空间不规则常微分方程及其路径解

例如，如果在方程5.1中存在Z a Lévy过程，那么我们可以考虑用可选抽样理论来评估E[ZXt]，因此E[Xt]，这在定义4.31的RLH模型中是不可能的，其中Z=Wα是一个布朗分数导数。与f（·，x）是可测量的通常卡拉托气味条件相比，例如cádlág和f（t，·）连续，这激发了对ODE的考虑，取决于以下超集Fe F、 请注意，虽然Lévy过程的路径不一定是cádlág a.s.，但这些过程的随机连续性确保了“cádlág修改”，参见Applebaum（2009）中的引理1.4.8，这意味着我们基本上不会因为假设这一点而失去一般性。5结论定义5.1（函数集）。设集合包含函数f:R→ R，当eachf（·，x）严格递增且连续时，每个f（t，·）cádlág仅具有向上的不连续性，因此f（t，x）- f（t，x-) ≥ 所有（t，x）均为0，部分（τ，ξ）最终f（τ，ξ）>0∈ R、 需要注意的是，我们在定义5.1中并没有假设通常的焦耳气味条件，而是假设了新的焦耳气味条件，这些条件清楚地代表了空间和时间的倒转。像Barndorff-Nielsen&Shephard（2001b）一样，我们现在只假设向上的不连续性，因为很容易构造IVPs x=f（t，x），x（0）=0，否则没有最大扩展解，例如图21中的f（t，x）=t+z（x）类型。也就是说，如果我们不修改反向条件的扩展解的含义，就没有解决方案，例如。

到路径Д，使得退出时间E（Д）解出反向IVP x=1/f（x，t），x（0）=0 a.E.，或更实际地解出一条前向Euler多边形在紧致上均匀收敛的路径Д。0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t0.00.51.01.52.0Д（t）0.0 0 0.5 1.5 2.0t0.00.51.01.52.0Д（t）图21：显示IVP x=f（t，x），x（0）=0的Carathéodory扩展溶液，其中f（t，x）=t+z（x），cádlág路径z在x=1.5时向下跳跃。如果该跳跃太大，尽管前向Euler多边形（红色）可能仍然存在a.e.DifferentiableUniform limit（a.e.DifferentiableUniform limit of forward Euler polygons，红色），但仅在[0，1]上方存在（右面板）。补充图21和Barndorff-Nielsen&Shephard（2001b），注意到cádlág路径向下跳跃的约束在其他地方特别出现，例如Lochowski等人（2018）定义的路径二次变化。但目前我们认为这是巧合。5结论关于非高斯Lévy驱动随机模型框架的第一个也是最重要的问题是与定理2.17相对应的：假设f∈ f（τ，ξ）>0对于IVP x=f（t，x），x（τ）=ξ具有唯一最大扩展解的效率？这意味着什么。第1章中概述的路线，从方程1.1中的赫斯顿波动率模型到方程2.1中的ODE，用以下箭头DVT=σpVtdWt+κ（θ-Vt）dt，V=VД（t）=σ（woД）（t）+κ（θt-ν（t））+v.（5.2）此处的ODE可被视为SDE的路径对应物，对应关系为Д（t）=Vt（ω），前提是我们回忆起路径w∈ 不应将C（R，R）视为WB的一部分，而应将其视为方程式1.3或更高版本的定理4.14的时变版本。利用定理2.17，我们现在知道，当σ，κ，θ，v>0时，对于任何w∈ C（R，R）。

因此，即使w的H"older正则性远低于布朗运动的H"older正则性，IVP也具有唯一性，即a.s。-  对于每个 > 因此，很自然地会问，除了Yamada&Watanabe（1971）的结果之外，是否可以利用定理2.17来确定某些SDE的路径唯一性，对于这一结果，方程式5.2中的CIR SDE是众所周知的边界情况。这个问题仍然没有答案，即使是对CIR SDE的简单推广，sayto dVt=σ| Vt |αdWt+θdt，对于某些α，V=V∈ (0,). 在这种情况下有一个部分答案，因为当θ=0时，这是“Girsanov的SDE”，对于该SDE，α的路径唯一性失败∈ （0，），参见Cherny&Engelbert（2005）中的示例1.22。但不应低估漂移θdt的加入，事实上，这是导致方程5.2的常微分方程中严格增加分量θt的原因，这在定理2.17的证明中很重要。流行的文本onSDEs显示出对这种简单漂移的一些忽视，因为更复杂的漂移往往可以通过改变度量来消除，例如Rogers&Williams（2000）中的定理5.27.1。现在的问题是，我们的新ODE唯一性结果使这场辩论变得有些毫无意义，我们用一个实际的例子来说明原因。假设我们考虑更换Vton。h、 s.在方程式5.2中，对于某些α，Vt | 2α∈ （0，），这对于发现赫斯顿模型表现不理想的从业者来说是一个自然的考虑，与他们的5个结论短期观察相比。对于某些σ、κ、θ、v>0的情况，考虑的SDE为：因此，dVT=σ| Vt |αdWt+κ（θ- |Vt | 2α）dt，V=V.（5.3）Skorokhod的经典结果保证了该SDE的弱解，请参见Skorokhod（1965）或Cherny&Engelbert（2005）中的命题1.13，我们在此遵循其术语。但这种SDE不必有唯一的弱解，更不用说唯一的强解，即不必表现出路径唯一性。

参见Cherny&Engelbert（2005）中的图1.1，以简洁地提示SDE的这些属性是如何相关的。该SDE的Soprobabilistic分析值得怀疑，波动率不明确的适用性可能不是非负的，模拟方案的收敛性也无法保证。然而，给定一个弱解（V，W），我们发现，就像方程1.3一样，V veriesvt=σBRt | Vs | 2αds+κθt-Zt | Vs | 2αds+ v、 （5.4）现在让f（t，x）：=σw（x）+κ（θt-x） +v是方程5.2中隐含的通常赫斯顿函数，并考虑IVP x=fα（t，x），x（0）=0和fα∈ F由Fα定义：=sgn（F）| F | 2α。这个IVP是问题1.2的一个例子，因此根据定理2.17，有一个唯一的最大解να，它是严格递增的。与方程5.2中的解相比，现在的Дα验证了Дα（t）=fα（t，Дα（t））=| f（t，Дα（t））| 2α=|σ（wo Дα）（t）+κ（θt- Дα（t））+v | 2α（5.5），其中我们忽略了fα的sgn（f）分量，因为我们知道Дα（t）≥ 0、将|·| 1/2α应用于每侧，我们可以看到Vt（ω）：=|Дα（t）| 1/2α验证等式5.4中的随机ODE，在识别w（x）：=Bx（ω）的基础上。因此，我们构建了方程5.4的解，SDE的任何弱解都必须使用我们的框架进行验证，在该框架中，所有随机ODE都有一个适用于波动率建模的唯一强解。重要的是，我们没有实际声称方程5.4中的随机ODE是路径唯一的，因为通过将sgn（f）分量添加到fα中，我们可以方便地在我们的框架中求解不同的（路径唯一的）随机ODE，其唯一解也解方程5.4，并且保证非负。我们没有必要使用sgn；我们只需要确保fα（·，x）严格增加，所以fα∈ F、 函数|·|α可以被从和到R+的任何%双射替换。

那么方程5.3的对应项isdVt=σ%（Vt）dWt+κ（θ- %（Vt））dt，V=V，（5.6）5结论，路径解为（%）-1.oφα. 类似地，曲线θt=Rtθds可以推广到任何严格递增的θ（t），现在很明显，以这种方式研究方程5.6可以为源自Dupire（1994）的局部（波动性）波动性模型提供一个迷人的实用视角。实际上，这些函数θ和%可以像在这些模型中一样进行校准。或者，我们可以仅将例如fix%=e，等效地设置α=1，以获得Hagan、Kumar、Lesniewski&Woodward（2002）的流行SABR模型的复归扩展。我们将SDE映射到一个随机ODE上的方法，该ODE总是有一个唯一的强解（回想Cherny&Engelbert（2005）中的图1.1，这是“最好的可能假设”），这种方法可能与交替时间变化和操纵SDE的“Doss-Sussman”方法有关，Ikeda和Watanabe（1992）都涵盖了这两种方法，后者源自Doss（1977）和Sussmann（1978）。重要的区别在于，这些替代方法适用于ODE或相关积分方程，参见示例2.1或Ikeda&Watanabe（1992）中的定理4.3及其推论，但除非SDE已知，否则不会影响这些方法是否具有唯一解。因此，尽管人们从理论上获得了SDE和ODE解之间有趣的关系，但很少有人能在实践中帮助其他人，如果我们希望放松方程5.4的驱动过程，使其不再是布朗运动，那么肯定什么也做不到。这与我们对随机常微分方程（如方程5.4）的一般处理以及对局部波动率模型的广泛应用形成了对比，因为在整个论文中，我们对常微分方程进行了优先排序，并回答了它们的适定性问题，而不依赖于概率，更不用说随机微分方程了。模型的实证检验。

最后，我们提出了与衍生品定价相关的具体实验，这将有助于从定义4.25的鞅框架测试模型。我们根据定义4.31中的RLH模型和扩展提出了这些模型，但当然可以在这个鞅框架中自由考虑任何其他模型。回想一下这个模型，其中价格过程S及其累积方差X=[对数S]唯一验证Xt=σWαXt+κ（θ（t）- Xt）+v，St=exp（WρXt-Xt）。（5.7）在第4.5节中，说明了该赫斯顿扩展产生的隐含波动率，图18、图19和图20的组合提供了令人信服的经验证据5结论，即该新模型与领先的（粗略的）波动率模型具有重要特征，即其短期倾斜和曲率。具体而言，图20与El Euch et al.（2019）中的结果进行了比较，该结果源自备选的粗糙Heston扩展。因此，我们已经证明，RLH模型的隐含波动率非常灵活，可以证明对该模型协调市场数据能力的独立研究是合理的，而这在这里只有时间和空间禁止。虽然通过McCrickerd&Pakkanen（2018）的方差缩减方法（在合理的时间内）可以通过模拟进行蛮力校准，但鉴于Horvath等人（2021）的有希望的发现，我们还建议探索用于校准的神经网络技术，利用我们的模拟方案生成用于训练的数据。假设RLH模型或定义4.25框架中的替代模型表现良好，足以让金融机构在生产中考虑该模型，以分析价格过程的差异，我们建议随后测试该模型联合调整标准普尔500指数和波动率指数衍生品价格的能力。

众所周知，这是一个困难的挑战，Guyon（2020）最近才在离散时间内解决了这一问题，Gatheral等人（2020）后来提出了第一个具有连续样本路径的令人满意的模型；二次粗糙赫斯顿模型。当然，如果需要，可以考虑类似的二次RLH模型。与Gatheral等人（2020）的二次模型类似，我们可以使用方程szt=σWαZt+κ（θ（t））- Zt）+v，Xt=a（Zt- b） +c，St=exp（WρXt-Xt）（5.8），其中a、b、c>0。然而，在我们的鞅框架中，这不是一个模型；请注意，X与WZ而非WX生成的过滤相适应。在我们的框架中，替换隐式RLH随机场Yt更为自然，x=σWαx+κ（θ（t）-x） +v不等式5.7，带有一个二次变量，如sgn（Y）Y。这一想法显然与函数fα的使用有关：=sgn（f）| f |α，用于求解方程5.4，不同之处在于，在此我们不会通过使用Vt（ω）：=|Дα（t）| 1/2α来反转二次变换。Gatheral et al.（2020）的作者在处理这一联合校准难题时反复强调了祖姆巴赫效应的重要性，因此这种效应也可以直接针对theRLH模型及其二次变量进行测试，就像El Euch et al.（2020）针对拉夫赫斯顿模型所做的那样。我们可以对此持乐观态度，因为非平凡的Zumbach效应影响了从显示时间反转不对称的模型得出的结论，我们的框架确实显示了这一点，图11所示的简单路径违反唯一性最为明确。迄今为止提出的实验有一个共同的主题；以领先的波动率模型为例，例如来自It^o或Volterra SDEs的传统框架，该模型展示了理想的特征，并表明在我们基于随机ODE的框架中至少存在一个特定的模型，该模型与It竞争激烈。

但当然，除了可能简化和统一更为熟悉的框架的特征外，任何新理论的一个至关重要的特性是它能够做出至少一个原始的和实验验证的预测。为此，显而易见的出发点是测试新的漂移过程的影响，这些漂移过程在我们的框架中已成为模型的快速反转限制，我们可以再次使用观察到的衍生产品价格来做到这一点。回想一下分数NIG cádlág和激励过程o和So根据定义4.52和定义4.53，与RLHmodel相关，为简单起见，设置分数导数α=0，因此Wα：=Dα（W）=W。然后通过引理4.56 So是激励结果定理0.1中的标准exp-NIG Lévy过程极限，So是区间值推广Sot=：[S-t、 S+t]3秒otfromEquation 4.95，其推论为4.58，是经典Heston过程的弱极限。当然，定义金融衍生工具的法律合同不考虑价格过程，即在很短的时间段内返回价格区间，就像So一样。但这是一个没有实际意义的观点，因为决定价格的交易者应该担心在短于其交易活动之间持续时间的时间内发生的任何波动。因此，根据It^o的短途旅行理论，最近对财务短途旅行风险的研究，如Ananova、Cont&Xu（2020），最近在Watanabe（2010）进行了审查。现在，为了测试交易员衍生品价格的这种“漂移”效应，我们可以首先根据价格过程进行校准o和So至欧洲选项。理论上，两个模型的校准参数将是等效的，因为随机连续性确保了单态oT={SoT} 如定义4.53所述，在任何固定到期日T>0时，是否返回a.s。

接下来，我们可以测试哪个过程能够更好地预测路径依赖型衍生产品的价格，例如，具有相同到期日的障碍期权的价格。更具体地说，我们可以先计算5个结论，然后对实验过程进行调整o普通认沽期权价格，每种解释为E[（K-SoT） +]对于到期日T和行权K，然后确定哪一组相关的看跌期权价格（K）- 输入∈[0，T]Sot）+≤ E（K）- 输入∈[0，T]inf SoT）+= E（K）- 输入∈[0，T]S-t）+（5.9）更好地协调观察结果。对于这里的排序，我们只使用inf Sot=S-t型≤ Sot、 令人惊讶的是，观察到的障碍期权价格接近上限不等式5.9。由于该价格是我们新的偏移过程预测的价格，该发现可以解释为确认衍生产品价格中的偏移风险溢价，但更重要的是，将验证这些新的偏移过程，以建模该风险。结语结语：综合循环关系在第4.6节中，第3.4节和第3.5节的限制结果应用于定义4.31中的LH模型，建立了与定义4.48、定义4.52和定义4.53中的广义（分数）IG和NIG过程的a.s.限制联系。经典的CIR、Heston、IG和NIG弱极限定理随后成为结果。如第4.6节所述，此处确定的限值取决于在定义4.45中的特定“快速回归”参数化中表达RLH模型的选择，灵感来自Mechkov（2015）的经典Heston参数化，总结于方程式4.84。我们用这篇结语同时描述了Lévy过程的所有（八）个极限，这些极限来自于更一般的快速回复CIR过程，尤其证明了定理3.17的威力。例如，这些参数适用于Heston（1993）和Fouque等人（2011）的参数。

赫斯顿价格过程限制与推论4.57和推论4.58与推论4.49完全相同，因此不再重复。特别令人惊讶的是，这里出现的Lévy限制具有随机起点。定理3.18容纳了这种可能性，这使得它们的构造成为可能。通过涵盖这些，我们不仅提供了波动率的经典连续模型和跳跃模型之间的协调，还提供了随机模型，如Mechkov（2016）、Jacquier&Shi（2019）。考虑Heston（1993）经典Heston模型中的标准CIR方差过程，dVt=σpVtdWt+κ（θ- Vt）dt，V=V.（5.10）通过大幅过参数化此SDE，我们将通过定理3.17同时从中获得各种极限。因此，让族{Vn}n>0的过程求解CIR SDEsdVnt=nαapVntdWt+n（b- nβ-1Vnt）dt，Vn=nγc，（5.11）对于固定a、b、c>0和α、β、γ∈ (-∞, 1]. 通过限制指数α、β、γ≤ 1，we确保等式5.11中的反向分量nb永远不以n为主→ ∞,α，β，γ的任何特殊情况∈ (-∞, 1] 可被视为“快速逆转”制度。然后，在设定（n、a、b、c）时恢复以下经典状态：=（κ、σ、θ、v）尾声（α、β、γ）：=（0，1，0）赫斯顿（1993），（，1，0）福克等人（2011），（1，1，0）梅奇科夫（2015）。（5.12）我们现在准备时间积分过程的极限Xnt：=从等式5.11中的CIR SDE导出的RTVNSD。如第3.3节所述，让Φ D（R+，R+）包含严格递增和无界的cádlág路径，DΦ是退出时间度量，满足DΦ（Д，Д）=kE（Д）- E（Д）kR+。