美国可赎回信用违约掉期的最优估值

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英文标题：
《Optimal valuation of American callable credit default swaps under
  drawdown of L\\\'evy insurance risk process》
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作者：
Zbigniew Palmowski and Budhi Surya
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  This paper discusses the valuation of credit default swaps, where default is announced when the reference asset price has gone below certain level from the last record maximum, also known as the high-water mark or drawdown. We assume that the protection buyer pays premium at fixed rate when the asset price is above a pre-specified level and continuously pays whenever the price increases. This payment scheme is in favour of the buyer as she only pays the premium when the market is in good condition for the protection against financial downturn. Under this framework, we look at an embedded option which gives the issuer an opportunity to call back the contract to a new one with reduced premium payment rate and slightly lower default coverage subject to paying a certain cost. We assume that the buyer is risk neutral investor trying to maximize the expected monetary value of the option over a class of stopping time. We discuss optimal solution to the stopping problem when the source of uncertainty of the asset price is modelled by L\\\'evy process with only downward jumps. Using recent development in excursion theory of L\\\'evy process, the results are given explicitly in terms of scale function of the L\\\'evy process. Furthermore, the value function of the stopping problem is shown to satisfy continuous and smooth pasting conditions regardless of regularity of the sample paths of the L\\\'evy process. Optimality and uniqueness of the solution are established using martingale approach for drawdown process and convexity of the scale function under Esscher transform of measure. Some numerical examples are discussed to illustrate the main results.
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中文摘要：
本文讨论了信用违约掉期的估值问题，即当参考资产价格低于上一次最高记录的某个水平时，即高水位或支取时，宣布违约。我们假设，当资产价格高于预先规定的水平时，保护买方以固定利率支付溢价，并在价格上涨时持续支付。这种支付方案有利于买方，因为买方只在市场状况良好时支付保险费，以抵御金融危机。在此框架下，我们研究了一种嵌入期权，该期权使发行人有机会在支付一定成本的前提下，以较低的保费支付率和略低的违约覆盖率收回新合同。我们假设买方是风险中性投资者，试图在一类停止时间内最大化期权的预期货币价值。我们讨论了当资产价格的不确定性来源由仅具有向下跳跃的L拞vy过程建模时，停止问题的最优解。利用列维过程漂移理论的最新发展，根据列维过程的标度函数明确给出了结果。此外，停止问题的值函数被证明满足连续和平滑的粘贴条件，而不管L拞vy过程的样本路径是否规则。在Esscher测度变换下，利用鞅方法对水位下降过程和尺度函数的凸性建立了解的最优性和唯一性。通过数值算例说明了主要结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_valuation_of_American_callable_credit_default_swaps_under_drawdown_of_Lé.pdf (589.74 KB)

2022-6-14 13:17:41 上传

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关键词：信用违约掉期 Mathematical Quantitative mathematica Opportunity

Levyinsurance risk processZ提取下美国可赎回信用违约掉期的最优估值。帕尔莫夫斯基*+, B、 A.Surya§2020年3月14日摘要本文讨论了信用违约掉期的估值，即当参考资产价格低于上一次创纪录的最高水平（也称为高水位或跌水）时宣布违约。我们假设，当资产价格高于预先规定的水平时，保护买方以最高价格支付溢价，并在价格上涨时持续支付。这种支付方案有利于买方，因为买方只在市场状况良好时支付保险费，以防止金融低迷。在此框架下，我们研究了一种嵌入期权，它使发行人有机会在支付一定成本的前提下，以较低的保费支付率和略低的违约覆盖率收回新合同。我们假设买方是风险中性投资者，试图在一类停止时间内最大化期权的预期货币价值。当资产价格的不确定性来源由仅具有向下跳跃的Lévy过程建模时，我们讨论了停止问题的最优解。利用Lévy过程漂移理论的最新发展，用Lévy过程的标度函数明确给出了结果。此外，无论Lévy过程样本路径的正则性如何，停止问题的值函数都满足连续光滑粘贴条件。利用鞅方法建立了水位下降过程解的最优性和唯一性*美国联邦理工大学纯数学与应用数学系。Wyb。

Wyspiańskiego 27，50-370 Wroclaw，波兰，电子邮件：zbigniew。palmowski@gmail.com+这项工作部分得到波兰国家科学中心第2016/23/B/HS4/00566号拨款（2017-2020年）的支持新西兰惠灵顿维多利亚大学数学与统计学院，电子邮箱：budhi。surya@msor.vuw.ac.nz§作者通过PBRF研究基金（编号：2208592 Z.Palmowski，B.A.Surya）和Esscher度量变换下的标度函数的凸性确认了财政支持。通过数值算例说明了主要结果。关键词：莱维过程；提款；信用风险；信用违约掉期1信用违约掉期信用违约掉期是一种提供保险的金融工具，可用于弥补借款人因信用事件而造成的财务损失。在信贷事件中，借款人可能无法完全履行其按时偿还债务或本金所需利息的义务。在过去几十年中，针对金融资产超过其上一个历史最高纪录或高水位（也称为提取）的表现，已经就风险保护机制展开了一些讨论，这可能会影响基金经理的薪酬；有关详细信息，请参见Agarwal等人【1】和Goetzmann等人【7】。与经典的Gerber-Shiu破产理论不同，参见例如Kyprianou[9]及其文献，当标的资产价格过程低于阈值时宣布违约，当价格过程低于其先前最大值的某个水平时，就会触发违约提取不足。Surya【17】中给出了参考上一记录最大值的巴黎违约类型分析。此类风险可通过保险加以保护。在他们最近的著作中，Zhang等人【21】和Palmowski及Tumilewicz【14】讨论了此类保险的公平估价和设计。

值得注意的是，在这两份文件中，保护买方支付的保险费并不取决于被保险标的资产。当信贷事件是由于借款人的金融负债发生变化时发生的金融重组引起时，重组可能会改变债务合同的从属关系，降低其在违约情况下的债务优先级，并影响市场上的信贷违约掉期定价。详见Altmanet al.【2】。Berndt[5]在其实证研究中发现，当无重组的违约掉期利率增加时，低信用质量企业的CDS重组溢价增加高于高信用质量企业。即重组CDS溢价取决于公司的特定资产负债表。在支取违约的框架下，我们扩展了Leung和Yamazaki[13]中所考虑的信用违约掉期问题，允许protectionbuyer在参考资产的价格高于一定阈值时支付溢价，并在价格上涨时继续支付，其他情况下不支付任何费用。该付款方案有利于保护买方，因此，买方仅在经济状况良好时付款，并在相反情况下停止付款。在这方面，通过[5]的工作，我们让违约溢价取决于市场条件。据我们所知，这种保费支付方案相对较新。参考资产的不确定性来源采用指数allévy过程建模。为此，设X={Xt:t≥ 0}美国可赎回信用违约掉期在提取3下降跳下是一个利维过程，定义在过滤概率空间中(Ohm, F、 {Ft:t≥ 0}，P），其中fti是X的自然过滤，满足右连续性和完整性的通常条件。用{Px，x表示∈ R} 概率测度族，对应于X的平移，使得X=X，P=P。

Weassume 0对于(-∞, 0). 特别是，我们在本文中排除了向下的从属情况。我们想到的经典例子是正漂移c>0的aCramér-Lundberg风险过程。Lévy过程的Lévy It^osample path分解由xt=ut+σBt+ZtZ{x给出<-1} xν（dx，ds）+ZtZ{-1.≤x<0}xν（dx，ds）- ∏（dx）ds,（1.1）其中u∈ R、 σ≥ 0和（Bt）t≥0是标准布朗运动，而ν（dx，dt）表示与跳跃过程相关的泊松随机测度Xt：=Xt-Xt公司-这个泊松随机测度具有由∏（dx）dt给出的补偿器，其中∏是满足可积条件的Lévy测度：Z-∞(1 ∧ x） ∏（dx）<∞. （1.2）由于没有正跳跃，因此确定ψ（λ）=tlog E是合理的eλXt= uλ+σλ+Z(-∞,0)eλx-1.-λx1{x>-1}π（dx），（1.3）X的拉普拉斯指数，解析于（Im（λ））≤ 0). 很容易看出ψ在原点为零，在原点趋于一致，并且是严格凸的。对于Cramér-Lundberg模型，c=u-R(-∞,0）x1{x>-1} 对于泊松到达强度β>0和向下跳跃分布函数F，π（dx）和∏（dx）=βF（dx）。我们用Φ表示：[0，∞) → [0, ∞) ψ（λ）的右连续逆，因此Φ（θ）=sup{p>0：ψ（p）=θ}和ψ（Φ（λ））=λ表示所有λ≥ 0、详见Bertoin【6】第六章或Kyprianou【10】第二章。接下来，我们用Xt=sup0表示≤s≤txs是X到timet的运行最大值，并假设从时间X中的某个任意先前参考点得到当前最大值y≥ x、 定义St=Xt∨ y、 其中a∨ b=最大值{a，b}，且反映的过程Yt=St- Xt。回想一下，进程Y={Yt:t≥ 0}具有强马尔可夫性。

此外，我们稍微改变了概率测度Px，yunder的符号，其在时间零点X具有最大电流y≥ x和位置x∈ R、 我们简单地写下P | y：=P0，y表示y=y的定律，并使用符号Ex，Ex，yand E | y来定义上述概率度量的相应期望运算符。4 Z.Palmowski，B.A.SuryaFollowing【14，17，21】，一旦基础Lévyprocess从上一个记录的最大值降至固定水平B>0，τ+B=inf{t>0：Yt>B}，就会宣布违约。我们假设，通过优化CDS发行公司的股权/资本结构（如Leland和Toft【12】以及Kyprianou和Surya【11】中所讨论的）内生性地选择了最佳违约级别b。在A T下-当参考资产价格高于当前最大值且随着时间的推移而增加，直到违约发生或到期日T（即更早到期）时，保护买方以固定p>0的利率持续支付年期CDS。对于漂移c>0的Cramér-Lundberg风险过程，在P | 0下c1{Yt=0}dtd=dst，我们得到pc是固定的CDS溢价。如果在T之前发生违约，买方将收到违约付款α：=1- 大鼠默认时间τ+b，其中R是假定的恒定恢复率（通常为40%）。从买方的角度来看，CDS的预期贴现支付isCT（x，y，b；p，α）=Ex，yh-Zτ+b∧Te公司-rtpdSt+αe-rτ+b{τ+b≤T}i，（1.4），其中r>0是固定的无风险利率。数量CT（x，y，b；p，α）可以被视为买方签订（或长期）CDS合同的市场价格，约定的保费p>0，承诺违约付款α，到期日T。在交易的另一方，保护卖方的预期现金流-CT（x，y，b；p，α）=CT（x，y，b；-p-α).

实际上，CDS溢价p设定为CT（x，y，b；p，α）=0，从而为双方带来零预期现金流。在（1.4）之后，很容易证明信贷利差p isp=αEx，ye-rτ+b{τ+b≤T}Ex，yRτ+b∧Te公司-rtdSt. （1.5）回想两个量Ex，yRτ+b∧Te公司-rtdSt和Ex，ye-rτ+b{τ+b≤T}通常不以显式形式提供。然而，根据Avramet al.[4]中的定理1，他们在成熟度T上的拉普拉斯变换是根据所谓的尺度函数W（u）（x）给出的，其拉普拉斯变换由z定义∞e-λxW（u）（x）dx=ψ（λ）- u、 对于λ>Φ（u），u>0，（1.6），对于x<0，W（u）（x）=0，当x具有无界变化路径且有界变化路径时，这是不断增加的，并且对于x>0，这是连续可微分的，从现在开始，Lévy测度∏没有原子。详情见【10】。我们写W（x）=W（0）（x）。提款5项下的美国可赎回信用违约掉期定义函数Z（u）（x）：=1+uRxW（u）（Z）dz。然后，在[4]之后，Ex，ye-λτ+b= Z（λ）（b- z）- λW（λ）（b）W（λ）0（b）W（λ）（b）- z） ，（1.7），其中z=y- x个≥ 类似地，贴现支付的拉普拉斯变换∞e-βTEx，yRτ+b∧Te公司-rtdStdT可以从[3]中证明的恒等式（2.7）中推导出来，并应用于强度为β的指数消去的Lévy过程x，即取q=r+β。回想一下，由于Levy过程X样本路径的空间同质性，因此有必要考虑测度P | y下的估值（1.4）。为了简化分析，从现在开始，我们只关注（1.4）的永久对应项：C∞（y，b；p，α）=E | yh-Zτ+be-rtpdSt+αe-rτ+b{τ+b<∞}i、 （1.8）这项工作的主要目标是为美国可赎回信用违约掉期定价。本文的组织结构如下。

第2节更详细地讨论了美国可赎回信用违约掉期，并给出了解决相应最优停止问题所需的一些初步结果。第3节介绍了停止问题的解决方案。第4节讨论了解的最优性和唯一性。第5节给出了一些数值例子来说明主要结果。第6节总结了本文。2美国可赎回信用违约掉期继【13】之后，我们考虑了一种提款下的信用违约掉期合同，该合同要求发行人一次性赎回/更换CDS合同，同时降低了溢价率和较低的违约覆盖率。这样，发行人就需要支付一定数额的费用γ。为方便起见，我们考虑永久性案例。在违约之前的任何时候，买方可以选择一个停止时间θ，以切换到新的合同，新的保费支付率bp<p，违约覆盖率bα<α，并支付费用γ。在新合同的行使时间θ之后，默认付款从α变为bα=qα，q<1。鉴于买方是风险中性的，她/他有兴趣找到最佳停止时间θ来切换CDS合同，以最大化净预期现金流：Vb（y；p，bp，α，bα，γ）=supθ∈T[0，∞)E | yh-Zθ∧τ+be-rtpdSt+e-rτ+bbα1{θ≤τ+b}+α1{θ>τ+b}- 1{θ≤τ+b}Zτ+bθe-rtbpdSt+e-rθγi、 （2.1）式中，T【a，b】表示Ft的等级-停车时间取[a，b），a中的值≥ 请注意，薪酬结构（2.1）与[13]略有不同。6 Z.Palmowski，B.A.SuryaProposition 2.1定义ep=bp- p和eα=bα- α. 然后，在（2.1）之后，Vb（y；p，bp，α，bα，γ）=C∞（y，b；p，α）+Vb（y；ep，eα，γ），（2.2），其中Vb（y；ep，eα，γ）表示y∈ （0，b），是停止问题的值函数，Vb（y；ep，eα，γ）=supθ∈T[0，∞)E | yh{θ≤τ+b}-Zτ+bθe-rtepdSt+e-rτ+beα- e-rθγi。

（2.3）通过重新安排价值函数的支付结构进行证明（2.1），-Zθ∧τ+be-rtpdSt+e-rτ+bbα1{θ≤τ+b}+α1{θ>τ+b}-1{θ≤τ+b}Zτ+bθe-rtbpdSt+e-rθγ= 1{θ≤τ+b}h-Zτ+bθe-rtepdSt+e-rτ+beα- e-rθγi-Zτ+be-rtpdSt+e-rτ+bα。这就产生了命题的断言。我们观察到（2.2）嵌入期权的引入通过价值函数Vb（y；ep，eα，γ）增加了买方的预期货币价值。我们将在下一节中说明，问题（2.3）的最佳停止方式是在水位下降过程Yτ水平以下的第一段-h=inf{t>0：Yt<h}，h>0，在P | y.（2.4）下，为此，我们用h？∈ （0，b）eαZ（r）（b）的最大根，无论何时存在- h）- reαW（r）（b）- h）W（r）0（b- h）- γ = 0. （2.5）在下面的部分中，我们给出了一些需要解决的初步结果（2.3）。2.1初步研究价值函数Vb（y；p，bp，α，bα，γ）（2.2）-（2.3）的分解可以用尺度函数W（u）（x）（1.6）表示。尺度函数W（u）（x）在获得Lévy过程x的双边出口问题的半显式解方面起着重要作用，如下等式所示。让T+bandT-bbe分别为X进入（b，∞) 以及(-∞, -b） ，对于b>0，由英国《金融时报》定义-停车时间T--b=inf{t≥ 0:Xt<-b} 提款项下的美国可赎回信用违约掉期70 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2x1314151617181920212223W（r）（x）情况u=0.075，σ=0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x0.10.150.20.250.30.35W（r）（x）/W（r）（x）情况u=0.075，σ=0.0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 2x012345671.8 8910W（r）（x）外壳u=0.075，σ=0.2.0 0.5 1 1.5 2x00.10.20.30.40.50.60.7W（r）（x）/W（r）（x）外壳u=0.075，σ=0.2。图1：对于ψ（λ）=uλ+σλ的跳跃扩散过程，r=0.1时，WΦ（r）（x）（2.11）和W（r）（x）/W（r）0（x）的曲线图-aλ+c，对于a=0.5和c=9。T+b=inf{T≥ 0:Xt>b}。

在测度Px下，关于X在b级以上首次退出的身份≥ x第一次通过前的x在零以下由Ex给出e-uT+b{T+b<T-}=W（u）（x）W（u）（b）。（2.6）获得（2.2）-（2.3）解的关键由以下等式给出。我们要提醒的是，我们只考虑情况X具有具有绝对连续跳跃的无界或有界变分的任一路径。最后一种情况相当于Cramér-Lundberg风险过程X，正漂移c>0（因为我们排除了向下的从属因素）。8 Z.Palmowski，B.A.SuryaProposition 2.2对于给定的q，B>0，下列恒等式成立y∈ （0，b）：E | yhZτ+be-qtdSti=W（q）（b- y） W（q）0（b），（2.7）E | ye-qτ+b= Z（q）（b）- y）- qW（q）（b）W（q）0（b）W（q）（b）- y） 。（2.8）请注意，身份（2.7）是[3]股息不足控制风险流程Ut身份（3.12）的双重版本，该身份在P | 0下的分布与提取流程Yt的双重形式相等，即Ut=-年初至今。还值得注意的是，在Esscher变换定义的测量值Pνxd的新变化下，dPνx/dPx=eν（Xt-x）-ψ（ν）t，（X，PνX）是一个谱负的Lévy过程。在新的度量下，通过在两侧进行拉普拉斯变换可以直接检查W（u）（x）=eΦ（u）xWΦ（u）（x），其中WΦ（u）（x）=W（0）Φ（u）（x）是PΦ（u）下的标度函数。现在，从[10]的引理8.2可以看出，WΦ（u）（x）WΦ（u）（x）是x中的单调递增函数，因为它是大于x的偏移率的倒数。事实上，恒等式（2.7）正好符合P | 0下的这一断言。通过这种方式，我们得到了以下结果，稍后将使用这些结果来确定stoppingproblem（2.3）解决方案的最优性和唯一性。引理2.3表示u≥ 0，W（u）（x）/W（u）0（x）在x中单调递增，即ddxW（u）（x）W（u）0（x）> 0,  x个≥ 0，并以1/Φ（u）为界。