[原创]吃饱与理性是否一致依赖于边际效用与吃饱的定义

以下是引用sungmoo在2007-10-9 17:31:00的发言：

To ruoyan：

“某个预算线(ms, ps)”这种说法可能不恰当。如果存在全局饱和点，预算约束“x∈C, p'x<=m”中p的各分量与m未必非要以同一比例s变化去“碰到”该饱和点，就该规划而言，它们都是外生且相互独立的。

一时没有想到好的表达，S是餍足之义。我是想表达这个意思，任何一个常量P下，只要M足够大，总有p'x=m过餍足点Xs；

设餍足点Xs，上述意思可以表达为，“预算线XsP=m”，如何？

以下是引用sungmoo在2007-10-9 17:07:00的发言：

先且不谈witswang的说法有没有错误，我的观点是：如果使用间接效用函数，问题的分析会很简洁：可以很直接地分析hhgxyzp的三条假设的含义及相互间的关系。

这么简单的意思，不知witswang为什么就是看不清。witswang到底是怎么想的，我不得而知。

　　我开始确实根本没有想到过用值函数，因为直觉告诉我，那不可行。后来我去用值函数做过，我不知道怎样做。如果你能够用值函数的方法试一下，那只能说明你提供了一个新的方法来解释我的方法。那么下面请你用U=XY这个效用函数试下如何用值函数的方法表达我所讲的方向导数的概念。请教了！

　　我们为简单起见，就设一个标准的新古典效用函数吧，用max U=XY，p1X+p2Y=M。你能不能用间接效用函数

v=m*m/4p1p2

得到我所说的方向导数的结论。

　　你光是晓得说，你又不做给我们看看。我发现不是做不了，就是很麻烦。无论是什么原因，都符合我一开始的直觉，因为我直觉上根本没有考虑到这里的方向导数可以用值函数能够表示出来。

　　　下面，如果你能够表示出来，那么我错了一半；如果你能够用值函数的方式，比直接用方向导数的方式更为简单，那我全错了。我确实请教了！！！

以下是引用ruoyan在2007-10-9 16:48:00的发言：

这样理解下，沿着预算线还有很多个消费束，U会随着这些消费束（都在预算线上）的变化而变化，于是有U对这些消费束变化的偏导数。这就是预算线方向上的偏导数，这样的偏导数有边际效用的意义。

你这样说，倒是方向导数了

以下是引用sungmoo在2007-10-9 14:56:00的发言：

witswang能再明确说明一下什么叫“效用最大化决策对于每个决策变量的边际效用”吗？

个人才浅，只知道：对于既定价格与货币收入，“效用最大化决策”指各种商品的Marshallian demands（它们都是给定价格与货币收入的函数）。个人的能力实在有限，只能认为，“效用最大化决策”对于“商品量”不能再求偏导数（因为决策就是以“商品量”来体现的）；而只能对价格与收入求偏导数，但这样得到的偏导数不可能有“边际效用”的意义。

退一步讲，对于既定价格与货币收入，如果“效用最大化决策”由间接效用函数综合体现（这可是witswang三番五次反对的），间接效用函数对货币收入而言的偏导数，倒有些“边际效用”的意味。

请witswang谈，什么叫“效用最大化决策”呢？

　　版主，欢迎你重出江湖！！！说实在的，现在我倒真是有点喜欢你这倔脾气了。

　　可能我表述的意思与你理解不一样。在我看来，所谓效用最大化决策，指的就是：

　　　　　max U=U(X,Y) s.t. p1X+p2Y=M ,X,Y>=0

　　这是一个约束决策，或者说约束最值问题。这个“效用最大化决策问题”分为以下几个要素，这也是所有数学规划的要素。一是决策的目标函数，这里即效用函数，二是决策的约束条件，三是决策变量，四是外生参数，五是决策者。

　　　这是我在运筹学里面学的知识，有些数学规划也讲过。这其实表明了决策的一般属性。下面再举一例以示之：

　　　　决策者，销售人员

　　　　　决策目标:销售额最大化max S=S(e,T)

约束条件： e>0, f(e,T;a,b)<=0

　　　　　其中决策变量是e努力程度，T工作时间，a、b是外生参数。当然我们永远写不出这个决策的解析表达式。

　　　　我只是把效用最大化决策即上面这个数学规划问题看成一个整体。所谓决策的边际效用，只是想表明物品的边际变化必须在约束区域内或预算区域内，即这时候考虑边际效用必须是针对这个数学规划即决策，而不仅仅针对无约束的效用函数，并没有别的意思。我在原文中已经表达得相当清楚了。

　　　当然，有时候为了简单起见，也可以把决策变量的最优取值视为“决策”。这实际上只是一个术语不用运用场合不同含义的问题。我觉得没有必要在这个问题上死扣。

当然，很多概念严格分析起来，确实都有问题。不要说别的，就拿库恩的范式来说，一本《科学革命的结构》，里面就有三十多种含义，难道你能够否定那是一本名著。

　　　

感觉sungmoo与ruoyan对于高微的教材倒确实觉得不错。

　　sungmoo与ruoyan两位高微确实学得不错。　

　　不过，高微上面确实没有写过方向导数的经济学含义。我自学过瓦里安的高微，英文版也看过，不过没有用英文写过，所以，向sungmoo与ruoyan请教了。

　　我认为显然ruoyan还是没有把方向导数与偏导数区别开来。

以下是引用jerryliu在2007-10-9 23:03:00的发言：

你这样说，倒是方向导数了

　千万不要上他的当，他说的是自变量在预算线上的偏导数，而不是沿预算线的方向导数。

　　方向导数的概念请见数学分析教材，方向导数与偏导数的关系在可微时是：

　　　　　方向导数＝{关于X的偏导,关于Y的偏导数}*方向余弦

　　　方向导数的定义式是 df/dL，L表示一个方向。

　　关于X的偏导数是X正方向的方向导数，关于Y的偏导数是Y正方向的方向导数。

以下是引用ruoyan在2007-10-9 16:48:00的发言：

我是这样理解（另贴中witswang没有反驳）： 效用U的受预算约束最大化的值是Umax，这个解在某个“消费束”上实现，这个消费束位于一定的货币收入与价格所决定的预算线上。这样理解下，沿着预算线还有很多个消费束，U会随着这些消费束（都在预算线上）的变化而变化，于是有U对这些消费束变化的偏导数。这就是预算线方向上的偏导数，这样的偏导数有边际效用的意义。

我认为witswang的错误不在于没有这个方向导数或边际效用，而是没有必要再去求这些偏导，因为受束规划本身已经考虑过这些偏导并求得了该偏导=0的点，就是Umax点。

在求Umax=U（X）S.T. XP=M 过程中，不就是先求偏导再令其等于0求得的消费束Xmax的解吗？Umax不就是求方向偏导数的结果吗？为什么还要反过来再讨论X沿着M-P线的变化对U的影响？

进一步的错误是，这个方向偏导数等于0，根本不意味着“满足”，与MU（食品）=0完全不是一个意义，只意味着受束下的最大化，是相对的最大化；一个是单品的无约束最大，一个是多品组合的有约束最大化，意义上有清楚的区别。

进一步就与sungmoo的说法吻合了。消费束的组合效用U（假定存在）在不同的预算约束下有无数个MU（对预算线上的X）=0，也就有无数个受束的Umax=U（m，p），这就是值函数。 Umax对m和p可以进一步求导，但那是Umax的一阶偏导数，是U的复合偏导数。

我个人的观点是，这Umax=U（m，p）在某个预算线（ms，ps）过餍足点时达到最大，得到：max—Umax（ms，ps）。是相对最大里面的绝对最大。只要承认U是递增收敛的，一定有这样的结果。

　　　你还是没有搞清楚偏导数与方向导数之间的区别。不过没有关系，慢慢来，总会搞清楚的。

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由于数学公式输入不便，因此写在纸上，用相机照下来，用图片传上来。全文证明了沿预算线方向的方向导数与偏导数的区别。因为这个在ruoyan 身上太明显了，为了帮助他学习数学，因此我特别地在这么晚了还写下证明，希望他能够明白错误。

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