模糊性对积分最佳练习时机的影响

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英文标题：
《The Impact of Ambiguity on the Optimal Exercise Timing of Integral
  Option Contracts》
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作者：
Luis H. R. Alvarez E. and S\\\"oren Christensen
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider the impact of ambiguity on the optimal timing of a class of two-dimensional integral option contracts when the exercise payoff is a positively homogeneous measurable function. Hence, the considered class of exercise payoffs includes discontinuous functions as well. We identify a parameterized family of excessive functions generating an appropriate class of supermartingales for the considered problems and then express the value of the optimal policy as well as the worst case measure in terms of these processes. The advantage of our approach is that it reduces the analysis of the multidimensional problem to the analysis of an ordinary one-dimensional static optimization problem. In that way it simplifies earlier treatments of the problem without ambiguity considerably. We also illustrate our findings in explicitly parameterized examples.
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中文摘要：
当行权收益为正齐次可测函数时，我们考虑了模糊性对一类二维积分期权合约最优时机的影响。因此，所考虑的行权收益类别也包括不连续函数。我们确定了一个参数化的过度函数族，为所考虑的问题生成了一类适当的超鞅，然后根据这些过程表达了最优策略的值以及最坏情况度量。我们的方法的优点是，它将多维问题的分析简化为普通一维静态优化问题的分析。通过这种方式，它简化了对问题的早期处理，并且没有明显的模糊性。我们还通过显式参数化的示例来说明我们的发现。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> The_Impact_of_Ambiguity_on_the_Optimal_Exercise_Timing_of_Integral_Option_Contracts.pdf (255.26 KB)

2022-6-24 05:00:48 上传

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关键词：模糊性 Mathematical Optimization Quantitative Dimensional

模糊性对整体期权合同最佳行使时机的影响。*S¨oren Christensen+2019年6月19日摘要当行权支付函数为正齐次可测函数时，我们考虑了模糊性对一类二维整体期权合同最佳时机的影响。因此，所考虑的运动支付类别也包括不连续函数。我们确定了一个参数化的过度函数族，为所考虑的问题生成了一个适当的up-ermartinga-le类，然后用这些过程表示最优策略的值以及最坏情况度量。我们的方法的优点是，它将多维问题的分析简化为普通一维静态优化问题的分析。通过这种方式，它简化了对问题的更清晰的处理，而不会产生歧义。我们还通过显式参数化的示例来说明我们的发现。AMS主题分类：60J60、60G40、62L15、91G80关键词：κ-歧义、几何布朗运动、积分选项、差异过程。*芬兰图尔库大学图尔库经济学院会计与金融系，FIN-20014，电子邮件：lhralv@utu.fi+阿尔布雷希茨大学数学研讨会，地址：德国基尔路德维格-梅恩街4号，邮编：D-24098，电子邮件：christensen@math.uni-基尔。de1简介整体期权在累积储量合同的估值和最佳行使时间方面起着至关重要的作用，其取决于持续增长。换言之，如果储量增长率本身是一个随机过程，那么确定储量预期现值最大化的日期就构成了一个涉及整数期权的n最优停止问题（参见Kramkov和Morde cki（1994））。

在这项研究中，我们的目标是在潜在储量增长率遵循几何布朗运动时，在奈特不确定性存在的情况下准确地关注这一问题。研究模糊性及其对决策的影响的现有文献从基于时间多先验设置的研究（参见Gilboa和Schmeidler（1989）、Bewley（2002）、Klibano ff等人（2005）、Maccheroni等人（2006）和Nishimura a和Ozaki（2006））扩展到跨期执行多先验设置（参见Epstein和Wang（1994）、Chen和Epstein（2002），Epstein和Miao（2003），以及Epstein和Schneider（2003））。Nishimura和Ozaki（2004）在job s earch模型中首次研究了奈特不确定性对模糊厌恶决策者最佳时机政策的影响。这一分析随后被推广到各个方向。Nishimura和Ozaki（2007）研究了Knightian不确定性如何影响基于几何B-rownian运动的连续时间模型中的最佳ir可逆投资时机。Alvarez E.（2007）扩展了inNishimura和Ozaki（2007）的分析，分析了Knightian不确定性对单调单边界停止问题的影响，并根据产生模糊动力学最小过度映射的单调基本解表达了停止边界的值以及优性条件。Riedel（2009）开发了一种通用的离散时间极小极大鞅方法，用于解决存在模糊厌恶的最优停止问题。随后，Cheng和Riedel（2013）将这些结果推广到连续时间设置，其中该值被确定为支配支付过程的最小右连续g鞅。

Miao和Wang（2011）研究了模糊性如何影响基于一般离散时间Feller连续马尔科夫过程的模型中的最佳时机。克里斯滕森（Christensen，2013年）对模糊性对时间的影响进行了一般性分析，分析的基础是一般性的定期差异。在该研究中，明确确定了生成最坏情况测度的最小超越映射的参数化类别以及相应的超鞅类。Christense n（2013）展示了如何用这些映射来表达价值和最佳时机政策。Epstein a and Ji（2019）研究了基本驱动布朗运动受漂移模糊影响的情况下的最优学习，并明确解决了表征最优学习策略的最优停止问题。最后，Alvarez E.和Christensen（2019）分析了在基础是二维几何布朗运动且运动报酬是正齐次和可测量函数的情况下，模糊决策者的最优停止决策。在这项研究中，我们研究了当行使收益被假设为基础储备及其随机波动增长率的可计量且正同质函数时，奈特不确定性对模糊厌恶决策者的最佳时机决策的影响。由于这种类型的合同在实践中相对常见，我们的结果揭示了一大类估价问题。由于涉及潜在过程本身和获取其累积值的积分，潜在问题首先是二维结构。

由于决策者的不确定性直接指基础资产价格过程的变动，因此基础模糊结构是一维的。然而，它同时影响决策中涉及的两个过程。因此，在大多数感兴趣的问题中，确定最坏情况的度量结果是一项艰巨的任务。据我们所知，到目前为止，现有文献中还没有详细考虑这种结构。我们遵循Alvarez E.和Christensen（2019）的分析，并考虑底层过程的理论，而不是通过标准动态规划参数直接解决考虑的停止问题。由于该比率与已知的基本行为构成了线性差异，因此我们能够通过这种方式减少所考虑问题的维度，因为运动支付的正均质性。然后，我们遵循Christensen（2013）的观点，明确确定了一类由任意参考点参数化的过度函数，这些函数可以用作数字资产，并生成确定最佳定时策略及其值以及最坏情况度量所需的超马尔丁格尔。通过这种方式，我们展示了如何将最优策略及其值的确定简化为依赖于单个状态变量和参考点的比率极值点的分析。有趣的是，我们发现比率最大化子集中的所有元素都包含在所考虑问题的停止区域中。通过这种方式，我们的发现显示了如何通过简单地根据单个状态变量确定函数的最大点来识别停止区域c的元素。

我们还描述了在哪些情况下，最优策略是标准的单边界停止类型，并且在哪些情况下，它构成了一个双边界策略。我们发现，在这两种情况下，最坏情况度量和最佳时机规则构成了纳什均衡。通过这种方式，我们的发现表明，模糊厌恶决策者的反对红色停止问题可以解释为决策者和控制所考虑问题概率结构特征的措施的男性善意对手之间的遗传。根据Alvarez E.和Christensen（2019）的研究结果，我们发现骑士式的不确定性对最佳时机政策有着深远而非平凡的影响。首先，我们发现，模糊性不仅会影响潜在的随机动态重新演变的速度，它还影响了厌恶不确定性的决策者在最坏情况下对行权报酬的折扣率，这种现象在一维设置中不会出现。其次，与Christensen（2013）专注于线性差异的发现相反，我们的结果表明，密度发生器从一个极端最佳切换到另一个极端的状态与一维问题切换的参考点并不一致。通过这种方式，我们的发现表明，问题的维度强烈影响解决方案的性质。在这一点上，值得强调的是，由于位置齐次函数不一定是连续的，因此我们的方法也涵盖了不连续的支付。通过这种方式，我们扩展了最佳停止问题的标准处理方法。第2节给出了所考虑的停止问题和潜在的随机动力学。

我们在不同环境下描述价值和最佳时机政策的主要结果如第3节所述。我们的结果在第4节的三个不同案例中得到了明确说明。最后，第5节总结了我们的研究。2基本动力学和问题设置设为参考测度P下的普通布朗运动，并假设基本过程遵循测度P下的随机动力学，由随机微分方程dxt=uXtdt+σXtdWt表征，X=X∈ R、 （2.1）其中u∈ R和σ∈ R+是已知的常数。考虑到流程Xt，我们定义了流程YtasYt=ZtXsds。按照研究奈特不确定性对或有合同最佳时机的影响的标准方法，给出模糊度κ>0，并用所有概率测度的Pκtheset表示，该概率测度等价于P，密度过程的形式为mθt=e-RtθsdWs-一个渐进可测过程{θt}t的Rtθsds≥0满足约束|θt |≤ κ表示所有t≥ 调用Cameron-Martin-Girsanov测度变换定理表明，在似然比QθdP=Mθ定义的测度Qθ下，Wθt=Wt+Ztθs是一个普通的Qθ-布朗运动。因此，我们注意到，在一定的Qθ下∈ Pκ底层进程的动态读取为DXT=（u- σθt）Xtdt+σXtdWθt，X=X∈ R+。（2.2）考虑到基本过程和由密度过程Mθt生成的等价度量的类别，我们的目标是现在研究最优停止问题vκ（x，y）=supτ∈TinfQθ∈PκEQθxe-rτF（Xτ，Yτ）τ<∞, （2.3）式中F:R+7→ R是一个已知的可测函数，它被假定为正齐次的阶数，R>0是一个已知的常数贴现率。注意，如果没有歧义（即。

当k=0）且F（x，y）=y时，该模型与Kramkov和Mordecki（1994）中研究的积分选项一致（另见Matsumoto和Yor（2005a，b）andLerche和Urusov（200 7））。3分析和主要结果表示过程（X，Y）生成器的微分运算符在measureQθ下读取∈ PκasAθ=σxx+（u- σθ）xx+xy、 （3.1）假设u:R+7→ R+在R+上连续两次发生变化。我们直接观察到Aθu（x，y）≥σxuxx（x，y）+uxux（x，y）- 所有容许密度生成器θ和all（x，y）的κσsgn（ux（x，y））xux（x，y）+xuy（x，y）∈ R+和tha tAθ*u（x，y）=σxuxx（x，y）+uxux（x，y）- θ的κσsgn（ux（x，y））xux（x，y）+xuy（x，y）*= κsgn（ux（x，y））。假设u（x，y）满足偏微分方程（Aθ*u） （x，y）=ru（x，y）。将It^o-D¨oblin定理用于u（x，y）屈服-rTu（XT，YT）=u（x，y）+中兴通讯-rs（κsgn（ux（Xs，Ys））- θs）σXsux（Xs，Ys）ds+中兴通讯-rsσXsux（Xs，Ys）dWθs≥ u（x，y）+中兴通讯-rsσXsux（Xs，Ys）dWθ仅当θ*t=κsgn（ux（Xt，Yt））。因此，在Qθ下*e-rtu（Xt，Yt）构成一个积极的本地市场。考虑到运动报酬的同质性，我们提出了一个安萨茨，即价值也应该是同质的。因此，让我们研究形式为u（x，y）=xh（z），z=y/x的偏微分方程（Aθ）的解*u） （x，y）=ru（x，y）。我们注意到现在（Aθ*u） （x，y）- ru（x，y）=xσzh′（z）+（1）- uz）h′（z）- （r）- u）h（z）- κσθ*（h（z）- zh′（z））,式中θ*= sgn（h（z）- zh′（z））。它认为σzh′（z）+（1- uz+κσz）h′（z）- （r）- u+κσ）h（z）=集{z上的0（3.2）∈ R+：h（z）>zh′（z）}和σzh′（z）+（1- uz- κσz）h′（z）- （r）- u - kσ）h（z）=集{z上的0（3.3）∈ R+：h（z）<zh′（z）}。备注3.1。很明显，微分方程（3.2）和（3.3）与Dzt=（1）类型的微分有关- δiZt）dt+σZtdWt，i=1，2，其中δ=u- κσ和δ=u+κσ。

确定过程Lt=Z-1应用It^o-D¨oblintheorem表明DLT=（σ+δi- Lt）Ltdt- σLtdWt（3.4）插图说明了受控动态如何与（3.4）所述的逻辑差异相关联。设ψκ=--u - κσ+s+u - κσσ+2（右- u + κσ)σφκ= --u - κσσ-s+u - κσσ+2（右- u+κσ）σ表示二次方程q的根+1 +2(u - κσ)σq-2（右- u+κσ）σ=0并定义函数pκ（z）=σzψκUψκ, 1 + ψκ- Иκ，σzQκ（z）=σzψκMψκ, 1 + ψκ- Иκ，σz,其中M表示K ummer的对流超几何函数，U表示Tricomi的对流超几何函数。在solvingODE中，利用变换h（z）=（2/（σz））qf（2/（σz））可以在集合{z上得到h（z）=cPκ（z）+cQκ（z），这是一个简单但有些费劲的练习∈ R+：h（z）>zh′（z）}和h（z）=cP-κ（z）+cQ-集合{z）上的κ（z）∈ R+：h（z）<zh′（z）}。在继续分析函数h之前，我们确定了基本解的严格凸性，并刻画了Pκ（z）在r+上的弹性行为。引理3.1。（A） 基本解Pκ（z），Qκ（z），P-κ（z），Q-κ（z）严格凸于R+。（B） 方程Pκ（z）- zP′κ（z）=0具有唯一的根'zκ>1/r和'zκ=argmax{z/Pκ（z）}。证据（A） 我们首先观察到，下边界y 0是入口，上边界是基础差异过程ssdZt=（1）的自然边界- （u+κσ）Zt）dt+σZtdWt，Z=Z。现在重新排序普通微分方程（3.2）表明，对于Pκ（Z），它保持σzP′′κ（Z）S′κ（Z）=ρκPκ（Z）- zP′κ（z）S′κ（z）- (1 - rz）P′κ（z）S′κ（z）（3.5），其中ρk=r- u+κσ和′κ（z）=z2（u-κσ）σeσz.SinceddzP′κ（z）S′κ（z）=ρκPκ（z）m′κ（z），（3.6）其中m′κ（z）=2/（σzS′κ（z）），我们发现P′κ（z）S′κ（z）-P′κ（a）S′κ（a）=ZzaρκPκ（y）m′κ（y）dy，其中z>a>0。

另一方面，sinceddzPκ（z）- zP′κ（z）S′κ（z）=（1- rz）Pκ（z）m′κ（z）我们发现ρκPκ（z）- zP′κ（z）S′κ（z）- ρκPκ（a）- aP′κ（a）S′κ（a）=ρκZza（1- ry）Pκ（y）m′κ（y）dy。将这些结果插入（3.5）并简化得到σzP′κ（z）S′κ（z）=ρκPκ（a）- aP′κ（a）S′κ（a）- (1 - rz）P′κ（a）S′κ（a）+ρκZzar（z- y） Pκ（y）m′κ（y）dy>ρκPκ（a）- aP′κ（a）S′κ（a）- (1 - rz）P′κ（a）S′κ（a）。自利马以来→0+P′κ（a）/S′κ（a）=0，利马→0+Pκ（a）=1，利马→0+S′κ（a）=∞ 我们通过出租找到↓ 证明了P′κ（z）的严格凸性。建立P的严格凸性-κ（z）、Qκ（z）和Q-κ（z）是完全相似的。（B） 根据我们上面的分析，Pκ（z）- zP′κ（z）S′κ（z）=Zz（1- y）Pκ（y）m′κ（y）不显示Pκ（z）- 所有z的zP′κ（z）>0≤ 1/r。现在假设z>x>1/r。然后我们不必使用1的单调性- rz和pκ（z）的规范型（3.6）- zP′κ（z）S′κ（z）=Pκ（x）- xP′κ（x）S′κ（x）+Zzx（1- ry）Pκ（y）m′κ（y）dy≤Pκ（x）- xP′κ（x）S′κ（x）+（1- rx）ρκP′κ（z）S′κ（z）-P′κ（x）S′κ（x）↓ -∞,作为z→ ∞. （Pκ（z）的单调性和连续性- zP′κ（z））/S′κ（z）（1/r，∞) 现在证明了所谓的根zκ>1/r.Sinceddz的存在性和唯一性zPκ（z）=Pκ（z）- zP′κ（z）Pκ（z）我们注意到，zκ是z/Pκ（z）比率的唯一最大化子。鉴于以上观察结果，我们现在关注Alvarez E.和Christensen（2019），并让c∈[0, ∞) 是任意参考点。