求解一道题

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小影小丽的效用函数为u=x^1/3*y^2/3, x为打扫卫生的时间，y为与朋友聊天的时间，每人各有十个小时。1）若两人是各自拥有一件房间，求各自的最优决策。
2）若俩人共在一个房间，求此时两人各自的最优决策，
3）妈妈希望两人的效用总和最大化，指派俩人必须都要劳动，此时两人打扫卫生的时间是多少。
4）对于以上三种结果，分析造成这样结果的原因。




小弟刚刚开始学习经济学不久，望各位指点。

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关键词：效用函数 学习经济 是多少 最大化 经济学 经济学 朋友

博弈论，再看看

yiyeluo1 发表于 2012-6-20 21:18
博弈论，再看看

原来是博弈论的内容，谢谢。那么我是不是可以理解为，第一问是两个人在两个独立的市场里各自的效用最大化问题。第二问是非协同博弈。第三问是合作博弈呢？

这是去年北大汇丰考研的一道题，有一定的难度，我的解答如下，大家共同讨论：
(1)单独住一个房间时： max  U(x,y)= x^(1/3)*y^(2/3)
                       s.t.   x+y=10
                             x>=0
                             y>=0
    求的最优解为：x=10/3 , y=20/3 , u(x,y)=10*2^(2/3)/3

(2)当两人共同住一房间时，则各自打扫卫生效用的时间应为两人时间之和。令小影为u(x1,y1),小丽为u(x2,y2),
则对于任意小影的打扫时间x1，小丽的效用最大化为：
          max  u(x2,y2)= (x1+x2)^(1/3)*y2^(2/3)
                       s.t.   x2+y2=10
                             x2>=0
                             y2>=0
    由此求的小丽的最优打扫时间为: x2=(10-2*x1)/3
    同理，对于任意小丽的打扫时间x2，小影的最优打扫时间为：x1=(10-2*x2)/3
   
    联立两方程求得：x1=x2=2        
    所以求的两人的效用为：u(x1,y1)=u(x2,y2)=4*2^(2/3)

（3）若两人的总效用最大化，则相应的为：
           Max  u(x1,x2,y1,y2)= (x1+x2)^(1/3)*y1^(2/3)+ (x1+x2)^(1/3)*y2^(2/3)
           s.t.    x1+y1=10
                  x2+y2=10
                  x1>=0 , y1>=0 , x2>=0 , y2>=0
     这里，将y1=10-x1 , y2=10-x2 ,分别代入效用函数，则效用函数为x1,x2的极值问题
     分别求x1，x2的偏导数并使之为0，求得x1=x2=10/3
     分别求偏导数Ux1x1=Ux2x2=-1/6  Ux1x2=-2/15
     所以A=-1/6<0  且AC-B^2>0 , 故x1=x2=10/3为最大值的解，
u(x1,x2,y1,y2)=20/3              （这里的极值也可以用拉格朗日乘数法求解）

(4）根据上面可知，u3>u2>u1   就效用依次增大
u2>u1是因为各自打扫卫生都为对方增加了打扫卫生的边际效用；
u3>u2是因为串谋使总体效用最大化优于竞争使个体效用最大化。

网上搜了一下，没搜到这题的答案，希望知道的一起参与讨论下

做的很棒，赞一个