅条件对随机ODE解的一个新应用。反过来，必要的可集成性要求取决于定理4.17的一般MGF存在性结果，适用于一类具有替代高斯驱动的广义Heston模型。通过定义4.41中的配方和附带的定理4.42，我们展示了如何为衍生品定价目的模拟此类模型，并提供了显示与有前景的粗挥发性模型相关特性的挥发性表面。因此，尽管RLH模型主要是为了说明理论目的而定义的，但这一切都表明，与领先同行进行更深入的实证比较，如拜耳等人的比较。

（2016）和El Euch&Rosenbaum（2019）将值得一看。进一步向后看，第4章框架中的所有模型都超越了第2章中的适定性性质，也许最有价值的是定理2.17和定理2.18所获得的唯一性和连续依赖稳健性。这些集合结果是其他集合，不依赖于驱动函数的任何空间正则性属性，如H"older正则性，但仍然适用于最大解。因此，这些ODE的描述在整个空间上是不规则的，其结果是能够协调地适应粗糙的波动率模型，而无需进行额外的适定性分析。这与正在进行的理论研究路线形成了鲜明对比，该理论研究旨在在It^o型Volterra积分方程的框架内适应粗糙波动性，例如最近在Keller-Ressel et al.（2018）和Abi-Jaber et al.（2019）中进行了研究。实际上，这种稳健性意味着从业者不会发现（适当适度的）模型调整会导致违反直觉的后果，例如对衍生产品价格的影响。因此，他们可以安全地利用第3章中解决方案空间捕获的广泛类别的模型，从一开始就具有相对较低的进入壁垒，因为这5个结论严格来说不需要理解任何形式的随机微积分。请注意，在本论文中，It^o演算的介绍很少，只是为了阐明其他更为熟悉的框架的动机、联系和后果。当然，我们需要进行更多的研究，直到我们能够完全理解围绕随机ODE构建的框架是否能够在实践中占据中心地位，或者它的主要价值是否将来自于它可以教给我们的其他框架。

我们已经有了一个很有希望的开端，从第2章的无概率井然有序基础一直到第4章的特定模型，该模型本身就将大众分类模型与粗糙、不连续甚至新颖的偏移概括相协调。最后，提出了未来研究的三个方向，这也是本论文的研究方向。Carathéodory ODE扩展。关于子集F的讨论 定义1.1中的C（R，R）函数阐明了我们考虑这些函数的主要动机，因为它们来自赫斯顿波动率模型，因此具有（实际）建模应用的潜力。但是，在定理2.17的最大唯一性结果之前，我们还讨论了该集合F（理论上）与定理2.14中Wend的局部唯一性结果的关系。我们对Wend定理的表述实际上是一种简化的表述，只适用于经典的可微解，就像本论文的全部内容和大部分ODE理论一样。参考Agarwal和Lakshmikantham（1993）的定理2.6.1，Wend的唯一性定理实际上是在扩展设置中的，其中函数f不一定在C（R，R）中，但满足Carathéodory（1927）存在定理中较弱的“Carathéodory”条件。根据Coddington&Levinson（1955）或Agarwal&Lakshmikantham（1993）的第2.1节，Carathéodory条件要求每个f（·，x）仅可测量，每个f（t，·）连续，每个紧凑矩形x r存在一个Lebesgue可积函数m=mx，使得| f（t，x）|≤ m（t）每当（t，x）∈ 十、 对于任何（τ，ξ）∈ R、 Carathéodory定理则提供了在某些（τ）上ODEx=f（t，x）的“扩展”解的存在性-, τ + ) 其中φ（τ）=ξ。假设f（·，x）可能不是连续的，我们将这种扩展解定义为绝对连续的，其中φ（t）=f（t，ν（t））a.e。

只有5结论Wend定理在这种情况下仍然成立，这确保了在[τ，τ+), i、 e.如果f（·，x）不递减且f（t，x）>0，则及时向前。从理论上讲，很自然地会问，F中的函数是否也可以从F（·，x）连续放宽到仅可测量（其他假设相等），而不影响定理2.17的最大唯一性。在定义4.10中的广义赫斯顿框架中，我们的累积方差过程X验证了类型为xt=σZXt+κ（θ（t））的随机ODE- Xt）+v，（5.1）这将允许我们将θ的连续性放宽到例如仅右连续性。然而，这种放松并没有很好的动机。相反，将方程5.1中的连续过程Z放松为仅正确连续将允许我们利用非高斯Lévy过程来驱动我们的随机ODE x=Yt，xthus累积方差扩展解x。这将为Barndor Off-Nielsen&Shephard（2001b）的方法提供一种替代方法，Carr等人（2003）采用了该方法，该方法利用非高斯过程驱动的SDE来获得具有依赖（如反向）增量的累积方差过程。这些SDE中的Lévy过程Z必须具有正增量，以确保X具有正增量，但在方程5.1的随机ODE中，这似乎是可以放松的。这种对Carathéodory ODEs的扩展的主要目的不是扩大定义1.5中可能的累加方差路径集Φ，因为我们已经在定理3.18中展示了超集Φ中的任何路径 定义1.6中的Φ可以作为一个限制。相反，我们可以利用莱维过程的概率特性进行分析和模拟。