扩散模型中的最优再保险与投资

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英文标题：
《Optimal Reinsurance and Investment in a Diffusion Model》
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作者：
Matteo Brachetta and Hanspeter Schmidli
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider a diffusion approximation to an insurance risk model where an external driver models a stochastic environment. The insurer can buy reinsurance. Moreover, investment in a financial market is possible. The financial market is also driven by the environmental process. Our goal is to maximise terminal expected utility. In particular, we consider the case of SAHARA utility functions. In the case of proportional and excess-of-loss reinsurance, we obtain explicit results.
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中文摘要：
我们考虑保险风险模型的扩散近似，其中外部驱动因素对随机环境建模。保险人可以购买再保险。此外，投资金融市场也是可能的。金融市场也受到环境过程的驱动。我们的目标是使终端预期效用最大化。特别地，我们考虑撒哈拉效用函数的情况。在比例和超额损失再保险的情况下，我们得到了明确的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_Reinsurance_and_Investment_in_a_Diffusion_Model.pdf (685.4 KB)

2022-6-14 09:27:35 上传

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关键词：扩散模型 再保险 Mathematical proportional Quantitative

最佳再保险和对aDi ffusion Model的投资PescaraViale Pindaro经济大学Matteo BrachettaDepartment，4265127 Pescara，ItalyHanspeter SchmidliInstitute of MathematicsUniversity of CologneWeyertal 86–9050931 K¨oln，Germany2019年4月1日摘要我们考虑一种与保险风险模型的差异近似，其中外部驱动因素模拟随机环境。保险人可以购买再保险。此外，投资金融市场也是可能的。金融市场也受到环境过程的推动。我们的目标是使终端预期效用最大化。特别地，我们考虑撒哈拉效用函数的情况。在比例和超额损失再保险的情况下，我们得到了明确的结果。关键词：最优再保险；最优投资；Hamilton–Jacobi–Bellman方程；撒哈拉公用事业公司；比例再保险；超额损失再保险分类：主要91B30；次级60G44；60J60；93E20.电子邮件：matteo。brachetta@unich.ite-邮件：schmidli@math.uni-科恩。de1简介最优再保险投资问题是精算文献中的一个重要问题。再保险是一种合同，根据该合同，再保险公司承诺赔偿再保险分出人（即主保险人）在其签发的保单下所遭受的全部或部分未来损失。对于这项服务，保险公司被要求支付保险费。众所周知，这样的风险分担协议可以让保险公司降低风险，提高业务能力，稳定经营业绩，等等。在现有文献中，从开创性的论文[4]、[2]和[6]开始，有很多关于最优再保险策略的著作。

在过去的几十年中，使用了两种不同的方法来研究这个问题：一些作者将保险人的盈余建模为跳跃过程，另一些人将其建模为差异近似值（有关风险模型的详细信息，请参见示例[16]和其中的参考文献）。此外，只考虑了两种再保险协议：比例和超额损失合同（或两者，作为混合合同）。在优化标准中，我们回顾了预期效用最大化（见[9]、[8]、[11]）、破产概率最小化（见[12]、[13]、[14]）、股利政策优化（见[2]、[15]）等。特别是，Former仅为CRRA和CARA实用功能开发。我们的目的是研究当保险人签署一份保留水平为u的一般再保险协议时，分散风险模型中的最优再保险问题∈ [0，I]。保险人的目标是使一般效用函数U的终端财富的预期效用最大化，满足经典假设（单调性和凹度）。也就是说，我们对norfor U再保险单也没有任何明确的表述。然而，我们还研究了我们的一般结果如何应用于特定的效用函数，包括CRRA和CARA类别，以及最流行的再保险协议，如比例和超额损失。我们论文的另一个特点是，保险人的盈余受到环境因素Y的影响，这使得我们的框架能够考虑规模和风险因素（见【7，第2章】）。我们回顾了在动态风险模型中引入随机因素的两次主要尝试：在[10]中，作者考虑了具有有限状态空间的马尔可夫链，而[1]Y是一个扩散过程，就像我们的例子一样。

然而，他们考虑了调整过程，模型公式的其余部分非常不同（例如，他们将最大化限制为指数效用函数和比例再保险）。此外，在这些论文中，Y只影响保险市场。事实上，我们模型的另一个重要特点是保险和金融市场之间的依赖性。我们允许保险人将资金投资于风险资产，建模为一个带有漂移和

我们假设UTI是一个cadlag过程，可以取区间[0，I]中的所有值，其中I∈ (0, ∞] 函数m（t，y，u）、σ（t，y，u）、uy（t，y）和σy（t，y）是连续可微的有界函数，在u中一致满足Lipschitz条件。此外，保险人有可能投资风险资产R，建模为rt=u（t，Yt）Rtdt+σ（t，Yt）RtdWt+σ（t，Yt）RtdWt，R的解∈ (0, +∞) .此外，假设函数u（t，y）、σ（t，y）和σ（t，y）是满足Lipschitz条件的有界连续正函数。我们进一步假设σ（t，y）+σ（t，y）有界远离零。这里，在参考概率空间上，W，W，WYare独立的布朗运动(Ohm, F、 IIP）。因此，再保险策略不会影响风险资产的行为。但是，盈余过程和风险资产是相互依赖的。选择投资策略a，保险公司的盈余ful filsdxu，at={m（t，Yt，ut）+atu（t，Yt）}dt+{（σ（t，Yt，ut）+atσ（t，Yt））}dWt+atσ（t，Yt）dWt，Xu，a=x。为了存在强解，我们假设IIE[RTatdt]<∞. 我们的目标是在时间T>0Vu，a（0，x，y）=IIE[U（Xu，at）| Xu，a=x，y=y]时最大化终端预期效用，如果存在，则找到最佳策略（U*, 一*). 也就是说，V（0，x，y）=supu，aVu，a（0，x，y）=Vu*,一*（0，x，y），其中上确界接管所有可测量的适应过程（u，a），从而满足上述条件。U是一个效用函数。也就是说，U严格递增，严格凹。我们额外假设U（x）是连续的。

过滤是最小的完全连续过滤{Ft}，以适应布朗运动。特别地，我们假设Y是可观测的。如果我们在时间t开始，我们也需要值函数。因此，我们定义了a（t，x，y）=IIE[U（Xu，aT）| Xu，aT=x，Yt=y]，其中我们只考虑时间间隔[t，t]上的策略，类似地，V（t，x，y）=supu，aVu，a（t，x，y）。然后，边界条件为V（T，x，y）=U（x）。因为我们的底层流程是马尔可夫的，所以V（t，Xu，at，Yt）只依赖于Ftvia（Xu，at，Yt）。3值函数的属性LMA 1。i） 值函数在x中增加。ii）值函数是连续的。证据很明显，值函数在x中增加。根据It^o的公式U（Xu，aT）=U（x）+ZTt[{m（s，Ys，us）+asu（s，Ys）}U（Xu，as）+（σ（s，Ys，us）+asσ（s，Ys））+asσ（s，Ys）}U（Xu，as）]ds+ZTt（σ（s，Ys，us）+asσ（s，Ys））dWs+ZTtasσ（s，Ys）dWs。因为通过我们的假设，随机积分是鞅，即U（Xu，aT）]=U（x）+IIEhZTt[{m（s，Ys，us）+asu（s，Ys）}U（Xu，as）+{（σ（s，Ys，us）+asσ（s，Ys））+asσ（s，Ys）}U（Xu，as）]dsi。在策略上取上确界，我们通过Lipschitz假设得到了连续性。引理2。在x.Proof中，值函数是凹的。如果值函数不是凹函数，我们将找到x和一个带有φxx（t，x，y）的测试函数≥ 0，Дx（t，x，y）>0和Д（t，x，y）≤ V（t，x，y）表示所有t，x，yandД（t，x，y）=V（t，x，y）。通过下面定理1的证明，0≥ ^1t+supu，a{m（t，y，u）+au（t，y）}Дx+{（σ（t，y，u）+aσ（t，y））+aσ（t，y）}Дxx+uy（t，y）Дy+σy（t，y）Дyy。但是，可以选择一种不符合上述不平等的方法。4 HJB方程我们期望值函数解0=Vt+supu，a{m（t，y，u）+au（t，y）}Vx+{（σ（t，y，u）+aσ（t，y））+aσ（t，y）}Vxx+uy（t，y）Vy+σy（t，y）Vyy。（1） 只有当Vxx<0时，才可能得到（经典）解。

在这种情况下，a=-u（t，y）Vx+σ（t，y，u）σ（t，y）Vxx（σ（t，y）+σ（t，y））Vxx。（2） 因此，我们需要求解0=Vt+supum（t，y，u）Vx-（u（t，y）Vx+σ（t，y，u）σ（t，y）Vxx）2（σ（t，y）+σ（t，y））Vxx+σ（t，y，u）Vxx+uy（t，y）Vy+σy（t，y）Vyy。（3） 假设m（t，y，u）和σ（t，y，u）是紧集[0]闭区间上的连续函数，∞], 有一个取上确界的值u（x，y）。定理1。值函数是（1）的粘度解。证据在不丧失一般性的情况下，我们只显示t=0的断言。选择（\'u，\'a）和ε、δ、h>0。设τ'u，'a=inf{t>0：最大{X'u，'at-x |，| Yt-y |}>ε}且τ=τ'u，'a∧ h、 考虑以下策略。（ut，at）=（\'u，\'a），对于t<τu，\'a∧ h、 和（ut，at）=（▄ut-（τ’u，’a∧h） ，▄ut-（τ） ）对于某些策略（▄u，▄a），例如V▄u，▄a（τ，X▄u，▄aτ，Yτ▄u，▄a∧h） >V（τ，X'u，'aτ'u，'a∧h、 Yτ\'u，\'a∧h）- δ. 请注意，由于V（t，x，y）是连续的，因此可以以可测量的方式选择策略。设Д（t，x，y）为测试函数，使得Д（t，x，y）≤ V（t，x，y），其中φ（0，x，y）=V（0，x，y）。然后根据它的公式Д（τ，X'u，'aτ，Yτ）=Д（0，X，Y）+Zτ[Дt（t，Xt，Yt）+{m（t，Yt，'u）+au（t，Yt）}ДX（t，Xt，Yt）+{（σ（t，Yt u）+aσ（t，Yt））+'aσ（t，Yt）}xx（t，Xt，Yt）+uY（t，YtνY（t，Xt，Yt）+σY（t，Yt）Иyy（t，Xt，Yt）]dt+Zτ[σ（t，Yt，u）+aσ（t，Yt）]ДX（t，Xt，Yt）dWt+Zτ′aσ（t，Yt）ДX（t，Xt，Yt）dWt+ZτY（t，Yt）νY（t，Xt，Yt）dWYt。注意，关于布朗运动的积分是真鞅，因为ν的导数是连续的，因此在（闭合）区域上有界，因此被积函数是有界的。

取给定的期望值sv（0，x，y）≥ Vu，a（0，x，y）=IIE[Vu，a（τ，xτ，yτ）]≥ IIE[V（τ，Xτ，Yτ）]- δ≥ IIE[Д（τ，Xτ，Yτ）]- δ=V（0，x，y）- δ+IIEhZτ[Дt（t，Xt，Yt）+{m（t，Yt，u）+au（t，Yt）}x（t，Xt，Yt）+{（σ（t，Yt，u）+aσ（t，Yt））+(R)aσ（t，Yt）}xxx（t，Xt，Yt）+uY（t，Xt，Yt）νY（t，Xt，Yt）]dti。右侧与δ无关。因此，我们可以让δ=0。此产量0≥ IIEhhZτ[Дt（t，Xt，Yt）+{m（t，Yt，u）+au（t，Yt）}x（t，Xt，Yt）+{（σ（t，Yt，u）+aσ（t，Yt））+\'aσ（t，Yt）}xx（t，Xt，Yt）+uY（t，Yt）ИY（t，Xt，Yt）+σY（t，Yt）Иyy（t，Xt，Yt）]dti。众所周知，hIIP[τ≤ h] h趋于零↓ 因此，让h↓ 0给定0≥ Дt+{m（t，y，\'u）+au（t，y）}Дx+{（σ（t，y，\'u）+aσ（t，y））+aσ（t，y）}Дxx+uy（t，y）Дy+σy（t，y）Дyy。由于（\'u，\'a）是任意的，因此0≥ ^1t+supu，a{m（t，y，u）+au（t，y）}Дx+{（σ（t，y，u）+aσ（t，y））+aσ（t，y）}Дxx+uy（t，y）Дy+σy（t，y）Дyy。现在，让Д（t，x，y）作为一个测试函数，使得Д（t，x，y）≥ V（t，x，y）和Д（0，x，y）=V（0，x，y）。然后有一个策略（u，a），使得V（0，x，y）<Vu，a（0，x，y）+h。选择一个定位序列{tn}，使得zτ∧田纳西州∧t[σ（s，Ys，us）+asσ（s，Ys）]Дx（s，Xu，as，Ys）dWs，Zτ∧田纳西州∧tasσ（s，Ys）Дx（s，Xu，as，Ys）dWs和zτ∧田纳西州∧tσY（s，Ys）ДY（s，Xu，as，Ys）dWYsare鞅，其中如上所述，τ=τu，a∧ h。

我们有ν（0，x，y）=V（0，x，y）≤ Vu，a（0，x，y）+h=IIE[V（τ∧ tn，Xτ∧tn，Yτ∧tn）]+小时≤ IIE[Д（τ∧ tn，Xτ∧tn，Yτ∧tn）]+h=Д（0，x，y）+IIEhZτ∧tn[Дt（t，Xt，Yt）+{m（t，Yt，ut）+atu（t，Yt）}x（t，Xt，Yt）+{（σ（t，Yt，ut）+atσ（t，Yt））+atσ（t，Yt）}xx（t，Xt，Yt）+uY（t，Yt）ДY（t，Xt，Yt）+σY（t，Yt）Дyy（t，Xt，Yt）]dti+h。因为我们考虑了一个紧区间，我们可以让n→ ∞ 并通过有界收敛0获得≤ IIEhZτ[Иt（t，Xt，Yt）+{m（t，Yt，ut）+atu（t，Yt）}x（t，Xt，Yt）+{（σ（t，Yt，ut）+atσ（t，Yt））+atσ（t，Yt）}xxx（t，Xt，Yt）+uY（t，Xt，Yt）+σY（t，Yt）Иyy（t，Xt，Yt）]dti+h≤ IIEhZτsup'u，'a[Дt（t，Xt，Yt）+{m（t，Yt，Yt）+'au（t，Yt）}x（t，Xt，Yt）+{（σ（t，Yt，'u）+'aσ（t，Yt））}xx（t，Xt，Yt）+uY（t，Yt）ИY（t，Xt，Yt）+σY（t，Yt yy（t，Xt，Yt），Yt）]dti+h。这等于除以h，然后让h→ 00≤ ^1t+supu，a{m（t，y，u）+au（t，y）}Дx+{（σ（t，y，u）+aσ（t，y））+aσ（t，y）}Дxx+uy（t，y）Дy+σy（t，y）Дyy。这证明了这一说法。现在让你*（t，x，y）和a*（t，x，y）是（1）中的最大值。到【17，第7节】为止，我们可以以可测量的方式选择这些最大化器。我们进一步表示byu*t=u*（t，Xu*,一*t、 Yt）和a*t=a*（t，Xu*,一*t、 Yt）反馈策略。定理2。假设V是HJB方程（1）的经典解。进一步假设策略（u*, 一*) 为Xu提供了一个独特的强大解决方案*,一*那{徐}*,一*t} 是一致可积的。然后是策略（u*, 一*)是最佳的。证据

通过It^o公式，我们得到了Xt=Xu*,一*tV（t，Xt，Yt）=V（0，x，y）+Zt[Vt（s，Xs，Ys）+{m（s，Ys，u*s） +a*su（s，Ys）}Vx（s，Xs，Ys）+{（σ（s，Ys，u*s） +a*sσ（s，Ys））+a*sσ（s，Ys）}Vxx（s，Xs，Ys）+uY（s，Ys）Vy（s，Xs，Ys）+σY（s，Ys）Vyy（s，Xs，Ys）]ds+Zt[σ（s，Ys，u*s） +a*sσ（s，Ys）]Vx（s，Xs，Ys）dWs+Ztasσ（s，Ys）Vx（s，Xs，Ys）dWs+ZtσY（s，Ys）Vy（s，Xs，Ys）dWYs=V（0，x，Y）+Ztasσ（s，Ys）Vx（s，Xs，Ys）dWs+Zt[σ（s，Ys，u*s） +a*sσ（s，Ys）]Vx（s，Xs，Ys）dWs+ZtσY（s，Ys）Vy（s，Xs，Ys）dWYs。因此，{V（t，Xt，Yt）}是一个局部鞅。从U（XT）≤ U（x）+（XT-x） U（x）和一致可积性，我们得到{V（t，Xt，Yt）}是鞅。因此，我们有IIE[U（XT）]=IIE[V（T，XT，YT）]=V（0，x，y）。这表明该策略是最优的。推论1。假设V是HJB方程（1）的经典解。进一步假设策略（u*, 一*) 为Xu提供了一个独特的强大解决方案*,一*而IIE[RT（a*t） dt]<∞. 然后是策略（u*, 一*) 是最佳的。证据由于参数是有界的，条件IIE[RT（a*t） dt]<∞隐含{Xu的一致可积性*,一*t} 。结果来自定理2.5撒哈拉效用函数。在本节中，我们研究了当保险人的偏好由撒哈拉效用函数描述时的最优再保险投资问题。这类效用函数最早由[3]引入，包括众所周知的指数和幂效用函数作为极限情况。