空间不规则常微分方程及其路径解

然后，在公共概率空间中存在随机元素xn，这样，对于每n，Xnd=xn∈ N、 然而▄Xnn→∞----→a、 s.~Xon（X，k·kX）。这一结果将与Lamperti（1962）提出的布朗运动的Lamperti不变性原理相结合。我们如Hamadouche（2000）所述，强调了子集Hλ Hλ包含路径w∈ Hλ具有附加连续性ωλ（w，δ）δ→0---→ 0，其中ωλ（w，δ）：=supx，u∈I0<| x-u型|≤δ| w（x）-w（u）| | x- u |λ，（4.58）和I R+是任何紧区间。相关结果，如Rackauskas&Suquet（2004）的特征极限理论，适用于这些子集。关键是（Hλ，k·kλR+）是一个可分离的Banach空间，如Ciesielski（1960）所示，因此定理4.36可以在不进行修改的情况下应用。为清楚起见，关于k·kλR+：=P的可分性∞n=1-n（1∧ k·kλ[0，n]）源自有限维乘积空间上的可分性稳定性，参见。g、 比林斯利（1999）。这里我们让W={Wx}x∈R+表示标准的一维布朗运动。定理4.37（Lamperti不变性原理）。设{ζk}k∈Nbe一系列i.i.d.随机变量，其中E[ζk]=0，E[ζk]=σ，E[|ζk |γ]<∞ 对于某些γ>2。确定序列{Wn}n∈Nof分段线性过程^Wn={^Wnx}x∈R+分别使用^Wnx=σ√nbnxcXk=1ζk+（nx- bnxc）ζbnxc+1.

（4.59）然后弱收敛^Wnn→∞=====> 对于所有λ，W发生在（Hλ，k·kλR+）上∈ (0,-γ).由于在实践中，方程式4.59中的多边形将被视为固定n∈ N且σ=1，注意到^wn只不过是4路径波动率建模框架之间的线性插值值^Wnxk：=√νnPkj=1ζj，其中点xk：=kνn具有步长νn：=n-显然，我们也可以颠倒这种简单的关系，利用√νnζk=^Wnxk-^Wnxk-最后，我们提供了以下引理，这些引理简化了多边形路径w的分数阶导数Dα（w）∈ AC（R+，R），类似于定理4.37中的^wn。评估点X*k∈ （xk，xk+1）与Bennedsen、Lunde和Pakkanen（2017）的结果一致，与Horvath et al.（2019）的结果相反，他们都关注近似相关积分rx（x-u）-αdWu。点x之间的简单连接*kand Polygons是一个新颖的概念，将与定理4.28中Dα的H"older连续性一起使用。引理4.38（多边形分数导数）。让路径w∈ AC（R+，R）在点（xk，w（xk））之间呈线性，对于xk：=kν，k∈ 而有些则大于0。那么对于任何α∈ （0，1），导数Dα（w）在点{xk}k处接受以下表示∈NDα（w）（xk）=Γ（1- α） kXj=1（x*k-j）-α（w（xj）- w（xj-1） ），（x*k）-α： =x1-αk+1- x1-αk（1- α)υ. （4.60）证明。由于w在AC（R+，R）中，w（0）=0，Samko et al.（1993）的引理2.2提供了Γ（1- α） Dα（w）（x）：=ddxZxw（u）（x-u）-αdu=Z[0，x]w（u）（x- u）-αdu。（4.61）使用交流等效w（u）=Pkj=1u∈[xj-1，xj）w（xj）-w（xj-1） xj公司-xj公司-1在[0，xk]上，我们有Γ（1- α） Dα（w）（xk）=ZxkkXj=1u∈[xj-1，xj）w（xj）- w（xj-1） xj公司- xj公司-1（x- u）-αdu=kXj=1Zxjxj-1（x- u）-αduw（xj）- w（xj-1） xj公司- xj公司-1.

（4.62）现在评估积分rxjxj-1（x-u）-αdu提供了方程式4.60中的表示，注意到xk- xj=xk-jand xj公司- xj公司-1=ν从等分xk得出：=kД。最后，以下内容在实践中很有帮助，因为它允许我们使用引理4.38的分数导数点（xk，Dα（w）（xk））之间的计算方便的多边形。引理4.39（多边形的收敛）。设{wn}n∈N AC（R+，R）在点（xn，k，wn（xn，k））之间是线性的，对于xn，k：=kn-1，k∈ N带kwn- wkλR+n→∞----→ 0代表some4路径波动率建模框架W∈ Hλ，λ∈ (0, 1). 对于α∈ （0，λ），let{wα，n}n∈N AC（R+，R）在点（xn，k，wα，n（xn，k））之间是线性的，其中wα，n（xn，k）：=Dα（wn）（xn，k）。然后kDα（w）- wα，nkR+n→∞----→ 0.证明。根据定理4.28 kDα（w）-Dα（wn）kλ-αR+n→∞----→ 0成立，因此一致收敛kdα（w）- Dα（wn）kIn→∞----→ 0表示任何I=[0，I] R+也是。三角形不等式giveskDα（w）- wα，nkI≤ kDα（w）- Dα（wn）kI+kDα（wn）- wα，nkI。（4.63）假设kDα（w）-Dα（wn）kI= > 0。那么，由于wα，n（x）：=Dα（wn）（x），x=kn-1，和wα，nis在距离n的这些点之间呈线性-1，我们有kDα（wn）-wα，nkI≤ +ω（n-1） ，其中ω是Dα（w）在I上的连续模。对于任何这样的区间I，我们有kdα（w）- wα，nkI≤ 2kDα（w）- Dα（wn）kI+ω（n-1） n个→∞----→ 0（4.64），则仅通过定义标准k·kR+：=P得出结论∞n=1-n（1∧k·k[0，n]）。为清楚起见，我们最终将定理2.20和定理3.3中的前向Euler收敛结果简化为概率推论，可直接应用于此处的设置。类比定义2.19，定义正向欧拉过程X={Xt}t∈R+表示随机IVP x=Yt，xx=0，带步长 > 0，是X=0和变量Xtk+1=Xtk+Ytk，Xtk之间的线性插值过程, 其中tk：=k 和k∈ N、 推论4.40（前向Euler收敛）。

设{Yn}n∈G中的Nbe随机场，let{Xn}n∈Nbe使用步长n对随机IVPs x=Ynt，x，x=0的正向Euler过程-1. 对一些人来说 > 0，并让x解随机IVP x=Yt，x，x=0。那么，kY- YnkR+n→∞----→a、 s.0==> kX公司- XnkR+n→∞----→a、 s.0。（4.65）注意推论4.40中出现的双重近似：用一个方便的序列Yn来近似场yi，从这些近似中，我们构建了近似的正向Euler过程。这与定理2.20的假设一致，仅在我们将一般划分πn减少到步长为n的情况下-1..价格过程模拟。现在回想一下定义4.31中RLH模型中的五个过程S：=（W，W，Wα，X，S），整个R+，它们通过方程Sxt=σWαXt+κ（θ（t）关联-Xt）+v，St=exp（WρXt-Xt），Wρ=p1- ρW+ρW.（4.66）4一个路径波动率建模框架一个近似过程^S：=（^W，^W，^Wα，^X，^S）现在将被定义，它与S不同，可以在计算机上精确模拟（在压缩上）。其核心是定义2.19中的正向Euler格式，用于近似随机IVPsx=Yt，x，x=0的解。RLH随机场Yt，x：=σWαx+κ（θ（t）- x） +v基本上在离散的等分网格上近似，并在两者之间进行切实可行的插值。定义4.41（RLH多边形）。固定容许RLH参数σ，κ，v>0，α∈ (0,),ρ ∈ [-1，1]和路径θ∈ 定义4.31中的C（R+，R+）。固定时间和空间步长τ，ν>0和k∈ 无损检测tk：=kτ，xk：=kД。对于i=0，1，设{ζin}n∈i.i.d.标准高斯随机变量的NBE序列。现在，以下五个步骤分别处理用多边形近似RLH过程（W、W、Wα、X、S）。第1步。通过点^W：=0和变量^Wxk之间的线性插值确定过程^wb：=√νPkj=1ζj。

也就是说，在长度ν的每个间隔（xk，xk+1）上，定义^Wx：=^Wxk+Д-1（^Wxk+1-^Wxk）（x- xk）。（4.67）步骤2。定义^wsimilary，仅由{ζk}k构建∈n大于{ζk}k∈N、 第3步。通过在^Wα：=0和变量^Wαxk之间的线性插值确定过程^Wα：=√υΓ(1 - α） kXj=1（x*k-j）-αζj，（x*k）-α： =x1-αk+1- x1-αk（1- α)υ. （4.68）步骤4。用^Yt定义随机场^Y，x：=σ^Wαx+κ（θ（t）-x） +v和^x是随机IVP x=^Yt，x，x=0，步长τ的前向Euler多边形过程。也就是说，定义^X：=0，然后通过变量^Xtk+1之间的线性插值确定^X：=^Xtk+^Ytk，^Xtkτ。第5步。通过^St定义exp多边形^S：=exp（^Wρ^Xt-^Xt），其中^Wρ：=√1.- ρ^W+ρ^W。现在将该过程称为^S：=（^W，^W，^Wα，^X，^S）步长为τ，Д的RLH多边形过程。我们现在主要关注的是一系列RLH多边形过程的理论收敛性，但很明显，我们并没有失去实用性，附录中提供了简洁的Python代码，说明了如何模拟定义4.41中的这些RLH多边形。过程^S的样本路径也如图22.4所示，路径波动率建模框架在这里和定理4.42中表示C：=C（R+，R）。这一节的主要结果是紧集上一致收敛的乘积拓扑上的弱收敛性，支持过程的路径∈ C及其多边形近似值^S。对于特定情况，为此类有限产品集配备产品规范kwkR+：=Pdi=1kwikR+，其中w=（wi）di=1∈Cd。回想一下，例如Billingsley（1999），这类乘积空间（Cd，k·kR+）的可分性和完备性是从底层空间（C，k·kR+）继承而来的，可分性确保了该乘积的Borelσ-代数B（Cd）正是Borelσ-代数B（C）d的乘积。定理4.42（RLH多边形收敛）。

设S：=（W，W，Wα，X，S）为RLHprice过程，{Sn：=（W0，n，W1，n，Wα，n，Xn，Sn）}n∈Nbe时间和空间步长τn：=n生成的RLH多基因过程序列-1. 和νn：=n-1用于 > 然后是弱收敛Snn→∞=====> S发生在产品空间（C，k·kR+）上。证据其主要思想是转移到支持过程Snd=SN和Sd=S的概率空间，并建立收敛Sna。s--→S（如n所示→ ∞) on（C，k·kR+）。虽然不一定需要，但这可以通过推论4.40明确应用定理2.20。第1步。如定理4.37所述，过程{W1，n}n∈n当设置σ=1且ζk=ζk时，应包含等式4.59。因为每个ζkis均为高斯分布，且E[|ζk |γ]<∞对于所有γ>2，则定理4.37提供W1，nn→∞=====> 所有λ的Won（Hλ，k·kλR+）∈ (0,).由于每个（Hλ，k·kλR+）都是可分离的，因此应用定理4.36移动到另一个空间，该空间支持▄W1，nd=W1，nand▄Wd=W，带有▄W1，na。s--→韩元（Hλ，k·kλR+）。让这个空间支持另一个布朗运动Windependent fromW，并定义序列{W0，n}n∈n步长分离的￠w点之间的线性插值νn=n-1分别。所以现在▄W0，nd=W0，nand▄Wd=Wbut▄Wgives▄W0，na的连续性。s--→韩元（C，k·kR+）。第2步。通过变量Wα，nxk之间的线性插值，定义Wα，nbe，如Wα，n：=√^1nΓ（1- α） kXj=1（x*n、 k级-j）-αИζ1，nk，￠ζ1，nk：=￠W1，nxj-W1，nxj-1.√νn，（x*n、 k）-α： =x1-αk+1- x1-αk（1- α） νn.（4.69）通过点x的设计*n、 Kf引理4.38，Wα，n在点sxn处包含Dα（~W1，n），k=kνn，引理4.39给出Dα（~W1，n）6=~Wα，na。s--→~Wα：=在（C，k·kR+）上的Dα（~W）。4路径波动率建模框架步骤3。设▄Xnbe定义为随机IVPsx▄Ynt，x，x=0的前向Euler多边形，步长为τn，其中▄Ynt，x：=σ▄Wα，nx+κ（θ（t）-x） +v.让▄x求解随机IVP x=▄Yt，x，x=0，其中▄Yt，x：=σ▄Wαx+κ（θ（t）-x） +v。

给定Wα，na。s--→在（C，k·kR+）上的Wα，然后是kY-YnkR+a.s。--→ 0和推论4.40提供Xna。s--→X on（C，k·kR+）。第4步。分别用Sn定义Sn和S：=exp（▄Wρ，n▄Xn-Xn）和▄S：=exp（▄Wρ▄X-X），然后▄Sna。s--→（C，k·kR+）上的S来自于Wρ，na。s--→~Wρ和▄Xna。s--→这里也是X。第5步。我们已经建立了序列▄Sn：=（▄W0，n，▄W1，n，▄Wα，n，▄Xn，▄Sn）d=Snof RLHpolygons和RLH过程▄S：=（▄W，▄W，▄Wα，▄X，▄S）d=S，从而▄Sna。s--→S发生在产品空间（C、k·kR+）。因此，Snn的声明→∞=====> 接着是S on（C，k·kR+）。回想一下，由于坐标投影是连续的，因此弱收敛Snn→∞=====>（C，k·kR+）上的S立即提供弱坐标方向的收敛，即W0，nn→∞=====>WSnn公司→∞=====> S分别为（C，k·kR+），尽管相反的情况通常不正确。特别是对于任何连续且有界的导数payofff#：（C，k·kR+）→ （R，|·|）我们现在有了衍生产品价格E[#（Sn）]n的收敛性→∞----→ E[#（S）]。但请注意，这仍然是一个理论结果，因为在实践中，我们必须使用i.i.d.样本{Sni}Ni=1和估计量N来近似这些近似期望值E[#（Sn）]-1PNi=1#（Sni）。由于这种双重近似，理论上表现为双重极限n，n→ ∞,我们不能将大数定律直接应用为N→ ∞ 确定极限E[#（S）]。衍生产品定价。本节的最终数学目标是扩展理论弱收敛Snn→∞=====> 将定理4.42的结果转化为基于有限模拟样本{Sni}Ni=1的可计算结果，对于某些n，n∈ N

通过将弱收敛与大数定律相结合，可以非常简单地实现这一点，但这样做往往被忽视，因为大多数作者要么专注于绘制理论弱收敛声明，如定理4.42，要么专注于应用蒙特卡罗理论，好像{Si}Ni=1的精确模拟是可能的。Horvath等人（2019年）和McCrickerd&Pakkanen（2018年）提供了最近的例子。应该清楚的是，下一个结果实际上适用于任意随机元素{Sn}n∈Nof a集合X提供Snn→∞=====> 子空间（X，k·kX）和#:（X，k·kX）→ （R，|·|）。4路径波动率建模框架此处优先考虑基于强大数定律的陈述，参见Dekking、Kraikamp、Lopuha"a&Meester（2005），但后面给出了相应的弱陈述。定理4.43（衍生产品价格的收敛性）。假设Snn→∞=====> 关于（C，k·kR+）asin定理4.42，设{Sni}Ni=1denote i.i.d.Sn的复制。然后对于任何有界和连续的#：（C，k·kR+）→（R，|·|）和公差 > 0，存在n*=n*(#, ) 这样，Limn→∞E[#（S）]-NNXi=1#（Sni）<  a、 s.对于任何n>n*. （4.70）证明。根据Snn的定义→∞=====> 在（C，k·kR+）上，我们有E[#（Sn）]n→∞----→ E[#（S）]，因此存在n*= n*(#, ) 使| E[#（S）]-E[#（Sn）]|< 对于所有n>n*. 对于任意n∈ N、 强大的大数定律提供了a.s.收敛N-1PNi=1#（Sni）N→∞----→E[#（Sn）]，其中E[#（Sn）]的存在确保给定#是有界的。函数f（x）=E[（S）的连续性-x |然后提供方程式4.70中任意n>n的a.s.索赔*:画→∞E[#（S）]-NNXi=1#（Sni）=E[#（S）]- 画→∞NNXi=1#（Sni）= |E[#（S）]- E[#（Sn）]|<. （4.71）类似于方程式4.70但由弱定律isP推导而来的陈述”E[#（S）]-NNXi=1#（Sni）> #N→∞----→ 0表示任何n>n*.

（4.72）实际上，这表示：对于任何固定公差, 可以通过n将我们的模拟质量设置得足够高，然后降低实现大于的衍生价格误差的概率 这个收敛的概念比迭代极限limn强→∞画→∞P[·]=0，这并不保证N→ ∞ 等式4.72中的极限实际上为零。然而，这种收敛在概率上弱于联合收敛，如n，n→ ∞, 因此，有必要在单独极限的收敛中建立某种一致性，以便摩尔-奥斯古德定理适用。在实践中，我们通常更关心设置此类公差 不是直接在价格E[#（S）]上，而是在方便的函数ψ：R上→ 其中的R。当路径波动率建模框架中的此类函数是连续的时，定理4.43提供了以下推论。通过ψ的连续性模量ωψ，这一点的证明至关重要，它必然满足ωψ()↓0--→ 0。推论4.44。在定理4.43的设置中，让ψ：R→ 当限制在包含E[#（S）]的开放球上时，R是连续的。然后存在n*= n*(#, Ψ, ) 这样，Limn→∞ψ（E[#（S）]）- ψNNXi=1#（Sni）！<  a、 s.对于任何n>n*. （4.73）在下一部分中，我们将重点讨论看跌期权#（S）：=max{K的简单情况-ST，0}对于一系列固定的罢工和到期日K，T>0。按照惯例，我们将把看跌期权价格E[#（S）]的估计值映射到Black-Scholes隐含波动率IV上，如图1所示。关于推论4.44，我们因此设置ψ=IV：=BS-1，其中bs（σ）：=KN(-d-) - N个(-d+，d±=d±（σ）：=-对数（K）σ√T±σ√T、 （4.74），N是标准高斯CDF。文本Gatheral（2006）提供了更多关于隐含波动率图IV的详细信息，并根据推论4.44的要求确认其连续性。RLH表示挥发性。

现在，我们使用schemefrom定义4.41模拟RLH隐含波动率。优先考虑的是，当RLH分数导数α∈ （0，0.5）位于零边界上（这是定理4.14的结果），然后显示将α增加到0.2的效果。图16和图17给出了在不同相关制度下α=0和α=0.2之间的比较。在图18和图19中，我们进一步研究了货币（ATM）的倾斜和曲率，展示了RLH模型如何生成这些重要量的爆炸幂律，就像领先的粗糙波动率模型一样。我们继续推测RLH模型与著名的粗糙赫斯顿模型相似，该模型首次定义于El Euch&Rosenbaum（2019年）。图20证实了这一推测，该图显示了与El Euch、Gatheral和Rosenbaum（2019）中的粗略Heston模型相似的隐含波动率。为了帮助进行比较，我们首先在方程式4.80中写下RLH模型的简化版本，该模型优先考虑三个粗略的赫斯顿参数H、ν和ρ。然而，就目前而言，这种相似性仍然是经验性的。这是因为，为了绘制4路径波动率建模框架这些比较，我们必须将RLH分数导数设置为接近其上限0.5，并且需要更多的数值证据，直到我们能够确保定义4.41中相对简单的基于Euler的模拟方案仍然有效收敛。回顾定义4.9中的经典赫斯顿模型，其中价格过程验证dvt=σpVtdWt+κ（θ-Vt）dt，V=V，St=expZtpVsdWρs-ZtVsds, （4.75）并回顾定义4.31中的相关RLH模型，其中价格过程S veriesxt=σθαWαXt+κ（θ（t）- Xt）+v，St:=exp（WρXt）-Xt），（4.76），其中，在这两种情况下，Wρ：=p1- ρW+ρW。